湖北武昌实验中学2025-2026学年高二下学期数学第一次月考模拟试卷

2025-2026学年高二数学下学期第一次月考模拟卷 （测试范围：选择性必修第二册） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。 1．设函数f（x）满足，则f'（1）＝（　D　） A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1 【解析】 ，则，解得f'（1）＝1． 2．已知函数f（x）＝x3﹣3x，曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为（　A　） A．9x﹣y﹣16＝0 B．9x+y﹣18＝0 C．6x﹣y﹣10＝0 D．6x+y﹣14＝0 【解析】 由题意知，f（2）＝2，f′（x）＝3x2﹣3，所以f′（2）＝9，所以曲线y＝f（x）在（2，f（2））处的切线方程为y﹣2＝9（x﹣2），即9x﹣y﹣16＝0． 3．正项等比数列{an}中，Sn是其前n项和，若a2＝a3+2a4，S2＝32，则S6＝（　D　） A．63 B．56 C．52 D．42 【解析】 正项等比数列{an}中，Sn是其前n项和，∵a2＝a3+2a4，∴2q2+q﹣1＝0，解得或q＝﹣1， ∵an＞0，∴q＞0，∴，∵S2＝32，∴，∴，则由等比数列前n项和公式得． 4．若点P是曲线y＝x2﹣lnx+1上任意一点，则点P到直线y＝x﹣2的最小距离为（　C　） A．1 B． C． D． 【解析】 y＝x2﹣lnx+1的导数为y′＝2x，设P（m，m2﹣lnm+1），m＞0，可得曲线y＝x2﹣lnx+1在P处的切线的斜率为k＝2m，当P处的切线与直线y＝x﹣2平行时，P到直线y＝x﹣2的距离最小．由k＝1，解得m＝1（舍去），即有切点P（1，2），可得P到直线y＝x﹣2的距离为d． 5．若函数f（x）＝lnx﹣ax2﹣x在区间存在单调递减区间，则a的取值范围是（　B　） A．[1，+∞） B．（1，+∞） C．（﹣∞，1） D．（﹣∞，1] 【解析】 ，依题意，f′（x）＜0，即﹣2ax2﹣x+1＜0在区间上有解，即，设，则a＞g（x）min，由二次函数的性质可知，，则a＞1． 6．已知数列{an}的首项a1＝1，且满足，则此数列的通项公式an等于（　C　） A．2n B．n（n+1） C． D． 【解析】 由数列{an}的首项a1＝1，且满足，可得，即，则，所以数列{2nan}是以2a1＝2为首项，2为公差的等差数列，所以2nan＝2+（n﹣1）×2＝2n，所以． 7．已知f（x）为R上的可导函数，其导函数为f′（x），且对于任意的x∈R，均有f（x）+f′（x）＞0，则（　A　） A．e﹣2025f（﹣2025）＜f（0），e2025f（2025）＞f（0） B．e﹣2025f（﹣2025）＜f（0），e2025f（2025）＜f（0） C．e﹣2025f（﹣2025）＞f（0），e2025f（2025）＞f（0） D．e﹣2025f（﹣2025）＞f（0），e2025f（2025）＜f（0） 【解析】 构造函数h（x）＝exf（x），则h′（x）＝exf（x）+exf′（x）＝ex[f（x）+f′（x）]＞0， 所以函数 h（x）在R上单调递增，因为﹣2025＜0＜2025，故h（﹣2025）＜h（0），h（2025）＞h（0），即e﹣2025f（﹣2025）＜e0f（0），即e2025f（2025）＞f（0）．即e﹣2025f（﹣2025）＜f（0）＜e2025f（2025）． 8．已知函数f（x）＝ae2x+（a﹣2）ex﹣x有两个零点，则a的取值范围为（　B　） A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（1， D．（1，e） 【解析】 由f（x）＝ae2x+（a﹣2）ex﹣x＝0得到，令，由题意可以看做是y＝a与g（x）有两个交点，，其中ex＞0，2ex+1＞0，﹣ex﹣x+1是单调递减的，并且x＝0时，﹣ex﹣x+1＝0，因此函数存在唯一零点，x＝0，当x＞0时，g′（x）＜0，x＜0时，g′（x）＞0，g（0）＝1，得如下函数图象： 显然当0＜a＜1时，y＝a与g（x）有两个交点。 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．数列{an}的前n项和为Sn，则下列说法正确的是（　ACD　） A．若an＝﹣2n+13，则数列{an}的前6项和S6最大 B．若等比数列{an}是递减数列，则公比q满足0＜q＜1 C．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2025＞0，则a1013＞0 D．已知{an}为等差数列，则数列也是等差数列 【解析】 若an＝﹣2n+13，则a6＞0，a7＜0，所以数列{an}的前6项和S6最大，A正确；等比数列为递减数列，但q＝2，B错误；等差数列{an}中，若S20252025a1013＞0，则a1013＞0，C正确；根据等差数列的性质可知，若{an}为等差数列，则数列也是等差数列，D正确． 10．已知函数f（x）＝x3﹣x+1，则（　ABC　） A．f（x）有两个极值点 B．f（x）有一个零点 C．点（0，1）是曲线y＝f（x）的对称中心 D．直线y＝2x是曲线y＝f（x）的切线 【解析】 f′（x）＝3x2﹣1，令f′（x）＞0得或，令f′（x）＜0得， 所以f（x）在，上单调递增，上单调递减，所以时取得极值，故A正确；因为，，f（﹣2）＝﹣5＜0，所以函数f（x）只在上有一个零点，即函数f（x）只有一个零点，故B正确；令h（x）＝x3﹣x，该函数的定义域为R，h（﹣x）＝（﹣x）3﹣（﹣x）＝﹣x3+x＝﹣h（x），则h（x）是奇函数，（0，0）是h（x）的对称中心，将h（x）的图象向上移动一个单位得到f（x）的图象，所以点（0，1）是曲线y＝f（x）的对称中心，故C正确；令f′（x）＝3x2﹣1＝2，可得x＝±1，又f（1）＝f（﹣1）＝1，当切点为（1，1）时，切线方程为y＝2x﹣1，当切点为（﹣1，1）时，切线方程为y＝2x+3，故D错误． 11．已知函数f（x）及其导函数f′（x）的定义域均为R，若f（x+2），f′（x+1）均为奇函数，则下列说法中一定正确的是（　ACD　） A．f（1）+f（3）＝0 B．f′（x）的图象关于点（2，0）对称 C．f′（x+4）＝f′（x） D． 【解析】 若f（x+2）为奇函数，则f（x+2）+f（﹣x+2）＝0，令x＝1，则有f（1）+f（3）＝0，A正确；若f（x+2）为奇函数，则f（x+2）+f（﹣x+2）＝0，求导可得f′（x+2）﹣f′（﹣x+2）＝0，即f′（x+2）＝f′（﹣x+2），则f′（x）的图象关于直线x＝2对称，B错误；f′（x+1）为奇函数，则f′（x+1）＝﹣f′（﹣x+1），变形可得f′（x+2）＝﹣f′（﹣x），又由f′（x+2）＝f′（﹣x+2），变形可得f′（x+4）＝f′（﹣x），综合可得：f′（x+4）＝﹣f′（x+2），则有f′（x+4）＝﹣f′（x+2）＝f′（x），故有f′（x+4）＝f′（x），C正确；由于f′（x+1）为奇函数，则f′（x）的图象关于点（1，0）对称，则f（x）的图象关于直线x＝1对称，则有f（x）＝f（2﹣x），又由f（x+2）为奇函数，则f（x）的图象点（2，0）对称，则有f（x）＝﹣f（4﹣x），则有f（4﹣x）＝﹣f（x），综合可得：f（4﹣x）＝﹣f（2﹣x），则有f（x+2）＝﹣f（x），故有f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），则有f（1）+f（3）＝0，f（2）+f（4）＝0，故f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝0，又由f（x+4）＝f（x），故f（k）＝[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]×506＝0，D正确． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12．若函数f（x）＝3x+sin2x，则f'（x）＝ 　 ．3xln3+2cos2x 【解析】 f'（x）＝（3x）′+（sin2x）′＝3xln3+（2x）′•cos2x＝3xln3+2cos2x． 13．若函数在（0，2）上有极大值，则实数a的取值范围是 　　 ．（2，+∞） 【解析】 函数，则，因为函数f（x）在（0，2）上有极大值， 所以f′（x）＝0在（0，2）内有解，且该解两侧导函数符号由正变负，所以在（0，2）内有解，记，由对勾函数单调性可知，g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增；且g（x）min＝g（1）＝2，所以a＞2，此时g（x）＝a在（0，1）有解，在解左侧满足f′（x）＞0，右侧f′（x）＜0，满足极大值条件，所以a＞2，即a的取值范围是（2，+∞）． 14．若存在实数a，对任意x∈[，e]，不等式lnx≤ax2+bx≤（e2﹣2e）lnx+e恒成立，则实数b的最小值为 　　 ．﹣1 【解析】 令f（x），则f′（x），故f（x）在x∈[，e]上为增函数，且f（1）＝0，在x∈[，e]时的图象如图所示，令g（x），则g′（x），且g′（）＝e2（2e2﹣5e）＞0，g′（e）0，所以存在x0使得g'（x0）＝0，当x∈[，x0]时，g'（x0）＞0，当x∈[x0，e]时，g'（x0）＜0，g（x）当x∈[，x0]为增函数，当x∈[x0，e]为减函数，当x∈[，e]时的图象如图所示，由题意得ax+b，如图所示，当x∈[，e]时，直线y＝ax+b恒位于y＝f（x）的图象上方，y＝g（x）的图象下方，b代表直线y＝ax+b在y轴上的截距，当直线变化时观察得当直线过M（e，e﹣1），且与曲线y相切时，b最小，设切点为（x0，），则，整理得（e﹣1）x0﹣（2x0﹣e）lnx0﹣e＝0，令h（x）＝（e﹣1）x2+x﹣（2x﹣e）lnx﹣e，则h（1）＝0，h′（x）＝2（e﹣1）x+1﹣2（1+lnx）2（e﹣1）x（1+2lnx），而当x∈[，e]时，2（e﹣1）x23，1+2lnx≤3，所以2（e﹣1）x（1+2lnx）＞0，所以当x∈[，e]时，h'（x）＞0，所以当x∈[，e]时，h（x）为增函数，所以h（x）有唯一的零点1，所以x0＝1，此时直线方程为y＝x﹣1，故bmin＝﹣1． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题13分）已知数列{an}满足a1＝1，an+1 （1）记bn＝a2n，写出b1，b2，并求数列{bn}的通项公式； （2）求{an}的前20项和． 【解析】 （1）因为a1＝1，an+1，以a2＝a1+1＝2，a3＝a2+2＝4，a4＝a3+1＝5， 所以b1＝a2＝2，b2＝a4＝5，bn﹣bn﹣1＝a2n﹣a2n﹣2＝a2n﹣a2n﹣1+a2n﹣1﹣a2n﹣2＝1+2＝3，n≥2，所以数列{bn}是以b1＝2为首项，以3为公差的等差数列，所以bn＝2+3（n﹣1）＝3n﹣1． （2）由（1）可得a2n＝3n﹣1，n∈N*，则a2n﹣1＝a2n﹣2+2＝3（n﹣1）﹣1+2＝3n﹣2，n≥2，当n＝1时，a1＝1也适合上式，所以a2n﹣1＝3n﹣2，n∈N*，所以数列{an}的奇数项和偶数项分别为等差数列，则{an}的前20项和为a1+a2+...+a20＝（a1+a3+…+a19）+（a2+a4+…+a20）＝103+10×23＝300． 16．（本小题15分）已知函数f（x）lnx，其中a∈R，且曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线yx． （1）求a的值； （2）求函数f（x）的单调区间与极值． 【解析】 （1）∵f（x）lnx，∴f′（x），∵曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线yx．∴f′（1）a﹣1＝﹣2，解得：a． （2）由（1）知：f（x）lnx，f′（x）（x＞0），令f′（x）＝0，解得x＝5，或x＝﹣1（舍），∵当x∈（0，5）时，f′（x）＜0，当x∈（5，+∞）时，f′（x）＞0，故函数f（x）的单调递增区间为（5，+∞）；单调递减区间为（0，5）；当x＝5时，函数取极小值﹣ln5． 17．（本小题15分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax2． （1）讨论f（x）的单调性； （2）当a＞0时，求f（x）在区间[1，2]上的最大值． 【解析】 （1）由题意得：f（x）定义域为（0，+∞），，①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；②当a＞0时，令f′（x）＝0得：，则f（x）在上单调递增，在上单调递减；综上所述：当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＞0时，f（x）在上单调递增，在上单调递减． （2）当a＞0时，由（1）知：①当，即时，f（x）在[1，2]上单调递减，则f（x）max＝f（1）＝﹣a；②当，即时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，∴；③当，即时，f（x）在[1，2]上单调递增，则f（x）max＝f（2）＝ln2﹣4a；综上所述：． 18．（本小题17分）已知数列{an}满足． （1）求{an}的通项公式； （2）在an和an+1之间插入n个数，使这n+2个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为dn，求数列的前n项和Tn． （3）若不等式对任意的n∈N*恒成立，求m的取值范围． 【解析】 （1）数列{an}满足，当n＝1时，a1＝1，当n≥2时，由，可得，两式相减可得．所以，上式对n＝1也成立，所以{an}的通项公式为． （2）在an和an+1之间插入n个数，使这n+2个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为dn，知，得，则，，相减可得， 所以． （3）得（﹣1）nm＜2+Tn，又因为，当n为奇数时，由对任意的n∈N*恒成立，得m＞（﹣2﹣Tn）max＝﹣2﹣T1，即，当n为偶数时，由对任意的n∈N*恒成立，得m＜（2+Tn）min＝2+T2，即，所以． 19.（本小题17分）已知函数f（x）＝（lnx﹣2）x2﹣mx，g（x）为f（x）的导函数． （1）当m＝0时，求曲线y＝g（x）在点（1，g（1））处的切线方程； （2）若f（x）的两个极值点分别为x1和x2，且x1＜x2． （i）求实数m的取值范围； （ii）证明：x2﹣x1＜m+2e． 【解析】 （1）因为函数f（x）＝（lnx﹣2）x2﹣mx，当m＝0时，f（x）＝（lnx﹣2）x2，又g（x）为f（x）的导函数，则g（x）＝f′（x）＝2xlnx﹣3x，g（1）＝﹣3，求导得g′（x）＝2lnx﹣1，则g′（1）＝﹣1，所以曲线g（x）在（1，g（1））处的切线方程为y+3＝﹣（x﹣1），即x+y+2＝0． （2）（i）g（x）＝f′（x）＝2xlnx﹣3x﹣m，且定义域x∈（0，+∞）．因为若f（x）有两个极值点，所以x1，x2是方程2xlnx﹣3x﹣m＝0的两个正根，即2xlnx﹣3x＝m，x（2lnx﹣3）＝m，令h（x）＝x（2lnx﹣3），则h′（x）＝2lnx﹣1，所以，当h′（x）＜0时，；当h′（x）＞0时，，因此，当时，h（x）单调递减；当时，h（x）单调递增，所以当时，h（x）有最小值，当2lnx﹣3＝0时，，又因为当时，2lnx﹣3＜0，当时，2lnx﹣3＞0，所以当时，h（x）＜0，当时，h（x）＞0，所以当时，h（x）＝x（2lnx﹣3）的图象与直线y＝m有两个不同的交点，所以实数m的取值范围为． （ii）证明：由（i）可知m＝h（x2），且h（x）＝0时，，又x1＜x2，所以， 令p（x2）＝h（x2）+2e﹣x2，p′（x2）＝2lnx2﹣2，p′（x2）单调递增，且p′（e）＝0， 所以时，时，p′（x2）＞0，所以p（x2）在单调递减，在单调递增，所以p（x2）≥p（e）＝2e﹣3e+2e﹣e＝0，即h（x2）+2e﹣x2≥0，h（x2）+2e≥x2，又因为，所以x2＞x2﹣x1，所以h（x2）+2e＞x2﹣x1，即x2﹣x1＜m+2e． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期第一次月考模拟卷 （测试范围：选择性必修第二册） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。 1．设函数f（x）满足，则f'（1）＝（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1 2．已知函数f（x）＝x3﹣3x，曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为（　　） A．9x﹣y﹣16＝0 B．9x+y﹣18＝0 C．6x﹣y﹣10＝0 D．6x+y﹣14＝0 3．正项等比数列{an}中，Sn是其前n项和，若a2＝a3+2a4，S2＝32，则S6＝（　　） A．63 B．56 C．52 D．42 4．若点P是曲线y＝x2﹣lnx+1上任意一点，则点P到直线y＝x﹣2的最小距离为（　　） A．1 B． C． D． 5．若函数f（x）＝lnx﹣ax2﹣x在区间存在单调递减区间，则a的取值范围是（　　） A．[1，+∞） B．（1，+∞） C．（﹣∞，1） D．（﹣∞，1] 6．已知数列{an}的首项a1＝1，且满足，则此数列的通项公式an等于（　　） A．2n B．n（n+1） C． D． 7．已知f（x）为R上的可导函数，其导函数为f′（x），且对于任意的x∈R，均有f（x）+f′（x）＞0，则（　　） A．e﹣2025f（﹣2025）＜f（0），e2025f（2025）＞f（0） B．e﹣2025f（﹣2025）＜f（0），e2025f（2025）＜f（0） C．e﹣2025f（﹣2025）＞f（0），e2025f（2025）＞f（0） D．e﹣2025f（﹣2025）＞f（0），e2025f（2025）＜f（0） 8．已知函数f（x）＝ae2x+（a﹣2）ex﹣x有两个零点，则a的取值范围为（　　） A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（1， D．（1，e） 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．数列{an}的前n项和为Sn，则下列说法正确的是（　　） A．若an＝﹣2n+13，则数列{an}的前6项和S6最大 B．若等比数列{an}是递减数列，则公比q满足0＜q＜1 C．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2025＞0，则a1013＞0 D．已知{an}为等差数列，则数列也是等差数列 10．已知函数f（x）＝x3﹣x+1，则（　　） A．f（x）有两个极值点 B．f（x）有一个零点 C．点（0，1）是曲线y＝f（x）的对称中心 D．直线y＝2x是曲线y＝f（x）的切线 11．已知函数f（x）及其导函数f′（x）的定义域均为R，若f（x+2），f′（x+1）均为奇函数，则下列说法中一定正确的是（　　） A．f（1）+f（3）＝0 B．f′（x）的图象关于点（2，0）对称 C．f′（x+4）＝f′（x） D． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12．若函数f（x）＝3x+sin2x，则f'（x）＝ 　 　 ． 13．若函数在（0，2）上有极大值，则实数a的取值范围是 　 　 ． 14．若存在实数a，对任意x∈[，e]，不等式lnx≤ax2+bx≤（e2﹣2e）lnx+e恒成立，则实数b的最小值为 　 　 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题13分）已知数列{an}满足a1＝1，an+1 （1）记bn＝a2n，写出b1，b2，并求数列{bn}的通项公式； （2）求{an}的前20项和． 16．（本小题15分）已知函数f（x）lnx，其中a∈R，且曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线yx． （1）求a的值； （2）求函数f（x）的单调区间与极值． 17．（本小题15分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax2． （1）讨论f（x）的单调性； （2）当a＞0时，求f（x）在区间[1，2]上的最大值． 18．（本小题17分）已知数列{an}满足． （1）求{an}的通项公式； （2）在an和an+1之间插入n个数，使这n+2个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为dn，求数列的前n项和Tn． （3）若不等式对任意的n∈N*恒成立，求m的取值范围． 19．（本小题17分）已知函数f（x）＝（lnx﹣2）x2﹣mx，g（x）为f（x）的导函数． （1）当m＝0时，求曲线y＝g（x）在点（1，g（1））处的切线方程； （2）若f（x）的两个极值点分别为x1和x2，且x1＜x2． （i）求实数m的取值范围； （ii）证明：x2﹣x1＜m+2e． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $