精品解析：北京市顺义区第八中学2025-2026学年第二学期七年级数学期中试卷

顺义八中2025-2026学年第二学期七年级数学期中试卷 一、选择题：（每题2分，共20分） 1. 2024北京月季文化节正式开启，11个展区共展示超3000个品种的月季．传统月季花粉为单粒花粉，呈长球形或超长球形，大小为．其中，把用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，其中，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，根据科学记数法的方法进行计算即可． 【详解】解：， 故选：C． 2. 如果，那么下列不等关系一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查不等式的基本性质，解答关键是熟知不等式的基本性质①不等式基本性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；②不等式基本性质2：不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变； ③不等式基本性质3：不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向变．利用不等式的基本性质逐项判断即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 故选项A不符合题意； ∵， ∴， 故选项B不符合题意； ∵， 当，， 当，， 故选项C不符合题意； ∵， ∴， 故选项D符合题意； 故选：D． 3. 已知二元一次方程，用含x的代数式表示y，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查代入消元法解二元一次方程的相关计算，先把x从左边移到右边，然后把y的系数化为1即可． 【详解】解：， ， ， 故选D． 4. 下面运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同类项定义、同底数幂乘法、积的乘方等运算法则逐一判断选项． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，A错误； B、，B错误； C、，C错误； D、，D正确． 5. 如果是方程的解，是正整数，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程的解的定义，将代入方程，可得，因是正整数，故可知的值，从而求出的最小值． 【详解】解： 将代入方程， 得：， 又是正整数， 或或， 当时，， 当时，， 当时，， 的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题主要考查二元一次方程的解，根据题意求出二元一次方程的解是解题关键． 6. 已知是不等式的解，b的值可以是（ ） A. 4 B. 2 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】把x的值代入不等式，求出b的取值范围即可得解． 【详解】解：∵是不等式的解， ∴， 解得， 所以，选项A符合题意， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了不等式的解和解不等式，熟练掌握不等式的解是解答此题的关键． 7. 下列式子从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据因式分解的定义，即可求解． 【详解】解：A、，不属于因式分解，故本选项不符合题意； B、，不属于因式分解，故本选项不符合题意； C、，不属于因式分解，故本选项不符合题意； D、，属于因式分解，故本选项符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，熟练掌握比一个多项式化为几个整式乘积的形式叫做因式分解（或分解因式）是解题的关键． 8. 若 ，则 的值是（ ） A. 6 B. 72 C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】将所求式子利用幂的运算法则变形，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 9. 4张长为a，宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为，若，则a，b满足的关系式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先用含有a、b的代数式分别表示，，再根据，整理可得结论． 【详解】解：由题意可得：； ； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了整式的混合运算的应用，数形结合并熟练运用完全平方公式和平方差公式是解题的关键． 10. 定义一种运算：，则不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】分2x≥x+3和2x<x+3两种情况，根据新定义列出不等式组分别求解可得． 【详解】解：由新定义得或， 解得x≥3或-2<x<3． 故选∶ C． 【点睛】此题考查的是新定义，一元一次不等式组的解法，求不等式组的解集，应遵循以下原则∶同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了，熟练求解一元一次不等式组是解题的关键． 二、填空题：（每题2分，共20分） 11. 分解因式：____； ___． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】解：； ． 12. 若是关于和的二元一次方程的一个解，则的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程解的问题，将二元一次方程的解代入方程求解一元一次方程即． 【详解】解：把代入方程中得：， 解得：． 故答案为：2． 13. 当x 时， 的值是非负数． 【答案】 【解析】 【分析】根据非负数的定义列出一元一次不等式，利用不等式的性质求解即可． 【详解】解：根据题意得 移项得 不等式两边同时除以，不等号方向改变，得 ． 14. 若，，则 ________，_______． 【答案】 ①. 13 ②. 1 【解析】 【分析】本题利用完全平方公式的变形，将所求代数式用已知的和表示，再代入已知数值计算即可． 【详解】解：∵ ∴ 将，代入得： ； ∴． 15. 若 ，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值与偶次幂的非负性，可知两个非负代数式的和为时，每个代数式的值均为，据此列出二元一次方程组，求解得到与的值，再计算即可. 【详解】解：， ，且 ， ， 解得， . 16. 如果关于的方程的解为负数，那么的取值范围是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式，先解方程得出，再结合题意得出，解不等式即可得出答案． 【详解】解： ， ， ∵关于的方程的解为负数， ， 解得：， 故答案为：． 17. 如果 ，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题利用完全平方公式，将所求代数式先平方，展开后代入已知条件计算即可. 【详解】解：， ∵ ，， ∴ ， ∴ . 18. 计算： ____． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 . 19. 已知 ，则 M 与 N 的大小关系为 M___N．（填>，<或=） 【答案】 【解析】 【分析】利用作差法比较大小即可. 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴，即. 20. 幻方是一种中国传统的数字游戏，游戏规则如下：将数字填入正方形的格子中，使每行、每列和每条对角线上的数字和都相等．如图是填写了部分数字的幻方，根据幻方的游戏规则，其中的值为_______． 【答案】 13 【解析】 【详解】解：由题意，每行、每列和每条对角线上的数字和为 ， ∴幻方中间位置的数字为 ， ∴左上角第一个数字为 ， ∴ ， ∴. 三、解答题：（共60分） 21. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答． 【详解】解：原式 【点睛】本题考查了负整数指数幂，绝对值，有理数的乘方，有理数的加减混合运算，零指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键． 22. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式． 23. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 24. 计算． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方差公式和完全平方公式计算即可． 【详解】解： = = = 【点睛】此题考查的是整式的混合运算，掌握平方差公式和完全平方公式是解决此题的关键． 25. 解不等式组：，并写出它的所有非负整数解． 【答案】不等式组的所有非负整数解为：0，1，2，3． 【解析】 【分析】先解不等式组求出x的取值范围，然后找出符合范围的非负整数解． 【详解】解： 由不等式①得：x≥－2， 由不等式②得：，， ∴不等式组的解集为：， ∴x的非负整数解为：0，1，2，3． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组及求一元一次不等式组的非负整数解，求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 26. 解方程组： 【答案】 【解析】 【分析】利用加减消元法，进行计算即可解答． 【详解】解：， ①得： ③， ②③得： ， 把代入①得： ， 解得：， 原方程组的解为：． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键． 27. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】 ， 【解析】 【详解】解：原式   ；  ∵，， ∴原式 ． 28. 已知 ，求代数式 的值． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵ ， ∴， ∴  . 29. 某工厂在甲地购买了一批原材料共120吨，运往工厂车间进行加工生产．工厂有小、中、大三种车型可供运输使用，每种车的运载量和运费如下表（假设每辆车均满载）. 小 中 大 运载量/（吨/辆） 5 8 10 运费/（元/辆） 400 500 600 （1）若这批物资用小，中两种车型来运送，需运费8200元，则需小、中两种车型的车各几辆? （2）工厂决定用小、中，大三种车型，共15辆车同时运送这批原材料﹐请你写出所有的符合条件的用车方案，用车方案中运费最少是多少元?（小、中，大三种车均要参与运送） 【答案】（1）需小型车8辆，中型车10辆 （2）方案一：小种车型4辆，中型车5辆，大型车6辆；方案二：小种车型2辆，中型车10辆，大型车3辆；方案二运费最省，其费用为元. 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用等知识点，弄清量之间的关系、正确列出方程是解题的关键. （1）设需小型车辆，中型车y辆，然后根据题意列出方程组求解即可； （2）设需小型车辆，中型车辆，则大型车辆，然后根据题意可得，即；再根据均为正整数，确定a、b、c的取值，再确定方案，最后求出各方案的运费比较即可. 【小问1详解】 解：设需小型车辆，中型车y辆， 根据题意得：， 解得：. 答：需小型车8辆，中型车10辆. 【小问2详解】 解：设需小型车辆，中型车辆，则大型车辆， 根据题意得：，整理得：，则， 均为正整数， ∴或， 所以有两种运送方案：方案一：小种车型4辆，中型车5辆，大型车6辆，需运费：元； 方案二：小种车型2辆，中型车10辆，大型车3辆，需运费： 元； ∵， ∴方案二运费最省，其费用为元.. 30. 要使方程组有正整数解，求整数的值． 【答案】 【解析】 【分析】先通过消元用含的代数式表示出，再根据方程组有正整数解的要求，得到为正整数，从而推出是的正约数，即可求出整数的值. 【详解】解：， 由②得 ， 把代入①得 ， 整理得  ， ∴， ∵方程组有正整数解，为整数，， 是正整数时，即可满足题意， ∴是的正约数， ∴， ∴. 31. ·【较难】阅读理解： 对于二次三项式 ，能直接用公式法进行因式分解，得到 ，但对于二次三项式，就不能直接用公式法了． 我们可以采用这样的方法：在二次三项式中先加上一项 ，使其成为完全平方式，再减去  这项，使整个式子的值不变，于是： 像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法． （1）问题解决：请用上述方法将二次三项式 分解因式． （2）拓展应用：二次三项式有最小值或是最大值吗？如果有，请你求出来并说明理由． 【答案】（1） （2）有最小值1，理由见解析 【解析】 【分析】（1）将添加，再减去，凑出一个完全平方式，再利用平方差公式分解因式； （2）将添加4，再减去4，凑成完全平方式，得，而，因此当时，有最小值，为． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， ∵， ∴ ， ∴当时，有最小值，为． 32. 若关于的一个一元一次不等式组的解集为（、为常数且），则称为这个不等式组的解集中点．如果一个一元一次方程的解与一个一元一次不等式组的解集中点相等，则称这个一元一次方程为此一元一次不等式组的关联方程． （1）在方程①，②，③中，不等式组的关联方程是_______．（填序号） （2）已知不等式组，请写出这个不等式组的一个关联方程_______． （3）若关于的不等式组的解集中点大于方程的解且小于方程的解，求的取值范围． 【答案】（1）①③； （2）x=-2 （3）0＜m＜1． 【解析】 【分析】（1）先分别求出三个方程的解和不等式组的解集，再根据关联方程的定义即可判断； （2）先求出不等式组的解集，根据关联方程的定义即可求解； （3）先求出不等式组的解集和两个一元一次方程的解，再根据题意列出不等式组，求解即可． 【小问1详解】 解：（1）解不等式组得：1＜x＜2，而， 解方程①得：x=，故方程①是不等式组的关联方程； 解方程②得：x=-2，故方程②不是不等式组的关联方程； 解方程③得：x=，故方程③是不等式组的关联方程； 故答案为：①③； 【小问2详解】 解不等式组得：-3＜x＜-1，而， ∴这个不等式组的一个关联方程可以是x=-2（答案不唯一）． 故答案为：x=-2（答案不唯一）； 【小问3详解】 解不等式组得：m＜x＜m+4， 解集中点为=m+2． 解方程3（x+）=2x+3得：x=2， 解方程2x+6=4x得：x=3， ∵关于x的不等式组的解集中点大于方程3（x+）=2x+3的解且小于方程2x+6=4x的解， ∴， 解得：0＜m＜1， 即m的取值范围是 0＜m＜1． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式（组），解一元一次方程，理解材料中不等式组的“关联方程”是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 顺义八中2025-2026学年第二学期七年级数学期中试卷 一、选择题：（每题2分，共20分） 1. 2024北京月季文化节正式开启，11个展区共展示超3000个品种的月季．传统月季花粉为单粒花粉，呈长球形或超长球形，大小为．其中，把用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 如果，那么下列不等关系一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知二元一次方程，用含x的代数式表示y，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下面运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如果是方程的解，是正整数，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 6. 已知是不等式的解，b的值可以是（ ） A. 4 B. 2 C. 0 D. 7. 下列式子从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 8. 若 ，则 的值是（ ） A. 6 B. 72 C. 1 D. 9. 4张长为a，宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为，若，则a，b满足的关系式是（ ） A. B. C. D. 10. 定义一种运算：，则不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二、填空题：（每题2分，共20分） 11. 分解因式：____； ___． 12. 若是关于和的二元一次方程的一个解，则的值为______． 13. 当x 时， 的值是非负数． 14. 若，，则 ________，_______． 15. 若 ，则________． 16. 如果关于的方程的解为负数，那么的取值范围是__________． 17. 如果 ，则的值为________． 18. 计算： ____． 19. 已知 ，则 M 与 N 的大小关系为 M___N．（填>，<或=） 20. 幻方是一种中国传统的数字游戏，游戏规则如下：将数字填入正方形的格子中，使每行、每列和每条对角线上的数字和都相等．如图是填写了部分数字的幻方，根据幻方的游戏规则，其中的值为_______． 三、解答题：（共60分） 21. 计算：． 22. 计算：． 23. 计算： 24. 计算． 25. 解不等式组：，并写出它的所有非负整数解． 26. 解方程组： 27. 先化简，再求值：，其中，． 28. 已知 ，求代数式 的值． 29. 某工厂在甲地购买了一批原材料共120吨，运往工厂车间进行加工生产．工厂有小、中、大三种车型可供运输使用，每种车的运载量和运费如下表（假设每辆车均满载）. 小 中 大 运载量/（吨/辆） 5 8 10 运费/（元/辆） 400 500 600 （1）若这批物资用小，中两种车型来运送，需运费8200元，则需小、中两种车型的车各几辆? （2）工厂决定用小、中，大三种车型，共15辆车同时运送这批原材料﹐请你写出所有的符合条件的用车方案，用车方案中运费最少是多少元?（小、中，大三种车均要参与运送） 30. 要使方程组有正整数解，求整数的值． 31. ·【较难】阅读理解： 对于二次三项式 ，能直接用公式法进行因式分解，得到 ，但对于二次三项式，就不能直接用公式法了． 我们可以采用这样的方法：在二次三项式中先加上一项 ，使其成为完全平方式，再减去  这项，使整个式子的值不变，于是： 像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法． （1）问题解决：请用上述方法将二次三项式 分解因式． （2）拓展应用：二次三项式有最小值或是最大值吗？如果有，请你求出来并说明理由． 32. 若关于的一个一元一次不等式组的解集为（、为常数且），则称为这个不等式组的解集中点．如果一个一元一次方程的解与一个一元一次不等式组的解集中点相等，则称这个一元一次方程为此一元一次不等式组的关联方程． （1）在方程①，②，③中，不等式组的关联方程是_______．（填序号） （2）已知不等式组，请写出这个不等式组的一个关联方程_______． （3）若关于的不等式组的解集中点大于方程的解且小于方程的解，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $