精品解析：湖北武汉长江实验学校高中部2025-2026学年高二下学期5月月考数学试题

武汉长江实验学校高中部2026年春季学期5月月考 高二年级数学试卷 出卷人：李小群 审卷人：颜滟欢 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简函数的解析式，利用基本初等函数的导数公式可求得结果. 【详解】因为，因此，. 故选：D. 2. 已知曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的几何意义即可求解． 【详解】， 又因为曲线在点处的切线与直线垂直， 所以切线斜率，解得． 故选：D． 3. 某公交车上有6位乘客，沿途有4个停靠站，乘客下车的可能方式有（ ） A. 种 B. 种 C. 24种 D. 10种 【答案】B 【解析】 【分析】每位乘客都有4种选择，因此乘客下车的可能方式有种. 【详解】由题意，每一位乘客都有4种选择，故乘客下车的可能方式有种. 故选：B 4. 某公司生产的甲、乙、丙三种规格的产品分别有300件，200件，100件，其中甲、乙、丙三种产品的合格率分别为，，，则从所有产品中任取一件，是合格品的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设任取一件甲产品为事件，任取一件乙产品为事件，任取一件丙产品为事件，设任取一件是合格品为事件， 则，，，，，， 故. 5. 已知的展开式中只有第3项的二项式系数最大，则的展开式中的常数项是（ ） A. 20 B. 70 C. 84 D. 864 【答案】B 【解析】 【分析】先得到，对变形后，由展开式通项公式进行求解 【详解】的展开式中只有第3项的二项式系数最大， 故展开式共5项，所以， 变形为， 展开式为， 令得，所以常数项为. 6. 用数字2，3，5可以组成 无重复数字的偶数的个数为（ ） A. 15 B. 12 C. 10 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】分三类，即一位整数，两位整数和三位整数. 【详解】分三类，第一类组成一位整数，偶数有2，共1个； 第二类组成两位整数，其中偶数有32和52，共2个； 第三类组成三位整数，其中偶数有352和532，共2个． 由分类加法计数原理知共有偶数5个． 7. 已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从乙箱中取出的球是黑球”为事件，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，条件概率及全概率公式可得答案. 【详解】记“从甲箱中取出的球恰有个红球”为事件， 根据题意可得， ， 所以 . 故选：D. 8. 若函数无极值点，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，得， 则没有变号零点，即没有变号零点， 令，则， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减，所以， 当时，， 当时，， 当时，的增长速率远远比的要大，所以， 作出的图象，如图所示， 所以． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数在上单调递减 B. 函数在上单调递减 C. 函数在处取得极小值 D. 函数在处取得极大值 【答案】AD 【解析】 【分析】利用函数的函数的图象，可判断函数的单增区间与单减区间，进而可得极大值点，从而可得结论. 【详解】由函数的导函数的图象可知， 当时，，所以在上单调递增，故B错误； 当时，，所以在上单调递减，故A正确； 所以函数在处取得极大值，不是极小值点，故C错误，D正确. 故选：AD. 10. 已知A，B是概率均不为0的随机事件，下列说法正确的是（    ） A. 若，则事件A与B为对立事件 B. 若，则事件A与B为互斥事件 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】CD 【解析】 【分析】根据对立事件的定义可判断A；根据互斥事件的定义可判断B；由条件概率的公式可判断C；由，，结合题意可判断D. 【详解】对于A：由，故，则事件A、B互斥，不能得到事件A、B对立，故A错误； 对于B：若则事件A和B相互独立，而互斥事件的定义是，故B错误； 对于C：，，故C正确； 对于D：，， 若则，故D正确. 11. 已知且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】令可得A；利用二项式的展开式的通项公式计算可得B；令可得C；令，结合C选项可得D. 【详解】对A：令，则，得，故A正确； 对B：由，则， 对有，， 对有，， 则， 故，故B错误； 对C：令，得，故C正确； 对D：令，得 ， 从而得， 又，从而 ，故D错误. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 若 则n=__________. 【答案】4或6 【解析】 【分析】根据组合数的性质求解即可. 【详解】由，可得或， 解得或.经检验成立 故答案为：或. 13. 在如图所示的圆环形花园种花，将圆环平均分成，，，四个区域，现有牡丹、芍药、月季三种花可供选择，要求每个区域只种一种花且相邻区域的花不同，则不同的种植方法有______种. 【答案】18 【解析】 【分析】根据区域种花情况，分两类情况求解，根据分类加法计数原理可得答案. 【详解】区域种同一种花，不同的种植方法有：； 区域种不同的花，不同的种植方法有：； 由分类加法计数原理可得，共有18种方法. 故答案为：18 14. 若直线既是曲线在处的切线，也是曲线的切线，则实数_________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意先求出曲线在处的切线方程，设与曲线的切点，利用导数的几何意义推得关于的方程组，求解即得. 【详解】由求导得，则曲线在处的切线方程为，即， 设曲线的切线的切点为，由求导得， 依题意可得，解得. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 若，求： （1）求的值； （2）； （3）. 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）令即可求出； （2）令即可求出，进而可求； （3）令即可求出，结合（2）即可求. 【小问1详解】 令得. 【小问2详解】 令，则， 由（1）知， 所以. 【小问3详解】 令，则① 由（2）知② 由①+②得， . 16. 有4名男生、3名女生，其中包括甲、乙两人，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数（列式--最后用数字作答）． （1）排成前后两排，前排3人，后排4人； （2）全体排成一排，女生必须站在一起； （3）全体排成一排，女生互不相邻； （4）全体排成一排，甲不站在排头，乙不站在排尾； 【答案】（1）5040 （2）720 （3）1440 （4）3720 【解析】 【分析】（1）应用排列数，全排列公式及分步乘法原理计算求解； （2）应用排列数，全排列公式及捆绑法计算求解； （3）应用排列数，全排列公式及插空法计算求解； （4）分类讨论甲的位置应用排列数及特殊位置优先计算求解； 【小问1详解】 先选3人站前排有种方法，余下4人站后排有种方法， 共有（种）． 【小问2详解】 捆绑法，将3名女生看成一个整体有种，再与4名男生进行全排列有种， 共有（种）． 【小问3详解】 插空法，先排男生，再在5个空位中插入3名女生，有种， 所以共有 （种）． 【小问4详解】 分为两种情况： ①甲在排尾时有种， ②甲不在排尾时有，从非甲乙5人中选1人排尾，甲从中间5个位置中安排一个，剩下5人排列，则种， 所以共有（种）． 17. 某中学的社团活动室有书法社、围棋社和绘画社三个社团，学生小李每天都会去活动室参与社团活动.若当天选择书法社，则后一天选择书法社、围棋社、绘画社的概率均为；若当天选择围棋社，则后一天选择书法社、围棋社、绘画社的概率分别为，，；若当天选择绘画社，则后一天等可能地选择书法社、围棋社或绘画社.已知小李第一天等可能地选择一个社团参与活动.请完成下列计算： （1）求小李第2天选择书法社的概率． （2）求在第2天选择书法社的条件下，小李第1天选择绘画社的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 设事件分别表示第1天选择书法社、围棋社、绘画社，事件表示第2天选择书法社. 由题意，两两互斥且构成完备事件组，且 由全概率公式： ∴小李第2天选择书法社的概率为. 【小问2详解】 ∴在第2天选择书法社的条件下，小李第1天选择绘画社的概率为. 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间； 【答案】（1）（2）详见解析 【解析】 【分析】 （1）分别求得和，从而得到切线方程； （2）求导后，令求得两根，分别在、和三种情况下根据导函数的正负得到函数的单调区间. 【详解】（1），，， ，又， 在处的切线方程为. （2）， 令，解得：，. ①当时，若和时，；若时，； 的单调递增区间为，；单调递减区间为； ②当时，在上恒成立， 的单调递增区间为，无单调递减区间； ③当时，若和时，；若时，； 的单调递增区间为，；单调递减区间为； 综上所述：当时，的单调递增区间为，；单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，；单调递减区间为. 【点睛】本题考查利用导数的几何意义求解曲线在某一点处的切线方程、利用导数讨论含参数函数的单调区间的问题，属于常考题型. 19. 已知函数 （1）若函数在处有极值为10，求b的值； （2）对任意，在区间上单调递增，求b的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)利用已知条件可列出方程组，求出的两组解，再进行检验即可； (2)将已知条件转化为恒成立问题，进而利用函数的恒成立问题即可求解. 【小问1详解】 ，, 又函数在处有极值为10， ，或， 当，时，， 令，则或， 当时，，单调递减；当时，，单调递增，且， 满足函数在处有极值为10； 当，时，， 则函数无极值点. 的值为. 【小问2详解】 对任意，在区间上单调递增， 在任意，恒成立， 记， ，在上单调递增， 在恒成立， 令， 函数对称轴为，， ，的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 武汉长江实验学校高中部2026年春季学期5月月考 高二年级数学试卷 出卷人：李小群 审卷人：颜滟欢 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（ ） A. 3 B. C. D. 3. 某公交车上有6位乘客，沿途有4个停靠站，乘客下车的可能方式有（ ） A. 种 B. 种 C. 24种 D. 10种 4. 某公司生产的甲、乙、丙三种规格的产品分别有300件，200件，100件，其中甲、乙、丙三种产品的合格率分别为，，，则从所有产品中任取一件，是合格品的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知的展开式中只有第3项的二项式系数最大，则的展开式中的常数项是（ ） A. 20 B. 70 C. 84 D. 864 6. 用数字2，3，5可以组成 无重复数字的偶数的个数为（ ） A. 15 B. 12 C. 10 D. 5 7. 已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从乙箱中取出的球是黑球”为事件，则（ ） A. B. C. D. 8. 若函数无极值点，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数在上单调递减 B. 函数在上单调递减 C. 函数在处取得极小值 D. 函数在处取得极大值 10. 已知A，B是概率均不为0的随机事件，下列说法正确的是（    ） A. 若，则事件A与B为对立事件 B. 若，则事件A与B为互斥事件 C. 若，，则 D. 若，则 11. 已知且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 若 则n=__________. 13. 在如图所示的圆环形花园种花，将圆环平均分成，，，四个区域，现有牡丹、芍药、月季三种花可供选择，要求每个区域只种一种花且相邻区域的花不同，则不同的种植方法有______种. 14. 若直线既是曲线在处的切线，也是曲线的切线，则实数_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 若，求： （1）求的值； （2）； （3）. 16. 有4名男生、3名女生，其中包括甲、乙两人，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数（列式--最后用数字作答）． （1）排成前后两排，前排3人，后排4人； （2）全体排成一排，女生必须站在一起； （3）全体排成一排，女生互不相邻； （4）全体排成一排，甲不站在排头，乙不站在排尾； 17. 某中学的社团活动室有书法社、围棋社和绘画社三个社团，学生小李每天都会去活动室参与社团活动.若当天选择书法社，则后一天选择书法社、围棋社、绘画社的概率均为；若当天选择围棋社，则后一天选择书法社、围棋社、绘画社的概率分别为，，；若当天选择绘画社，则后一天等可能地选择书法社、围棋社或绘画社.已知小李第一天等可能地选择一个社团参与活动.请完成下列计算： （1）求小李第2天选择书法社的概率． （2）求在第2天选择书法社的条件下，小李第1天选择绘画社的概率． 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间； 19. 已知函数 （1）若函数在处有极值为10，求b的值； （2）对任意，在区间上单调递增，求b的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $