精品解析：2025年山东省德州市庆云县九年级第二次练兵考试数学试题

九年级中考数学二模试题 一．选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列各数中与2互为相反数的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A B. C. D. 3. 在2025年春节档期，电影市场的热度持续高涨．电影《哪吒之魔童闹海》上映前三日，总票房便达到亿元，其中亿元用科学记数法表示为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 4. 如图是由若干个相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图，则该几何体可能是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A B. C. D. 6. 把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，这是某小区地下车库示意图．A，D为入口，B，C，E为出口，李师傅从入口进入后，随机任选一个出口驶出，则李师傅恰好从E出口驶出的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是正五边形的内切圆，点，，分别是边，，与的切点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点是坐标原点，点在轴的正半轴上，点在函数的图象上，点在函数的图象上．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，P是BC边上一动点，连接AP，把线段AP绕点A逆时针旋转60°到线段AQ，连接CQ，则线段CQ的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 二．填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 若二次根式有意义，则的取值范围是______． 12. 是方程的一个根，则代数式的值是________________． 13. 如图，四边形为矩形纸带，将四边形沿折叠，则、两点的对应点分别为、，若，则的度数为________________． 14. 如图，将沿边向右平移2个单位长度得到．若，阴影部分的面积为2，则的面积为________． 15. 甲骑摩托车从地去地，乙开汽车从地去地，两人同时出发，匀速行驶，已知摩托车速度小于汽车速度，各自到达终点后停止，设甲、乙两人间的距离为，行驶的时间为，与之间的函数关系如图所示，则的值是________________． 16. 在如图所示的平面直角坐标系中，按规律排列的，，，，…，都是等腰直角三角形，且顶点都在格点上（点与坐标原点重合）．点，，，，，，，，，…，则点的坐标________________． 三、解答题（本大题共8小题，共86分） 17. （1） （2）化简： 18. 【项目背景】 数学文化有利于激发学生数学兴趣，数学不仅是工具学科，更承载着人类文明发展史． 从《九章算术》的智慧到笛卡尔坐标系的诞生，数学文化中蕴含的逻辑之美、创新精神与人文价值亟待被挖掘． 【数据搜集与整理】 某校为了解学生数学文化知识掌握的情况，从该校七、八年级学生中各随机抽取10名学生参加了数学文化知识竞赛并对数据（百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于70分，用x表示，共分三组：A．，B．，C．），下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩是：76，78，80，82，87，87，87，93，93，97． 八年级10名学生的竞赛成绩在B组中的数据是：80，83，88，88． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 86 87 b 八年级 86 a 90 八年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ， ， ； 【数据分析与运用】 （2）请计算扇形统计图中“B组”所在扇形的圆心角的度数； （3）根据以上数据，你认该校七、八年级中哪个年级学生数学文化知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （4）该校七年级学生有800人，八年级学生有1000人． 估计该校七、八年级学生中数学文化知识为“优秀”的总共有多少人？ 19. 如图，在中，以为圆心，的长为半径画弧交于点，连接，分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交线段于点，交线段于点，连接，取线段的中点，连接， （1）连接，求证：四边形是菱形． （2）若，，求的长． 20. 为庆祝我国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”在北京时间年月日举行的联合国教科文组织保护非物质文化遗产政府间委员会第届常会上通过评审，列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，市面上推出一款以蛇年为主题的窗花．某喜庆店第一次用元购进这款窗花，很快售完，又花元第二次购进这款窗花．已知每个窗花第二次购进的单价比第一次便宜元，且第二次购进的数量是第一次的倍． （1）求该店两次购进这款窗花各多少个？ （2）第二次购进这款窗花后仍按第一次的售价出售，若要便两次进的窗花销售完后的总利润不低于元，则每个窗花的售价至少为多少元？ 21. 如图，在中，是直径，，过的中点作的垂线交于点和点，是上一动点．连接，，，． （1）求的长度； （2）过点作圆的切线交线段的延长线于点，求证： 22. 随着时代发展，手机“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流．某种手机支架如图1所示，立杆垂直于地面，其高为，为支杆，它可绕点旋转，其中长为，为悬杆，滑动悬杆可调节的长度．（参考数据：，，） （1）如图2，当、、三点共线，时，且支杆与立杆之间的夹角为，求端点距离地面的高度； （2）调节支杆，悬杆，使得，，如图3所示，且点到地面的距离为，求的长．（结果精确到） 23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线 （1）求该抛物线对称轴（用含的式子表示）； （2）若，当时，求的取值范围； （3）已知，，为该抛物线上的点，若，求的取值范围． 24. 【综合与实践】 在数学学习中，我们发现除了已经学过的四边形外，还有很多比较特殊的四边形，请结合已有经验，对下列特殊四边形进行研究． 定义：在四边形中，若有一个角是直角，且从这个直角顶点引出的对角线，把对角分成的两个角中，有一个是直角，我们称这样的四边形为“双垂四边形”． 【初步探究】 （1）如图①，在“双垂四边形”中，若，则________，的值为________； （2）如图②，在“双垂四边形”中，，，E为线段上一点，且，求的值； 【拓展应用】 （3）如图③，在“双垂四边形”中，，，E为线段上一动点，且，连接，将沿翻折，得到（点F在的下方）．连接，若，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级中考数学二模试题 一．选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列各数中与2互为相反数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相反数、绝对值、化简多重符号等知识，理解相反数的定义是解题关键．只有符号不同的数为相反数．根据相反数的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A. 不是2的相反数，不符合题意； B. ，不是2的相反数，不符合题意； C. 是2的相反数，符合题意； D. ，不是2的相反数，不符合题意． 故选：C． 2. 以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形．据此即可求解． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，故本选项符合题意； 故选：D． 3. 在2025年春节档期，电影市场的热度持续高涨．电影《哪吒之魔童闹海》上映前三日，总票房便达到亿元，其中亿元用科学记数法表示为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法．科学记数法的表现形式为，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：． 故选：A． 4. 如图是由若干个相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图，则该几何体可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体．根据主视图和左视图的定义解答即可． 【详解】解：从主视图来看：从左向右，第一列可看到三个面，第二列看到两个面，第三列可看到一个面； 从左视图来看：第一列有三个面，第二列有一个面． 故符合题意的图形为： 故选：A． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方，合并同类项，算术平方根，平方差公式，掌握以上知识是解题的关键． 根据积的乘方，合并同类项，算术平方根，平方差公式，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A、，故该选项不正确，不符合题意； B、，故该选项不正确，不符合题意； C、，故该选项不正确，不符合题意； D、，故该选项正确，符合题意． 故选：D． 6. 把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组以及将解集表示在数轴上，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 先分别求出两个不等式的解集，然后即可得到不等式组的解集，再将不等式组的解集表示在数轴上即可． 【详解】解：解，得， 解，得， 该不等式组的解集为， 其解集在数轴上表示如下： 故选：D． 7. 如图，这是某小区地下车库示意图．A，D为入口，B，C，E为出口，李师傅从入口进入后，随机任选一个出口驶出，则李师傅恰好从E出口驶出的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查利用树状图求概率，首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果， 然后求得李师傅恰好从E出口驶出的情况数，再利用概率公式求解，即可解题． 【详解】解：根据题意可画树状图如下： 由树状图可知所有可能的结果有6种，李师傅恰好从E出口驶出的结果有2种， 则李师傅恰好从E出口驶出的概率为， 故选：B． 8. 如图，是正五边形的内切圆，点，，分别是边，，与的切点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正多边形与圆，切线的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，如图，连接，．求出，再利用圆周角定理求解即可． 详解】解：如图，连接，． ，，分别是，，与的切点， ，， ， 正五边形中 ， ， ，   故选：A． 9. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点是坐标原点，点在轴的正半轴上，点在函数的图象上，点在函数的图象上．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，作于，由等腰三角形三线合一的性质得出，利用平行四边形的性质可知，故设，则，代入函数即可求得的值，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：作于， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵点在函数的图象上， ∴， 故选：． 10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，P是BC边上一动点，连接AP，把线段AP绕点A逆时针旋转60°到线段AQ，连接CQ，则线段CQ的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】在AB上取一点E，使AE＝AC＝，连接PE，过点E作EF⊥BC于F，由旋转的性质得出AQ＝AP，∠PAQ＝60°，证明△CAQ≌△EAP（SAS），由全等三角形的性质得出CQ＝EP，则当EF⊥BC（点P和点F重合）时，EP最小，然后由含30°角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，在AB上取一点E，使AE＝AC＝，连接PE，过点E作EF⊥BC于F， 由旋转知，AQ＝AP，∠PAQ＝60°， ∵∠ABC＝30°， ∴∠EAC＝60°， ∴∠PAQ＝∠EAC， ∴∠EAP＝∠CAQ， 又∵AE＝AC，AP＝AQ， ∴△CAQ≌△EAP（SAS）， ∴CQ＝EP， 要使CQ最小，则有EP最小，而点E是定点，点P是BC上的动点， ∴当EF⊥BC（点P和点F重合）时，EP最小，即点P与点F重合，CQ最小，最小值为EF， 在Rt△ACB中，∠B＝30°，AC＝， ∴AB＝， ∵AE＝AC＝， ∴BE＝AB−AE＝， 在Rt△BFE中，∠B＝30°， ∴EF＝BE＝， 故线段CQ长度的最小值是， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质等，找出点P和点F重合时，EQ最小，最小值为EF的长度是解本题的关键． 二．填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 若二次根式有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据被开方数即可求解． 【详解】， ∴． 故答案为 【点睛】本题考查二次根式的意义：熟练掌握二次根式中被开方数是非负数的条件是解题的关键． 12. 是方程的一个根，则代数式的值是________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，以及考查了整体代入思想． 先根据一元二次方程解的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解： a是方程的一个根， ，即， ． 故答案：． 13. 如图，四边形为矩形纸带，将四边形沿折叠，则、两点的对应点分别为、，若，则的度数为________________． 【答案】##36度 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，图形的折叠问题．根据折叠的性质，可得，根据平行线的性质得出，根据，得出，即可求解． 【详解】解：由折叠的性质得：， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． 故答案为： 14. 如图，将沿边向右平移2个单位长度得到．若，阴影部分的面积为2，则的面积为________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，平移的性质，掌握平移的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键．设与交于点，根据平移的性质及相似三角形的判定与性质计算的面积即可． 【详解】解：如图，设与交于点， ∵将沿边向右平移2个单位长度得到， ∴， ∴，， ∴， ∵，即， ∴． 故答案为：8． 15. 甲骑摩托车从地去地，乙开汽车从地去地，两人同时出发，匀速行驶，已知摩托车速度小于汽车速度，各自到达终点后停止，设甲、乙两人间的距离为，行驶的时间为，与之间的函数关系如图所示，则的值是________________． 【答案】60 【解析】 【分析】本题考查的是从函数图象中获取信息，理解图象中点的横纵坐标的含义可得答案． 【详解】解：由题意结合图象可知两地相距千米； 由题意可得甲骑摩托车的速度为 （千米/小时）， ∴结合图象可得：汽车从地去地花小时，此时摩托车也行驶了1.5小时， ， 故答案为： 16. 在如图所示的平面直角坐标系中，按规律排列的，，，，…，都是等腰直角三角形，且顶点都在格点上（点与坐标原点重合）．点，，，，，，，，，…，则点的坐标________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标变化的规律，根据所给信息寻求规律是解题的关键．观察坐标的值和变化的情况，找出规律后求解即可． 详解】解：∵，，，，，，，，，…， 观察可知，每4个点为一组， 点， ∵， ∴点的纵坐标是0，横坐标是， ∴点的坐标为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共86分） 17. （1） （2）化简： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算和分式的化简，解题的关键熟记计算法则并会灵活运用． （1）原式利用绝对值的代数意义、负指数幂法则计算和特殊角的三角函数值进行计算，即可得到结果． （2）先计算括号内的，同时把除法转化成乘法，再把分式的分子与分母因式分解，然后约分，即可求解． 【详解】（1） （2） ． 18. 【项目背景】 数学文化有利于激发学生数学兴趣，数学不仅是工具学科，更承载着人类文明发展史． 从《九章算术》的智慧到笛卡尔坐标系的诞生，数学文化中蕴含的逻辑之美、创新精神与人文价值亟待被挖掘． 【数据搜集与整理】 某校为了解学生数学文化知识掌握的情况，从该校七、八年级学生中各随机抽取10名学生参加了数学文化知识竞赛并对数据（百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于70分，用x表示，共分三组：A．，B．，C．），下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩是：76，78，80，82，87，87，87，93，93，97． 八年级10名学生的竞赛成绩在B组中的数据是：80，83，88，88． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 86 87 b 八年级 86 a 90 八年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ， ， ； 【数据分析与运用】 （2）请计算扇形统计图中“B组”所在扇形的圆心角的度数； （3）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生数学文化知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （4）该校七年级学生有800人，八年级学生有1000人． 估计该校七、八年级学生中数学文化知识为“优秀”的总共有多少人？ 【答案】（1），，；（2）；（3）八年级学生数学文化知识较好，理由见解析；（4）人 【解析】 【分析】本题考查了中位数、众数、求扇形圆心角度数、由样本估计总体，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据中位数和众数的定义计算即可得解； （2）用乘以“B组”所占的比例计算即可得解； （3）根据中位数和众数分析即可得解； （4）由样本估计总体的计算方法列式计算即可得解． 【详解】解：（1）八年级组的人数为人，而八年级组有人，则把八年级名学生的成绩按照从低到高排列，处在第5名和第6名的成绩分别为分，分， ∴八年级学生成绩的中位数， ∵七年级10名学生成绩中，得分为分的人数最多， ∴七年级的众数， 由题意可得：， ∴； （2）扇形统计图中“B组”所在扇形的圆心角的度数为； （3）八年级学生数学文化知识较好，理由如下： 七、八年级抽取的学生竞赛成绩的平均数相等，但八年级抽取的学生的竞赛成绩的中位数和众数均高于七年级，故八年级学生数学文化知识较好； （4）该校七、八年级学生中数学文化知识为“优秀”的总共有（人）． 19. 如图，在中，以为圆心，的长为半径画弧交于点，连接，分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交线段于点，交线段于点，连接，取线段的中点，连接， （1）连接，求证：四边形是菱形． （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的判定与性质，菱形的判定以及三角形中位线定理，熟练掌握相关定理是解答本题的关键． （1）先证明，再证明四边形是平行四边形即可； （2）证明是的中位线，得,由平行四边形的性质得，由线段比可得结论． 【小问1详解】 证明：连接，如图， 由作图可知平分， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， 由作图知， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 【小问2详解】 解：四边形是平行四边形， ， ∴为的中点， ∵点为的中点， ∴是的中位线， ， ∵四边形是平行四边形， 又， ∴， ∴， ． 20. 为庆祝我国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”在北京时间年月日举行的联合国教科文组织保护非物质文化遗产政府间委员会第届常会上通过评审，列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，市面上推出一款以蛇年为主题的窗花．某喜庆店第一次用元购进这款窗花，很快售完，又花元第二次购进这款窗花．已知每个窗花第二次购进的单价比第一次便宜元，且第二次购进的数量是第一次的倍． （1）求该店两次购进这款窗花各多少个？ （2）第二次购进这款窗花后仍按第一次的售价出售，若要便两次进的窗花销售完后的总利润不低于元，则每个窗花的售价至少为多少元？ 【答案】（1）答：第一次购进窗花个，则第二次购进窗花个 （2）答：每个窗花的售价至少为元 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意，找到等量关系，列出方程，进行解答，即可． （1）设第一次购买窗花单价为元，则第二次购买窗花的单价为元，根据题意列出方程，，解出，进行解答，即可； （2）根据利润等于售价减去单价，根据题意，列出一元一次不等式，进行解答，即可． 【小问1详解】 解：设第一次购买窗花的单价为元，则第二次购买窗花的单价为元， ∵某喜庆店第一次用元购进这款窗花，很快售完，又花元第二次购进这款窗花，第二次购进的数量是第一次的倍， ∴， 解得：， 经检验，是方程的解， ∴第一次购进窗花是数量为：个，第二次购进窗花是数量为：个， 答：第一次购进窗花个，则第二次购进窗花个． 【小问2详解】 解：由（1）得，第一次购买窗花的单价为元，则第二次购买窗花的单价为元， 设每个窗花的售价为元， ∵两次进的窗花销售完后的总利润不低于元， ∴， ∴， 答：每个窗花的售价至少为元． 21. 如图，在中，是直径，，过的中点作的垂线交于点和点，是上一动点．连接，，，． （1）求的长度； （2）过点作圆的切线交线段的延长线于点，求证： 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】此题主要考查圆切线的综合，解题的关键是熟知切线的判定相似三角形的判定和性质． （1）连接，，根据等边三角形的判定得出是等边三角形，求出的圆心角度数，进而根据弧长公式求出的长度， （2）根据相似三角形的判定得出，再由其性质证明即可． 【小问1详解】 解：连接，， 垂直平分， ， 又， 是等边三角形， ， 又， ， ． 【小问2详解】 是的直径， ， ， 是的切线， 于点， ， ， ， ， ． 22. 随着时代的发展，手机“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流．某种手机支架如图1所示，立杆垂直于地面，其高为，为支杆，它可绕点旋转，其中长为，为悬杆，滑动悬杆可调节的长度．（参考数据：，，） （1）如图2，当、、三点共线，时，且支杆与立杆之间的夹角为，求端点距离地面的高度； （2）调节支杆，悬杆，使得，，如图3所示，且点到地面的距离为，求的长．（结果精确到） 【答案】（1）端点距离地面的高度约为； （2）的长约为． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作，垂足为，根据已知易得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （2）过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，延长交于点，根据题意得：，，，从而可得，进而可得，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质可得，从而可得，进而可得，最后利用平角定义可得，从而在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答． 【小问1详解】 解：过点作，垂足为， ，， ， 在中，， ， ， ， 端点距离地面的高度约为； 【小问2详解】 解：过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，延长交于点， 由题意得：，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， 答：的长约为． 23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线 （1）求该抛物线的对称轴（用含的式子表示）； （2）若，当时，求的取值范围； （3）已知，，为该抛物线上的点，若，求的取值范围． 【答案】（1）直线 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值．熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数的最值是解题的关键． （1）由题意知，该抛物线的对称轴为直线，求解作答即可； （2）当时，，对称轴为直线，图象开口向上，可知当时，；当时，；当时，；由，可得，进而可得的取值范围； （3）由，可知当时，，即，由对称轴为直线，可得，且，可求；当时，，即，同理可求，然后作答即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴该抛物线的对称轴为直线； 【小问2详解】 解：当时，，对称轴为直线，图象开口向上， ∴当时，； 当时，；当时，； ∵， ∴， ∴当时，的取值范围为； 【小问3详解】 解：∵， ∴当时，，即， ∵对称轴直线， ∴，且， 解得，； 当时，，即， ∵对称轴为直线， ∴，且， 解得，， 综上所述，或． 24. 【综合与实践】 在数学学习中，我们发现除了已经学过的四边形外，还有很多比较特殊的四边形，请结合已有经验，对下列特殊四边形进行研究． 定义：在四边形中，若有一个角是直角，且从这个直角顶点引出的对角线，把对角分成的两个角中，有一个是直角，我们称这样的四边形为“双垂四边形”． 【初步探究】 （1）如图①，在“双垂四边形”中，若，则________，的值为________； （2）如图②，在“双垂四边形”中，，，E为线段上一点，且，求的值； 【拓展应用】 （3）如图③，在“双垂四边形”中，，，E为线段上一动点，且，连接，将沿翻折，得到（点F在的下方）．连接，若，请直接写出的面积． 【答案】（1）；；（2）；（3）12 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，正方形的判定和性质，正确画出图形，添加辅助线解答是解题的关键． （1）由直角三角形两锐角互余可得，，进而可得，即可求解； （2）根据等腰直角三角形的性质可证，得到，即可求解； （3）如图，过点作于点，由（2）知，，，即得，，进而由折叠可得四边形为正方形，连接，则，，证明，可求得，即可求解． 【详解】解：（1），， ， ， ，， ， 故答案为：，； （2），， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）如图，过点作于点， 由（2）知，， ， ， ， 同理（2）可得，， ， 由折叠的性质可知， 四边形为正方形， 如图，连接，则，， ，即， ， ， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$