精品解析：福建漳州市南靖县第一中学2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试题

南靖一中2025-2026学年下高二期中考数学试卷 学校：______姓名：______班级：______考号：______ 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知事件A与事件B相互独立，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对立事件的概率公式，求得，独立事件的概率公式和条件概率的公式，即可求解. 【详解】因为事件A与事件B相互独立，且，可得，且， 则. 故选：A. 2. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，结合空间向量垂直的坐标关系求解即可. 【详解】因为，直线的方向向量为，平面的法向量为， 所以，所以，即，解得 3. 函数f（x）=（x2+2x）e2x的图象大致是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用导数判断出的单调区间，结合函数值的符号，选出正确选项. 【详解】由于，而的判别式，所以开口向上且有两个根，不妨设，所以在上递增，在上递减.所以C,D选项不正确.当时，，所以B选项不正确.由此得出A选项正确. 故选：A 【点睛】本小题主要考查利用导数判断函数的图像，属于基础题. 4. 在正方体中，向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得正三角形，过点作，垂足为，从而得到向量在上的投影向量为. 【详解】因为在正方体中，, 所以正三角形，过点作，垂足为. 则，所以向量在上的投影向量为. 故选：B 5. 已知函数，当时，，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意得到，构建函数，在单调递增，等价转换，利用导数可得结果. 【详解】当时，，即， 所以函数 在单调递增，所以在上恒成立， 则在上恒成立，所以在上恒成立， 又，所以. 6. 已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量四点共面定理和基本不等式“1”的妙用求解即可． 【详解】因为四点共面，则有 由共面定理可得，，即， 所以， 当且仅当，即，即时，等号成立. 故选：C. 7. 如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内．若小球下落过程中每次与小木块碰撞后，向左、向右落下的机会均等，则小球最终落入③号球槽和⑥号球槽的概率之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析下落过程碰撞的次数和向左向右落下的概率，分别分析落入③号球槽和⑥号球槽的情况，分析求解，即可得答案. 【详解】下落过程中，需要经过6次碰撞，每次向左、向右落下的概率均为， 落入③号球槽需向左4次，向右2次，则, 落入⑥号球槽需向左1次，向右5次，则， 则小球最终落入③号球槽和⑥号球槽的概率之和为. 故选：B 8. 设函数，若关于x的方程恰好有4个不相等的实数解，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】方程化为或，由导数确定函数的单调性、极值，结合函数图象可得参数范围． 【详解】因为恰好有4个不相等的实数解， 所以恰好有4个不相等的实数解， 所以或共有4个解， 设，，则， 所以时，，单调递增， 时，，单调递减， 且，， 当时，，所以 设，， 则，为单调减函数， 且时，，， 作出函数的图象如图所示： 由图可知只有一解， 要恰好有4个不相等的实数解， 即要恰有3解， 所以， 即， 故选：B. 【点睛】方法点睛：利用导数研究方程解的个数问题的方法是方程转化为的形式，然后利用导数确定函数的性质（单调性、极值、函数的变化趋势），作出函数的大致图象及直线观察图象可得解的个数的结论． 二、多选题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 已知有如下定义：设是的导函数，是函数的导函数.若方程有实数解，则称点，为函数的“拐点”，经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.若三次函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的值域为 B. 在区间上单调递增 C. 点是曲线的对称中心 D. 若方程有三个不同实根，则实数的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，求得和，得到函数的单调区间和极值，以及的根，结合选项，逐项分析判定，即可求解. 【详解】由函数，可得，且， 对于A：当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 当时，，单调递增； 且当时，，当时，， 所以函数的值域为，所以A正确； 对于B，函数在单调递减，在单调递增，所以B错误； 对于C，令，可得，解得，且， 所以点是曲线的对称中心，所以C正确； 对于D，由在单调递增，在单调递减，在上单调递增， 所以函数的极大值为，极小值为， 且当时，，当时，， 要使方程有三个不同实根，即方程有三个不同实根， 即函数与的图像有三个不同的交点，所以， 所以实数的取值范围为，所以D正确. 故选：ACD. 10. 某智能系统在进行数据分类时，其准确性受前一次分类结果的影响．记表示事件“第n次分类正确”，表示第n次分类正确的概率．已知，且满足以下条件：若第n次分类正确，则第次分类正确的概率为；若第n次分类错误，则第次分类正确的概率为．记，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若第n次分类正确，则第次分类正确的概率为 C. 数列是等比数列 D. 数列的前n项和为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意可得，直接求出即可判断A；利用条件概率求出即可判断B；对于C，利用构造法即可判断C；对于D，结合C的结论即可得到，再利用等比数列前项和公式求解即可． 【详解】由已知得第次分类正确的概率为 ， 对于A，，故A正确； 对于B， ，故B正确； 对于C，由，得，又， 所以是首项为，公比为的等比数列，则不是等比数列，故C错误； 对于D，由C项知，，， 所以数列的前n项和为，故D正确． 11. 已知正方体的棱长为，是线段的中点，是底面正方形内的动点（包含边界），则下列说法中正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 存在点，使得平面 C. 若点在线段上运动，则与平面所成角正弦的最大值为 D. 若与所成的角为，则动点的轨迹为双曲线的一部分 【答案】ABD 【解析】 【分析】由平面平面，得到点到平面的距离为定值，结合锥体的体积公式，可判定A正确；连接,交于点，证得平面，当为底面正方形中心时，得到平面，可判定B正确；以为原点，建立空间直角坐标系，设，得到，结合向量的夹角公式，可判定C错误；设，由与所成的角为，列出方程，得到动点的轨迹为双曲线的一部分，可判定D正确. 【详解】对于A中，因为平面平面，所以点到平面的距离为定值， 所以为定值，所以A正确； 对于B中，连接,交于点，连接， 则为的中点，因为为的中点，所以， 在正方体中，可得， 因为，且平面，所以平面， 所以平面，当为底面正方形中心时，平面，所以B正确. 对于C中，以为原点，所在直线为轴、轴和轴建立空间直角坐标系， 则, , ，可得，， 设，其中，则， 可得平面的法向量， 设直线与平面所成角为，当时，与重合，此时，； 当时，， 当且仅当时取等号， 综上可得，与平面所成角的正弦值最大为，所以C错误. 对于D中，设，则,， 因为与所成的角为，所以， 所以，可得，所以动点的轨迹为双曲线的一部分，所以D正确. 故选：ABD. 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 12. 设随机变量的分布列如下： 2 3 6 则__________；若，则__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】，， 所以 13. 如图，现有一个圆锥形的铁质毛坯材料，底面半径为6，高为8.某工厂拟将此材料切割加工成一个圆柱形构件，并要求此材料的底面加工成构件的一个底面，则可加工出该圆柱形构件的最大体积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用几何体的轴截面进行计算，结合导数求得圆柱形构件的最大体积. 【详解】画出圆锥及圆柱的轴截面如下图所示. 其中，，四边形为矩形. 设圆柱的底面半径为，即， 则，即. 所以圆柱的体积为，. ， 由于，所以在区间上，单调递增；区间上，单调递减. 所以在处取得极大值也即是最大值为： . 故答案为： 【点睛】本小题主要考查圆锥的最大内接圆柱有关计算，考查利用导数求最值，属于中档题. 14. 实数，满足，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】化简得到，由，由，求得，得到，转化为图象上的点到直线上一点的距离，结合导数的几何意义，即可求解. 【详解】由， 因为，可得， 所以， 又由，可得，所以在上单调递增， 又因为，则， 则， 表示函数图象上的点到直线上一点的距离， 则其最小值为图象与直线平行的切线到直线的距离， 设切点为，其中，由，可得， 令，解得，可得，即切点为， 可得切点为到直线距离为， 即的最小值是. 四、解答题（本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数． （1）求在点处的切线方程； （2）求的单调区间和极值． 【答案】（1） （2）的单调递增区间为和，单调递减区间为， 极大值，极小值． 【解析】 【分析】（1）先求函数在处的函数值与导数值（切线斜率），再用点斜式写出切线方程． （2）先求导并因式分解，根据导数的正负判断函数单调性，再结合单调性确定极大值点、极小值点，代入原函数计算极值． 【小问1详解】 由，得， 因为，， 所以在点处的切线方程为，即． 【小问2详解】 的定义域为， ， 令，得或，令，得或，令，得， 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为， 当时，取极大值，当时，取极小值． 16. 为了普及足球知识，某市开展了“滇超知识竞赛”活动.现从参加该竞赛的学生中随机抽取了80名，统计了他们的成绩（满分100分），并绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）求这组数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中间值为代表）； （2）当成绩不低于80分的学生被评为“滇超达人”，以频率估计概率，从本市参加该竞赛的学生中随机抽取3人，随机变量X表示抽取学生为“滇超达人”的人数，求X的分布列及数学期望； （3）某市参与竞赛的学生中，甲校学生占25%，乙校学生占35%，丙校学生占40%，三校参赛学生在活动中获得“滇超达人”的比例分别为，从参与该竞赛的学生中随机抽取一人，求这名学生是“滇超达人”的概率. 【答案】（1） （2）分布列见解析，数学期望为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中平均值的求法求解即可； （2）以频率估计概率，根据频率分布直方图，得到“滇超达人”在竞赛人数中所占的比例，即得到随机从本市参加该竞赛的学生中随机抽取1人，该学生为“滇超达人”的概率，利用服从二项分布，可得其分布列及数学期望； （3）利用全概率公式可得. 【小问1详解】 由频率分布直方图，这组数据的平均值为 【小问2详解】 以频率估计概率，根据频率分布直方图， 得到“滇超达人”在竞赛人数中的占比为， 即从本市参加该竞赛的学生中随机抽取1人，该学生为“滇超达人”的概率为； 易知， 所以， ， ， . 所以X的分布列为 X的数学期望是. 【小问3详解】 已知参与竞赛的学生中，甲校学生占25%，乙校学生占35%，丙校学生占40%， 且三校参赛学生在活动中获得“滇超达人”的比例分别为， 所以根据全概率公式可得，从参与该竞赛的学生中随机抽取一人， 这名学生是“滇超达人”的概率为. 17. 如图，在正三棱柱中，点满足，其中，. （1）是否存在使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； （2）当时，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）存在， （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据线面垂直证明线线垂直，再结合向量的数量积进行求解； （2）将二面角转化为两个平面的法向量的夹角进而求解. 【小问1详解】 在正三棱柱中，分别取的中点，连接，， 则，，， 以为坐标原点，向量的方向分别为，，轴的正方向, 建立如图所示的空间直角坐标系， ， 则 ，， ，， 所以， ， 因为底面，底面， 所以，所以， 若，则， 解得，故存在，使得. 【小问2详解】 当时，则，， ，， 所以 ， ，， ， 设平面的一个法向量为， 则，得， 令，则， 设平面的一个法向量为， 则，代入可得， 令，则， 设平面与平面的夹角为， 则， 即平面与平面的夹角的余弦值为. 18. 冬奥会的成功举办极大鼓舞了人们体育强国的热情，掀起了青少年锻炼身体的热潮．某校为了解全校学生“体能达标”的情况，从高二年级12个班学生中每班随机选出5名学生参加“体能达标”测试，并且规定“体能达标”测试成绩小于60分的为“不合格”，否则为合格．若高二年级“不合格”的人数不超过总人数的5%，则该年级体能达标为“合格”，否则该年级体能达标为“不合格”，需要加强锻炼． （1）已知某班级的5名学生中，甲、乙2位同学体能预测不合格，从这5名学生中抽取2名，记X为抽取的2名学生中体能合格的人数，求随机变量X的分布列 （2）为了加强锻炼，甲、乙两位同学计划每天开展跳绳比赛以提高体能，并约定每轮比赛均采用五局三胜制（一方获胜三局则本轮比赛结束）．假设甲同学每局比赛获胜的概率均为，求甲在一轮比赛中至少比了四局并获胜的条件下，前2局比赛均获胜的概率； （3）经过一段时间的体能训练后，该校再次进行了体能检测，高二年级学生体能检测成绩近似服从正态分布．已知，请估计该校高二年级学生该次体能检测是否合格?附：． 【答案】（1）分布列见解析 （2） （3）高二年级学生体能检测合格 【解析】 【分析】（1）由题意有服从超几何分布，利用超几何分布即可求解； （2）利用条件概率公式即可求解； （3）利用正态分布的区间即可求解. 【小问1详解】 由题意的可能取值为， 所以， 所以的分布列为 1 2 【小问2详解】令事件表示“甲在一轮比赛中至少比了四局并获胜”，事件表示“甲以获胜”，事件表示“甲以获胜”，事件表示“甲前2局比赛均获胜”， 所以， 所以， ， 所以； 【小问3详解】 由已知有，所以， 所以， 所以高二年级学生体能检测合格. 19. 已知函数 （1）当时，若对任意不等式恒成立，求实数a的取值范围. （2）当在有解，求实数k的取值范围. （3）当函数有两个极值点且时，是否存在实数m，总有成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）利用导数求得在上的最小值，进而利用恒成立可得，可求实数a的取值范围. （2）分离变量得，构造函数，求导可求得的值域，可得实数k的取值范围. （3）利用函数有两个极值点，可得，不等式等价于，令，求导，分类讨论可求得实数m的取值范围. 【小问1详解】 当时，，令，解得， 当时，单调递减，当时，单调递增， 所以在上的最小值为. 又，所以由对任意不等式恒成立， 即. 所以的取值范围为. 【小问2详解】 令，因为，则，故， 令，则， 故当单调递减；当单调递增， 又，且， 故的值域为，则要满足题意，只需. 即的取值范围为. 【小问3详解】 因为， 因为有两个极值点，故可得， 所以，且. 因为，故， 则，即， 因为，故上式等价于，即， 又当时，，当时，， 令，则， 当时，，故在单调递增，又， 故当时，，当时，，故不满足题意； 当时，令， 若方程对应时，即时，单调递减， 又，故当时，，当时，，满足题意； 若，即时，又的对称轴，且开口向下， 又，不妨取， 故当单调递增，又， 故此时，不满足题意，舍去， 综上所述，的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南靖一中2025-2026学年下高二期中考数学试卷 学校：______姓名：______班级：______考号：______ 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知事件A与事件B相互独立，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 3. 函数f（x）=（x2+2x）e2x的图象大致是 A. B. C. D. 4. 在正方体中，向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，当时，，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 9 7. 如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内．若小球下落过程中每次与小木块碰撞后，向左、向右落下的机会均等，则小球最终落入③号球槽和⑥号球槽的概率之和为（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，若关于x的方程恰好有4个不相等的实数解，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 已知有如下定义：设是的导函数，是函数的导函数.若方程有实数解，则称点，为函数的“拐点”，经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.若三次函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的值域为 B. 在区间上单调递增 C. 点是曲线的对称中心 D. 若方程有三个不同实根，则实数的取值范围为 10. 某智能系统在进行数据分类时，其准确性受前一次分类结果的影响．记表示事件“第n次分类正确”，表示第n次分类正确的概率．已知，且满足以下条件：若第n次分类正确，则第次分类正确的概率为；若第n次分类错误，则第次分类正确的概率为．记，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若第n次分类正确，则第次分类正确的概率为 C. 数列是等比数列 D. 数列的前n项和为 11. 已知正方体的棱长为，是线段的中点，是底面正方形内的动点（包含边界），则下列说法中正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 存在点，使得平面 C. 若点在线段上运动，则与平面所成角正弦的最大值为 D. 若与所成的角为，则动点的轨迹为双曲线的一部分 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 12. 设随机变量的分布列如下： 2 3 6 则__________；若，则__________. 13. 如图，现有一个圆锥形的铁质毛坯材料，底面半径为6，高为8.某工厂拟将此材料切割加工成一个圆柱形构件，并要求此材料的底面加工成构件的一个底面，则可加工出该圆柱形构件的最大体积为__________. 14. 实数，满足，则的最小值是______． 四、解答题（本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数． （1）求在点处的切线方程； （2）求的单调区间和极值． 16. 为了普及足球知识，某市开展了“滇超知识竞赛”活动.现从参加该竞赛的学生中随机抽取了80名，统计了他们的成绩（满分100分），并绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）求这组数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中间值为代表）； （2）当成绩不低于80分的学生被评为“滇超达人”，以频率估计概率，从本市参加该竞赛的学生中随机抽取3人，随机变量X表示抽取学生为“滇超达人”的人数，求X的分布列及数学期望； （3）某市参与竞赛的学生中，甲校学生占25%，乙校学生占35%，丙校学生占40%，三校参赛学生在活动中获得“滇超达人”的比例分别为，从参与该竞赛的学生中随机抽取一人，求这名学生是“滇超达人”的概率. 17. 如图，在正三棱柱中，点满足，其中，. （1）是否存在使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； （2）当时，求平面与平面的夹角的余弦值． 18. 冬奥会的成功举办极大鼓舞了人们体育强国的热情，掀起了青少年锻炼身体的热潮．某校为了解全校学生“体能达标”的情况，从高二年级12个班学生中每班随机选出5名学生参加“体能达标”测试，并且规定“体能达标”测试成绩小于60分的为“不合格”，否则为合格．若高二年级“不合格”的人数不超过总人数的5%，则该年级体能达标为“合格”，否则该年级体能达标为“不合格”，需要加强锻炼． （1）已知某班级的5名学生中，甲、乙2位同学体能预测不合格，从这5名学生中抽取2名，记X为抽取的2名学生中体能合格的人数，求随机变量X的分布列 （2）为了加强锻炼，甲、乙两位同学计划每天开展跳绳比赛以提高体能，并约定每轮比赛均采用五局三胜制（一方获胜三局则本轮比赛结束）．假设甲同学每局比赛获胜的概率均为，求甲在一轮比赛中至少比了四局并获胜的条件下，前2局比赛均获胜的概率； （3）经过一段时间的体能训练后，该校再次进行了体能检测，高二年级学生体能检测成绩近似服从正态分布．已知，请估计该校高二年级学生该次体能检测是否合格?附：． 19. 已知函数 （1）当时，若对任意不等式恒成立，求实数a的取值范围. （2）当在有解，求实数k的取值范围. （3）当函数有两个极值点且时，是否存在实数m，总有成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $