专题13.2 条件概率、随机变量、二项分布、超几何分布、正态分布-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦概率统计核心考点，涵盖条件概率、全概率公式、离散型随机变量、二项分布、超几何分布及正态分布，按“概念—公式—模型—应用”逻辑层次构建知识体系。通过考点精析、方法归纳、真题例解和分层练习，帮助学生突破公式应用与模型辨析难点，实现系统性复习与针对性提升。 讲义以“问题情境—数学建模—逻辑推理”为主线，创新采用生活化案例（如“粽子取馅”“旅游景点选择”）培养学生数学眼光，通过公式推导与模型对比（如二项分布与超几何分布抽样差异）发展数学思维。分层练习配合即时反馈，确保高效突破高频考点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供实用指导。

专题13.2条件概率、随机变量、二项分布、超几何分布、正态分布 13.2.1条件概率 1.条件概率定义：一般地，设，为两个事件，且，称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率． 注意：（1）条件概率中“”后面就是条件； （2）若，表示条件不可能发生，此时用条件概率公式计算就没有意义了，所以条件概率计算必须在的情况下进行． 2.条件概率性质： （1）条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即． （2）必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为0． （3）如果与互斥，则． 注意：（1）如果知道事件发生会影响事件发生的概率，那么； （2）已知发生，在此条件下发生，相当于发生，要求，相当于把看作新的基本事件空间计算发生的概率，即． 例1.端午节这天人们会悬菖蒲、吃粽子、赛龙舟、喝雄黄酒．现有9个粽子，其中2个为蜜枣馅，3个为腊肉馅，4个为豆沙馅，小明随机取两个，设事件为“取到的两个为同一种馅”，事件为“取到的两个均为豆沙馅”，则( ) A. B. C. D. 例2.现有甲、乙、丙、丁四位同学到夫子庙、总统府、中山陵、南京博物馆4处景点旅游，每人只去一处景点，设事件为“4个人去的景点各不相同”，事件为“只有甲去了中山陵”，则． 例3.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是，连续两天为优良的概率是，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ） A. B. C. D. 例4.从中任取个不同的数，事件“取到的个数之和为偶数”，事件“取到两个数均为偶数”，则（ ） A. B. C. D. 1.甲、乙两人到商店购买饮料，他们准备分别从加多宝、农夫山泉、雪碧这3种饮品中随机选择一种，且两人的选择结果互不影响.记事件“甲选择农夫山泉”，事件“甲和乙选择的饮品不同”，则（ ） A. B. C. D. 2.在某电路上有两个独立工作的元件，每次通电后，需要更换元件的概率为，需要更换元件的概率为，则在某次通电后有且只有一个需要更换的条件下，需要更换的概率是（ ） A. B. C. D. 3.如果分别是的对立事件，下列选项中不能判断事件与事件相互独立的是（ ） A. B. C. D. 4.如果不是等差数列，但若，使得，那么称为“局部等差”数列．已知数列的项数为4，记事件：集合，事件：为“局部等差”数列，则条件概率（ ） A. B. C. D. 5.设是两个随机事件，且，，则下列正确的是（ ） A.若，则与相互独立 B. C. D.与有可能是对立事件 6.张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到的概率为 ；已知第一次抽到的是，则第二次抽取的概率为 . 7.已知事件和是互斥事件，，，，则 ． 8.某地的中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为 . 13.2.2全概率公式和贝叶斯公式 1.全概率公式 （1）; （2）若样本空间中的事件满足： ①任意两个事件均互斥，即; ②; ③. 则对中的任意事件，都有，且 2.贝叶斯公式 （1）一般地，当且时，有. （2）定理2若样本空间中的事件满足： ①任意两个事件均互斥，即; ②; ③. 则对中的任意概率非零的事件，都有，且. 例1.设甲乘汽车、动车前往某目的地的概率分别为，汽车和动车正点到达目的地的概率分别为，则甲正点到达目的地的概率为（ ） A. B. C. D. 例2.某足球队在对球员的使用上总是进行数据分析，根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋、中锋、后卫以及守门员四个位置，且出场率分别为，且当乙球员担当前锋、中锋、后卫以及守门员时，球队输球的概率依次为．从以上数据可知，当乙球员参加比赛时，求该球队某场比赛不输球的概率． 例3. 某工厂有 两个生产车间，所生产的同一批产品合格率分别是 和 ，已知某批产品的 和 分别是 两个车间生产，质量跟踪小组从中随机抽取一件，发现不合格，则该产品是由 车间生产的概率为（ ） A. B. C. D. 例4.设患肺结核病的患者通过胸透被诊断出的概率为0.95,而未患肺结核病的人通过胸透被误诊为有病的概率为0.002,已知某城市居民患肺结核的概率为0.001.若从该城市居民中随机选出一人,通过胸透被诊断为肺结核,求这个人确实患有肺结核的概率. 1.英国数学家贝叶斯（1701-1763）在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献.根据贝叶斯统计理论，事件（的对立事件）存在如下关系：.若某地区一种疾病的患病率是，现有一种试剂可以检验被检验者是否患病，已知该试剂的准确率为，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有的可能呈现阳性，该试剂的误报率为，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈阳性的概率为（ ） A. B. C. D. 2.（多选）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件、存在如下关系：.某高校有甲、乙两家餐厅，王同学第一天去甲、乙两家餐厅就餐的概率分别为0.4和0.6.如果他第一天去甲餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.6；如果第一天去乙餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.5，则王同学（ ） A.第二天去甲餐厅的概率为0.54 B.第二天去乙餐厅的概率为0.44 C.第二天去了甲餐厅，则第一天去乙餐厅的概率为 D.第二天去了乙餐厅，则第一天去甲餐厅的概率为 3.阅读不仅可以开阔视野，还可以提升语言表达和写作能力.某校全体学生参加的期末过程性评价中大约有的学生写作能力被评为优秀等级.经调查知，该校大约有的学生每天阅读时间超过小时，这些学生中写作能力被评为优秀等级的占.现从每天阅读时间不超过小时的学生中随机抽查一名，该生写作能力被评为优秀等级的概率为（ ） A. B. C. D. 4.某汽修厂仓库里有两批同种规格的轮胎，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为．现从仓库中任抽取个轮胎，则这个轮胎是合格品的概率是（　　） A. B. C. D. 5.设某工厂购进盒同样规格的零部件，已知甲厂、乙厂、丙厂分别生产了其中的盒、盒、盒．若甲、乙、丙三个厂家生产该种零部件的次品率依次为，，，现从这盒中任取一盒，再从这盒中任取一个零部件，则取得的零部件是次品的概率为（　　） A. B. C. D. 6.某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪动，已知开关第一次闭合后，出现红灯和绿灯的概率都是．从开关第一次闭合起，若前次出现红灯，则下一次出现红灯的概率是，出现绿灯的概率是；若前次出现绿灯，则下一次出现红灯的概率是，出现绿灯的概率是，那么第二次闭合后出现红灯的概率是 . 7.有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2、3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1、2、3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%，现从加工出来的零件中任取一个零件，则取到的零件是次品，但是第1台车床加工的概率为 . 8.盒中放有12个乒乓球，其中9个是新的，3个是旧的．第一次比赛时，从中任意取出了3个来用，用完后仍放回盒中（新球用后成了旧球）．第二次比赛时再从盒中取出3个来用，求第二次取出的3个球均为新球的概率． 9.设某公路上经过的货车与客车的数量之比为，货车中途停车修理的概率为，客车中途停车修理的概率为，今有一辆汽车中途停车修理，求该汽车是货车的概率. 13.2.3离散型随机变量的分布列与数字特征 1.离散型随机变量的分布列 （1）随机变量：在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示.在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化.像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量.随机变量常用字母，，，，…表示. （2）离散型随机变量：对所有取值可以一一列出来的随机变量，称为离散型随机变量. （3）离散型随机变量的分布列的表示：一般地，若离散型随机变量可能取的不同值为，取每一个值( )的概率，以表格的形式表示如下： 我们将上表称为离散型随机变量的概率分布列，简称为的分布列.有时为了简单起见，也用等式表示的分布列. （4）根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下性质： ①；②. 2.离散型随机变量的均值与方差 （1）均值 若离散型随机变量的分布列为： 称为随机变量的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平. 注意：①均值刻画的是取值的“中心位置”，这是随机变量的一个重要特征； ②根据均值的定义，可知随机变量的分布完全确定了它的均值.但反过来，两个不同的分布可以有相同的均值.这表明分布描述了随机现象的规律，从而也决定了随机变量的均值.而均值只是刻画了随机变量取值的“中心位置”这一重要特征，并不能完全决定随机变量的性质. （2）均值的性质 ①（为常数）. ②若，其中为常数，则也是随机变量，且. ③. ④如果相互独立，则. （3）方差 若离散型随机变量的分布列为： 则称为随机变量的方差，并称其算术平方根为随机变量的标准差. 注意：①描述了相对于均值的偏离程度，而是上述偏离程度的加权平均，刻画了随机变量与其均值的平均偏离程度.随机变量的方差和标准差均反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度.方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小； ②标准差与随机变量有相同的单位，而方差的单位是随机变量单位的平方. （4）方差的性质 ①若，其中为常数，则也是随机变量，且. ②方差公式的变形：. 例1.袋中有大小相同质地均匀的5个白球、3个黑球，从中任取2个，则可以作为随机变量的是（    ） A．至少取到1个白球 B．取到白球的个数 C．至多取到1个白球 D．取到的球的个数 例2.已知随机变量的分布列为： 1 2 4 0.4 0.3 0.3 则等于（） A.15 B.11 C.2.2 D.2.3 例3.甲，乙两位同学组队去参加答题拿小豆的游戏，规则如下：甲同学先答道题，至少答对一题后，乙同学才有机会答题，同样也是两次机会.每答对一道题得粒小豆.已知甲每题答对的概率均为，乙第一题答对的概率为，第二题答对的概率为.若乙有机会答题的概率为. （1）求； （2）求甲，乙共拿到小豆数量的分布列及期望. 例4.已知随机变量 的分布列如下： 2 3 6 则的值为（ ） A. 2 B. 6 C. 8 D. 18 1.（多选）下列随机变量是离散型随机变量的是（     ） A．某景点一天的游客数X B．某寻呼台一天内收到寻呼次数X C．水文站观测到江水的水位数X D．某收费站一天内通过的汽车车辆数X 2.已知数据的平均数为，方差为，则数据的平均数与方差的和为（ ） A.6 B.15 C.19 D.22 3.已知随机变量满足，，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 4.现有张卡片，分别写上数字.从这张卡片中随机抽取张，记所抽取卡片上数字的最小值为，则 ， . 5.盒子里有4个球,其中1个红球, 1个绿球,2个黄球, 从盒中随机取球, 每次取1个, 不放回, 直到取出红球为止. 设此过程中取到黄球的个数为, 则 ; . 6.一个均匀小正方体的六个面中, 三个面上标有数字0, 两个面上标有数字 1, 一个面上标有数字2. 将这个小正方体抛掷2次, 则向上的数之积的数学期望是 . 7.袋中有4个红球个黄球,个绿球, 现从中任取两个球, 记取出的红球数为,若取出的两个球都是红球的概率为,一红一黄的概率为, 则 , . 8.甲、乙两名同学与同一台智能机器人进行象棋比赛，计分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得分；如果甲输而乙赢，则甲得分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得分.设甲赢机器人的概率为，乙赢机器人的概率为.求： （1）在一轮比赛中，甲的得分的分布列； （2）在两轮比赛中，甲的得分的分布列及期望. 9.甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立． (1)求甲学校获得冠军的概率； (2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望． 10.现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏. （1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率； （2）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率； （3）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记，求随机变量的分布列与数学期望. 13.2.4 两点分布和二项分布 1.两点分布 （1）若随机变量服从两点分布，即其分布列为： 其中，则称离散型随机变量服从参数为的两点分布.其中称为成功概率. ①两点分布的试验结果只有两个可能性，且其概率之和为； ②两点分布又称分布、伯努利分布，其应用十分广泛. （2）两点分布的均值与方差：若随机变量服从参数为的两点分布，则 ，. 2.次独立重复试验 （1）定义：一般地，在相同条件下重复做的次试验称为次独立重复试验. （2）独立重复试验的条件：①每次试验在同样条件下进行；②各次试验是相互独立的；③每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生. （3）特点：①每次试验中，事件发生的概率是相同的；②每次试验中的事件是相互独 立的，其实质是相互独立事件的特例. 3.二项分布 （1）定义：一般地，在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，不发生的概率，那么事件恰好发生次的概率是 于是得到的分布列 由于表中第二行恰好是二项式展开式：各对应项的值，称这样的离散型随机变量服从参数为的二项分布，记作，并称为成功概率. 注意：由二项分布的定义可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即时的二项分布，所以二项分布可以看成是两点分布的一般形式. （2）二项分布的适用范围及本质 适用范围：①各次试验中的事件是相互独立的； ②每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生； ③随机变量是这次独立重复试验中事件发生的次数. （3）本质：二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的. （4）二项分布的期望、方差：若，则，. 例1.2022年3月，全国大部分省份出现了新冠疫情，对于出现确诊病例的社区，受到了全社会的关注.为了把被感染的人筛查出来，防疫部门决定对全体社区人员筛查核酸检测，为了减少检验的工作量，我们把受检验者分组，假设每组有个人，把这个人的血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，这个人的血液全为阴性，因而这个人只要检验一次就够了；如果为阳性，为了明确这个人中究竟是哪几个人为阳性，就要对这个人再逐个进行检验.假设在接受检验的人群中，随机抽一人核酸检测呈阳性概率为，每个人的检验结果是阳性还是阴性是相互独立的.核酸检测通常有两种分组方式可以选择：方案一：10人一组；方案二：8人一组. （1）分别求出采用方案一和方案二中每组的化验次数的分布列和数学期望； （2）若该社区约有2000人，请你为防疫部门选择一种方案，并说明理由. （参考数据：，） 例2.某中学课外实践活动小组在某区域内通过一定的有效调查方式对“北京冬奥会开幕式”当晚的收看情况进行了随机抽样调查.统计发现，通过手机收看的约占，通过电视收看的约占，其他为未收看者： （1）从被调查对象中随机选取3人，其中至少有1人通过手机收看的概率； （2）从被调查对象中随机选取3人，用表示通过电视收看的人数，求的分布列和期望. 1.已知随机变量，则（ ） A. 2.已知某种疾病的某种疗法的治愈率为90%.若有1000位该病患者采取了这种疗法，且每位患者治愈与否相互独立，设其中被治愈的人数为X，P(X=k)>P(X=1000-k)，则（ ） A.k 3.某工厂产品合格的概率均为，各产品合格与否相互独立.设为该工厂生产的5件商品中合格的数量，其中，，则( ) A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.3 4.从一个装有4个白球和3个红球的袋子中有放回地取球5次，每次取球1个，记为取得红球的次数，则( ) A. B. C. D. 5.为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，有关部门要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售．已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响，若产品可以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元．已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利元，则( ) A. B. C. D. 6.某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力．每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有，参加过计算机培训的有．假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响． （1）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率； （2）任选3名下岗人员，记为3人中参加过培训的人数，求的分布列和期望． 7.投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审.若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用.设稿件能通过各初审专家评审的概率均为，复审的稿件能通过评审的概率为.各专家独立评审. （1）求投到该杂志的篇稿件被录用的概率； （2）记表示投到该杂志的篇稿件中被录用的篇数，求的分布列及期望. 8.如图为某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量（单位：吨）的频率分布直方图. （1）求直方图中的值； （2）若将频率视为概率，从这个城市随机抽取位居民（看作有放回的抽样），求月均用水量在至吨的居民数的分布列和数学期望. (注：直方图坐标轴信息：纵轴为，刻度包含；横轴为月均用水量/吨，区间为) 9.某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第层停靠.若该电梯在底层载有位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，用表示这位乘客在第层下电梯的人数，求： （1）随机变量的分布列； （2）随机变量的均值. 13.2.5 超几何分布 超几何分布：（1）定义：在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品， 则事件发生的概率为 称分布列为超几何分布列.如果随机变量的分布列为超几何分布列，则称随机变量服从超几何分布. （2）超几何分布的适用范围及本质 适用范围：①考察对象分两类； ②已知各类对象的个数； ③从中抽取若干个个体，考察某类个体个数的概率分布. （3）本质：超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的. 例1.为发展业务，某调研组对，两个公司的扫码支付情况进行调查，准备从国内个人口超过1000万的超大城市和8个人口低于100万的小城市中随机抽取若干个进行统计.若一次抽取2个城市，全是小城市的概率为. （1）求的值； （2）若一次抽取4个城市， ①假设抽取的小城市的个数为，求的可能值及相应的概率； ②若抽取的4个城市是同一类城市，求全为超大城市的概率. 例2.从某批产品中，有放回地抽取产品两次，每次随机抽取1件，假设事件：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”，其概率. (1)求从该批产品中任取1件是二等品的概率. (2)若该批产品共100件，从中无放回抽取2件产品，表示取出的2件产品中二等品的件数，求的分布列. 1.一批产品共有20件，其中2件次品，18件合格品，从这批产品中任意抽取2件，则至少有1件是次品的概率是（ ） A. B. C. D. 2.从一批含有13件正品，2件次品的产品中不放回地抽3次，每次抽取1件，设抽取的次品数为，则 A.2 B.1 C.3 D.4 3.设袋中有80个红球,20个白球,若从袋中任取10个球,则其中恰有6个红球的概率为( ) A. B. C. D. 4.从7男3女共10名学生干部中随机选出5名学生干部，抽到的女生人数的均值为（    ） A． B． C． D．2 5.盒子里面有大小和形状完全相同的4个黑球和6个红球,每次从中随机取一个球,取后不放回.在第一次取到黑球的条件下,第二次取到黑球的概率是________;若连续取2次球,随机变量表示取到的黑球个数,则________. 6.已知甲盒内有大小相同的3个红球和4个黑球,乙盒内有大小相同的5个红球和4个黑球,现从甲、乙两个盒内各任取2个球. (1)求取出的4个球均为红球的概率; (2)求取出的4个球中恰有1个红球的概率. 7.厂家在产品出厂前,需对产品做检验,厂家对一批产品发给商家时,商家按规定抽取一定数量的产品做检验,以决定是否验收这批产品: （1）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.3,从中任意取出4件进行检验,求至少有1件是合格产品的概率; （2）若厂家发给商家20件产品,其中有3件不合格,按合同规定该商家从中任取2件,来进行检验,只有2件产品合格时才接收这些产品,否则拒收,分别求出该商家检验出不合格产品为1件和2件的概率,并求该商家拒收这些产品的概率. 8.某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如下图所示，其中成绩分组区间是：. (注：图表纵轴为，刻度包含；横轴为成绩，刻度包含40,50,60,70,80,90,100) (1)求图中的值； (2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为，求的数学期望. 13.2.6 正态分布 1.正态曲线 （1）定义：我们把函数（其中是样本均值，是样本标准差）的图象称为正态分布密度曲线，简称正态曲线.正态曲线呈钟形，即中间高，两边低. （2）正态曲线的性质 ①曲线位于轴上方，与轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线对称； ③曲线在处达到峰值（最大值）； ④曲线与轴之间的面积为； ⑤当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移，如图甲所示； ⑥当一定时，曲线的形状由确定.越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示： 　 图甲 图乙 2.正态分布 （1）定义随机变量落在区间的概率为，即由正态曲线，过点和点的两条轴的垂线，及轴所围成的平面图形的面积，如下图中阴影部分所示，就是落在区间的概率的近似值，如下图所示. 一般地，如果对于任何实数，，随机变量满足，则称随机变量服从正态分布．正态分布完全由参数，确定，因此正态分布常记作．如果随机变量服从正态分布，则记为． 其中，参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计． （2）原则 若，则对于任意的实数，为下图中阴影部分的面积，对于固定的和而言，该面积随着的减小而变大．这说明越小，落在区间的概率越大，即集中在周围的概率越大，如下图所示． 特别地，有；；． 由，知正态总体几乎总取值于区间之内．而在此区间以外取值的概率只有，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，即为小概率事件．在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取之间的值，并简称之为原则． 例1.已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间内的概率为（ ） （附：若随机变量服从正态分布，则，.） A. B. C. D. 例2.某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（ ） A.越小，该物理量在一次测量中在的概率越大 B.该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C.该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D.该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等 例3.设两个正态分布和的密度函数图像如图所示，则有( ) A. B. C. D. 例4.已知随机变量服从正态分布，且，则（ ） A.0.1588 B.0.1587 C.0.1586 D.0.1585 1.(多选)随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（ ）（若随机变量服从正态分布，） A. B. C. D. 2.已知随机变量服从正态分布，，则（ ） A. B. C. D. 3.某物理量的测量结果服从正态分布，下列选项中正确的是（ ） A.越大，该物理量在一次测量中在的概率越大 B.该物理量在一次测量中小于的概率为小于 C.该物理量在一次测量中小于与大于的概率不相等 D.该物理量在一次测量中落在与落在的概率不相等 4.设随机变量服从标准正态分布，已知，则（ ） A.0.025 B.0.050 C.0.950 D.0.975 5.已知随机变量服从正态分布，若，则（ ） A. B. C. D. 6.设，，这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是（ ） A. B. C.对任意正数， D.对任意正数， 7.若已知随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. B. C. D. 8.已知随机变量服从正态分布，且，则 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13.2条件概率、随机变量、二项分布、超几何分布、正态分布 13.2.1条件概率 1.条件概率定义：一般地，设，为两个事件，且，称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率． 注意：（1）条件概率中“”后面就是条件； （2）若，表示条件不可能发生，此时用条件概率公式计算就没有意义了，所以条件概率计算必须在的情况下进行． 2.条件概率性质： （1）条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即． （2）必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为0． （3）如果与互斥，则． 注意：（1）如果知道事件发生会影响事件发生的概率，那么； （2）已知发生，在此条件下发生，相当于发生，要求，相当于把看作新的基本事件空间计算发生的概率，即． 例1.端午节这天人们会悬菖蒲、吃粽子、赛龙舟、喝雄黄酒．现有9个粽子，其中2个为蜜枣馅，3个为腊肉馅，4个为豆沙馅，小明随机取两个，设事件为“取到的两个为同一种馅”，事件为“取到的两个均为豆沙馅”，则( ) A. B. C. D. 解：由题意不妨设2个蜜枣馅为：A,B，3个为腊肉馅为：，4个为豆沙馅：1,2,3,4，则事件为“取到的两个为同一种馅”，对应的事件为：，所以，事件为“取到的两个为同一种馅，均为豆沙馅”，对应的事件为：，所以，所以，故选：C. 例2.现有甲、乙、丙、丁四位同学到夫子庙、总统府、中山陵、南京博物馆4处景点旅游，每人只去一处景点，设事件为“4个人去的景点各不相同”，事件为“只有甲去了中山陵”，则． 解：甲、乙、丙、丁四位同学到夫子庙、总统府、中山陵、南京博物馆4处景点旅游，共有种不同的方案， 事件，“4个人去的景点各不相同”的方案有：种， 事件，“只有甲去了中山陵”的方案有种， 事件同时发生的方案有：种， ，所以故答案为：. 例3.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是，连续两天为优良的概率是，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ） A. B. C. D. 解：试题分析：记“一天的空气质量为优良”，“第二天空气质量也为优良”，由题意可知，所以.故选：A. 例4.从中任取个不同的数，事件“取到的个数之和为偶数”，事件“取到两个数均为偶数”，则（ ） A. B. C. D. 解：依题意，，故.故选B. 1.甲、乙两人到商店购买饮料，他们准备分别从加多宝、农夫山泉、雪碧这3种饮品中随机选择一种，且两人的选择结果互不影响.记事件“甲选择农夫山泉”，事件“甲和乙选择的饮品不同”，则（ ） A. B. C. D. 解：事件“甲选择农夫山泉”，则.事件“甲和乙选择的饮品不同”，则事件“甲选择农夫山泉，乙选择的是加多宝或者雪碧”，所以. 所以，故选：. 2.在某电路上有两个独立工作的元件，每次通电后，需要更换元件的概率为，需要更换元件的概率为，则在某次通电后有且只有一个需要更换的条件下，需要更换的概率是（ ） A. B. C. D. 解：记事件：在某次通电后有且只有一个需要更换，事件：需要更换， 则，由条件概率公式可得 .故选：C. 3.如果分别是的对立事件，下列选项中不能判断事件与事件相互独立的是（ ） A. B. C. D. 解：对于A，因为，所以相互独立，故A正确； 对于B，因为,，所以，所以相互独立，所以相互独立，故B正确； 对于C，，所以，无法判断相互独立，故C错误； 对于D，，因为，所以相互独立，故D正确. 4.如果不是等差数列，但若，使得，那么称为“局部等差”数列．已知数列的项数为4，记事件：集合，事件：为“局部等差”数列，则条件概率（ ） A. B. C. D. 解：由题意知，事件共有个基本事件，事件：“局部等差”数列共有以下24个基本事件， （1）其中含1,2,3的局部等差的分别为1,2,3,5和5,1,2,3和4,1,2,3共3个，含3,2,1的局部等差数列的同理也有3个，共6个． 含3,4,5的和含5,4,3的与上述（1）相同，也有6个． 含2,3,4的有5,2,3,4和2,3,4,1共2个， 含4,3,2的同理也有2个． 含1,3,5的有1,3,5,2和2,1,3,5和4,1,3,5和1,3,5,4共4个， 含5,3,1的也有上述4个，共24个， ．故选C． 5.设是两个随机事件，且，，则下列正确的是（ ） A.若，则与相互独立 B. C. D.与有可能是对立事件 解：对A：由，故，则有，故与相互独立，故与相互独立，故A正确； 对B：，故B错误； 对C：，由未定，故C错误； 对D：，故与不是对立事件，故D错误.故选：A. 6.张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到的概率为 ；已知第一次抽到的是，则第二次抽取的概率为 . 解：由题意，设第一次抽到的事件为，第二次抽到的事件为， 则.故答案为：. 7.已知事件和是互斥事件，，，，则 ． 解：由题意知，，， 则．故答案为：． 8.某地的中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为 . 解：同时爱好两项的概率为，记“该同学爱好滑雪”为事件，记“该同学爱好滑冰”为事件，则，所以.故答案为：0.8. 13.2.2全概率公式和贝叶斯公式 1.全概率公式 （1）; （2）若样本空间中的事件满足： ①任意两个事件均互斥，即; ②; ③. 则对中的任意事件，都有，且 2.贝叶斯公式 （1）一般地，当且时，有. （2）定理2若样本空间中的事件满足： ①任意两个事件均互斥，即; ②; ③. 则对中的任意概率非零的事件，都有，且. 例1.设甲乘汽车、动车前往某目的地的概率分别为，汽车和动车正点到达目的地的概率分别为，则甲正点到达目的地的概率为（ ） A. B. C. D. 解：设事件表示甲正点到达目的地，事件表示甲乘动车到达目的地，事件表示甲乘汽车到达目的地，由题意知. 由全概率公式得.故选：C. 例2.某足球队在对球员的使用上总是进行数据分析，根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋、中锋、后卫以及守门员四个位置，且出场率分别为，且当乙球员担当前锋、中锋、后卫以及守门员时，球队输球的概率依次为．从以上数据可知，当乙球员参加比赛时，求该球队某场比赛不输球的概率． 解：设表示“乙球员担当前锋”，表示“乙球员担当中锋”，表示“乙球员担当后卫”，表示“乙球员担当守门员”，表示“当乙球员参加比赛时，球队输球”，根据题意，则： =. 所以当乙球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为． 例3. 某工厂有 两个生产车间，所生产的同一批产品合格率分别是 和 ，已知某批产品的 和 分别是 两个车间生产，质量跟踪小组从中随机抽取一件，发现不合格，则该产品是由 车间生产的概率为（ ） A. B. C. D. 解：设分别表示事件：任取的产品为甲、乙车间生产，“抽取的产品是不合格品”，由条件知，，，，则该产品是由车间生产的概率为，所以.故选：D. 例4.设患肺结核病的患者通过胸透被诊断出的概率为0.95,而未患肺结核病的人通过胸透被误诊为有病的概率为0.002,已知某城市居民患肺结核的概率为0.001.若从该城市居民中随机选出一人,通过胸透被诊断为肺结核,求这个人确实患有肺结核的概率. 解：设事件表示“被诊断为肺结核”,事件表示“患有肺结核”. 由题意得,,,,. 由贝叶斯公式得, 1.英国数学家贝叶斯（1701-1763）在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献.根据贝叶斯统计理论，事件（的对立事件）存在如下关系：.若某地区一种疾病的患病率是，现有一种试剂可以检验被检验者是否患病，已知该试剂的准确率为，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有的可能呈现阳性，该试剂的误报率为，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈阳性的概率为（ ） A. B. C. D. 解：设用该试剂检测呈阳性为事件，被检测者患病为事件，未患病为事件， 则， 故所求概率. 故选：A. 2.（多选）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件、存在如下关系：.某高校有甲、乙两家餐厅，王同学第一天去甲、乙两家餐厅就餐的概率分别为0.4和0.6.如果他第一天去甲餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.6；如果第一天去乙餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.5，则王同学（ ） A.第二天去甲餐厅的概率为0.54 B.第二天去乙餐厅的概率为0.44 C.第二天去了甲餐厅，则第一天去乙餐厅的概率为 D.第二天去了乙餐厅，则第一天去甲餐厅的概率为 解：设：第一天去甲餐厅，：第二天去甲餐厅，：第一天去乙餐厅，：第二天去乙餐厅，所以 因为 所以 所以有 因此选项A正确，，因此选项B不正确； 因为，所以选项C正确； ，所以选项D不正确，故选：AC. 3.阅读不仅可以开阔视野，还可以提升语言表达和写作能力.某校全体学生参加的期末过程性评价中大约有的学生写作能力被评为优秀等级.经调查知，该校大约有的学生每天阅读时间超过小时，这些学生中写作能力被评为优秀等级的占.现从每天阅读时间不超过小时的学生中随机抽查一名，该生写作能力被评为优秀等级的概率为（ ） A. B. C. D. 解：设写作能力被评为优秀等级为事件，每天阅读时间超过小时为事件， 则，，； ， ， 即从每天阅读时间不超过小时的学生中随机抽查一名，该生写作能力被评为优秀等级的概率为.故选：B. 4.某汽修厂仓库里有两批同种规格的轮胎，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为．现从仓库中任抽取个轮胎，则这个轮胎是合格品的概率是（　　） A. B. C. D. 解：设事件为抽中第一批，事件为抽中合格品， 则 .故选：D. 5.设某工厂购进盒同样规格的零部件，已知甲厂、乙厂、丙厂分别生产了其中的盒、盒、盒．若甲、乙、丙三个厂家生产该种零部件的次品率依次为，，，现从这盒中任取一盒，再从这盒中任取一个零部件，则取得的零部件是次品的概率为（　　） A. B. C. D. 解：根据题意，设任取一个零件，分别来自甲、乙、丙三厂的事件分别为，设任取一个零件为次品为事件，则，， 所以，故选：C. 6.某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪动，已知开关第一次闭合后，出现红灯和绿灯的概率都是．从开关第一次闭合起，若前次出现红灯，则下一次出现红灯的概率是，出现绿灯的概率是；若前次出现绿灯，则下一次出现红灯的概率是，出现绿灯的概率是，那么第二次闭合后出现红灯的概率是 . 解：记第一次闭合后出现红灯为事件，则第一次出现绿灯为事件，第二次闭合后出现红灯为事件，出现绿灯为事件，，，， 所以．故答案为：． 7.有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2、3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1、2、3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%，现从加工出来的零件中任取一个零件，则取到的零件是次品，但是第1台车床加工的概率为 . 解：记为事件“零件为第()台车床加工”，为事件“任取一个零件为次品”， 则,所以 ,所以.故答案为：. 8.盒中放有12个乒乓球，其中9个是新的，3个是旧的．第一次比赛时，从中任意取出了3个来用，用完后仍放回盒中（新球用后成了旧球）．第二次比赛时再从盒中取出3个来用，求第二次取出的3个球均为新球的概率． 解：设表示第二次取出3个球均为新球，为第一次取出3球中有个新球，， 则，，，， ，，，， 所以． 9.设某公路上经过的货车与客车的数量之比为，货车中途停车修理的概率为，客车中途停车修理的概率为，今有一辆汽车中途停车修理，求该汽车是货车的概率. 解：设表示“中途停车修理”，表示“经过的是货车”，表示“经过的是客车”， 则，由题意得，，，，， 由贝叶斯公式得，. 13.2.3离散型随机变量的分布列与数字特征 1.离散型随机变量的分布列 （1）随机变量：在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示.在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化.像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量.随机变量常用字母，，，，…表示. （2）离散型随机变量：对所有取值可以一一列出来的随机变量，称为离散型随机变量. （3）离散型随机变量的分布列的表示：一般地，若离散型随机变量可能取的不同值为，取每一个值()的概率，以表格的形式表示如下： 我们将上表称为离散型随机变量的概率分布列，简称为的分布列.有时为了简单起见，也用等式表示的分布列. （4）根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下性质： ①；②. 2.离散型随机变量的均值与方差 （1）均值 若离散型随机变量的分布列为： 称为随机变量的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平. 注意：①均值刻画的是取值的“中心位置”，这是随机变量的一个重要特征； ②根据均值的定义，可知随机变量的分布完全确定了它的均值.但反过来，两个不同的分布可以有相同的均值.这表明分布描述了随机现象的规律，从而也决定了随机变量的均值.而均值只是刻画了随机变量取值的“中心位置”这一重要特征，并不能完全决定随机变量的性质. （2）均值的性质 ①（为常数）. ②若，其中为常数，则也是随机变量，且. ③. ④如果相互独立，则. （3）方差 若离散型随机变量的分布列为： 则称为随机变量的方差，并称其算术平方根为随机变量的标准差. 注意：①描述了相对于均值的偏离程度，而是上述偏离程度的加权平均，刻画了随机变量与其均值的平均偏离程度.随机变量的方差和标准差均反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度.方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小； ②标准差与随机变量有相同的单位，而方差的单位是随机变量单位的平方. （4）方差的性质 ①若，其中为常数，则也是随机变量，且. ②方差公式的变形：. 例1.袋中有大小相同质地均匀的5个白球、3个黑球，从中任取2个，则可以作为随机变量的是（    ） A．至少取到1个白球 B．取到白球的个数 C．至多取到1个白球 D．取到的球的个数 解：根据离散型随机变量的定义，能够一一列出的只能是B选项， 其中A、C选项是事件，D选项取到球的个数是2个，ACD错误； 故选：B. 例2.已知随机变量的分布列为： 1 2 4 0.4 0.3 0.3 则等于（） A.15 B.11 C.2.2 D.2.3 解：由随机变量的分布列，可得期望,所以 . 故选：A. 例3.甲，乙两位同学组队去参加答题拿小豆的游戏，规则如下：甲同学先答道题，至少答对一题后，乙同学才有机会答题，同样也是两次机会.每答对一道题得粒小豆.已知甲每题答对的概率均为，乙第一题答对的概率为，第二题答对的概率为.若乙有机会答题的概率为. （1）求； （2）求甲，乙共拿到小豆数量的分布列及期望. 解：（1）由已知得，当甲至少答对题后，乙才有机会答题. 所以乙有机会答题的概率为，解得. （2）的可能取值为； ; ; ; ; ; 所以的分布列为： . 例4.已知随机变量 的分布列如下： 2 3 6 则的值为（ ） A. 2 B. 6 C. 8 D. 18 解：根据分布列可知，解得，， ，所以 . 故选：D. 1.（多选）下列随机变量是离散型随机变量的是（     ） A．某景点一天的游客数X B．某寻呼台一天内收到寻呼次数X C．水文站观测到江水的水位数X D．某收费站一天内通过的汽车车辆数X 解：对四个选项，游客数、寻呼次数、汽车车辆数的取值都是随机的整数，满足题意； 但水位数是实数，不是离散型随机变量，不满足题意.故选：ABD. 2.已知数据的平均数为，方差为，则数据的平均数与方差的和为（ ） A.6 B.15 C.19 D.22 解：由题，则，，所以,故选：C. 3.已知随机变量满足，，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 解：根据方差和期望的性质可得： ,故选：D 4.现有张卡片，分别写上数字.从这张卡片中随机抽取张，记所抽取卡片上数字的最小值为，则 ， . 解：从写有数字的张卡片中任取张共有种取法，其中所抽取的卡片上的数字的最小值为的取法有种，所以， 由已知可得的取值有， ，，， 所以，故答案为：，． 5.盒子里有4个球,其中1个红球, 1个绿球,2个黄球, 从盒中随机取球, 每次取1个, 不放回, 直到取出红球为止. 设此过程中取到黄球的个数为, 则 ; . 解：随机变量, 因为对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球，第二次拿红球， 所以,,, 所以. 故答案为：. 6.一个均匀小正方体的六个面中, 三个面上标有数字0, 两个面上标有数字 1, 一个面上标有数字2. 将这个小正方体抛掷2次, 则向上的数之积的数学期望是 . 解：向上的数之积用表示，则随机变量的取值为 , , ,,, 因此，向上的数字之积的数学期望是.故答案为：. 7.袋中有4个红球个黄球,个绿球, 现从中任取两个球, 记取出的红球数为,若取出的两个球都是红球的概率为,一红一黄的概率为, 则 , . 解： ， 所以 ，,所以，则 . 由于 . 故答案为：； . 8.甲、乙两名同学与同一台智能机器人进行象棋比赛，计分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得分；如果甲输而乙赢，则甲得分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得分.设甲赢机器人的概率为，乙赢机器人的概率为.求： （1）在一轮比赛中，甲的得分的分布列； （2）在两轮比赛中，甲的得分的分布列及期望. 解：（1）依题意可得的可能取值为, 所以,,. 所以的分布列为 （2）依题意可得的可能取值为, 所以, , , , . 所以的分布列为 所以. 9.甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立． (1)求甲学校获得冠军的概率； (2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望． 解：（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，所以甲学校获得冠军的概率为 . （2）依题可知，的可能取值为，所以： , , , . 即的分布列为 0 10 20 30 0.16 0.44 0.34 0.06 期望. 10.现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏. （1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率； （2）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率； （3）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记，求随机变量的分布列与数学期望. 解：依题意，这个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的概率为．设“这个人中恰有人去参加甲游戏”为事件()，则. （1）这个人中恰有人去参加甲游戏的概率:. （2）设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件，则， 由于与互斥，故. 所以，这4个人去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为. （3）的所有可能取值为.由于与互斥，与互斥， 故,,. 所以的分布列是 P 随机变量的数学期望：. 13.2.4 两点分布和二项分布 1.两点分布 （1）若随机变量服从两点分布，即其分布列为： 其中，则称离散型随机变量服从参数为的两点分布.其中称为成功概率. ①两点分布的试验结果只有两个可能性，且其概率之和为； ②两点分布又称分布、伯努利分布，其应用十分广泛. （2）两点分布的均值与方差：若随机变量服从参数为的两点分布，则 ，. 2.次独立重复试验 （1）定义：一般地，在相同条件下重复做的次试验称为次独立重复试验. （2）独立重复试验的条件：①每次试验在同样条件下进行；②各次试验是相互独立的；③每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生. （3）特点：①每次试验中，事件发生的概率是相同的；②每次试验中的事件是相互独 立的，其实质是相互独立事件的特例. 3.二项分布 （1）定义：一般地，在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，不发生的概率，那么事件恰好发生次的概率是 于是得到的分布列 由于表中第二行恰好是二项式展开式：各对应项的值，称这样的离散型随机变量服从参数为的二项分布，记作，并称为成功概率. 注意：由二项分布的定义可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即时的二项分布，所以二项分布可以看成是两点分布的一般形式. （2）二项分布的适用范围及本质 适用范围：①各次试验中的事件是相互独立的； ②每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生； ③随机变量是这次独立重复试验中事件发生的次数. （3）本质：二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的. （4）二项分布的期望、方差：若，则，. 例1.2022年3月，全国大部分省份出现了新冠疫情，对于出现确诊病例的社区，受到了全社会的关注.为了把被感染的人筛查出来，防疫部门决定对全体社区人员筛查核酸检测，为了减少检验的工作量，我们把受检验者分组，假设每组有个人，把这个人的血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，这个人的血液全为阴性，因而这个人只要检验一次就够了；如果为阳性，为了明确这个人中究竟是哪几个人为阳性，就要对这个人再逐个进行检验.假设在接受检验的人群中，随机抽一人核酸检测呈阳性概率为，每个人的检验结果是阳性还是阴性是相互独立的.核酸检测通常有两种分组方式可以选择：方案一：10人一组；方案二：8人一组. （1）分别求出采用方案一和方案二中每组的化验次数的分布列和数学期望； （2）若该社区约有2000人，请你为防疫部门选择一种方案，并说明理由. （参考数据：，） 解：（1）设方案一中每组的化验次数为，则的取值为， ，， 的分布列为： 1 11 0.970 0.030 . 设方案二中每组的化验次数为，则的取值为， ，， 的分布列为： 1 9 0.976 0.024 . （2）根据方案一，该社区化验分组数为， 方案一的化验总次数的期望值为：次. 根据方案二，该社区化验分组数为， 方案二的化验总次数的期望值为次. ，方案一工作量更少.故选择方案一. 例2.某中学课外实践活动小组在某区域内通过一定的有效调查方式对“北京冬奥会开幕式”当晚的收看情况进行了随机抽样调查.统计发现，通过手机收看的约占，通过电视收看的约占，其他为未收看者： （1）从被调查对象中随机选取3人，其中至少有1人通过手机收看的概率； （2）从被调查对象中随机选取3人，用表示通过电视收看的人数，求的分布列和期望. 解：(1)记事件为至少有1人通过手机收看， 由题意知，通过手机收看的概率为，没有通过手机收看的概率为，则； （2）由题意知：，则的可能取值为. ； ； ； ； 所以的分布列为： 所以. 1.已知随机变量，则（ ） A. 解：因为随机变量，所以.故选：B. 2.已知某种疾病的某种疗法的治愈率为90%.若有1000位该病患者采取了这种疗法，且每位患者治愈与否相互独立，设其中被治愈的人数为X，P(X=k)>P(X=1000-k)，则（ ） A.k 解：由题意知，故，， 由得：，即，即，则，由于，故，故选：D. 3.某工厂产品合格的概率均为，各产品合格与否相互独立.设为该工厂生产的5件商品中合格的数量，其中，，则( ) A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.3 解：由已知服从参数为的二项分布， ， 又，，.故选：B. 4.从一个装有4个白球和3个红球的袋子中有放回地取球5次，每次取球1个，记为取得红球的次数，则( ) A. B. C. D. 解：由题意得：从一个装有4个白球和3个红球的袋子中取出一个球，是红球的概率为， 因为是有放回地取球，所以，所以.故选：D. 5.为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，有关部门要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售．已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响，若产品可以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元．已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利元，则( ) A. B. C. D. 解：由题意得该产品能销售的概率为，易知的所有可能取值为，设表示一箱产品中可以销售的件数，则，所以， ， ， ， 故，故选：B． 6.某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力．每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有，参加过计算机培训的有．假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响． （1）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率； （2）任选3名下岗人员，记为3人中参加过培训的人数，求的分布列和期望． 解：(1)任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件，“该人参加过计算机培训”为事件，由题意可知：事件与事件独立， ，则， 任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率：， 故任选1名下岗人员，该人参加过培训的概率：. （2）由题意结合(1)可知：3人中参加过培训的人数服从二项分布，则， ， ， ， ， 的分布列： 0 1 2 3 0.001 0.027 0.243 0.729 的期望. 7.投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审.若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用.设稿件能通过各初审专家评审的概率均为，复审的稿件能通过评审的概率为.各专家独立评审. （1）求投到该杂志的篇稿件被录用的概率； （2）记表示投到该杂志的篇稿件中被录用的篇数，求的分布列及期望. 解：(1)记表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审； 表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审； 表示事件：稿件能通过复审专家的评审； 表示事件：稿件被录用．则, , . （2）由题意，，且 , , , , . 分布列如下： 0 1 2 3 4 0.1296 0.3456 0.3456 0.1536 0.0256 期望. 8.如图为某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量（单位：吨）的频率分布直方图. （1）求直方图中的值； （2）若将频率视为概率，从这个城市随机抽取位居民（看作有放回的抽样），求月均用水量在至吨的居民数的分布列和数学期望. (注：直方图坐标轴信息：纵轴为，刻度包含；横轴为月均用水量/吨，区间为) 解：（1）依题意及频率分布直方图知，，解得. （2）由题意知，.因此, ,,. 故随机变量的分布列为： 0 1 2 3 0.729 0.243 0.027 0.001 的数学期望为. 9.某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第层停靠.若该电梯在底层载有位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，用表示这位乘客在第层下电梯的人数，求： （1）随机变量的分布列； （2）随机变量的均值. 解：(1)考察一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验，故， 即有. 由此可得的分布列为 0 1 2 3 4 5 (2). 13.2.5 超几何分布 超几何分布：（1）定义：在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品， 则事件发生的概率为 称分布列为超几何分布列.如果随机变量的分布列为超几何分布列，则称随机变量服从超几何分布. （2）超几何分布的适用范围及本质 适用范围：①考察对象分两类； ②已知各类对象的个数； ③从中抽取若干个个体，考察某类个体个数的概率分布. （3）本质：超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的. 例1.为发展业务，某调研组对，两个公司的扫码支付情况进行调查，准备从国内个人口超过1000万的超大城市和8个人口低于100万的小城市中随机抽取若干个进行统计.若一次抽取2个城市，全是小城市的概率为. （1）求的值； （2）若一次抽取4个城市， ①假设抽取的小城市的个数为，求的可能值及相应的概率； ②若抽取的4个城市是同一类城市，求全为超大城市的概率. 解：(1)从个城市中一次抽取2个城市，有种情况， 其中全是小城市的有种情况，则全是小城市的概率为， 解得（负值舍去）. （2）①由题意可知，的可能取值为0，1，2，3，4，相应的概率分别记为， ，，，，. ②若抽取的4个城市全是超大城市，共有种情况； 若抽取的4个城市全是小城市，共有种情况， 所以若抽取的4个城市是同一类城市，则全为超大城市的概率为. 例2.从某批产品中，有放回地抽取产品两次，每次随机抽取1件，假设事件：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”，其概率. (1)求从该批产品中任取1件是二等品的概率. (2)若该批产品共100件，从中无放回抽取2件产品，表示取出的2件产品中二等品的件数，求的分布列. 解：(1)记表示事件“取出的2件产品中无二等品”，表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”，则互斥，且，故， 即.解得(舍去).故从该批产品中任取1件是二等品的概率为0.2. (2)的可能取值为0,1,2,该批产品共100件，由(1)知其二等品有(件)， 故，，. 所以的分布列为 0 1 2 P 1.一批产品共有20件，其中2件次品，18件合格品，从这批产品中任意抽取2件，则至少有1件是次品的概率是（ ） A. B. C. D. 解：至少有1件是次品的概率是.故选：C. 2.从一批含有13件正品，2件次品的产品中不放回地抽3次，每次抽取1件，设抽取的次品数为，则 A.2 B.1 C.3 D.4 解：的可能取值为.，，. 的分布列为： 0 1 2 于是，故.故选：C. 3.设袋中有80个红球,20个白球,若从袋中任取10个球,则其中恰有6个红球的概率为() A. B. C. D. 解：从袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球共有种取法，恰好有6个红球，则有4个白球，故取法有种，由古典概型的概率公式得概率为. 故选：D. 4.从7男3女共10名学生干部中随机选出5名学生干部，抽到的女生人数的均值为（    ） A． B． C． D．2 解：抽到的女生人数可能为，，， ，，所以. 故选：A. 5.盒子里面有大小和形状完全相同的4个黑球和6个红球,每次从中随机取一个球,取后不放回.在第一次取到黑球的条件下,第二次取到黑球的概率是________;若连续取2次球,随机变量表示取到的黑球个数,则________. 解：设第一次取到黑球为事件，第二次取到黑球为事件，则，， 所以；由题意可得的取值为，， ，所以. 故答案为：. 6.已知甲盒内有大小相同的3个红球和4个黑球,乙盒内有大小相同的5个红球和4个黑球,现从甲、乙两个盒内各任取2个球. (1)求取出的4个球均为红球的概率; (2)求取出的4个球中恰有1个红球的概率. 解：(1)记“从甲盒内任取2个球中有个红球”为事件， “从乙盒内任取2个球中有个红球”为事件， 则故取出的4个球均为红球的概率 . （2）取出的4个球中恰有1个红球的概率 . 7.厂家在产品出厂前,需对产品做检验,厂家对一批产品发给商家时,商家按规定抽取一定数量的产品做检验,以决定是否验收这批产品: （1）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.3,从中任意取出4件进行检验,求至少有1件是合格产品的概率; （2）若厂家发给商家20件产品,其中有3件不合格,按合同规定该商家从中任取2件,来进行检验,只有2件产品合格时才接收这些产品,否则拒收,分别求出该商家检验出不合格产品为1件和2件的概率,并求该商家拒收这些产品的概率. 解：(1)记“厂家任取4件产品检验，其中至少有1件不合格品”为事件，用的对立事件来算，有; （2）设商家检验出不合格产品的件数为，则的可能取值为， ，，， 所以商家检验出不合格产品为1件、2件的概率分别为、； 记“商家任取2件产品检验，都合格”为事件，则商家拒收这批产品的概率,所以商家拒收这批产品的概率为. 8.某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如下图所示，其中成绩分组区间是：. (注：图表纵轴为，刻度包含；横轴为成绩，刻度包含40,50,60,70,80,90,100) (1)求图中的值； (2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为，求的数学期望. 解：(1)由，得 (2)由题意知道：不低于8(0分)的学生有12人，9(0分)以上的学生有3人 随机变量的可能取值有0,1,2： ； ； ； . 13.2.6 正态分布 1.正态曲线 （1）定义：我们把函数（其中是样本均值，是样本标准差）的图象称为正态分布密度曲线，简称正态曲线.正态曲线呈钟形，即中间高，两边低. （2）正态曲线的性质 ①曲线位于轴上方，与轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线对称； ③曲线在处达到峰值（最大值）； ④曲线与轴之间的面积为； ⑤当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移，如图甲所示； ⑥当一定时，曲线的形状由确定.越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示： 　 图甲 图乙 2.正态分布 （1）定义随机变量落在区间的概率为，即由正态曲线，过点和点的两条轴的垂线，及轴所围成的平面图形的面积，如下图中阴影部分所示，就是落在区间的概率的近似值，如下图所示. 一般地，如果对于任何实数，，随机变量满足，则称随机变量服从正态分布．正态分布完全由参数，确定，因此正态分布常记作．如果随机变量服从正态分布，则记为． 其中，参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计． （2）原则 若，则对于任意的实数，为下图中阴影部分的面积，对于固定的和而言，该面积随着的减小而变大．这说明越小，落在区间的概率越大，即集中在周围的概率越大，如下图所示． 特别地，有；；． 由，知正态总体几乎总取值于区间之内．而在此区间以外取值的概率只有，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，即为小概率事件．在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取之间的值，并简称之为原则． 例1.已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间内的概率为（ ） （附：若随机变量服从正态分布，则，.） A. B. C. D. 解：由题意,,. 故选B. 例2.某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（ ） A.越小，该物理量在一次测量中在的概率越大 B.该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C.该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D.该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等 解：对于A，为数据的方差，所以越小，数据在附近越集中，所以测量结果落在内的概率越大，故A正确； 对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B正确； 对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C正确； 对于D，因为该物理量一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，所以一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，故D错误.故选：D. 例3.设两个正态分布和的密度函数图像如图所示，则有() A. B. C. D. 解：根据正态分布函数的性质：正态分布曲线是一条关于对称，在处取得最大值的连续钟形曲线；越大，曲线的最高点越低且弯曲较平缓；反过来，越小，曲线的最高点越高且弯曲较陡峭.选A. 例4.已知随机变量服从正态分布，且，则（ ） A.0.1588 B.0.1587 C.0.1586 D.0.1585 解：正态分布曲线关于对称，因为.故选B. 1.(多选)随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（ ）（若随机变量服从正态分布，） A. B. C. D. 解：依题可知，，所以， 故，C正确，D错误； 因为，所以， 因为，所以， 而，B正确，A错误，故选：BC. 2.已知随机变量服从正态分布，，则（ ） A. B. C. D. 解：由正态分布的特征得.故选A. 3.某物理量的测量结果服从正态分布，下列选项中正确的是（ ） A.越大，该物理量在一次测量中在的概率越大 B.该物理量在一次测量中小于的概率为小于 C.该物理量在一次测量中小于与大于的概率不相等 D.该物理量在一次测量中落在与落在的概率不相等 解：为数据的方差，所以越大，数据在均值附近越分散，所以测量结果落在内的概率越小，故A错误；由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量小于的概率为，故B错误；由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量中小于与大于的概率相等，故C错误；由正态分布密度曲线的对称性可知，该物理量在一次测量中落在与落在的概率不相等，故D正确.故选：D. 4.设随机变量服从标准正态分布，已知，则（ ） A.0.025 B.0.050 C.0.950 D.0.975 解：服从标准正态分布，∴ .故选：C. 5.已知随机变量服从正态分布，若，则（ ） A. B. C. D. 解：因为随机变量服从正态分布，所以正态曲线关于直线对称，又，所以，所以.故选C. 6.设，，这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是（ ） A. B. C.对任意正数， D.对任意正数， 解：由正态密度曲线的性质可知，、的密度曲线分别关于、对称，因此结合所给图象可得且的密度曲线较的密度曲线“瘦高”，所以，所以对任意正数，.故选：C. 7.若已知随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. B. C. D. 解：随机变量服从正态分布，所以对称轴为，因为，所以 ，所以，故选：C. 8.已知随机变量服从正态分布，且，则 . 解：因为，所以， 因此.故答案为：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $