4.5 三角函数的图象与性质讲义-2027届高三数学一轮复习

第五节　三角函数的图象与性质 知识清单 1.用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图 (1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是(0，0)，，________，________，(2π，0)． (2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是(0，1)，，________，________，(2π，1)． 2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z) 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R ________ 值域 ________ ________ R 周期性 ________ ________ ________ 奇偶性 ________ ________ ________ 递增 区间 ________ ________ ________ 递减 区间 ________ ________ 无 对称 中心 ________ ________ 对称轴 方程 ________ ________ 无 【常用结论】 1．对称性与周期性 (1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期． (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期． 2．若f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A，ω≠0)，则 (1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)． (2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)． 3．对于y＝tan x不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间(，kπ＋)(k∈Z)上单调递增． 自主诊断 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)y＝sin x在第一象限是增函数．(　　) (2)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数．(　　) (3)已知y＝k sin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.(　　) (4)y＝sin |x|是偶函数．(　　) 2．(多选)(人教A版必修一P200T4改编)函数y＝1＋cos x，x∈的图象与直线y＝t(t为常数)的交点的个数可能有(　　) A．0个　　B．1个 C．2个　　D．3个 3．(人教A版必修一P207T5改编)函数y＝3sin ，x∈[0，π]的单调递减区间为________． 4．(人教A版必修一P213练习T3改编)函数y＝tan 3x的定义域为________． 考教衔接·活用教材　探究式精练 收获一个“赢” 命题点一　三角函数的定义域、值域(或最值) 例1 (1)在[0，2π]内，函数f(x)＝＋ln 的定义域是(　　) A． B． C． D． (2)已知函数f(x)＝2cos ，则函数f(x)在 ≠化为关于t的二次函数求值域(最值)． 命题点二　三角函数的奇偶性、周期性与对称性 或令（ωx＋φ＝＋（k∈Z）） ②对于可化为f(x)＝A tan⁡(ωx＋φ)形式的函数， 命题点三　三角函数的单调性 [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 提示：请完成课时作业26 第五节　三角函数的图象与性质 必备知识·助学教材 知识清单 1．(1)(π，0)　(，－1)　(2)(π，－1)　 (，0) 2．{x}　[－1，1]　[－1，1]　2π　2π　π　奇函数　偶函数　奇函数　[－＋2kπ，＋2kπ]　[－π＋2kπ，2kπ]　 (－＋kπ，＋kπ)　[＋2kπ，＋2kπ]　[2kπ，π＋2kπ]　(kπ，0)　(kπ＋，0)　x＝kπ＋　x＝kπ 自主诊断 1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2. 解析：画出函数f(x)的图象，如图所示，当t＜0或t≥2时，没有交点；当t＝0或≤t＜2时，有1个交点；当0＜t＜时，有2个交点．故选ABC. 答案：ABC 3．解析：由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，解得kπ＋≤x≤kπ＋，当k＝0时，≤x≤，故此时函数的单调递减区间为[]. 答案：[] 4．解析：令3x≠＋kπ，k∈Z，解得x≠，k∈Z. 故函数的定义域为{x，k∈Z}． 答案：{xk∈Z} 考教衔接·活用教材 例1　解析：(1)由题意得解得所以≤x<，即在[0，2π]内，函数f(x)的定义域为[)．故选C. (2)因为x∈，所以－2x∈，则cos (－2x)∈，所以f(x)＝2cos (－2x)∈[－，2].故选B. (3)因为(sin x＋cos x)2＝1＋2sin x cos x，所以y＝sin x＋cos x－2[(sin x＋cos x)2－1].令t＝sin x＋cos x＝sin (x＋)，可知t∈[－]，则y＝－2t2＋t＋2，t∈[－].二次函数的图象开口向下，对称轴为t＝，当t＝时，ymax＝－2×()2＋＋2＝；当t＝－时，ymin＝－2×(－)2－＋2＝－2－，即最大值与最小值的和是. 答案：(1)C　(2)B　(3) 跟踪训练　解析：(1)要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0，利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示， 在[0，2π]上，满足sin x＝cos x的x为，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为{x≤x≤2kπ＋，k∈Z}． (2)函数f(x)＝cos 2x＋2sin x的定义域为R，则f(x)＝1－2sin2x＋2sinx＝－2(sin x－)2＋，而－1≤sin x≤1，因此当sin x＝时，f(x)max＝；当sin x＝－1时，f(x)min＝－3，所以函数f(x)＝cos 2x＋2sin x的值域是. 答案：(1){x|2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z}　(2) 例2　解析：(1)由题意得，2tan (a－)＝0，则a－＝(k∈Z)，故a＝(k∈Z)． 又a>0，则k＝0时，amin＝.故选B. (2)因为＜T＜π，所以＜＜π.又因为ω＞0，所以2＜ω＜3.因为y＝f(x)的图象关于点(，2)中心对称，所以b＝2，ω＋＝kπ，k∈Z，所以ω＝－k，k∈Z.令2＜k＜3，解得＜k＜.又因为k∈Z，所以k＝4，所以ω＝.所以f(x)＝sin (x＋)＋2，所以f()＝sin ()＋2＝1.故选A. 答案：(1)B　(2)A 跟踪训练　解析：(1)由题设φ＋＝kπ＋，k∈Z，则φ＝kπ＋，k∈Z，显然k＝0时φ＝，而φ＝－，－均不可能．故选C. (2)对于A，最小正周期T＝＝π，A正确；对于B，令x＝，解得f()＝3sin ＝≠0，所以函数f(x)的图象并不关于点(，0)对称，B错误；对于C，令x＝，解得f()＝3sin ()＝－3，此时函数f(x)取得最小值，故函数f(x)的图象关于直线x＝对称，C正确；对于D，f(x－)＝3sin [2(x－)＋]＝3sin 2x，设h(x)＝3sin 2x，x∈R，定义域关于原点对称，设任意x∈R，则－x∈R，则h(－x)＝3sin (－2x)＝－3sin 2x＝－h(x)，故h(x)是奇函数，即函数f(x－)为奇函数，D正确．故选ACD. 答案：(1)C　(2)ACD 例3　解析：(1)由a＝cos (－)＝cos ，b＝cos ＝cos (π＋)＝－cos <0，c＝sin ＝cos ()＝cos ，又0<<<，因为y＝cos x在(0，)上单调递减，所以cos >cos >0，即c>a>0>b，所以c>a>b.故选D. (2)由题意知y＝2sin (－2x＋)＝－2sin (2x－)，所以函数y＝－2sin (2x－)的单调递减区间就是y＝2sin (2x－)的单调递增区间．已知y＝sin x的单调递增区间为，k∈Z，得－＋2kπ≤2x－＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，当k＝0时，单调递增区间为；当k＝－1时，单调递增区间为.所以y＝2sin (2x－)在[－π，0]上的单调递增区间为和，即y＝2sin (－2x＋)在[－π，0]上的单调递减区间为和. 答案：(1)D　(2)和 跟踪训练　解析：(1)因为b＝(sin 15°cos 45°＋cos 15°sin 45°)＝sin 60°，c＝(sin 45°cos 31°－cos 45°sin 31°)＝sin 14°.因为sin 14°<sin 59°<sin 60°，所以c<a<b.故选B. (2)由2kπ≤2x＋≤2kπ＋π，k∈Z，可得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，则函数f(x)＝cos (2x＋)的单调递减区间为，k∈Z，由－π＋2kπ≤2x＋≤2kπ，k∈Z，可得kπ－≤x≤kπ－，k∈Z，则函数f(x)＝cos (2x＋)的单调递增区间为，k∈Z，f(x)在(－，－)上单调递增，在(－)上单调递减，故A正确，BCD错误．故选A. 答案：(1)B　(2)A 学科网（北京）股份有限公司 $