精品解析：2026年山东省德州市夏津县中考二模数学试题

2026年九年级第二次模拟检测 数学·试题 一、选择题：本大题共10小题，共40分． 1. 的相反数是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，直接求解即可． 【详解】解：与只有符号不同的数为， 的相反数是． 2. 下列图案中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，对各选项分析判断，即可得解． 【详解】解：A、图形是中心对称图形，不符合题意； B、图形是中心对称图形，不符合题意； C、图形是中心对称图形，不符合题意； D、图形不是中心对称图形，符合题意． 3. 如图所示的几何体由一个圆柱体和一个长方体组成，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据主视图是从正面看得到的视图，可得答案． 【详解】解：从正面看下面是一个比较长的矩形，上面是一个比较窄的矩形． 故选：B． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是正视图，注意圆柱的主视图是矩形． 4. 如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点，，，，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由量角器读出和的度数，计算出，再由圆周角定理求解即可． 【详解】解：如图所示： ， 则， ， ． 5. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由乘方的定义和乘法的意义，分别化简分子分母即可得到结果． 【详解】解：根据乘方的定义，个相乘可表示为；根据乘法的意义，个相加可表示为， ∴． 6. 实验室的试管架上放着3支无标签的试管，分别装有氢氧化钠溶液、稀盐酸和氢氧化钾溶液．已知酚酞溶液遇碱性溶液会变红，遇酸性溶液不变色，氢氧化钠和氢氧化钾溶液呈碱性，稀盐酸呈酸性．小明同学从这3支试管中随机挑选2支，分别滴入酚酞溶液，则两支试管中溶液同时变红的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题用枚举法列出所有随机挑选的等可能结果，再找出满足两支试管同时变红的结果数，根据概率公式计算即可． 【详解】我们将3支试管中的溶液分别标记为：（氢氧化钠，碱性），（氢氧化钾，碱性），（稀盐酸，酸性）， ∵从3支中随机挑选2支，所有等可能的结果为：，，，共3种， 其中满足两支同时变红（即均为碱性）的结果只有这1种， ∴根据概率公式可得，所求概率，故选B． 7. 已知点、在反比例函数的图像上，若，则的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的图象性质，解题关键是掌握反比例函数图象与系数的关系，掌握反比例函数的性质． 首先将，代入求出，，然后根据得到，然后分两种情况求解即可． 【详解】解：∵点、在反比例函数的图像上， ∴，， ∵， ∴ ∴当时，解得， ∴； 当时，解得； 综上所述，则的取值范围是或． 故选：A． 8. 《九章算术》中关于“盈不足术”的记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六，问人数几何？”其译文为：有几个人去买鸡，每人出9钱，余11钱；每人出6钱，差16钱．问有多少个人？小温同学根据题意，列出方程组，则方程组中表示的是（ ） A. 鸡的数量 B. 鸡的总价 C. 每个人出的钱数 D. 买鸡的人数 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，理清题中各量的关系，根据方程对应的等量关系即可判断的意义． 【详解】解：由题意可知，9是每人出的钱数，11是多出的钱数，16是还差的钱数， ∵总出钱数人数每人出的钱数， 第一个方程表示“每人出9钱，余11钱”， 即所有人出的总钱数比鸡的总价多11钱， ∴9乘得到总出钱数， 因此表示买鸡的人数， 第二个方程也符合“每人出6钱，差16钱”的等量关系， 故表示买鸡的人数． 9. 为改善生态环境、防治水土流失，人们通常会在斜坡或河岸种植树木、灌木等固土植物，利用其根系固结土壤、减缓径流，从而起到涵养水源、保持水土的作用．如图，斜坡上有一棵树，已知树高米，斜坡的坡度为，小明在距离点2米远的处测得树顶点的仰角为，树，斜坡的剖面，点在同一平面上，树与地面垂直，则树根部到坡脚的距离为（ ） （参考数据：，，） A. 10米 B. 12米 C. 13.5米 D. 11米 【答案】A 【解析】 【分析】延长交于点H则，已知斜坡的坡度为则求出即可得出再用勾股定理即可即可求出；求可设长为米再通过三角函数列式计算即可． 【详解】解：如图所示，延长交于点，则； 设长为米， 由斜坡的坡度为可得， ，得， （米）， （米）， 在中， ， 即， ， 则（米）， 在直角中， （米）． 10. 若，满足，，则代数式的值可以是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】先利用加减消元法解二元一次方程组，将，用含参数的代数式表示，代入所求代数式化简，根据平方的非负性判断即可得到结果． 【详解】解：， 得 ， 得 ， 解得：， 将代入②， 得 ， 整理得 ， 解得：， ∴ ， ， ， 因此代数式的值可以为． 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题：本大题共5小题，共20分，只要求填写最后结果，每小题填对4分． 11. 代数式的值为0，则______． 【答案】0 【解析】 【分析】本题根据分式值为零的条件求解，分式值为零需满足分子为零且分母不为零． 【详解】解：分式的值为， ∴， 解， 得， 由得， 综上可得． 12. 如图，把绕点O按逆时针方向旋转后得到，若，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据旋转的性质得到，，则由角之间的关系可得，再根据平行线的性质推出，最后利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵将绕点按逆时针方向旋转后得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 13. 不等式组的解集为，请你写出一个符合条件的的值_____． 【答案】2（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据一元一次不等式组解集的确定法则“同大取大”，推导得到的取值范围，再写出一个符合条件的的值即可． 【详解】根据题意可得， 取满足的一个值即可， 故答案为（答案不唯一）． 14. 如图，的顶点，点在轴的正半轴上，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，交于点．②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内相交于点．③画射线，交于点，则点的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据作图判断平分，再结合平行四边形的性质证明，轴，进而设，结合勾股定理，利用建立方程，解方程即可求解． 【详解】解：根据作图可知：平分， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∵的顶点，点在轴的正半轴上， ∴轴，即轴， ∵， ∴设， ∴，， ∵， ∴，解得 ∴． 15. 如图，中，，，边上的高，点、、分别在边、、上，且四边形为正方形，点、、分别在边、、上，且四边形为正方形，按此规律操作下去，则线段的长度为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了图形类规律探索，正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及等腰三角形的性质等知识点，根据题意确定三角形的相似比规律是解答本题的关键．先求得、、的长，设，则，，再根据正方形性质可得，所以，然后求得和的相似比，同理求得和的相似比，然后总结规律即可解答． 【详解】解：边上的高，， ， ， ， ， 设，则，， 四边形是正方形， ， ， ，即，解得， ，， 即和的相似比为， 同理：和的相似比为， 和的相似比， 依次类推，和的相似比为， ，即， ． 故答案为：． 三、解答题：本大题共8小题，共90分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 按要求完成下列计算： （1）计算：； （2）化简求值：，其中． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）先分别计算负整数指数幂、特殊角的三角函数值、去绝对值，再计算有理数乘法和去括号，最后由实数加减混合运算求解即可； （2）先对分式的分子分母因式分解，并同时计算括号内分式加法运算，再约分化简，最后将代入化简后的式子，由实数加减混合运算计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， 当时，原式． 17. 为积极倡导中学生“健康人生、绿色无毒”的生活理念，学校举办“禁毒知识”竞赛．初赛有名选手参加，每位选手需要参加笔试、抢答和演讲三项比赛，每项成绩均按百分制打分．评委会将笔试、抢答和演讲三项成绩按比例计算出每人的总评成绩作为最终的初赛成绩，并对成绩进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： ①名选手初赛成绩的频数分布直方图如图所示：（数据分组，每组包含最小值，不含最大值） ②其中总评在分的选手成绩如下： ，，，，，，，， ，，，． ③初赛中某班的选手小文和小武三项成绩如下： 笔试成绩 抢答成绩 演讲成绩 总评成绩 小文 小武 根据以上信息，回答下列问题： （1）将“名选手初赛成绩的频数分布直方图”补充完整； （2）名选手初赛成绩的中位数为________分； （3）计算上表中的值； （4）如果学校决定根据初赛总评成绩择优选拔名学生参加决赛．试分析小文和小武二人中，谁能进入决赛，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3） （4）小文， 由（3）知小文总评成绩为，小武的总评成绩为， ∵由（2）知，名选手初赛成绩的中位数为分， ， ∵根据初赛总评成绩择优选拔名学生参加决赛，而小文的成绩大于成绩中位数， ∴小文能进入决赛． 【解析】 【分析】（1）用总人数减去已知各组频数，算出分这一组的频数，补全直方图； （2）个数据的中位数是第个，先通过累计频数确定它落在分组，再取该组排序后的第一个数即可； （3）根据笔试、抢答、演讲的权重，用加权平均数公式算出小武的总评成绩； （4）选拔前名，以中位数分为界，分别将小文和小武的成绩与中位数成绩进行比较，进而判断谁能进入决赛． 【小问1详解】 解：已知共有名选手的成绩， 根据频数分布直方图可知，分这一组的频数为． 【小问2详解】 解：根据题意可知，名选手初赛成绩的中位数为第名选手的成绩， 根据频数分布直方图可知，前三组的人数和为人， 则第名选手的成绩为分组的第一位选手的成绩， 将分组的成绩排序如下： ，，，，，，，，，，，， 故该分组第一位选手的成绩为，即名选手初赛成绩的中位数为． 【小问3详解】 解：根据题意可得，． 【小问4详解】 略 18. 如图，四边形是平行四边形，、相交于点，为的中点，连接，过点作于点，过点作于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若四边形是菱形，，，求长． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ， ∵点是的中点， ． ， ， 于点于点， ， 四边形是平行四边形 ， ， ∴四边形是矩形； （2）4.8 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质可知，根据已知可得，所以，于点F，于点G，则，先证明四边形是平行四边形，再证是直角即可； （2）根据菱形的性质可知，根据已知可求出，然后利用等面积法求出，利用矩形的性质即可求出的长． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ，，，， ，， ，， 在中，， ， 即， ． ∵四边形是矩形， ∴． 19. 如图，是的直径；点D在直径上（D与不重合）；且；连接；与交于点F；在上取一点E；使与相切． （1）求证：； （2）若D是的中点，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据垂直定义可得，从而可得，然后利用等腰三角形的性质可得，由切线的性质得，继而得到，即可解答； （2）连接，根据已知可得，，从而在中，利用勾股定理求出，然后利用直径所对的圆周角是直角可得，从而可证，进而利用相似三角形的性质可求出的长． 【小问1详解】 证明：连接， ， ， ， 是的半径，是的切线， ∴， ∴ ， ， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：连接， ， ， 是的中点， ， ， 在中，， ， 是的直径， ， ， ∵， ， ， ， ． 20. 某商店销售A，B两种水果．A水果标价14元／千克，B水果标价18元／千克． （1）小明陪妈妈在这家商店按标价买了A，B两种水果共3千克，合计付款46元．这两种水果各买了多少千克？ （2）妈妈让小明再到这家商店买两种水果，要求B水果比A水果多买1千克，合计付款不超过50元．设小明买A水果千克． ①若这两种水果按标价出售，求的取值范围； ②小明到这家商店后，发现两种水果正在进行优惠活动：A水果打七五折；一次购买B水果不超过1千克不优惠，超过1千克后，超过1千克的部分打七五折．（注：“打七五折”指按标价的出售．）若小明合计付款48元，求的值． 【答案】（1）购买A种水果2千克，B种水果1千克 （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用； （1）设购买A种水果x千克，B种水果y千克，根据在这家商店按标价买了A，B两种水果共3千克，合计付款46元．再建立方程组解题即可； （2）①设小明买A水果千克，则B种水果购买了千克，根据要求B水果比A水果多买1千克，合计付款不超过50元，再建立不等式求解即可；②设小明买A水果千克，则B种水果购买了千克，根据不同的优惠方式可得，再解方程即可. 【小问1详解】 解：设购买A种水果x千克，B种水果y千克， 依题意得：， 解得：． 答：购买A种水果2千克，B种水果1千克． 【小问2详解】 解：①设小明买A水果千克，则B种水果购买了千克， ∴， 解得：， ∴结合实际可得：； ②设小明买A水果千克，则B种水果购买了千克， ∴， 解得：. 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与，轴分别相交于点，．且． （1）分别求这两个函数的表达式； （2）以点为圆心，线段的长为半径作弧与轴正半轴相交于点，连接，．求的面积； （3）根据函数的图象直接写出关于的不等式的解集． 【答案】（1）一次函数解析式为，反比例函数解析式为 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，解直角三角形： （1）先求出得到，再解直角三角形得到，则，据此利用待定系数法求出一次函数解析式，进而求出点A的坐标，再把点A坐标代入反比例函数解析式中求出对应的反比例函数解析式即可； （2）先求出点B的坐标，再利用勾股定理建立方程求出点E的坐标，最后根据，求解面积即可； （3）利用函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【小问1详解】 解：在中，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴， 把代入中得：，解得， ∴一次函数解析式为， 在中，当时，， ∴， 把代入中得：，解得， ∴反比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：联立 解得或， ∴； 设， 由题意得，， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴， ∴ ； 【小问3详解】 解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围为或， ∴关于的不等式的解集为或． 22. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上． （1）求点B的坐标（用含的式子表示）； （2）求抛物线的对称轴； （3）已知点，．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围． 【答案】（1）点B的坐标为；（2）对称轴为直线;（3）当时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点. 【解析】 【分析】（1）向右平移2个单位长度，得到点； （2）A与B关于对称轴x=1对称； （3））①a＞0时，当x=2时，，当时，x=0或x=2，所以函数与AB无交点；②a＜0时，当y=2时，，或当时，； 【详解】解：（1）∵抛物线与轴交于点A，∴令，得， ∴点A的坐标为，∵点A向右平移两个单位长度，得到点B， ∴点B的坐标为； （2）∵抛物线过点和点，由对称性可得，抛物线对称轴为 直线，故对称轴为直线 （3）∵对称轴x=1， ∴b-2a，， ①a＞0时， 当x=2时，，当x=0或x=2， ∴函数与AB无交点； ②a＜0时， 当y=2时，， 或当时，； ∴当时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点； （3）①当时，则，分析图象可得：根据抛物线的对称性，抛物线不可能同时经过点A和点P；也不可能同时经过点B和点Q，所以，此时线段PQ与抛物线没有交点. ②当时，则. 分析图象可得：根据抛物线的对称性，抛物线不可能同时经过点A和点P；但当点Q在点B上方或与点B重合时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点，此时即 综上所述，当时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点. 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，数形结合讨论交点是解题的关键． 23. 综合与实践 图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，在研究三角形的旋转过程中，发现下列问题． 【观察猜想】 （1）如图1，在中，，，点是平面内不与点，重合的任意一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，，可得，，则直线与直线相交所成的较小角的度数是_____； 【类比探究】 （2）如图2，点是线段上的动点，分别以，为边在的同侧作正方形与正方形，连接分别交线段，于点，． ①求的度数； ②连接交于点，若，求； 【拓展延伸】 （3）如图3，中，，，，分别是，的中点，连接．如图4，将绕着点顺时针旋转角度，交于点，连接，射线交于点．若射线将分成的两个角满足，直接写出的值． 【答案】（1） （2）①；② （3） 【解析】 【分析】（1）延长，交于点，先求出，，再求出的度数，然后利用三角形的内角和定理求解即可； （2）①连接，，交于点，先得出，则，再利用三角形的内角和定理求解即可； ②先得出，再得出，根据相似三角形的性质求解即可； （3）先得出，结合直角三角形的性质和勾股定理求出的长，再得出，得出的长，然后得出，根据相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：如图，延长，交于点， ∵在中，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴ ， 即直线与直线相交所成的较小角的度数是． 【小问2详解】 解：①如图，连接，，交于点， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴ ． ②补充图形如下： 是正方形的对角线， ∴，， 由（2）①可知，， ∴， ∴ ， 又∵ ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：如图，连接， ∵在中，，， ∴， ∵，分别是，的中点， ∴，，，， ∴，；在中，， ∴， ∴， ∵射线将分成的两个角满足， ∴，， ∴， 如图，旋转后，设直线与交于点，过点作于点，连接， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则，， ∴， 在 中， ， ∴ ， ∴ ， 在 中，，即， 解得或 （不符合题意，舍去）， ∴， ∵， ∴，即， 又∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ， ∴ ， ， 在和中， ， ∴， ∴． 【点睛】本题难点在于通过作辅助线，构造相似三角形和直角三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年九年级第二次模拟检测 数学·试题 一、选择题：本大题共10小题，共40分． 1. 的相反数是（    ） A. B. C. D. 2. 下列图案中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示的几何体由一个圆柱体和一个长方体组成，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点，，，，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 6. 实验室的试管架上放着3支无标签的试管，分别装有氢氧化钠溶液、稀盐酸和氢氧化钾溶液．已知酚酞溶液遇碱性溶液会变红，遇酸性溶液不变色，氢氧化钠和氢氧化钾溶液呈碱性，稀盐酸呈酸性．小明同学从这3支试管中随机挑选2支，分别滴入酚酞溶液，则两支试管中溶液同时变红的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 已知点、在反比例函数的图像上，若，则的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 8. 《九章算术》中关于“盈不足术”的记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六，问人数几何？”其译文为：有几个人去买鸡，每人出9钱，余11钱；每人出6钱，差16钱．问有多少个人？小温同学根据题意，列出方程组，则方程组中表示的是（ ） A. 鸡的数量 B. 鸡的总价 C. 每个人出的钱数 D. 买鸡的人数 9. 为改善生态环境、防治水土流失，人们通常会在斜坡或河岸种植树木、灌木等固土植物，利用其根系固结土壤、减缓径流，从而起到涵养水源、保持水土的作用．如图，斜坡上有一棵树，已知树高米，斜坡的坡度为，小明在距离点2米远的处测得树顶点的仰角为，树，斜坡的剖面，点在同一平面上，树与地面垂直，则树根部到坡脚的距离为（ ） （参考数据：，，） A. 10米 B. 12米 C. 13.5米 D. 11米 10. 若，满足，，则代数式的值可以是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题：本大题共5小题，共20分，只要求填写最后结果，每小题填对4分． 11. 代数式的值为0，则______． 12. 如图，把绕点O按逆时针方向旋转后得到，若，，则________． 13. 不等式组的解集为，请你写出一个符合条件的的值_____． 14. 如图，的顶点，点在轴的正半轴上，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，交于点．②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内相交于点．③画射线，交于点，则点的坐标为_____． 15. 如图，中，，，边上的高，点、、分别在边、、上，且四边形为正方形，点、、分别在边、、上，且四边形为正方形，按此规律操作下去，则线段的长度为____． 三、解答题：本大题共8小题，共90分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 按要求完成下列计算： （1）计算：； （2）化简求值：，其中． 17. 为积极倡导中学生“健康人生、绿色无毒”的生活理念，学校举办“禁毒知识”竞赛．初赛有名选手参加，每位选手需要参加笔试、抢答和演讲三项比赛，每项成绩均按百分制打分．评委会将笔试、抢答和演讲三项成绩按比例计算出每人的总评成绩作为最终的初赛成绩，并对成绩进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： ①名选手初赛成绩的频数分布直方图如图所示：（数据分组，每组包含最小值，不含最大值） ②其中总评在分的选手成绩如下： ，，，，，，，， ，，，． ③初赛中某班的选手小文和小武三项成绩如下： 笔试成绩 抢答成绩 演讲成绩 总评成绩 小文 小武 根据以上信息，回答下列问题： （1）将“名选手初赛成绩的频数分布直方图”补充完整； （2）名选手初赛成绩的中位数为________分； （3）计算上表中的值； （4）如果学校决定根据初赛总评成绩择优选拔名学生参加决赛．试分析小文和小武二人中，谁能进入决赛，并说明理由． 18. 如图，四边形是平行四边形，、相交于点，为的中点，连接，过点作于点，过点作于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若四边形是菱形，，，求长． 19. 如图，是的直径；点D在直径上（D与不重合）；且；连接；与交于点F；在上取一点E；使与相切． （1）求证：； （2）若D是的中点，，求的长． 20. 某商店销售A，B两种水果．A水果标价14元／千克，B水果标价18元／千克． （1）小明陪妈妈在这家商店按标价买了A，B两种水果共3千克，合计付款46元．这两种水果各买了多少千克？ （2）妈妈让小明再到这家商店买两种水果，要求B水果比A水果多买1千克，合计付款不超过50元．设小明买A水果千克． ①若这两种水果按标价出售，求的取值范围； ②小明到这家商店后，发现两种水果正在进行优惠活动：A水果打七五折；一次购买B水果不超过1千克不优惠，超过1千克后，超过1千克的部分打七五折．（注：“打七五折”指按标价的出售．）若小明合计付款48元，求的值． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与，轴分别相交于点，．且． （1）分别求这两个函数的表达式； （2）以点为圆心，线段的长为半径作弧与轴正半轴相交于点，连接，．求的面积； （3）根据函数的图象直接写出关于的不等式的解集． 22. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上． （1）求点B的坐标（用含的式子表示）； （2）求抛物线的对称轴； （3）已知点，．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围． 23. 综合与实践 图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，在研究三角形的旋转过程中，发现下列问题． 【观察猜想】 （1）如图1，在中，，，点是平面内不与点，重合的任意一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，，可得，，则直线与直线相交所成的较小角的度数是_____； 【类比探究】 （2）如图2，点是线段上的动点，分别以，为边在的同侧作正方形与正方形，连接分别交线段，于点，． ①求的度数； ②连接交于点，若，求； 【拓展延伸】 （3）如图3，中，，，，分别是，的中点，连接．如图4，将绕着点顺时针旋转角度，交于点，连接，射线交于点．若射线将分成的两个角满足，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $