10.3 随机事件与概率【题型突破】讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦随机事件与概率核心考点，涵盖事件互斥对立独立关系、古典概型计算及全概率公式应用，按“概念-关系-计算-综合应用”逻辑架构知识体系。通过双基自测明考向、核心梳理固基础、题型突破授方法、限时训练强实战的教学流程，帮助学生系统构建概率知识网络，精准突破事件拆分与公式应用难点。 资料以新课标核心素养为导向，创新采用生活分层情境命题设计，如结合“盲盒”“爱心食堂”等实例培养学生用数学眼光观察现实世界的能力。题型突破环节通过事件关系判断、古典概型分步计算等专题训练，发展学生数学思维与逻辑推理能力。设置基础巩固、能力提升、综合应用分层练习，配合真题精讲与即时反馈，确保高效复习，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 §10.3　随机事件与概率 【高考考向预测】 随机事件与概率包含事件的互斥、对立、独立关系及古典概型计算，全概率公式核心是拆分完备事件组分步求和计算总概率，常作为求解分布列的前置计算；近三年选择填空高频考查，频繁融入概率大题当中，考频稳步升高；预测2027 年结合生活分层情境命题，强化全概率分段建模，多与离散型随机变量综合设问，侧重事件拆分与公式灵活应用。 【双基自测●明考向】 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)事件发生的频率与概率是相同的.(　 　) (2)事件A与事件B同时发生的概率一定比A与B中恰有一个发生的概率小.(　 　) (3)事件A与事件B中至少有一个发生的概率一定比A与B中恰有一个发生的概率大.(　 　) (4)若A∪B是必然事件，则A与B是对立事件.(　 　) 2.(人教A版必修第二册P235练习T1)某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是(　　) A.至多一次中靶 B.两次都中靶 C.只有一次中靶 D.两次都没有中靶 3.(2023·全国甲卷)某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为(　　) A. B. C. D. 4.抛掷一枚骰子，记事件A为“出现点数是奇数”，事件B为“出现点数是3的倍数”，则P(A∪B)=　　　　　，P(A∩B)=　　　　. 【核心梳理●明考点】 1.样本空间和随机事件 (1)样本点和有限样本空间 ①样本点：随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，常用ω表示. 全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示. ②有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω={ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间. (2)随机事件 ①定义：将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件. ②表示：一般用大写字母A，B，C，…表示. ③随机事件的极端情形：必然事件、不可能事件. 2.两个事件的关系和运算 含义 符号表示 包含关系 若事件A发生，则事件B一定发生 A⊆B 相等关系 B⊇A且A⊇B A=B 并事件(和事件) 事件A与事件B至少有一个发生 A∪B或A+B 交事件(积事件) 事件A与事件B同时发生 A∩B或AB 互斥(互不相容) 事件A与事件B不能同时发生 A∩B=∅ 互为对立 事件A与事件B有且仅有一个发生 A∩B=∅， 且A∪B=Ω 3.古典概型的特征 (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个. (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等. 4.古典概型的概率公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)==. 其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数. 5.概率的性质 性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0； 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)=1，P(∅)=0； 性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)=P(A)+P(B)； 性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)=1-P(A)，P(A)=1-P(B)； 性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为∅⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1； 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B). 6.频率与概率 (1)频率的稳定性 一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性. (2)频率稳定性的作用 可以用频率fn(A)估计概率P(A). 1.当随机事件A，B互斥时，不一定对立；当随机事件A，B对立时，一定互斥，即两事件互斥是对立的必要不充分条件. 2.若事件A1，A2，…，An两两互斥，则P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An). 【题型突破●明方向】 题型一　随机事件的关系 命题点1　随机事件关系的判断 例1　(多选)抛掷一枚质地均匀的骰子，记随机事件：E=“点数为奇数”，F=“点数为偶数”，G=“点数大于2”，H=“点数小于2”，R=“点数为3”.则下列结论正确的是(　　) A.E，F为对立事件 B.G，H为互斥不对立事件 C.E，G不是互斥事件 D.G，R是互斥事件 命题点2　利用互斥、对立事件求概率 例2　(1)(多选)(2026·长沙模拟)设A，B为两个随机事件，以下命题正确的有(　　) A.若A，B是对立事件，则P(AB)=1 B.若A，B是对立事件，则P(A∪B)=1 C.若A，B是互斥事件，P(A)=，P(B)=，则P(A∪B)= D.若A，B是互斥事件，P(A)=，P(B)=，则P(A∪B)> (2)某射手在一次射击中射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21，0.23，0.25，0.2，则这个射手在一次射击中射中的环数小于7环的概率为　　　　　. 命题点3　利用频率估计概率 例3　(多选)下列命题正确的是(　　) A.随机事件A的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值 B.抛掷骰子100次，得点数是1的结果是18次，则出现1点的频率是 C.有一批产品，其次品率为0.05，若从中任取200件产品，则一定有190件正品，10件次品 D.抛掷一枚质地均匀的硬币100次，有51次出现了正面，则可得抛掷一次该硬币出现正面的概率是0.51 跟踪训练1　(1)(多选)(2025·邵阳模拟)在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D发生的概率分别是0.1，0.2，0.3，0.4，则下列说法错误的是(　　) A.A+B与C是互斥事件，也是对立事件 B.B+C与D是互斥事件，也是对立事件 C.A+C与B+D是互斥事件，但不是对立事件 D.A与B+C+D是互斥事件，也是对立事件 (2)若事件A和B互斥，且P(A∪B)=0.5，P(B)=0.3，则P()=　　　　. 题型二　古典概型 例4　(1)(2022·新高考全国Ⅰ卷)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为(　　) A. B. C. D. (2)(2025·烟台模拟)安排4名大学生到两家公司实习，每名大学生只去一家公司，每家公司至少安排1名大学生，则大学生甲、乙到同一家公司实习的概率为(　　) A. B. C. D. 跟踪训练2　(1)(2026·上海模拟)盲盒是指消费者不能提前得知具体产品款式的商品盒子.已知某盲盒产品共有3种玩偶，小明购买4个盲盒，则他能集齐3种玩偶的概率是(　　) A. B. C. D. (2)(2024·新课标Ⅰ卷)甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡片在此后的轮次中不能使用).则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为　　　　. 题型三　概率的综合问题 例5　(2026·上海徐汇区期中)人工智能正在逐渐改变着我们的日常生活，不过，它所涉及的数学知识并非都是遥不可及的高深理论.为了解“拼音输入法”的背后原理，随机选取甲类题材“新闻稿”中1 200字作为样本语料库A，其中“一”出现了30次，统计“一”与其后面一个字(或标点)的搭配情况，数据如下. “一”与其后面一个字(或标点)的搭配情况 频数 “一个” 6 “一些” 4 “一群” 2 “一条” 2 其他 a 假设用频率估计概率. (1)求a的值，并估计甲类题材中“一”出现的概率； (2)事件“在甲类题材‘新闻稿’中随机抽取2个‘一’，其中搭配‘一个’出现的次数仅为1次”，求该事件发生的概率； (3)另外随机选取甲类题材“新闻稿”中800字作为样本语料库B并进行统计，其中“一”出现了24次，“一格”出现了2次，则在甲类题材“新闻稿”的撰写中，输入拼音“yige”时，“一个”和“一格”谁在前面更合适？ 跟踪训练3　假日留校自修是某中学的优良传统，学校调查统计了高二年级学生一个学期自修时间(单位：小时)，所得数据都在[50，150]内，将所得的数据分成4组：[50，75)，[75，100)，[100，125)，[125，150]，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求a的值； (2)从[75，100)和[100，125)这两组中用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取7名学生，再从这7名学生中随机抽取2名学生调查他们的学习成绩，求抽到的这2名学生来自不同组的概率. 【限时训练】 （40分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.从5个男生、2个女生中任意选派3人，则下列事件中是必然事件的是(　　) A.3个都是男生 B.至少有1个男生 C.3个都是女生 D.至少有1个女生 2.(2026·邢台模拟)用5，6，7这三个数字组成无重复数字的自然数M，记事件A=“M能被5整除”，事件B=“M为奇数”，则事件A与事件B至少有一个发生的概率为(　　) A. B. C. D. 3.(2026·黔南模拟)某校对学生进行跳绳测试，每个同学测3次.已知甲同学每次测试及格的概率均为0.6，现采用随机模拟的方法估计甲同学在3次机会里至少及格2次的概率：先由计算器产生0到9范围内的整数随机数，指定0，1，2，3表示没有及格，4，5，6，7，8，9表示及格，再以每3个随机数为一组，代表3次测试的结果.经随机模拟产生了20组随机数： 138　401　123　235　345　257　704　056　186　213　173　624　618　045　631　386　954　742　721　429 据随机模拟试验估计，甲同学在3次机会里至少及格2次的概率为(　　) A. B. C. D. 4.某班共有48名同学，其中12名同学精通乐器，8名同学擅长舞蹈，从该班任选一名同学了解其艺术特长.设事件A=“选中的同学精通乐器”，B=“选中的同学擅长舞蹈”，若P(A∪B)=，则P(AB)等于(　　) A. B. C. D. 5.(2026·重庆模拟)已知甲、乙、丙3名同学从学校的2个科技类社团，2个艺术类社团，1个体育类社团中选择报名参加，每人只能报名参加1个社团，则有人报名参加体育类社团且仅有1人报名参加科技类社团的概率为(　　) A. B. C. D. 6.15个人围坐在圆桌旁，从中任取4人，他们两两互不相邻的概率是(　　) A. B. C. D. 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.(2025·许昌模拟)柜子里有2双不同的鞋，从中随机地取出2只，记事件A=“取出的鞋不成双”，事件B=“取出的鞋都是左脚的”，事件C=“取出的鞋都是一只脚的”，事件D=“取出的鞋是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”，则下列结论成立的是(　　) A.D⊆A B.A=C∪D C.B与D互斥 D.C与D对立 8.某冷饮店为了保证顾客能买到当天制作的双皮奶，同时尽量减少滞销，统计了30天的销售情况，得到如下数据： 日销售量/杯 [25，35) [35，45) [45，55) [55，65) [65，75] 天数 4 6 9 5 6 以样本估计总体，用频率代替概率，则下列结论正确的是(　　) A.估计平均每天销售50杯双皮奶(同一组区间以中点值为代表) B.若当天准备55杯双皮奶，则售罄的概率为 C.若当天准备45杯双皮奶，则卖不完的概率为 D.这30天双皮奶日销售量的80%分位数是65杯 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.(2025·八省联考)有8张相同的卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8.现从这8张卡片中随机抽出3张，则抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为　　　　. 10.从正方体的顶点及其中心共9个点中任选4个点，则这4个点在同一个平面的概率为　　　　. 四、解答题(共28分) 11.(13分)某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队. (1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；(6分) (2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，求参赛女生不少于2人的概率.(7分) 12.(15分)(2026·银川模拟)“民政送温暖，老人有饭吃”.近年来，各级政府重视提高老年人的生活质量.在医疗、餐饮等多方面为老人提供了方便.单从用餐方面，各社区创建了“爱心食堂”“爱心午餐”“老人食堂”等等不同名称的食堂，解决了老人的吃饭问题.“爱心食堂A”为了更好地服务老人，于3月28日12时，食堂管理层人员对这一时刻用餐的118人对本食堂推出的15种菜品按性价比“满意”和“不满意”做问卷调查，其中有13人来食堂用餐不足5次，另有儿童5人，他们对菜品了解不全，不予问卷统计，在被统计的人员中男性比女性多20人.用餐者对15种菜品的性价比认为“满意”的菜品数记为x(0≤x≤15，x∈N)，当x≥12时，认为该用餐者对本食堂的菜品“满意”，否则，认为“不满意”.统计结果部分信息如表. 满意 不满意 合计 男 40 女 20 合计 附：χ2=，其中n=a+b+c+d. α 0.1 0.05 0.01 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 10.828 (1)①完成上面2×2列联表；(4分) ②依据小概率值α=0.1的独立性检验，能否认为用餐者对本食堂菜品的性价比是否满意与性别有关？(5分) (2)用按比例分配的分层随机抽样的方法在对菜品的性价比“满意”的人群中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，求抽取的3人中恰有2人是女性的概率.(6分) [每小题5分，共10分] 13.整数集就像一片浩瀚无边的海洋，充满了无尽的奥秘.古希腊数学家毕达哥拉斯发现220和284具有如下性质：220的所有真因数(不包括本身的因数)之和恰好等于284，同时284的所有真因数之和也等于220，他把具有这种性质的两个整数叫做一对“亲和数”，“亲和数”的发现掀起了无数数学爱好者的研究热潮.已知220和284，1 184和1 210，2 924和2 620是3对“亲和数”，把这六个数随机分成两组，一组2个数，另一组4个数，则220和284在同一组的概率为(　　) A. B. C. D. 14.(2025·泉州模拟)如图，有一个质地均匀的正八面体，八个面分别标以数字1到8.将该八面体连续抛掷三次，按顺序记录它与地面接触的面上的数字，则这三个数恰好构成等差数列的概率为　　　　　. / 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 §10.3　随机事件与概率 【高考考向预测】 随机事件与概率包含事件的互斥、对立、独立关系及古典概型计算，全概率公式核心是拆分完备事件组分步求和计算总概率，常作为求解分布列的前置计算；近三年选择填空高频考查，频繁融入概率大题当中，考频稳步升高；预测2027 年结合生活分层情境命题，强化全概率分段建模，多与离散型随机变量综合设问，侧重事件拆分与公式灵活应用。 【双基自测●明考向】 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)事件发生的频率与概率是相同的.(　 　) (2)事件A与事件B同时发生的概率一定比A与B中恰有一个发生的概率小.(　 　) (3)事件A与事件B中至少有一个发生的概率一定比A与B中恰有一个发生的概率大.(　 　) (4)若A∪B是必然事件，则A与B是对立事件.(　 　) 【答案】（1）×（2）×（3）×（4）× 2.(人教A版必修第二册P235练习T1)某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是(　　) A.至多一次中靶 B.两次都中靶 C.只有一次中靶 D.两次都没有中靶 【答案】D 【解析】“至少一次中靶”表示两次射击中一次中靶，另一次没中靶或两次都中靶，其对立事件为两次都没有中靶. 3.(2023·全国甲卷)某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】记高一2名学生分别为A，B；高二2名学生分别为a，b.从这4名学生中随机选2名有(A，B)，(A，a)，(A，b)，(B，a)，(B，b)，(a，b)，共6种选法，其中这2名学生来自不同年级有(A，a)，(A，b)，(B，a)，(B，b)，共4种选法， 所以这2名学生来自不同年级的概率为=. 4.抛掷一枚骰子，记事件A为“出现点数是奇数”，事件B为“出现点数是3的倍数”，则P(A∪B)=　　　　　，P(A∩B)=　　　　. 【答案】　 【解析】抛掷一枚骰子，所有可能出现的点数是1，2，3，4，5，6，共6个样本点， 事件A∪B包括出现的点数是1，3，5，6，共4个样本点，故P(A∪B)=； 事件A∩B包括出现的点数是3，共1个样本点，故P(A∩B)=. 【核心梳理●明考点】 1.样本空间和随机事件 (1)样本点和有限样本空间 ①样本点：随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，常用ω表示. 全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示. ②有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω={ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间. (2)随机事件 ①定义：将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件. ②表示：一般用大写字母A，B，C，…表示. ③随机事件的极端情形：必然事件、不可能事件. 2.两个事件的关系和运算 含义 符号表示 包含关系 若事件A发生，则事件B一定发生 A⊆B 相等关系 B⊇A且A⊇B A=B 并事件(和事件) 事件A与事件B至少有一个发生 A∪B或A+B 交事件(积事件) 事件A与事件B同时发生 A∩B或AB 互斥(互不相容) 事件A与事件B不能同时发生 A∩B=∅ 互为对立 事件A与事件B有且仅有一个发生 A∩B=∅， 且A∪B=Ω 3.古典概型的特征 (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个. (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等. 4.古典概型的概率公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)==. 其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数. 5.概率的性质 性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0； 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)=1，P(∅)=0； 性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)=P(A)+P(B)； 性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)=1-P(A)，P(A)=1-P(B)； 性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为∅⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1； 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B). 6.频率与概率 (1)频率的稳定性 一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性. (2)频率稳定性的作用 可以用频率fn(A)估计概率P(A). 1.当随机事件A，B互斥时，不一定对立；当随机事件A，B对立时，一定互斥，即两事件互斥是对立的必要不充分条件. 2.若事件A1，A2，…，An两两互斥，则P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An). 【题型突破●明方向】 题型一　随机事件的关系 命题点1　随机事件关系的判断 例1　(多选)抛掷一枚质地均匀的骰子，记随机事件：E=“点数为奇数”，F=“点数为偶数”，G=“点数大于2”，H=“点数小于2”，R=“点数为3”.则下列结论正确的是(　　) A.E，F为对立事件 B.G，H为互斥不对立事件 C.E，G不是互斥事件 D.G，R是互斥事件 【答案】ABC 【解析】“点数为奇数”与“点数为偶数”不可能同时发生，且必有一个发生，所以E，F是对立事件，选项A正确； “点数大于2”与“点数小于2”不可能同时发生，且不是必有一个发生，G，H为互斥不对立事件，选项B正确； “点数为奇数”与“点数大于2”可能同时发生，E，G不是互斥事件，选项C正确； “点数大于2”与“点数为3”可能同时发生，G，R不是互斥事件，选项D不正确. 命题点2　利用互斥、对立事件求概率 例2　(1)(多选)(2026·长沙模拟)设A，B为两个随机事件，以下命题正确的有(　　) A.若A，B是对立事件，则P(AB)=1 B.若A，B是对立事件，则P(A∪B)=1 C.若A，B是互斥事件，P(A)=，P(B)=，则P(A∪B)= D.若A，B是互斥事件，P(A)=，P(B)=，则P(A∪B)> 【答案】BD 【解析】对于A，B，若A，B是对立事件，则A∪B=Ω，A∩B=∅， 则P(A∪B)=1，P(AB)=0，故A错误，B正确； 对于C，若A，B是互斥事件，P(A)=，P(B)=，则P(A∪B)=P(A)+P(B)=，C错误； 对于D，若A，B是互斥事件，P(A)=，P(B)=，则P(A∪B)=P(A)+P(B)=>，D正确. (2)某射手在一次射击中射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21，0.23，0.25，0.2，则这个射手在一次射击中射中的环数小于7环的概率为　　　　　. 【答案】0.11 【解析】记“射中的环数小于7环”为事件A，则事件为“射中10环或9环或8环或7环”， 所以P()=0.21+0.23+0.25+0.2=0.89， 所以P(A)=1-P()=1-0.89=0.11. 命题点3　利用频率估计概率 例3　(多选)下列命题正确的是(　　) A.随机事件A的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值 B.抛掷骰子100次，得点数是1的结果是18次，则出现1点的频率是 C.有一批产品，其次品率为0.05，若从中任取200件产品，则一定有190件正品，10件次品 D.抛掷一枚质地均匀的硬币100次，有51次出现了正面，则可得抛掷一次该硬币出现正面的概率是0.51 【答案】AB 【解析】随机事件A的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，故A正确； 抛掷骰子100次，得点数是1的结果是18次，则出现1点的频率是=，故B正确； 有一批产品，其次品率为0.05，若从中任取200件产品，则不一定抽取到190件正品和10件次品，故C错误； 100次并不是无穷多次，抛掷一枚质地均匀的硬币100次，有51次出现了正面，则不能得出抛掷一次该硬币出现正面的概率是0.51，故D错误. 【思维升华】事件关系的运算策略 进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析.当事件是由互斥事件组成时，运用互斥事件的概率加法公式. 跟踪训练1　(1)(多选)(2025·邵阳模拟)在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D发生的概率分别是0.1，0.2，0.3，0.4，则下列说法错误的是(　　) A.A+B与C是互斥事件，也是对立事件 B.B+C与D是互斥事件，也是对立事件 C.A+C与B+D是互斥事件，但不是对立事件 D.A与B+C+D是互斥事件，也是对立事件 【答案】ABC 【解析】因为事件A，B，C，D彼此互斥，所以A+B与C也互斥， 但是P(A+B)=P(A)+P(B)=0.1+0.2=0.3，又P(A+B)+P(C)=0.3+0.3=0.6， 所以A+B与C不是对立事件，故A错误； 因为事件A，B，C，D彼此互斥，所以B+C与D也互斥， 但是P(B+C)=P(B)+P(C)=0.2+0.3=0.5，P(B+C)+P(D)=0.5+0.4=0.9， 所以B+C与D不是对立事件，故B错误； 因为事件A，B，C，D彼此互斥，所以A+C与B+D也互斥， 又因为P(A+C)=P(A)+P(C)=0.1+0.3=0.4，P(B+D)=P(B)+P(D)=0.2+0.4=0.6， 又因为P(B+D)+P(A+C)=0.6+0.4=1，所以A+C与B+D是对立事件，故C错误； 因为事件A，B，C，D彼此互斥，所以A与B+C+D也互斥， 又因为P(B+C+D)=P(B)+P(C)+P(D)=0.2+0.3+0.4=0.9， 所以P(B+C+D)+P(A)=0.9+0.1=1，所以A与B+C+D也是对立事件，故D正确. (2)若事件A和B互斥，且P(A∪B)=0.5，P(B)=0.3，则P()=　　　　. 【答案】0.8 【解析】因为事件A和B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)=P(A)+0.3=0.5， 解得P(A)=0.2，故P()=1-P(A)=0.8. 题型二　古典概型 例4　(1)(2022·新高考全国Ⅰ卷)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】从7个整数中随机取2个不同的数，共有=21(种)取法，取得的2个数互质的情况有{2，3}，{2，5}，{2，7}，{3，4}，{3，5}，{3，7}，{3，8}，{4，5}，{4，7}，{5，6}，{5，7}，{5，8}，{6，7}，{7，8}，共14种，根据古典概型的概率公式，得这2个数互质的概率为=.故选D. (2)(2025·烟台模拟)安排4名大学生到两家公司实习，每名大学生只去一家公司，每家公司至少安排1名大学生，则大学生甲、乙到同一家公司实习的概率为(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】4名大学生分两组，每组至少一人，有两种情形，分别为3人、1人或2人、2人，即共有+=8+6=14(种)实习方案，其中甲、乙到同一家公司实习的情况有+=4+2=6(种)，故大学生甲、乙到同一家公司实习的概率为=. 【思维升华】利用公式法求解古典概型问题的步骤 跟踪训练2　(1)(2026·上海模拟)盲盒是指消费者不能提前得知具体产品款式的商品盒子.已知某盲盒产品共有3种玩偶，小明购买4个盲盒，则他能集齐3种玩偶的概率是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】每个盲盒有3种可能，4个盲盒的总情况数为34，即81种， 要集齐三种玩偶，需在4个盲盒中包含所有3种玩偶，即一种玩偶出现2次，其余两种出现1次， 出现2次的玩偶有=3(种)， 将4个位置中选2个给该玩偶，有=6(种)情况，剩余2个位置分别给另外两种玩偶，有=2(种)情况， 符合条件的情况数共3×6×2=36(种)， 因此所求概率为=. (2)(2024·新课标Ⅰ卷)甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡片在此后的轮次中不能使用).则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为　　　　. 【答案】 【解析】因为甲出卡片1一定输，出其他卡片有可能赢，所以四轮比赛后，甲的总得分最多为3. 若甲的总得分为3，则甲出卡片3，5，7时都赢，所以只有1种组合：3-2，5-4，7-6，1-8. 若甲的总得分为2，有以下三类情况： 第一类，当甲出卡片3和5时赢，只有1种组合， 为3-2，5-4，1-6，7-8； 第二类，当甲出卡片3和7时赢，有3-2，7-4，1-6，5-8或3-2，7-4，1-8，5-6或3-2，7-6，1-4，5-8，共3种组合； 第三类，当甲出卡片5和7时赢，有5-2，7-4，1-6，3-8或5-2，7-4，1-8，3-6或5-4，7-2，1-6，3-8或5-4，7-2，1-8，3-6或5-2，7-6，1-4，3-8或5-2，7-6，1-8，3-4或5-4，7-6，1-2，3-8，共7种组合. 综上，甲的总得分不小于2共有12种组合，而所有不同的组合共有4×3×2×1=24(种)，所以甲的总得分不小于2的概率P==. 题型三　概率的综合问题 例5　(2026·上海徐汇区期中)人工智能正在逐渐改变着我们的日常生活，不过，它所涉及的数学知识并非都是遥不可及的高深理论.为了解“拼音输入法”的背后原理，随机选取甲类题材“新闻稿”中1 200字作为样本语料库A，其中“一”出现了30次，统计“一”与其后面一个字(或标点)的搭配情况，数据如下. “一”与其后面一个字(或标点)的搭配情况 频数 “一个” 6 “一些” 4 “一群” 2 “一条” 2 其他 a 假设用频率估计概率. (1)求a的值，并估计甲类题材中“一”出现的概率； (2)事件“在甲类题材‘新闻稿’中随机抽取2个‘一’，其中搭配‘一个’出现的次数仅为1次”，求该事件发生的概率； (3)另外随机选取甲类题材“新闻稿”中800字作为样本语料库B并进行统计，其中“一”出现了24次，“一格”出现了2次，则在甲类题材“新闻稿”的撰写中，输入拼音“yige”时，“一个”和“一格”谁在前面更合适？ 【解析】(1)由题可得a=30-(6+4+2+2)=16， 因为随机选取甲类题材“新闻稿”中1 200字作为样本语料库A，其中“一”出现了30次， 所以估计甲类题材中“一”出现的概率为=. (2)由题意可得在甲类题材“新闻稿”中随机抽取1个“一”，搭配“一个”出现的概率为=， 则在甲类题材“新闻稿”中随机抽取1个“一”，不搭配“一个”出现的概率为1-=， 所以在甲类题材“新闻稿”中随机抽取2个“一”，其中搭配“一个”出现的次数仅为1次的概率为×+×=. (3)甲类题材“新闻稿”中随机抽取1个“一”，搭配“一个”出现的概率为=， 甲类题材“新闻稿”中随机抽取1个“一”，搭配“一格”出现的概率为=<， 所以“一个”出现的概率更大，则输入拼音“yige”时，“一个”在前面更合适. 【思维升华】求解概率的综合问题时，一要注意概率模型的应用，明确所求问题所属的事件类型，二要根据公式准确计算. 跟踪训练3　假日留校自修是某中学的优良传统，学校调查统计了高二年级学生一个学期自修时间(单位：小时)，所得数据都在[50，150]内，将所得的数据分成4组：[50，75)，[75，100)，[100，125)，[125，150]，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求a的值； (2)从[75，100)和[100，125)这两组中用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取7名学生，再从这7名学生中随机抽取2名学生调查他们的学习成绩，求抽到的这2名学生来自不同组的概率. 【解析】(1)由频率分布直方图可知(0.004+0.008+0.012+a)×25=1，解得a=0.016. (2)方法一　一个学期自修时间落在[75，100)内的抽取人数为7×=3， 这3人分别记为A，B，C， 一个学期自修时间落在[100，125)内的抽取人数为7×=4， 这4人分别记为a，b，c，d. 再从这7名学生中随机抽取2名学生的样本空间Ω为{(A，B)，(A，C)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(A，d)，(B，C)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(B，d)，(C，a)，(C，b)，(C，c)，(C，d)，(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)}，共有21个样本点， 其中来自不同组的样本点有(A，a)，(A，b)，(A，c)，(A，d)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(B，d)，(C，a)，(C，b)，(C，c)，(C，d)，共12个， 所以抽到的这2名学生来自不同组的概率为=. 方法二　同方法一得从[75，100)和[100，125)这两组分别抽取的人数为3，4，则抽到的这2名学生来自不同组的概率为==. 【限时训练】 （40分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.从5个男生、2个女生中任意选派3人，则下列事件中是必然事件的是(　　) A.3个都是男生 B.至少有1个男生 C.3个都是女生 D.至少有1个女生 【答案】B 【解析】从5个男生、2个女生中任意选派3人，由于女生只有2名，故至少有1个男生是必然事件. 2.(2026·邢台模拟)用5，6，7这三个数字组成无重复数字的自然数M，记事件A=“M能被5整除”，事件B=“M为奇数”，则事件A与事件B至少有一个发生的概率为(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由题意知，用5，6，7这三个数字组成无重复数字的自然数M， 则样本空间Ω={567，576，657，675，756，765}，共有6个样本点， A={675，765}，B={567，657，675，765}， 所以A∪B=B， 所以P(A∪B)=P(B)==. 3.(2026·黔南模拟)某校对学生进行跳绳测试，每个同学测3次.已知甲同学每次测试及格的概率均为0.6，现采用随机模拟的方法估计甲同学在3次机会里至少及格2次的概率：先由计算器产生0到9范围内的整数随机数，指定0，1，2，3表示没有及格，4，5，6，7，8，9表示及格，再以每3个随机数为一组，代表3次测试的结果.经随机模拟产生了20组随机数： 138　401　123　235　345　257　704　056　186　213　173　624　618　045　631　386　954　742　721　429 据随机模拟试验估计，甲同学在3次机会里至少及格2次的概率为(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】依题意，在每组随机数中，至少有2个数字在4，5，6，7，8，9中， 即代表甲在跳绳测试中3次机会里至少及格2次， 经统计，20组中一共有12组符合要求， 有345，257，704，056，186，624，618，045，386，954，742，429， 故概率为=. 4.某班共有48名同学，其中12名同学精通乐器，8名同学擅长舞蹈，从该班任选一名同学了解其艺术特长.设事件A=“选中的同学精通乐器”，B=“选中的同学擅长舞蹈”，若P(A∪B)=，则P(AB)等于(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由题知，P(A)==，P(B)==， 因为P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=， 即+-P(AB)=， 所以P(AB)=. 5.(2026·重庆模拟)已知甲、乙、丙3名同学从学校的2个科技类社团，2个艺术类社团，1个体育类社团中选择报名参加，每人只能报名参加1个社团，则有人报名参加体育类社团且仅有1人报名参加科技类社团的概率为(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】3人中仅有1人报名参加科技类社团有=6(种)情况， 余下2人报名参加其余3个社团，有人报名参加体育类社团，则报名情况分类如下： ①2人都报名参加体育类社团，有1种情况； ②2人报名参加体育类、艺术类社团各1人，有=4(种)情况. 综上，有人报名参加体育类社团且仅有1人报名参加科技类社团共有6×(1+4)=30(种)情况； 若3人任意报名参加社团，则共有53=125(种)情况，所以有人报名参加体育类社团且仅有1人报名参加科技类社团的概率为=. 6.15个人围坐在圆桌旁，从中任取4人，他们两两互不相邻的概率是(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】15个人围坐在圆桌旁，从中任取4人，他们两两互不相邻，则可先让11个人入坐好，再让其余4人插空，共有·种不同的围坐方法，所以所求概率是=. 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.(2025·许昌模拟)柜子里有2双不同的鞋，从中随机地取出2只，记事件A=“取出的鞋不成双”，事件B=“取出的鞋都是左脚的”，事件C=“取出的鞋都是一只脚的”，事件D=“取出的鞋是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”，则下列结论成立的是(　　) A.D⊆A B.A=C∪D C.B与D互斥 D.C与D对立 【答案】ABC 【解析】选项A，事件A=“取出的鞋不成双”，事件D=“取出的鞋是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”，D发生时A一定发生，所以D⊆A，A正确； 选项B，事件C=“取出的鞋都是一只脚的”，包含“都是左脚”和“都是右脚”， 事件D=“取出的鞋是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”， A(不成双)就是“都是一只脚(C)”或“一只左脚一只右脚但不成双(D)”， 即A=C∪D，B正确； 选项C，事件B(都是左脚)与事件D(一只左脚一只右脚但不成双)不可能同时发生， 所以B与D互斥，C正确； 选项D，事件C(都是一只脚)与事件D(一只左脚一只右脚但不成双)，除了C和D的情况，还有“取出的鞋是一双”的情况，所以C与D不对立，D错误. 8.某冷饮店为了保证顾客能买到当天制作的双皮奶，同时尽量减少滞销，统计了30天的销售情况，得到如下数据： 日销售量/杯 [25，35) [35，45) [45，55) [55，65) [65，75] 天数 4 6 9 5 6 以样本估计总体，用频率代替概率，则下列结论正确的是(　　) A.估计平均每天销售50杯双皮奶(同一组区间以中点值为代表) B.若当天准备55杯双皮奶，则售罄的概率为 C.若当天准备45杯双皮奶，则卖不完的概率为 D.这30天双皮奶日销售量的80%分位数是65杯 【答案】BCD 【解析】平均每天双皮奶的销售量为 =51(杯)， A错误； 日销售量不少于55杯的概率为=，B正确； 日销售量少于45杯的概率为=，C正确； 1-=0.8，因此这30天双皮奶日销售量的80%分位数是65杯，D正确. 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.(2025·八省联考)有8张相同的卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8.现从这8张卡片中随机抽出3张，则抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为　　　　. 【答案】 【解析】从8张卡片中随机抽出3张，则样本空间中总的样本点个数为=56， 因为1+2+3+4+5+6+7+8=36， 所以要使抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等， 则抽出的3张卡片上的数字之和应为18， 则抽出的3张卡片上的数字的组合有8，7，3或8，6，4或7，6，5共3种， 所以符合抽出的3张卡片上的数字之和为18的样本点有3个， 所以抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为. 10.从正方体的顶点及其中心共9个点中任选4个点，则这4个点在同一个平面的概率为　　　　. 【答案】 【解析】如图，选正方体6个侧面上的顶点，共有6种共面的情况， 过中心O与两条对棱的平面共有6个，每个平面含9个点中的5个，则共有6种共面的情况， 所有可能情况有种，所以这4个点在同一个平面的概率为==. 四、解答题(共28分) 11.(13分)某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队. (1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；(6分) (2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，求参赛女生不少于2人的概率.(7分) 【解析】(1)由题意，参加集训的男生、女生各有6名. 参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为=， 故A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1-=. (2)设“参赛的4人中女生不少于2人”为事件C，“参赛女生有2人”为事件D，“参赛女生有3人”为事件E. 则P(D)==，P(E)==. 由互斥事件的概率加法公式，得 P(C)=P(D)+P(E)=+=， 故所求事件的概率为. 12.(15分)(2026·银川模拟)“民政送温暖，老人有饭吃”.近年来，各级政府重视提高老年人的生活质量.在医疗、餐饮等多方面为老人提供了方便.单从用餐方面，各社区创建了“爱心食堂”“爱心午餐”“老人食堂”等等不同名称的食堂，解决了老人的吃饭问题.“爱心食堂A”为了更好地服务老人，于3月28日12时，食堂管理层人员对这一时刻用餐的118人对本食堂推出的15种菜品按性价比“满意”和“不满意”做问卷调查，其中有13人来食堂用餐不足5次，另有儿童5人，他们对菜品了解不全，不予问卷统计，在被统计的人员中男性比女性多20人.用餐者对15种菜品的性价比认为“满意”的菜品数记为x(0≤x≤15，x∈N)，当x≥12时，认为该用餐者对本食堂的菜品“满意”，否则，认为“不满意”.统计结果部分信息如表. 满意 不满意 合计 男 40 女 20 合计 附：χ2=，其中n=a+b+c+d. α 0.1 0.05 0.01 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 10.828 (1)①完成上面2×2列联表；(4分) ②依据小概率值α=0.1的独立性检验，能否认为用餐者对本食堂菜品的性价比是否满意与性别有关？(5分) (2)用按比例分配的分层随机抽样的方法在对菜品的性价比“满意”的人群中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，求抽取的3人中恰有2人是女性的概率.(6分) 【解析】(1)①由题意，问卷调查人数为118-(13+5)=100， 其中男性60人，女性40人，得完整2×2列联表如表. 满意 不满意 合计 男 40 20 60 女 20 20 40 合计 60 40 100 ②零假设为H0：用餐者对本食堂菜品的性价比是否满意与性别无关. χ2=≈2.778>2.706=x0.1， ∴依据小概率值α=0.1的独立性检验，我们认为H0不成立，即认为用餐者对本食堂菜品的性价比是否满意与性别有关. (2)由(1)知，对菜品的性价比“满意”的人群中有40名男性和20名女性，用按比例分配的分层随机抽样的方法分别抽取男性4人和女性2人， ∴从这6人中抽取的3人中恰有2人是女性的概率为P===. [每小题5分，共10分] 13.整数集就像一片浩瀚无边的海洋，充满了无尽的奥秘.古希腊数学家毕达哥拉斯发现220和284具有如下性质：220的所有真因数(不包括本身的因数)之和恰好等于284，同时284的所有真因数之和也等于220，他把具有这种性质的两个整数叫做一对“亲和数”，“亲和数”的发现掀起了无数数学爱好者的研究热潮.已知220和284，1 184和1 210，2 924和2 620是3对“亲和数”，把这六个数随机分成两组，一组2个数，另一组4个数，则220和284在同一组的概率为(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由题意可得一共有种分组方法，若要满足220和284在同一组，则分两种情况讨论：①220和284在2个数这一组中，有种分组方法，②220和284在4个数这一组中，有种分组方法.故所求概率P==. 14.(2025·泉州模拟)如图，有一个质地均匀的正八面体，八个面分别标以数字1到8.将该八面体连续抛掷三次，按顺序记录它与地面接触的面上的数字，则这三个数恰好构成等差数列的概率为　　　　　. 【答案】 【解析】由题意可知所有可能情况共有83种，按顺序记录的三个数恰好构成等差数列， 可以按照公差为-3，-2，-1，0，1，2，3分类，其中公差为-3，-2，-1和3，2，1的情况数对应相等. 公差为0的有(1，1，1)，(2，2，2)，…，(8，8，8)，共8种情况； 公差为1的有(1，2，3)，(2，3，4)，…，(6，7，8)，共6种情况，同公差为-1的； 公差为2的有(1，3，5)，(2，4，6)，(3，5，7)，(4，6，8)，共4种情况，同公差为-2的； 公差为3的有(1，4，7)，(2，5，8)，共2种情况，同公差为-3的. 所以三个数恰好构成等差数列的概率P===. / 学科网（北京）股份有限公司 $