第4讲 基本不等式 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦基本不等式专题，依据高考评价体系梳理了概念理解、最值求解（配凑法、常数代换法、消元法）、恒成立问题及不等式链等核心考点，通过分析近五年真题明确最值求解占比60%的高频考点，归纳选择、填空等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于高考真题训练与应试技巧指导，如2022新课标Ⅱ卷多选真题解析，结合配凑法、常数代换法等突破策略，培养学生数学思维（推理、运算）和数学眼光（抽象）。特设易错点分析与方法总结，助力学生掌握得分技巧，教师可据此系统开展复习教学，提升备考效率。

第4讲　基本不等式 考点一　基本不等式的理解 [例1]　(多选)下列说法正确的是(　　) A.当x>1时,x+的最小值为2 B.函数y=sin x+,x∈,当且仅当x=时取到最小值 C.当x<0时,x+≤-2 D.函数y=的最大值为 CD [解析]　对于A,当x>1时,x+>2,故A错误; 对于B,y=sin x+≥2=,不是定值,故B错误; 对于C,当x<0时,x+=-≤-2, 当且仅当x=,即x=-1时取“=”,故C正确; 对于D,y=的定义域为[0,1],当x∈(0,1)时, y=≤ =, 当且仅当x=时取“=”,又当x=0或x=1时y=0,故D正确. 1.下列说法正确的是(　　) A.不等式ab≤与≤等号成立的条件是相同的 B.y=x+的最小值是2 C.已知x,y为正实数,且满足4x+3y=12,则xy的最大值为3 D.y=+的最小值为2 C 跟踪训练 解析:对于A,前者成立的条件是a,b∈R,后者成立的条件是a≥0,b≥0,故A错误.对于B,x可以是负数,故B错误.对于C,由已知,得12=4x+3y≥ 2,即12≥2,解得xy≤3(当且仅当4x=3y时取等号),故C正确.对于D,y=+≥2,当且仅当=,即x2+2=1时取等号,显然不能取到,故D错误. 考点二　利用基本不等式求最值 角度1　配凑法求最值 [例2]　当0<x<4时,则y=x(8-2x)的最大值为 .  [解析]　∵y=x(8-2x)=[2x·(8-2x)]≤=8, 当且仅当2x=8-2x,即x=2时,等号成立, ∴y=x(8-2x)的最大值为8. 8 配凑法求解最值,其实质就是先通过代数式变形配凑出和或积为常数的两项,然后利用基本不等式求解最值. 方法总结 角度2　常数代换法求最值 [例3]　(2026·江西南昌模拟)已知正数a,b满足8a+4b=ab,则8a+b的最小值为(　　) A.54　　　　　　　　　 B.56 C.72 D.81 [解析] ∵8a+4b=ab,a>0,b>0,∴+=1,∴8a+b=(8a+b)=× +40≥2+40=72,当且仅当=,即a=6,b=24时取等号. C 常数代换法求解最值的基本步骤 1.根据已知条件或其变形确定定值(常数). 2.把确定的定值(常数)变形为1. 3.把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和或积为定值的形式. 4.利用基本不等式求解最值. 方法总结 角度3　利用消元法求最值 [例4]　已知x>0,y>0,x+3y+xy=9,则x+3y的最小值为 .  6 [解析]　法一(换元消元法):由已知得x+3y=9-xy. 因为x>0,y>0,所以x+3y≥2, 所以3xy≤,当且仅当x=3y,即x=3,y=1时取等号,所以x+3y+≥9,即(x+3y)2+12(x+3y)-108≥0. 令x+3y=t,则t>0且t2+12t-108≥0, 解得t≥6,即x+3y的最小值为6. 法二(代入消元法):由x+3y+xy=9, 得x=, 所以x+3y=+3y====3(1+y)+-6≥2-6=12-6=6, 当且仅当3(1+y)=,即y=1,x=3时等号成立,所以x+3y的最小值为6. 当所求最值的代数式中的变量有多个时,通常考虑利用已知条件消去部分变量后,凑出“和为常数”或“积为常数”的形式,代入代数式转化为只含有一个变量的函数的最值. 方法总结 2.若0<x<,则y=x的最大值为(　　) A.1 B. C. D. 解析:因为0<x<,所以y=x==≤ ×=,当且仅当4x2=1-4x2,即x= 时,等号成立,则y=x . C 跟踪训练 3.(2026·河北邢台模拟)已知x>0,y>0,x+2y=2,则+的最小值为(　　) A.4 B.4 C.8 D.8 解析:x>0,y>0,x+2y=2, 则+=(+)(x+2y)= 8++ ≥ 8+2 =8, 当且仅当=,即y=,x=1时取等号,故+的最小值为8. C 4.若a>0,b>0,2ab+a+2b=3,则a+2b的最小值是(　　) A. B.1 C.2 D. C 解析:法一:因为a>0,b>0,3=2ab+a+2b≤+(a+2b),当且仅当a=2b 时取等号,所以(a+2b)2+4(a+2b)-12≥0,即(a+2b+6)(a+2b-2)≥0,解得a+2b≥2, 所以当a=2b=1 时,a+2b取得最小值2. 法二:因为2ab+a+2b=3,所以a=, 所以a+2b=-1++2b=+(2b+1)-2≥2-2=2,当且仅当=2b+1,即b=,a=1时取等号,故a+2b 的最小值为2. 法三:因为2ab+a+2b=3,所以(2b+1)(a+1)=4,所以a+2b=(2b+1)+(a+1)-2≥ 2-2=2,当且仅当2b+1=a+1,即b=,a=1时取等号,故a+2b 的最小值为2. 考点三　与基本不等式有关的恒(能)成立问题 [例5]　已知不等式(x+y)(+)≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为(　　) A.2 B.4 C.6 D.8 B [解析]　因为不等式(x+y)(+)≥9 对任意正实数x,y恒成立,所以(x+y)(+)的最小值大于或等于9.因为(x+y)(+)=1+a++≥a+2+1,当且仅当y=x 时等号成立,所以a+2+1≥9,所以≥2 或≤-4(舍去),所以a≥4,即正实数a 的最小值为4. ∀x∈M,使得f(x)≥a,等价于f(x)min≥a;∀x∈M,使得f(x)≤a,等价于f(x)max≤ a.∃x∈M,使得f(x)≥a,等价于f(x)max≥a;∃x∈M,使得f(x)≤a,等价于f(x)min ≤a. 方法总结 5.若两个正实数x,y满足+=1,且不等式x+<m2-3m有解,则实数m的取值范围是(　　) A.(-1,4) B.(-4,1) C.(-∞,-1)∪(4,+∞) D.(-∞,0)∪(3,+∞) C 跟踪训练 解析:因为两个正实数x,y满足+=1,所以x+=(x+)(+) =2++≥2+2=4, 当且仅当=,即x=2,y=8时取等号. 因为不等式x+<m2-3m有解,所以m2-3m大于x+的最小值,即m2-3m>4,解得m<-1或m>4, 即实数m的取值范围是(-∞,-1)∪(4,+∞). 教材延展 基本不等式链 知识背景 人教A版必修第一册P58T10,解决此问题时,得出新的不等关系≥(a>0,b>0,当且仅当a=b时等号成立). 结论拓展 若a>0,b>0,则≤≤≤(当且仅当a=b时等号成立).其中和分别叫作a,b的调和平均数和平方平均数.要根据题目需要选择合适的形式. [例]　(多选)(2022·新课标Ⅱ卷)对任意x,y,x2+y2-xy=1,则 (　　) A.x+y≤1 B.x+y≥-2 C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1 [解析]　由x2+y2-xy=1可变形为(x+y)2-1=3xy≤3()2, 解得-2≤x+y≤2, 当且仅当x=y=-1时,x+y=-2, 当且仅当x=y=1时,x+y=2,所以A错误,B正确; 由x2+y2-xy=1可变形为(x2+y2)-1=xy≤,即x2+y2≤2,当且仅当x=y=1时等号成立,故C正确,D错误. BC 利用基本不等式链可以使得某些判断数(式)的大小问题、最值问题的求解更加简便. 方法总结 (多选)设正实数a,b满足a+b=1,则( 　　) A.有最大值 B.+有最小值3 C.a2+b2有最小值 D.+有最大值 ACD 跟踪训练 解析:对于A,由基本不等式可得≤=,当且仅当a=b=时取“=”,A正确;对于B,由≤==,得+≥,当且仅当a+2b=2a+b,即a=b=时等号成立,B错误;对于C,由≥=,得a2+b2≥,当且仅当a=b=时等号成立,C正确;对于D,由≤=,得+≤,当且仅当a=b=时等号成立,D正确. $