专题03平行四边形期末复习讲义(21大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年苏科版八年级数学下册

专题03平行四边形期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解平行四边形的定义，掌握平行四边形边、角、对角线的性质。 2.熟记平行四边形五种判定方法，理清性质与判定的内在区别与联系。 3.了解平行四边形的对称性，掌握平行四边形常见衍生几何结论。 1.能够利用平行四边形的性质，求解线段长度、角度、周长与面积。 2.能根据题干已知条件，灵活选取判定定理，规范完成几何证明。 3.能够结合平行线、全等三角形等知识，解决平行四边形综合计算题与证明题。 1.基础层面：熟练搞定选择、填空题，熟练边角计算、性质辨析基础题型。 2.解答层面：熟练掌握平行四边形证明题解题思路，书写规范、逻辑完整。 3.综合层面：能处理平行四边形中档综合题型，掌握简单几何探究题型。 题型01.数图形中的平行四边形个数 题型02.平行四边形的性质求解 题型03.平行四边形性质证明 题型04.平行四边形性质应用 题型05.证明四边形是平行四边形 题型06.添条件使四边形是平行四边形 题型07.判断能否构成平行四边形 题型08.全等三角形拼平行四边形 题型09.三点构成平行四边形顶点计数 题型10.平行四边形性质与判定求解 题型11.平行四边形性质与判定证明 题型12.平行四边形性质与判定应用 题型13.平行四边形中的折叠问题 题型14,平行四边形中的动点问题 题型15.平行四边形中的最值问题 题型16.平行四边形与坐标系综合 题型17.多结论判断问题 题型18.平行四边形存在性问题 题型19.三角形中位线求解问题 题型20.三角形中位线证明问题 题型21.三角形中位线应用问题 知识点01:平行四边形 核心定义 1.基本元素：边（4 条，分对边、邻边）、角（4 个，分对角、邻角）、对角线（2 条，互相相交）、对称中心（对角线的交点）。 2.平行四边形基本元素：边、角、对角线。 知识点02:平行四边形核心性质(必考.知平行四边形推边角特征) 维度 性质 几何语言 图示 边 对边平行且相等 AB∥CD，AB=CD；AD∥BC，AD=BC 角 对角相等，邻角互补 ∠A=∠C，∠B=∠D；∠A+∠B=180∘ 对角线 互相平分 AO=OC，BO=OD 面积 S=底×对应高（S=ah） 同底等高的平行四边形面积相等 补充二级结论 1.平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形； 2.一条对角线平分平行四边形面积； 3.两条对角线分成四个面积相等的小三角形； 4.周长公式：C=2(相邻两边之和) 知识点03:平行四边形的判定（根据条件，证明四边形是平行四边形） 分类 判定定理 适用场景 定义法 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 题目已知平行关系 边 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 题目已知线段相等 边（高频） 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 考试最简便、使用率最高 角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 已知角度条件 对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形 题干出现对角线 1.重点提醒：一组对边平行，另一组对边相等不能判定平行四边形，有可能是等腰梯形。 2.性质与判定区别 性质：由形推条件。已知平行四边形➜得出边、角、对角线关系。 判定：由条件推形。已知边角关系➜证明四边形是平行四边形。 知识点04:三角形中位线 （一）中位线定义 连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线。 (二)中位线与中线区别 名称 位置特征 端点特点 中位线 连接三角形两边中点 两端都在边上，不过顶点 中线 连接顶点与对边中点 一端顶点，一端在边上 2. 三角形中位线定理 3.两大作用 位置：证明两直线平行 数量：求线段长度、证明线段倍分关系 知识点05:.高频易错点（老师必强调） 易错点 错误表现 正确要求 判定误区 用 “一组对边平行，另一组对边相等” 判定平行四边形 此条件不能判定 图形认知 认为普通平行四边形是轴对称图形 普通平行四边形仅为中心对称图形 概念混淆 混淆中位线与中线 中位线无顶点，中线经过顶点 定理错误 记错中位线倍数，把第三边当成一半 中位线 =第三边 书写问题 证明缺少条件、跳步书写 严格依据定理，条件书写完整 题型01.数图形中的平行四边形个数 1．如图是由10个正三角形组成的网格，三角形的顶点A，B处有两枚棋子，若在格点上再放入两枚棋子，可以组成平行四边形的放法共有（   ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【答案】A 【分析】本题考查了正三角形的性质和平行四边形的甄别，熟练掌握定义是解题的关键．根据正三角形的性质和平行四边形的定义结合题意分为当为平行四边形的对角线时，和当为平行四边形的一边时分别画图即可． 【详解】解：如图所示，当为平行四边形的对角线时，共有1种放法； 当为平行四边形的一边时，共有3 种放法．故共有4种放法， 故选：A． 2．如图，，若，则_____；图中共有_____个平行四边形． 【答案】 4 3 【分析】此题主要考查平行四边形的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定找出平行四边形有3个．根据平行四边形的性质，对边相等可得出． 【详解】解：由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得图中的平行四边形有、、三个． ∵四边形为平行四边形， ∴． 故答案为：4；3． 3．如图，在中，，，，的交点在上，则图中面积相等的平行四边形有（   ）对 A．5 B．3 C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据平行四边形的判定与性质可知，平行四边形的对角线将平行四边形的面积平分，可推出3对面积相等的平行四边形． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，是对角线， ∴，，． ∵，， ∴，， ∴四边形、四边形、四边形、四边形、四边形、四边形、四边形、四边形都是平行四边形， ∵是平行四边形的对角线， ∴， ∵是平行四边形的对角线， ∴． ∴， 即， ∴， 同理可得：． 即：，，． 故选：B． 【点睛】本题考查了数图形中平行四边形的个数，利用平行四边形的判定与性质求解，利用平行四边形性质和判定证明，利用平行四边形的性质求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 题型02.平行四边形的性质求解 4．在平行四边形中，对角线相交于点O，若， 则的长为（     ） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】A 【分析】因为平行四边形的对角线互相平分，所以，代入的长度即可得到结果． 【详解】解：∵平行四边形中，对角线相交于点， ∴． ∵， ∴． 5．在中，的平分线将分成和两条线段，则的周长为____． 【答案】14或16 【分析】的平分线分成和两条线段，设的平分线交于点，需分两种情况讨论，或，利用平行四边形对边平行的性质可证为等腰三角形，得到，进而计算平行四边形的周长. 【详解】解：设的平分线交于点， 四边形是平行四边形， ， ， 又， ， ， ， 当时，， 的周长； 当时，， 的周长， 综上，的周长为或. 6．如图，的对角线、交于点，平分交于点，且，，连接，下列结论：①；②；③；④．成立的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的性质可证是等边三角形，根据等边三角形的性质可知，所以可得，根据平行四边形的性质可得DTY ①成立；根据，，可知是平行四边形中边上的高，根据平行四边形的面积公式可知②成立；根据大角对大边可得，又因为，，所以，可知，故③不成立，根据含角的直角三角形的性质可得④成立． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， 平分， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故①成立； 由①可知，， ， ， 故②成立； ， ， ，， ， 故③不成立； 如下图所示，连接， 四边形是平行四边形， 点是的中点，， 又点是的中点， 是的中位线， ， 又， ， ， 故④成立； 综上所述，成立的有个． 7．已知，在中，点在边上，过点作于点，点在边上，在边上，且是等边三角形，连接，． (1)如图，若，，，求的长； (2)如图，若平分，，且，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定： （1）证得，设，在中，根据勾股定理可知，求解即可求得答案； （2）过点作交于点，交于点，过点作交于点．证得，依据，，可求得，证明，得到，再证明，得到，即可求得答案． 【详解】（1）解：∵，四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴． ∵是等边三角形， ∴． ∵， 设，那么． 在中，根据勾股定理可知，即 ． 解得 或（舍去）． ∴． （2）证明：过点作交于点，交于点，过点作交于点． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵是等边三角形， ∴，． ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴ ． ∵，， ∴． ∴． ∵，， ∴，，． ∴． ∴． ∴． ∵平分， ∴， ∴． 在中，． ∵， ∴． ∵，，， ∴． ∴． ∵，且，，， ∴． 题型03.平行四边形性质证明 8．如图，平行四边形的对角线，相交于点，下列结论不一定成立的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的边、对角线的性质逐一判断选项即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， 根据平行四边形性质：平行四边形的对边平行且相等， 有，，故B、D选项一定成立； 平行四边形的对角线互相平分，则，故A选项一定成立； 平行四边形的对角线不一定互相垂直，只有菱形的对角线才互相垂直，即不一定成立，C不一定成立． 9．如图，平行四边形的对角线，相交于点，平分，分别交，于点，，连接，，，则下列结论：①；②；③；④．正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理； ①先根据角平分线和平行线的性质得，则，由有一个角是的等腰三角形是等边三角形得是等边三角形，由外角的性质和等腰三角形的性质得，最后由平行线的性质可作判断；②求出，根据平行四边形的面积公式可作判断： ③先根据三角形中位线定理得，然后求出，即可判断；④利用勾股定理分别求出和，即可求的长，即可判断． 【详解】解：①平分， ， 四边形是平行四边形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故①正确： ②， ，故②正确； ③， ， ， ， ，故③错误； ④在中，，， ， 在中，， ， ，故④正确； 综上，正确的个数有3个， 故选：C． 10．如图，在平行四边形中，，点是的中点，过点的直线分别交，的延长线于点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，结合对顶角相等，即可证明，得出，进而即可得证； （2）勾股定理求得，，根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ，， ， 为中点， ， 在和中 ， ， 即； （2）解：， ， ，， ， ， ． 题型04.平行四边形性质应用 11．如图，王老师用四根木棒搭成了平行四边形的框架，量得，固定．逆时针转动，在转动过程中，关于平行四边形的面积变化情况：甲认为：先变大，后变小；乙认为：在转动过程中，平行四边形的面积有最大值，最大值是，则（　　）    A．甲说的对 B．乙说的对 C．甲、乙说的都对 D．甲、乙说的都不对 【答案】C 【分析】如图，作于点M，则平行四边形的面积，可得，即平行四边形的高的最大值是8cm，进而可判断甲乙的说法. 【详解】解：如图，作于点M， 则平行四边形的面积， ∵，， ∴，即平行四边形的高的最大值是8cm， ∴在转动过程中，平行四边形的面积有最大值，最大值是，故乙的说法正确； 在逆时针转动过程中，先逐渐变大，到与相等时，取得最大值，然后又逐渐变小，所以平行四边形的面积先变大，后变小；故甲的说法正确； 所以甲乙的说法都是正确的， 故选：C.    【点睛】本题考查了平行四边形的面积，正确理解题意、得出平行四边形高的变化情况是解题的关键. 12．如图，在中，、分别是、边上的点，与交于点，与交于点，若，，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】50 【分析】连接E、F两点，由三角形的面积公式我们可以推出S△EFC=S△BCF，S△EFD=S△ADF，所以S△EFQ=S△BCQ，S△EFP=S△APD，因此可以推出阴影部分的面积就是S△APD+S△BQC． 【详解】解：如图，连接E、F两点， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴△EFC的FC边上的高与△BCF的FC边上的高相等， ∴S△EFC=S△BCF， ∴S△EFC－S△QFC =S△BCF－S△QFC， 即S△EFQ=S△BCQ， 同理：S△EFD=S△ADF， ∴S△EFP=S△APD， ∵S△APD=20cm2，S△BQC=30cm2， ∴S四边形EPFQ= S△APD + S△BQC =50cm2， 故答案为：50． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，解答此题关键是作出辅助线，找出同底等高的三角形． 13．如图：的对角线交于点O．    (1)基础训练： 经过点O且与、分别相交于E、F．求证： (2)拓展变式 若将条件改为经过点O且与、的延长线分别相交于E、F，第（1）问的结论是否成立，请按题意画出图形，标注字母，并给予证明． (3)观察归纳 的对角线交于点O，直线是经过点O的任意一条直线，将的面积分为两部分，设四边形的面积为，四边形的面积为，则______．    (4)实践操作 你能否只画一条直线，将下图中两个平行四边形的面积同时平分，若能，请画出这条直线（用虚线画出辅助线）；若不能，请说明理由．    【答案】(1)见解析 (2)成立，图和证明见解析 (3) (4)见解析 【分析】（1）利用平行四边形的性质证明，可得； （2）画出图形，同（1）的方法证明即可； （3）根据全等三角形的性质得到，，等量代换可得，即可证明； （4）分别找出两个平行四边形对角线的交点，再连接即可． 【详解】（1）解：在中，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）成立，理由是： 在中，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴；    （3）同（1）可证：，， ∴，， ∴， ， ∴； 故答案为：； （4）能，如图，直线即为所求．    【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用平行四边形的性质得到线段，面积之间的关系． 题型05.证明四边形是平行四边形 14．在四边形中，已知，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析 【分析】由平行可得，由等量代换可得，则，命题得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 15．如图，在中，是边上的中线，E是的中点，过点A作交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是平行四边形，证明见解析 【分析】（1）根据中点的定义和平行线的性质得到条件，证明即可； （2）证明，又由已知即可证明四边形是平行四边形． 【详解】（1）证明：是的中点， ．     ， ，   （2）四边形是平行四边形     证明：，      又是的中线， ， ∴     又， ∴四边形是平行四边形． 16．如图，在四边形中，，，，垂足分别为、，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，则四边形的周长是____________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定及准确分析线段的位置关系是解题的关键． （1）通过证明，得，从而，结合证平行四边形； （2）先根据线段位置关系正确计算长度，再用勾股定理算、的长，进而求周长． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 在中， ， 在中，， ∴四边形的周长为：． 题型06.添条件使四边形是平行四边形 17．如图，在四边形中，，要使四边形成为平行四边形，则应添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 解：若添加或，结合，四边形可能是等腰梯形，无法判定是平行四边形； 若添加，无法判定是平行四边形； 若添加，结合，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可判定四边形是平行四边形． 18．如图，，是对角线双向延长线上的两点，请你添加一个适当的条件：_________，使四边形是平行四边形． 【答案】 （或或） 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 当添加或或时， 可证得，， ∴四边形是平行四边形． 19．如图，E、F是四边形的对角线上的两点．    (1)若，只添加一个条件：　 ，使四边形为平行四边形． (2)在（1）的条件下，若，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)见解析 【分析】（1）根据平行四边形的判定方法解答即可； （2）由，得，再证明得，进而即可得到结论． 【详解】（1）或（填写一个答案即可）， 当添加时， ∵， ∴四边形为平行四边形． 当添加时， ∵， ∴四边形为平行四边形． 故答案为：或（填写一个答案即可） （2）如图，连接，，    ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解答本题的关键． 题型07.判断能否构成平行四边形 20．已知四边形的对角线和相交于点O，下列四组条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据平行四边形的判定定理逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、因为，，即两组对边分别平行，所以四边形是平行四边形； B、当，时，四边形可能是等腰梯形，所以不能判定四边形是平行四边形； C、因为，，即对角线互相平分，所以四边形是平行四边形； D、因为，，即两组对角分别相等，所以四边形是平行四边形． 21．如图，的对角线交于点O，点M，N，P，Q分别是四条边上不重合的点．下列条件：①，；②MP，NQ均经过点O；③NQ经过点O，．能判定四边形MNPQ是平行四边形的有____________（填序号）． 【答案】①② 【分析】①根据平行四边形的性质结合已知条件，证明，，可得，，根据两组对边相等的四边形是平行四边形，即可判断①，②根据平行四边形是中心对称图形，即可判断②，根据已知条件不能判断③． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ，,． ①， ∴， ∴． ， ， 又， ， ， 四边形是平行四边形． 故①正确； ②∵， ∴， ， ∴， ∴． 同理可得： ∵， 四边形是平行四边形． 故②正确； ③经过点O，，的位置未知，不能判断四边形是平行四边形， 故③不正确； 故答案为：①②． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键． 22．一个四边形的三个内角的度数依次如下，能判定该四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，掌握两组对比分别平行的四边形是平行四边形成为解题的关键． 先根据四边形的内角和求得第四个角，然后根据平行四边形的判定定理逐项判断即可解答即可． 【详解】解：A. ，则第四个角为，由相邻两个角的和不都为，所以一组对比平行，另一组对比不平行，该四边形不是平行四边形，不符合题意；     B. ，则第四个角为，由相邻两个角的和都不为，所以两组对边都不平行，该四边形不是平行四边形，不符合题意； C. ，则第四个角为，由相邻两个角的和都为，所以两组对边都平行，该四边形是平行四边形，不符合题意；     D. ，则第四个角为，由相邻两个角的和都不为，所以两组对边都不平行，该四边形不是平行四边形，不符合题意． 故选C． 题型08.全等三角形拼平行四边形 23．在等腰三角形纸片中，，，将此等腰三角形纸片沿底边上的中线剪成两个全等的三角形，用这两个三角形拼成一个平行四边形，则平行四边形的周长为______． 【答案】14或16或18 【分析】如图，过点作于点D，由三线合一得到，然后利用勾股定理求出，然后分三种情况讨论求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点D， ∵，， ∴， ∴，    如图①所示：可得四边形 是矩形，则其四边形的周长为：， 如图②所示：可得四边形是平行四边形，则其四边形的周长为：， 如图③所示：可得四边形是平行四边形，则其四边形的周长为：． 24．如图，将绕边的中点O顺时针旋转．嘉淇发现，旋转后的与构成平行四边形，并推理如下：小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∵，”和“∴四边形…”之间作补充，下列补充不正确的是（ ） 点A，C分别转到了点C，A处， 而点B转到了点D处． ∵， ∴四边形是平行四边形． A．应补充：且 B．应补充：且 C．应补充：且 D．应补充：且 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定方法逐个分析即可． 【详解】A．加上，可证得时间△ABC和△CDA全等，可得AB=CD，可得四边形是平行四边形； B．加上，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可得四边形是平行四边形； C．加上，一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形； D．加上，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可得四边形是平行四边形． 故选：C 【点睛】考核知识点：平行四边形的判定．熟练掌握平行四边形的判定方法是关键． 25．如图，在中，过点作，是的中点，连接并延长，交于点，连接，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定等知识，证明是解题的关键． 由，得，而，，即可根据“”证明，得，则四边形是平行四边形． 【详解】证明：∵， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 题型09.三点构成平行四边形顶点计数 26．如图，在的正方形网格图中有、、三点，网格中以、、三点为顶点的平行四边形有（   ）个 A． B． C． D．无数 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的定义，解题的关键是掌握平行四边形的性质．分别以、为对角可画平行四边形． 【详解】解：如图，以为对角可画平行四边形，以为对角线可画平行四边形，共两个， 故选：B． 27．在平面直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点坐标分别是，，，则平行四边形第四个顶点D的坐标______． 【答案】或或 【分析】根据平行四边形的性质，画出可能的三种情况，即可得出答案． 【详解】解：在平面直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点坐标分别是，，， 分别过三个顶点作对边平行线，交点即为点，如图， 当四边形是平行四边形时，即图中，此时中点坐标为，中点坐标为， ∴，解得， ∴点D的坐标为， 同理可得其他两个点D的坐标为，， 故答案为：或或． 28．如图，在4×6的网格中，点M，N，P，Q都在格点上，能与格点O，A，B连接得到平行四边形的是（   ） A．点M B．点N C．点P D．点Q 【答案】B 【分析】根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，结合网格特点，利用平移的性质即可求解． 【详解】解：点B与点M，N，P，Q共线， ， 的长等于三个单位长度， 的对边长也应为三个单位长度， 由图可知，点M，N，P，Q中，只有的长等于三个单位长度， 能与格点O，A，B连接得到平行四边形的是点N． 题型10.平行四边形性质与判定求解 29．如图，在四边形中，平分交于点，交的延长线于点为延长线上一点，． （1）求证； （2）求的度数． 【答案】（1）见解析；（2）130° 【分析】（1）由邻补角的定义及题意可得到∠ADE=∠BCE，即可判定AD∥BC； （2）根据题意及由三角形的外角定理得到∠DGE=∠E=25°，由平行线的性质得到∠EBC=∠GDE=25°，根据角平分线的定义得到∠ABE=∠EBC=25°，再根据对顶角相等及三角形的内角和求解即可． 【详解】解：（1）证明：∵∠ADE+∠BCF=180°，∠BCE+∠BCF=180°， ∴∠ADE=∠BCE， ∴AD∥BC； （2）∵∠ADC=∠E+∠DGE，∠ADC=2∠E=50°， ∴∠DGE=∠E=25°， 由（1）得，AD∥BC， ∴∠EBC=∠DGE=25°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠EBC=25°， ∵∠AGB=∠DGE=25°，∠A+∠ABE+∠AGB=180°， ∴∠A=180°-25°-25°=130°． 【点睛】此题考查了多边形的内角与外角及平行线的判定与性质，熟记三角形的内角和、外角定理及平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． 30．如图，在四边形中，，点在上，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，平分，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】（1）先推导出，再根据，可证明四边形为平行四边形； （2）先求出，得到，推导出，得到，则，即可解答． 【详解】（1）证明：， 又， 四边形为平行四边形 （2）解：在中，， 又平分， ， ， 在中，， ， 由（1）知，四边形为平行四边形， ． 31．已知，． (1)如图1，若以为边作等边，且点E恰好在边上，直接写出此时的面积； (2)如图2，若以为斜边作等腰直角，且点F恰好在边上，过C作交BF于G，连接． ①依题意将图2补全； ②用等式表示此时线段之间的数量关系，并证明； (3)如图3，以为边作，且，．若，直接用等式表示此时与的数量关系． 【答案】(1)的面积为； (2)①见解析；②；理由见解析 (3)． 【分析】（1）作于点I，利用等边三角形的性质求得的长，再利用勾股定理求得的长，最后利用平行四边形的面积公式求解即可； （2）①依照题意补全图形即可； ②延长交的延长线于点H，延长交的延长线于点J，利用证明，推出，，再证明，推出，即可证明； （3）连接，作并交的延长线于点K，推出四边形是平行四边形，得到是直角三角形，，求得即可解决问题． 【详解】（1）解：作于点I， ∵是边长为2的等边三角形， ∴， ∴， ∴此时的面积为； （2）解：①补全图形如图， ②；理由如下， 延长交的延长线于点H，延长交的延长线于点J， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴，，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：． 连接，作并交的延长线于点K， 由题意得，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即是直角三角形， ∵四边形是平行四边形，且， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，即． 【点睛】本题考查了平行四边的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 题型11.平行四边形性质与判定证明. 32．如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，E、F为上的两点且．求证：． 【答案】见解析 【分析】首先利用平行四边形的性质得到，，然后得到，证明出四边形为平行四边形，即可得到． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴四边形为平行四边形， ∴． 33．如图，平行四边形的对角线相交于点，点在上，点在边BD上，且，．求证：． 【答案】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【分析】由于四边形是平行四边形，那么，，而，，利用等式性质得，，进而可证四边形是平行四边形，然后通过平行四边形的性质即可求证． 【详解】略． 34．如图，在等边中，点D、E分别是、边上的一点（点D不与端点重合），且，，连接、． (1)求证：； (2)将沿翻折，得到．在上取一点O，使，延长交于点P． ①求证：四边形是平行四边形； ②若，试求线段和之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析；②，证明见解析 【分析】（1）利用等边三角形的性质证明，，即可证明； （2）①如图，记的交点为，先求解，证明，再结合平行线的判定与平行四边形的判定可得结论；②设，求解，如图，过作于，求解，从而可得结论． 【详解】（1）解：∵为等边三角形，， ∴，， 在和中， ， ∴． （2）证明：如图，记的交点为， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由对折可得：，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形四边形是平行四边形； ②，理由见解析： ∵为等边三角形； ∴设， ∵， ∴，， ∵， ∴， 由对折可得：， ∵四边形四边形是平行四边形； ∴， ∴， 如图，过作于，而， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的运算，作出合适的辅助线是解本题的关键． 题型12.平行四边形性质与判定应用 35．如图（1）所示是某校篮球架实物图，如图（2）所示是篮球架的侧面示意图，篮板边侧垂直于地面．八年级的“综合与实践”数学小组开展测量篮球架篮板高度的实践活动．在不便于直接测量的情况下，小组设计了如下测量方法：如图（3）所示，小组成员将竹竿垂直固定在地面上，小明从竹竿上的F点处观察篮板底部B点，用测角仪测量视线与竹竿的夹角的度数为，接着将观察点沿着竹竿向上移动到G点，使得从G点观察篮板顶部A点的视线与竹竿的夹角的度数恰好等于的度数时，在竹竿上标注G点的位置，测量的长度为．活动分享时，小明说：“的长度就是篮板的高度”，你认为小明的说法是否正确，并说明理由． 【答案】我认为小明的说法正确，见解析 【分析】本题主要查了平行四边形的判定和性质，证明四边形是平行四边形是解题的关键． 根据题意可得，再由，得到，继而得到四边形是平行四边形，即可解答． 【详解】解：我认为小明的说法正确．理由如下： ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴四边形是平行四边形． ∴． ∴的长度就是篮板的高度． 36．如图所示，从A地到B地要经过一条小河（河的两岸平行），现要在河上建一座桥（桥垂直于河的两岸），应如何选择桥的位置，才能使从A地到B地的路程最短？    【答案】见解析 【分析】根据桥垂直于河的两岸可得桥的长度为定值，将点A向下平移至点C，使的长等于河宽，连接，与河岸相交于点N，过点N作于点M，连接．利用平行四边形的性质可得为所建桥的位置． 【详解】解：如图，将点A向下平移至点C，使的长等于河宽；连接，与河岸相交于点N，过点N作于点M，连接．则为所建桥的位置．    ∵桥垂直于河的两岸， ∴可得桥的长度为定值， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点与点之间线段最短，为定值， ∴最短，即从A地到B地的路程最短， ∴为所建桥的位置． 【点睛】此题考查了平移及最短路径问题及平行四边形得判定与性质，主要利用“两点之间线段最短”，但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题．目前，往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化，以后还会学习一些线段转化的方法． 37．问题背景：如图，在等边中，、两点分别在边、上，，以为边作等边，连接，，．    问题探究： (1)求证：为等边三角形； (2)求证：四边形为平行四边形； (3)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【分析】（）证，得，， 再证，即可得出结论； （）由等边三角形的性质得，， 再证， 然后证，即可得出结论； （）过作于，由（）可知，再由等边三角形的性质得，然后用面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，，                            ∵是等边三角形， ∴，，                                             ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，，               ∵， ∴， ∴是等边三角形； （2）证明：由（）可知，是等边三角形， ∴，， ∴，              ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （3）解：如图，过作于，则，    由（）可知，， ∵是等边三角形， ∴，                  ∴， ∴， ∴，                       ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定定理、平行四边形的判定定理、解直角三角形、含角的直角三角形的性质，解题的关键在熟练掌握相关的性质定理． 题型13.平行四边形中的折叠问题 38．如图，在中，将沿对折，使点B落在处，和相交于点O．则与的数量关系为________． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的折叠问题，在于利用平行四边形的性质可得，再证明，即可说明与的数量关系. 【详解】解：∵ 是由沿对折得到的图形， ∴， ∵在平行四边形中，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：. 39．如图，在平行四边形中，点E 在边上，以为折痕，将折叠，使点A 恰好落在边的点F上，若的周长为12，的长为3，则的周长为_______． 【答案】6 【分析】本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质、三角形周长的计算，由折叠的性质得出，由的周长得出，即可求出的周长． 【详解】解：由折叠的性质得：， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴的周长； 故答案为：6． 40．如图，折叠平行四边形，使折痕经过点B，交边于点E，点C落在延长线上的点G处，点D落在点H处，得到四边形．若平行四边形的面积是8，则下列结论中正确的是（    ） A．四边形不是平行四边形 B． C．设四边形的面积为y，四边形的面积为x，则y与x的函数关系式是 D．若，则点E到的距离为1 【答案】C 【分析】根据折叠的性质，得，，结合四边形是平行四边形，得到，，，继而得到，得到得到，得到；，继而得到，可判定四边形是平行四边形；根据平行四边形的面积是8，四边形的面积为y，四边形的面积为x，得到，根据折叠的性质，得到，从而得到；根据，结合平行四边形的面积是8，得到四边形等于，设点E到的距离为h，则，解得，解答即可． 本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定与性质、折叠的性质以及图形面积表示等知识． 【详解】根据折叠的性质，得，， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴ ∴， ∴；， ∴， ∴四边形是平行四边形； 故A，B都错误； ∵平行四边形的面积是8，四边形的面积为y，四边形的面积为x， ∴，根据折叠的性质，得到， ∴； 故C正确； ∴，平行四边形的面积是8， ∴四边形等于， 设点E到的距离为h， 则 ， 解得， 故D错误． 故选C． 41．在平行四边形纸片上，E为边上一点，将沿折叠，点D的对应点为． (1)如图1，当点恰好落在边上时，判断四边形的形状，并说明理由； (2)如图2，当E，F为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试猜想线段与的数量关系，并加以证明； (3)如图3，当，时，连接并延长，交边于点H．若平行四边形的面积为12，，直接写出线段的长． 【答案】(1)四边形是平行四边形，理由见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）利用平行四边形的性质及折叠的性质可得，，可得四边形是菱形，可知，继而可知，即可求解； （2）利用折叠的性质可得，，结合三等分点可知，进而可得，利用三角 形外角性质可得，进而可知，可得四边形是平行四边形，再结合平行四边形的性质即可得与的 数量关系； （3）首先，由四边形是平行四边形，得，再由，，得，由折叠可知：，易知为等腰直角三角形，延长交于M，可知 ，由平行四边形的性质可得，，，进而可知，由平行四边形的面积为12，，得，求得，可得，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴ ，，则， 由折叠可知：，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：，证明如下： ∵ 四边形是平行四边形， ∴，， 又∵为边的三等分点， ∴， 由折叠可知，，则， ∴， 由三角形外角性质可知，， ∴， ∴ ， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴，则 ， ∴ ； （3）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， 由折叠可知， ∴ ， ∴为等腰直角三角形， ∴， 如图，延长交于，则， ∵四边形是平行四边形， ∴， ，，即， ∴， ∵平行四边形的面积为12，，即， ∴ ，则， ∴． 题型14,平行四边形中的动点问题 42．如图，在菱形中，分别是边上的动点，连接和分别为的中点，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【分析】连接，得到是的中位线，当时，最小，得到最小值，计算即可． 【详解】连接，如图所示： ∵四边形是菱形， ∴， ∵G，H分别为的中点， ∴是的中位线， ∴， 当时，最小，得到最小值， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故的最小值为． 故选：D． 【点睛】此题考查了菱形的性质，三角形中位线的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握菱形性质，三角形中位线的性质是解题的关键． 43．如图，在平行四边形中，，，，点、分别是边、上的动点．连接、，点为的中点，点为的中点，连接．则的最大值与最小值的差为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，取的中点，连接、、，作于，首先证明，求出，，利用三角形中位线定理，可知，求出的最大值以及最小值即可解决问题． 【详解】解：如图，取的中点，连接、、，作于， 四边形是平行四边形，，， ，， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， 在中，，， ， ，， ， 点在上， 的最大值为的长，最小值为的长， 的最大值为，最小值为， 的最大值为，最小值为， 的最大值与最小值的差为：． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理解直角三角形、含的直角三角形的特征、三角形中位线定理，解题关键是构造以为中位线的三角形． 44．如图，在平行四边形中，，，，点是上一动点，将沿折叠得到，当点恰好落在上时，____________，____________． . 【答案】 8 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理以及全等三角形的判定与性质，由平行四边形的性质得，由折叠得，从而得，所以；由平行四边形的性质得，，，，由折叠得，，，可证明，得；过点作于点，分别求出，，从而可求出即可得出结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵， ∴； 由折叠得，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵, ∴， 又， ∴， ∴； 过点作于点，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：8；． 45．的对角线相交于点，点是所在直线上的一个动点（点不与点，重合），分别过点，向直线作垂线，垂足分别为点，． 【问题呈现】如图1，当点与点重合时，线段和的数量关系是______： 【类比探究】当点运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并判断（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明，不成立，说明理由． 【答案】（1）；（2）成立，理由见解析 【分析】本题考查了平行四边形、全等三角形的性质和判定，以构建全等三角形和证明三角形全等这突破口，利用平行四边形的对角线互相平分得全等的条件，从而使问题得以解决． （1）证明即可得出结论； （2）（1）中的结论仍然成立，作辅助线，构建全等三角形，证明，得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出结论． 【详解】（1）解：， 如图1，∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ （2）解：仍然成立， 证明如下：延长，延长，交于点， ∵， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型15.平行四边形中的最值问题 46．如图，中，，，，则______，点P为上任意一点，连接，以、为邻边作平行四边形，连接，则的最小值______． 【答案】 5 【分析】根据勾股定理可得的长，设与交于点，过点作，由题意易得，要使的值为最小，则需满足的值也为最小，根据点到直线，垂线段最短可知：当时，的值为最小，即为的长，然后问题可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 设与交于点，过点作，如图所示： ∵四边形是平行四边形， ∴， 要使的值为最小，则需满足的值也为最小，根据点到直线，垂线段最短可知：当时，的值为最小，即为的长， 连接，设，则， ∴， 在中，由勾股定理得：；在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值为． 47．如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点O在原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，，，D为的中点，E、F是边上的两个动点，且，则的最小值为_______． 【答案】2 【分析】在上截取点G，使得，作点D关于y轴的对称点，连接，，，根据长方形得到，，，即可证明四边形是平行四边形，因此，根据点D与点关于y轴对称得到，，因此，根据勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：在上截取点G，使得，作点D关于y轴的对称点，连接，，， ∵四边形是长方形， ∴，，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵点D与点关于y轴对称，且点D在x轴上， ∴点在x轴上，，， ∴， ∵，， ∴在中，， ∴， 即的最小值为． 48．如图，在平行四边形中，，，E是边延长线上一点，连接，是等边三角形，连接，则的最小值是（　　） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、含的直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键。 如图：在射线上取点G，使，连接，，根据平行四边形性质证明是等边三角形，得到，，根据是等边三角形，得到，得到，可证，可得，即，由点F在直线上运动，则当时，根据含的直角三角形的性质得到的值即可． 【详解】解：如图：在射线上取点G，使，连接，， ∵平行四边形中， ，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点F在直线上运动， 当时，最小， 此时，， ∴, ∴的最小值为． 故选：D． 49．【情境】如图1，有一张的铁板，经测量可知，，的面积为24． 【操作】点是上的一动点（点与点，不重合）．将平行四边形铁板分别沿，剪成三块，并按图2所示拼接成钻石五边形（注：图2中的①，②是将图1中的①，②翻转背面朝上，再拼接而成的）． (1)【探究】问题1：在中，______； (2)问题2：当切割线与相互垂直时，请利用尺规作图在图3中确定点位置；（不写作法，保留作图痕迹） (3)【拓展】问题3：当点是的中点时，求的长； (4)问题4：当点在的什么位置上时，的长最小？请求出这个最小值． 【答案】(1)135 (2) (3) (4)当时，的长最小，长的最小值是 【分析】（1）根据平行四边形对平行的性质即可求解． （2）根据过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图法作图即可． （3）连接交于P，根据平行四边形的性质得到，即点P是的中点，过D作于H，于E，根据三角形的中位线的性质得到，，根据已知条件得到，解直角三角形即可得到结论． （4）（2）由题意得，，，于是得到，当时，的长最小，过D作于H，根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式得到，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：略； （3）解：连接交于， ∵四边形是平行四边形， ，即点是的中点， 过作于，于， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （4）解：由题意得，，， ， ， 当时，的长最小， 过作于， 由问题3求得， ， ， ， ， ， ， 长的最小值是． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，三角形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键． 题型16.平行四边形与坐标系综合 50．如图，的顶点，点在轴的正半轴上，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，交于点．②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内相交于点．③画射线，交于点，则点的坐标为_____． 【答案】 【分析】先根据作图判断平分，再结合平行四边形的性质证明，轴，进而设，结合勾股定理，利用建立方程，解方程即可求解． 【详解】解：根据作图可知：平分， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∵的顶点，点在轴的正半轴上， ∴轴，即轴， ∵， ∴设， ∴，， ∵， ∴，解得 ∴． 51．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边在x轴上，B的坐标为，，．按以下步骤作图：以点B为圆心，小于的长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P；作射线交于点E，若，点E的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过作轴，过作，先得到，进而得到点坐标，再证，则，然后可得点坐标． 【详解】解：过作轴，过作， ，则， ，又， ， ， ， ， ，则， 由作图可知为的角平分线， ， 又， ， ， ， ，即． 52．在几何问题中我们经常应用勾股定理解决相关问题，其中会涉及到无理数的平方计算，相关计算公式为：和，例如：， 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边，分别是边上的动点，点以每秒2个单位的速度从点向点运动，同时点以每秒个单位的速度从点向点运动，当其中一点到达终点时，两点都停止运动，设运动时间为． (1)点的坐标为___________； (2)连接，交于点，过点作于，当___________时，三点在一条直线上； (3)当点运动到的中点时，在平面内找一点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为___________． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）过点作于点，然后根据题意可得点，进而问题即可求解； （2）由题意得，则有，当点、、三点共线时，可知，然后问题可求解； （3）由题意可知当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，则可分①当为对角线时；②当以为对角线时；③当以为对角线时，然后分类求解即可． 【详解】（1）解：过点作于点，如图所示： ， 是等腰直角三角形， ， 解得， ， 四边形是平行四边形，， ， ； （2）解：由题意得：是等腰直角三角形， ， 在中，， ， 当点、、三点共线时，如图， ， ， ， 解得， 当时，、、三点在一条直线上； （3）解：由（2）及题意可知：， 当点运动到的中点时，则有， 解得， ， 当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，则可分为如下： ①当为对角线时，，且， 又∵， ∴点C对应点Q，点P对应点M， ∵点C至点Q横坐标减1，纵坐标减1， ； ②当以为对角线时，，且， 又∵， ； ③当以为对角线时，即，且， 又∵， ， 综上所述：当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，则点坐标为或或． 题型17.多结论判断问题 53．已知直线及线段，点在直线上，点在直线外．如图所示， （1）在直线上取一点（不与点重合），连接； （2）以点为圆心，长为半径作弧，以点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点（与点位于直线异侧）； （3）连接交于点，连接，． 根据以上作图过程及所作图形，在下列结论：①；②；③中，一定正确的是______（填写序号）． 【答案】② 【分析】根据作图可得，则四边形是平行四边形，进而即可求解． 【详解】解：根据作图可得，则四边形是平行四边形， ∴，不一定相等，，故①不一定正确，②正确， ∵不一定相等，则不一定成立，即③不一定正确． 54．如图，在中，平分交于点，连接，点分别是的中点，连接．交于点．延长交于点．则下列结论中：①平分；②；③；④；⑤，正确的有（   ）个 A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】根据平行四边形的判定与性质，证明，所以，进而可以判断①；根据三角形中位线定理，证明四边形是平行四边形，进而可以判断②；由，进而可以判断③；根据勾股定理，进而可以判断④；证明四边形是平行四边形，所以，进而可以判断⑤． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分，故①正确； ∵点M，N分别是的中点， ∴，， ∴，， ∵，，， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵，， ，故③正确； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，故④错误； ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，故⑤正确， 综上所述：结论正确的有①②③⑤． 55．如图，在中，，于，于，，相交于，延长交的延长线于点．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】先证明是等腰直角三角形，即可判断①，利用平行四边形对角相等、直角三角形两个锐角互余以及同角或等角的余角相等即可判断②，证明，即可判断④和③，利用平行四边形对边相等进一步可以判断⑤． 【详解】解：∵中，，于， ∴， ∴，是等腰直角三角形， ∴，故①正确； ∵于，于， ∴， ∴， ∵在中， ∴，故②正确； ∵，，， ∴，故④错误； ∴， ∵在中，， ∴，故③正确； ∵，故⑤正确； 故选：B ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，解题关键是发现全等三角形． 题型18.平行四边形存在性问题 56．如图，在平面直角坐标系平行四边形中，点坐标为，点在轴上，，．动点从点出发，沿射线以每秒2个单位的速度运动，同时，动点从点出发沿边向点O以每秒1个单位的速度运动．当点到达点时，点也随之停止运动． （1）的长为___________； （2）若在轴上有一点，使得以为顶点的四边形为平行四边形，则点的坐标为___________． 【答案】 8 或 【分析】(1)过C作于E， 根据含角的直角三角形的性质，结合点C坐标求出，从而求出的长，最后求出的长； (2)首先， 设运动时间为秒，则，接着， 求得， ，，然后，设，再分为平行四边形对角线，为平行四边形对角线两种情况，结合平行四边形的性质求解． 【详解】解：（1）如图1，过C作于E， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）：设运动时间为秒，则． 在中，，， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 如图1，过P作于F，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵D在y轴上， ∴设， 如图2，当为平行四边形对角线时， 在平行四边形中，， ∴， ∴， ， ∴， ∴； 如图3，当为平行四边形对角线时， 在平行四边形中，， ∴， ∴， ， ∴， ∴． 综上，点D的坐标为或． 57．在平面直角坐标系中，已知点，点，点，点从点出发，以2个单位每秒的速度沿射线运动，点从点出发，开始以1个单位每秒的速度向原点运动，到达原点后停止运动，若两点同时出发，设运动时间为秒，则当_____时，以点为顶点的四边形为平行四边形． 【答案】1或3 【分析】利用A、B、C的坐标可得到，根据平行四边形的判定，当时，以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形，分情况讨论，计算即可． 【详解】解：， 轴， ， 当时，以点为顶点的四边形为平行四边形， 若时，，此时，解得； 若时，，此时，解得； 综上所述，当t为1或3时，以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形． 58．如图，在中，，，，过点作，且点在点的右侧．点从点出发沿射线方向以每秒个单位的速度运动，同时点从点出发沿射线方向以每秒个单位的速度运动，在线段上取点，使得，连接，设点的运动时间为秒． (1)①________，________（用含的式子表示）； ②若，求的长． (2)请问是否存在的值，使以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①，；② (2)存在，或12 【分析】（1）①由运动知，，即可得出结论； ②作于M，由已知条件得出，由等腰三角形的性质得出，由直角三角形斜边上的中线性质得出，证出和是等腰直角三角形，得出，，由得出方程，解方程即可； （2）分两种情况：当点Q、E在线段上时；当点Q、E在线段的延长线上时；由平行四边形的判定得出，得出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：①由运动知，，， ∵在线段上取点，使得， ∴； ②作于M，如图所示， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴和是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：存在， ∵， ∴若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，则， 分以下两种情况讨论： （ⅰ）当点Q、E在线段上时， 若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形， 则， ∴， ∴， 解得：； （ⅱ）当点Q、E在线段的延长线上时， 若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形， 则， ∴， ∴， 解得：； 综上所述，存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，此时或12秒． 题型19.三角形中位线求解问题 59．已知的周长为，点，，分别为三条边的中点，求的周长． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的中位线定理，即三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，准确计算是解题的关键． 根据已知条件得出、、都是的中位线，计算即可得解； 【详解】、、分别为三边的中点， 、、都是的中位线， ，，， 故的周长． 60．如下图，在四边形中，，，分别是，的中点，延长交的延长线于点，延长交的延长线于点． (1)求证：． (2)若，，则的度数为 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）如图，连接，取的中点，连接，，根据中位线的性质得到，，通过两直线平行，内错角相等得到，同理得到；根据等腰三角形的性质得到，即可得到结论； （2）由（1）可知，、、，通过平行线的性质，结合三角形外角的性质得到，最后通过等腰三角形的性质即可求出的度数． 【详解】（1）证明：如图，连接，取的中点，连接，． 是的中点，是的中点， 是的中位线， ，， ． 同理，， ． ， ， ， ． （2）． 由（1）知， ， ． 由（1）知， ，， ． 由（1）知， ， ． 【点睛】本题考查了中位线，平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，三角形外角的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 61．已知在中，点E为边的中点． (1)如图1，若，求证：平分； (2)如图2，点F为延长线上一点，且， ①求证：； ②若，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）延长交于点，先证明，再得到垂直平分，然后由等腰三角形的性质以及平行线的性质证明即可； （2）①延长交于点，过点作于点，连接，根据等腰三角形的判定结合等量代换即可证明；②可设，则，则，那么，由题意可得，，则由勾股定理得，列出方程求解得到，则，，再由三角形的中位线定理得到，即可求解平行四边形的面积． 【详解】（1）证明：延长交于点， ∵中，， ∴， ∵点E为边的中点 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴， ∴平分； （2）证明：①如图，延长交于点，过点作于点，连接， 由（1）得， ∵ ∴ ∴ ∴； ②由（1）得， ∴ ∵平行四边形 ∴ ∵ ∴ 设，则 ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵ ∴ ∴ 解得， ∴， 由（1）知，而， ∴ ∴ ∴的面积． 题型20.三角形中位线证明问题 62．如图，在中，D，E，F分别是的中点，连接．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见详解 【分析】首先根据三角形中位线的性质证明，，然后根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”证明结论即可． 【详解】证明：∵D，E分别是的中点， ∴， ∵E，F分别是的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形． 63．已知：在中，点D、E分别是、上的点，，且．求证：是的中位线． 【答案】 证明：延长到点，使，连接， ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴， ∵ ∴ 又∵ ∴是的中位线． 【分析】延长到点，使，连接，证明四边形是平行四边形，进而证明得出，，进而可得，结合，即可得证． 【详解】略 64．如图，在中，点E是的中点，点P是上一点，连接，交于点M，N是上一点，且，连接并延长交于点F． 【初步尝试】 （1）四边形是平行四边形吗？如果是，请写出证明过程；如果不是，请说明理由； 【深入探究】 （2）如图2，若在图1的基础上连接交于点H，过点A作交于点G， ①猜想与的数量关系，并说明理由； ②如图3，当点P为中点时，若，，且，请求出的面积（结果用含a，b的式子表示）． 【答案】（1）四边形是平行四边形，见解析；（2）①，见解析；②的面积为 【分析】（1）根据四边形是平行四边形，得出，结合点E是的中点，，根据三角形中位线定理得出，即可证明四边形是平行四边形． （2）①如图，作交于点K，则四边形是平行四边形， 得出，根据四边形、是平行四边形，得出，，则，，证明，得出，则，再证明，得出，即可得． ②如图，延长交的延长线于点R，证明，得出，，，作交的延长线于点L，作于点Q，证明四边形是平行四边形，得出，则，，结合，证出是直角三角形，且，则，再根据，得出，即可得． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形． （2）①解：；理由如下： 如图，作交于点K， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形、是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴． ②如图，延长交的延长线于点R， ∵点P为中点，， ∴，， 又， ∴， ∴，， ∴， 作交的延长线于点L，作于点Q， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为． 题型21.三角形中位线应用问题 65．如图，在中，，，，D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，连接DE，DF，EF，的度数为53°． (1)求∠C的度数； (2)求四边形ADEF的周长． 【答案】(1)37° (2)7 【分析】（1）根据D，F分别是边AB，AC的中点，得到DF//BC，进而得出∠B＝∠ADF＝53°，再由三角形内角和180°，即可得到∠C的度数． （2）根据D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，得到DE//AC，，EF//AB，，结合，，可求出DF，EF的长，进而得到四边形ADEF的周长． 【详解】（1）解：∵D，F分别是边AB，AC的中点， ∴DF//BC， ∵∠ADF＝53°， ∴∠B＝∠ADF＝53°， ∵∠A＝90°， ∴∠C＝180°－90°－53°＝37°． （2）解：∵D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点， ∴DE//AC，，EF//AB，，AF=AC，AD=AB， ∵，， ∴AF＝DE＝2，， ∴四边形ADEF的周长． 【点睛】此题主要考查了三角形内角和定理，三角形中位线定理，四边形周长等知识，掌握三角形中位线平行且等于第三边的一半是解题关键． 66．如图1，是由单位长度为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．、两点在格点，点在网线上．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．    (1)在图1中，取中点，再过点画线段，使； (2)在图2中，找一点，连，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）取于网格线的交点，取格点，作射线交网格线于点，则即为所求， （2）如图所示，取于网格线的交点，作，连接交于点，连接并延长，交于点，取与网格线的交点，连接，则点即为所求 【详解】（1）如图所示，取于网格线的交点，取格点，作射线交网格线于点，则即为所求，    ∵根据中位线的性质可得，是的中点，是矩形， ∴； （2）如图所示，取于网格线的交点，作，连接交于点， 连接并延长，交于点，取与网格线的交点，连接，则点即为所求， 则， ∴ 则， ∵ 则    【点睛】本题考查了中位线的性质，矩形的性质，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 67．在中，为的中点，分别延长，到点，，使；过，分别作，的垂线，相交于．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】取、的中点M、N，并连接、、、．根据直角三角形斜边中线性质易得，进而证明． 【详解】解：如图，分别取、的中点M、N，并连接、、、． ∵为的中点， ∴，，，， ， ∵M、N分别为直角三角形斜边的中点， ，， ， ∴， ， ， ∴、为顶角相等的等腰三角形， ． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形和等腰三角形的性质，解题的关键是正确做出辅助线． . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03平行四边形期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解平行四边形的定义，掌握平行四边形边、角、对角线的性质。 2.熟记平行四边形五种判定方法，理清性质与判定的内在区别与联系。 3.了解平行四边形的对称性，掌握平行四边形常见衍生几何结论。 1.能够利用平行四边形的性质，求解线段长度、角度、周长与面积。 2.能根据题干已知条件，灵活选取判定定理，规范完成几何证明。 3.能够结合平行线、全等三角形等知识，解决平行四边形综合计算题与证明题。 1.基础层面：熟练搞定选择、填空题，熟练边角计算、性质辨析基础题型。 2.解答层面：熟练掌握平行四边形证明题解题思路，书写规范、逻辑完整。 3.综合层面：能处理平行四边形中档综合题型，掌握简单几何探究题型。 题型01.数图形中的平行四边形个数 题型02.平行四边形的性质求解 题型03.平行四边形性质证明 题型04.平行四边形性质应用 题型05.证明四边形是平行四边形 题型06.添条件使四边形是平行四边形 题型07.判断能否构成平行四边形 题型08.全等三角形拼平行四边形 题型09.三点构成平行四边形顶点计数 题型10.平行四边形性质与判定求解 题型11.平行四边形性质与判定证明 题型12.平行四边形性质与判定应用 题型13.平行四边形中的折叠问题 题型14,平行四边形中的动点问题 题型15.平行四边形中的最值问题 题型16.平行四边形与坐标系综合 题型17.多结论判断问题 题型18.平行四边形存在性问题 题型19.三角形中位线求解问题 题型20.三角形中位线证明问题 题型21.三角形中位线应用问题 知识点01:平行四边形 核心定义 1.基本元素：边（4 条，分对边、邻边）、角（4 个，分对角、邻角）、对角线（2 条，互相相交）、对称中心（对角线的交点）。 2.平行四边形基本元素：边、角、对角线。 知识点02:平行四边形核心性质(必考.知平行四边形推边角特征) 维度 性质 几何语言 图示 边 对边平行且相等 AB∥CD，AB=CD；AD∥BC，AD=BC 角 对角相等，邻角互补 ∠A=∠C，∠B=∠D；∠A+∠B=180∘ 对角线 互相平分 AO=OC，BO=OD 面积 S=底×对应高（S=ah） 同底等高的平行四边形面积相等 补充二级结论 1.平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形； 2.一条对角线平分平行四边形面积； 3.两条对角线分成四个面积相等的小三角形； 4.周长公式：C=2(相邻两边之和) 知识点03:平行四边形的判定（根据条件，证明四边形是平行四边形） 分类 判定定理 适用场景 定义法 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 题目已知平行关系 边 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 题目已知线段相等 边（高频） 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 考试最简便、使用率最高 角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 已知角度条件 对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形 题干出现对角线 1.重点提醒：一组对边平行，另一组对边相等不能判定平行四边形，有可能是等腰梯形。 2.性质与判定区别 性质：由形推条件。已知平行四边形➜得出边、角、对角线关系。 判定：由条件推形。已知边角关系➜证明四边形是平行四边形。 知识点04:三角形中位线 （一）中位线定义 连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线。 (二)中位线与中线区别 名称 位置特征 端点特点 中位线 连接三角形两边中点 两端都在边上，不过顶点 中线 连接顶点与对边中点 一端顶点，一端在边上 2. 三角形中位线定理 3.两大作用 位置：证明两直线平行 数量：求线段长度、证明线段倍分关系 知识点05:.高频易错点（老师必强调） 易错点 错误表现 正确要求 判定误区 用 “一组对边平行，另一组对边相等” 判定平行四边形 此条件不能判定 图形认知 认为普通平行四边形是轴对称图形 普通平行四边形仅为中心对称图形 概念混淆 混淆中位线与中线 中位线无顶点，中线经过顶点 定理错误 记错中位线倍数，把第三边当成一半 中位线 =第三边 书写问题 证明缺少条件、跳步书写 严格依据定理，条件书写完整 题型01.数图形中的平行四边形个数 1．如图是由10个正三角形组成的网格，三角形的顶点A，B处有两枚棋子，若在格点上再放入两枚棋子，可以组成平行四边形的放法共有（   ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 2．如图，，若，则_____；图中共有_____个平行四边形． 3．如图，在中，，，，的交点在上，则图中面积相等的平行四边形有（   ）对 A．5 B．3 C．2 D．4 题型02.平行四边形的性质求解 4．在平行四边形中，对角线相交于点O，若， 则的长为（     ） A．4 B．5 C．8 D．10 5．在中，的平分线将分成和两条线段，则的周长为____． 6．如图，的对角线、交于点，平分交于点，且，，连接，下列结论：①；②；③；④．成立的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 7．已知，在中，点在边上，过点作于点，点在边上，在边上，且是等边三角形，连接，． (1)如图，若，，，求的长； (2)如图，若平分，，且，求证：． 题型03.平行四边形性质证明 8．如图，平行四边形的对角线，相交于点，下列结论不一定成立的是（   ）． A． B． C． D． 9．如图，平行四边形的对角线，相交于点，平分，分别交，于点，，连接，，，则下列结论：①；②；③；④．正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图，在平行四边形中，，点是的中点，过点的直线分别交，的延长线于点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型04.平行四边形性质应用 11．如图，王老师用四根木棒搭成了平行四边形的框架，量得，固定．逆时针转动，在转动过程中，关于平行四边形的面积变化情况：甲认为：先变大，后变小；乙认为：在转动过程中，平行四边形的面积有最大值，最大值是，则（　　）    A．甲说的对 B．乙说的对 C．甲、乙说的都对 D．甲、乙说的都不对 12．如图，在中，、分别是、边上的点，与交于点，与交于点，若，，则图中阴影部分的面积为________． 13．如图：的对角线交于点O．    (1)基础训练： 经过点O且与、分别相交于E、F．求证： (2)拓展变式 若将条件改为经过点O且与、的延长线分别相交于E、F，第（1）问的结论是否成立，请按题意画出图形，标注字母，并给予证明． (3)观察归纳 的对角线交于点O，直线是经过点O的任意一条直线，将的面积分为两部分，设四边形的面积为，四边形的面积为，则______．    (4)实践操作 你能否只画一条直线，将下图中两个平行四边形的面积同时平分，若能，请画出这条直线（用虚线画出辅助线）；若不能，请说明理由．    题型05.证明四边形是平行四边形 14．在四边形中，已知，，求证：四边形是平行四边形． 15．如图，在中，是边上的中线，E是的中点，过点A作交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)判断四边形的形状，并证明你的结论． 16．如图，在四边形中，，，，垂足分别为、，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，则四边形的周长是____________． 题型06.添条件使四边形是平行四边形 17．如图，在四边形中，，要使四边形成为平行四边形，则应添加的条件是（   ） A． B． C． D． 18．如图，，是对角线双向延长线上的两点，请你添加一个适当的条件：_________，使四边形是平行四边形． 19．如图，E、F是四边形的对角线上的两点．    (1)若，只添加一个条件：　 ，使四边形为平行四边形． (2)在（1）的条件下，若，，求证：四边形是平行四边形． 题型07.判断能否构成平行四边形 20．已知四边形的对角线和相交于点O，下列四组条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（） A．， B．， C．， D．， 21．如图，的对角线交于点O，点M，N，P，Q分别是四条边上不重合的点．下列条件：①，；②MP，NQ均经过点O；③NQ经过点O，．能判定四边形MNPQ是平行四边形的有____________（填序号）． 22．一个四边形的三个内角的度数依次如下，能判定该四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 题型08.全等三角形拼平行四边形 23．在等腰三角形纸片中，，，将此等腰三角形纸片沿底边上的中线剪成两个全等的三角形，用这两个三角形拼成一个平行四边形，则平行四边形的周长为______． 24．如图，将绕边的中点O顺时针旋转．嘉淇发现，旋转后的与构成平行四边形，并推理如下：小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∵，”和“∴四边形…”之间作补充，下列补充不正确的是（ ） 点A，C分别转到了点C，A处， 而点B转到了点D处． ∵， ∴四边形是平行四边形． A．应补充：且 B．应补充：且 C．应补充：且 D．应补充：且 25．如图，在中，过点作，是的中点，连接并延长，交于点，连接，．求证：四边形是平行四边形． 题型09.三点构成平行四边形顶点计数 26．如图，在的正方形网格图中有、、三点，网格中以、、三点为顶点的平行四边形有（   ）个 A． B． C． D．无数 27．在平面直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点坐标分别是，，，则平行四边形第四个顶点D的坐标______． 28．如图，在4×6的网格中，点M，N，P，Q都在格点上，能与格点O，A，B连接得到平行四边形的是（   ） A．点M B．点N C．点P D．点Q 题型10.平行四边形性质与判定求解 29．如图，在四边形中，平分交于点，交的延长线于点为延长线上一点，． （1）求证； （2）求的度数． 30．如图，在四边形中，，点在上，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，平分，，求四边形的周长． 31．已知，． (1)如图1，若以为边作等边，且点E恰好在边上，直接写出此时的面积； (2)如图2，若以为斜边作等腰直角，且点F恰好在边上，过C作交BF于G，连接． ①依题意将图2补全； ②用等式表示此时线段之间的数量关系，并证明； (3)如图3，以为边作，且，．若，直接用等式表示此时与的数量关系． 题型11.平行四边形性质与判定证明. 32．如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，E、F为上的两点且．求证：． 33．如图，平行四边形的对角线相交于点，点在上，点在边BD上，且，．求证：． 34．如图，在等边中，点D、E分别是、边上的一点（点D不与端点重合），且，，连接、． (1)求证：； (2)将沿翻折，得到．在上取一点O，使，延长交于点P． ①求证：四边形是平行四边形； ②若，试求线段和之间的数量关系，并证明． 题型12.平行四边形性质与判定应用 35．如图（1）所示是某校篮球架实物图，如图（2）所示是篮球架的侧面示意图，篮板边侧垂直于地面．八年级的“综合与实践”数学小组开展测量篮球架篮板高度的实践活动．在不便于直接测量的情况下，小组设计了如下测量方法：如图（3）所示，小组成员将竹竿垂直固定在地面上，小明从竹竿上的F点处观察篮板底部B点，用测角仪测量视线与竹竿的夹角的度数为，接着将观察点沿着竹竿向上移动到G点，使得从G点观察篮板顶部A点的视线与竹竿的夹角的度数恰好等于的度数时，在竹竿上标注G点的位置，测量的长度为．活动分享时，小明说：“的长度就是篮板的高度”，你认为小明的说法是否正确，并说明理由． 36．如图所示，从A地到B地要经过一条小河（河的两岸平行），现要在河上建一座桥（桥垂直于河的两岸），应如何选择桥的位置，才能使从A地到B地的路程最短？    37．问题背景：如图，在等边中，、两点分别在边、上，，以为边作等边，连接，，．    问题探究： (1)求证：为等边三角形； (2)求证：四边形为平行四边形； (3)若，求四边形的面积． 题型13.平行四边形中的折叠问题 38．如图，在中，将沿对折，使点B落在处，和相交于点O．则与的数量关系为________． 39．如图，在平行四边形中，点E 在边上，以为折痕，将折叠，使点A 恰好落在边的点F上，若的周长为12，的长为3，则的周长为_______． 40．如图，折叠平行四边形，使折痕经过点B，交边于点E，点C落在延长线上的点G处，点D落在点H处，得到四边形．若平行四边形的面积是8，则下列结论中正确的是（    ） A．四边形不是平行四边形 B． C．设四边形的面积为y，四边形的面积为x，则y与x的函数关系式是 D．若，则点E到的距离为1 41．在平行四边形纸片上，E为边上一点，将沿折叠，点D的对应点为． (1)如图1，当点恰好落在边上时，判断四边形的形状，并说明理由； (2)如图2，当E，F为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试猜想线段与的数量关系，并加以证明； (3)如图3，当，时，连接并延长，交边于点H．若平行四边形的面积为12，，直接写出线段的长． 题型14,平行四边形中的动点问题 42．如图，在菱形中，分别是边上的动点，连接和分别为的中点，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D．1 43．如图，在平行四边形中，，，，点、分别是边、上的动点．连接、，点为的中点，点为的中点，连接．则的最大值与最小值的差为（    ） A． B． C． D． 44．如图，在平行四边形中，，，，点是上一动点，将沿折叠得到，当点恰好落在上时，____________，____________． . 45．的对角线相交于点，点是所在直线上的一个动点（点不与点，重合），分别过点，向直线作垂线，垂足分别为点，． 【问题呈现】如图1，当点与点重合时，线段和的数量关系是______： 【类比探究】当点运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并判断（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明，不成立，说明理由． 题型15.平行四边形中的最值问题 46．如图，中，，，，则______，点P为上任意一点，连接，以、为邻边作平行四边形，连接，则的最小值______． 47．如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点O在原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，，，D为的中点，E、F是边上的两个动点，且，则的最小值为_______． 48．如图，在平行四边形中，，，E是边延长线上一点，连接，是等边三角形，连接，则的最小值是（　　） A． B．2 C． D． 49．【情境】如图1，有一张的铁板，经测量可知，，的面积为24． 【操作】点是上的一动点（点与点，不重合）．将平行四边形铁板分别沿，剪成三块，并按图2所示拼接成钻石五边形（注：图2中的①，②是将图1中的①，②翻转背面朝上，再拼接而成的）． (1)【探究】问题1：在中，______； (2)问题2：当切割线与相互垂直时，请利用尺规作图在图3中确定点位置；（不写作法，保留作图痕迹） (3)【拓展】问题3：当点是的中点时，求的长； (4)问题4：当点在的什么位置上时，的长最小？请求出这个最小值． 题型16.平行四边形与坐标系综合 50．如图，的顶点，点在轴的正半轴上，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，交于点．②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内相交于点．③画射线，交于点，则点的坐标为_____． 51．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边在x轴上，B的坐标为，，．按以下步骤作图：以点B为圆心，小于的长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P；作射线交于点E，若，点E的坐标是（   ） A． B． C． D． 52．在几何问题中我们经常应用勾股定理解决相关问题，其中会涉及到无理数的平方计算，相关计算公式为：和，例如：， 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边，分别是边上的动点，点以每秒2个单位的速度从点向点运动，同时点以每秒个单位的速度从点向点运动，当其中一点到达终点时，两点都停止运动，设运动时间为． (1)点的坐标为___________； (2)连接，交于点，过点作于，当___________时，三点在一条直线上； (3)当点运动到的中点时，在平面内找一点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为___________． 题型17.多结论判断问题 53．已知直线及线段，点在直线上，点在直线外．如图所示， （1）在直线上取一点（不与点重合），连接； （2）以点为圆心，长为半径作弧，以点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点（与点位于直线异侧）； （3）连接交于点，连接，． 根据以上作图过程及所作图形，在下列结论：①；②；③中，一定正确的是______（填写序号）． 54．如图，在中，平分交于点，连接，点分别是的中点，连接．交于点．延长交于点．则下列结论中：①平分；②；③；④；⑤，正确的有（   ）个 A．5 B．4 C．3 D．2 55．如图，在中，，于，于，，相交于，延长交的延长线于点．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 题型18.平行四边形存在性问题 56．如图，在平面直角坐标系平行四边形中，点坐标为，点在轴上，，．动点从点出发，沿射线以每秒2个单位的速度运动，同时，动点从点出发沿边向点O以每秒1个单位的速度运动．当点到达点时，点也随之停止运动． （1）的长为___________； （2）若在轴上有一点，使得以为顶点的四边形为平行四边形，则点的坐标为___________． 57．在平面直角坐标系中，已知点，点，点，点从点出发，以2个单位每秒的速度沿射线运动，点从点出发，开始以1个单位每秒的速度向原点运动，到达原点后停止运动，若两点同时出发，设运动时间为秒，则当_____时，以点为顶点的四边形为平行四边形． 58．如图，在中，，，，过点作，且点在点的右侧．点从点出发沿射线方向以每秒个单位的速度运动，同时点从点出发沿射线方向以每秒个单位的速度运动，在线段上取点，使得，连接，设点的运动时间为秒． (1)①________，________（用含的式子表示）； ②若，求的长． (2)请问是否存在的值，使以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 题型19.三角形中位线求解问题 59．已知的周长为，点，，分别为三条边的中点，求的周长． 60．如下图，在四边形中，，，分别是，的中点，延长交的延长线于点，延长交的延长线于点． (1)求证：． (2)若，，则的度数为 ． 61．已知在中，点E为边的中点． (1)如图1，若，求证：平分； (2)如图2，点F为延长线上一点，且， ①求证：； ②若，，，求的面积． 题型20.三角形中位线证明问题 62．如图，在中，D，E，F分别是的中点，连接．求证：四边形是平行四边形． 63．已知：在中，点D、E分别是、上的点，，且．求证：是的中位线． 64．如图，在中，点E是的中点，点P是上一点，连接，交于点M，N是上一点，且，连接并延长交于点F． 【初步尝试】 （1）四边形是平行四边形吗？如果是，请写出证明过程；如果不是，请说明理由； 【深入探究】 （2）如图2，若在图1的基础上连接交于点H，过点A作交于点G， ①猜想与的数量关系，并说明理由； ②如图3，当点P为中点时，若，，且，请求出的面积（结果用含a，b的式子表示）． 题型21.三角形中位线应用问题 65．如图，在中，，，，D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，连接DE，DF，EF，的度数为53°． (1)求∠C的度数； (2)求四边形ADEF的周长． 66．如图1，是由单位长度为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．、两点在格点，点在网线上．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．    (1)在图1中，取中点，再过点画线段，使； (2)在图2中，找一点，连，使． 67．在中，为的中点，分别延长，到点，，使；过，分别作，的垂线，相交于．求证：． . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $