甘肃平凉市庄浪县紫荆中学2025-2026学年第二学期第一学段考试题高二数学

**基本信息** 紫荆中学高二数学期中试卷涵盖随机变量、空间向量、导数应用等核心知识，通过生活情境（如冬奥会志愿者）与数学建模（深水炸弹概率），考查数学思维（推理、运算）与数学语言（模型、应用），适配学段能力检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|5题77分|概率统计（16、18题）、立体几何（17题）、函数导数（19题）|18题以冬奥会志愿者为情境，考查分布列与期望；19题分层设计单调性讨论与恒成立问题，梯度提升|

紫荆中学2025-2026学年第二学期第一学段考试题（卷） 高二数学 说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟． 答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡． 第Ⅰ卷（选择题） 1、 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1．下面给出四个随机变量：①一高速公路上某收费站在小时内经过的车辆数是一个随机变量；②一个沿直线进行随机运动的质点，它在该直线上的位置是一个随机变量；③某人小时内接到的电话次数是一个随机变量；④天内的温度是一个随机变量.其中是离散型随机变量的为（    ） A．①② B．①③ C．③④ D．②④ 2．已知向量，，且，那么（   ） A． B． C． D．5 3．已知函数满足，则（    ） A． B． C． D． 4．已知随机变量，且，则（   ） A． B． C． D． 5．袋子中放有大小、形状相同的5个小球，其中标号为“0”的小球为1个，标号为“1”的小球2个，标号为“2”的小球2个．从袋中任取两个小球，已知其中一个小球的标号是“1”的条件下，则另一个小球标号也是“1”的概率为（    ） A． B． C． D． 6．已知是定义在上的函数的导函数，且，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 7．如图，二面角的大小为，点分别在半平面内，于点，于点．若，则（   ） A． B．7 C．8 D．9 8．若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分) 9．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚正面朝上”，事件B=“第二枚正面朝上”，下列结论中正确的是（    ） A．A与B为互斥事件 B．A与B为相互独立事件 C． D． 10．已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果，，．给出下列结论，其中错误的是（    ） A． B．AP⊥AD C．AP⊥AB D．是平面ABCD的一个法向量 11．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数既存在极大值又存在极小值 B．函数存在3个不同的零点 C．函数的最小值是 D．若函数有两个不同的零点，则或 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 12．一枚深水炸弹轻创、重创一艘潜艇的概率分别是、，被轻创和重创的潜艇分别以和的概率失去战斗力，计算一枚深水炸弹就能使潜艇失去战斗力的概率为____________． 13．若是函数的极值点，则___________． 14．在长方体中，，，，是的中点，点满足，当平面时，的值为_____． 四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分13分)(1)求函数的导数． (2) 如图，已知平面内有，，三点，求平面的一个法向量． 16．(本小题满分15分)已知离散型随机变量的分布列为： 1 2 3 4 P 0．3 0．4 0．1 (1)求的值； (2)求； (3)求． 17．(本小题满分15分) 如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点． (1)求证：平面PAC⊥平面PBC； (2)若AB＝2，AC＝1，PA＝1，求二面角C-PB-A的正切值． 18． (本小题满分17分) 北京某高校有20名志愿者报名参加2022年北京冬奥会服务工作，其中有2名老师，18名学生.若从中随机抽取名志愿者，用X表示所抽取的n名志愿者中老师的人数． (1)若，求X的分布列与数学期望； (2)当n为何值时，的概率取得最大值?最大值是多少? 19．(本小题满分17分) 设函数 (1)讨论的单调性； (2)当时，若在上恒成立，求a的取值范围． 紫荆中学2025-2026学年第二学期第一学段考试 高二数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C A D B B D B BD ACD 题号 11 答案 ACD 1．B 【分析】根据离散型随机变量的结果是可以一一列举出来的判断即可．【详解】解：根据离散型随机变量的结果是可以一一列举出来的可知，①中小时内经过的车辆数和③某人小时内接到的电话次数都是可以列举出来的，而②一个沿直线进行随机运动的质点，它在该直线上的位置和④中天内的温度都无法列举出来，故是离散型随机变量的为①③．故选：B 2．C 【分析】根据空间向量垂直的坐标运算求得，然后利用空间向量模的坐标运算求解即可． 【详解】由向量，，且， 得，则，则． 故选：C 3．A 【分析】求导即可得解． 【详解】由可得， 故， 故， 故选：A 4．D 【分析】根据正态分布的对称性即可求解． 【详解】已知随机变量，则正态曲线关于直线对称， 因为，则， 根据对称性得到， 则． 5．B 【分析】设事件后结合组合数求出概率，再利用条件概率公式求解即可． 【详解】设取出的两个小球中至少有一个标号为“1”为事件，取出的两个小球标号都为“1”为事件， 则，， 所以已知其中一个小球的标号是“1”的条件下，另一个小球标号也是“1”的概率为 ， 故选：B 6．B 【分析】令，求导后根据已知条件可判断在上递减，从而可判断出的大小． 【详解】令，则， 因为， 所以， 所以在上递减， 因为，所以， 所以， 所以， 故选：B 7．D 【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律求解． 【详解】依题意，，而， 所以． 8．B 【分析】对给定不等式同构变形，构造函数并利用单调性得恒成立，再分离参数并构造函数，利用导数求出最小值即可． 【详解】依题意，不等式， 令函数，求导得，函数在上单调递增， 不等式，则，而， 于是恒成立，令函数，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，则， 因此，解得，又，则， 所以的取值范围为． 9．BD 【分析】根据互斥事件、独立事件、和事件、积事件的知识对选项进行分析，由此确定正确答案． 【详解】抛掷两枚质地均匀的硬币，基本事件有：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）， 事件包含的基本事件是：（正，正），（正，反）． 事件包含的基本事件是：（正，正），（反，正）． 所以不是互斥事件，A选项错误． ，所以BD选项正确． ，C选项错误． 故选：BD 10．ACD 【分析】根据空间向量减法的坐标运算及空间向量垂直的坐标表示、法向量的概念即可求解. 【详解】解：由题意，因为，，， 所以，故选项A错误； 因为，所以AP⊥AD，故选项B正确； 因为，所以AP与AB不垂直，不是平面ABCD的一个法向量，故选项C、D错误； 故选：ACD. 11．ACD 【分析】对于函数的极值，需要通过求导判断函数的单调性，进而确定极值点，对于函数的零点，可结合函数的单调性和特殊点的值来判断，对于函数的零点问题，可转化为函数与直线的交点问题． 【详解】因为，所以， 令， 令，令， 所以在单调递减，在单调递增，在单调递减． 所以是极小值点，是极大值点． 即既存在极大值又存在极小值，故A正确． 由选项A可知，， 可得， 当时，且， 同理，当时，， 所以函数在和上各有一个零点，共两个零点，所以B不正确． 由选项A和B，可知 且当时，，所以的最小值是，故C正确． 函数有两个不同的零点，即有两个不同的解． 即函数与的图像有两个不同的交点， 由选项A和B，可知，结合图像可以看出， 当时，函数与的图像有两个不同的交点， 当时，函数与的图像有两个不同的交点，故选项D正确． 12． 【分析】记事件一枚深水炸弹轻创一艘潜艇，事件一枚深水炸弹重创一艘潜艇，记事件潜艇失去战斗力，利用全概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】解：记事件一枚深水炸弹轻创一艘潜艇，事件一枚深水炸弹重创一艘潜艇， 记事件潜艇失去战斗力， 则，，，， 由全概率公式可得. 13． 【分析】由题意得即可求解，再代入即可求解． 【详解】由题意有， 所以， 因为是函数极值点，所以，得， 当时，， 当单调递增，当单调递减， 当单调递增， 所以是函数的极小值点，符合题意； 所以． 故答案为：． 14． 【分析】建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量的方法即可求解． 【详解】 根据已知条件，建立如图所示： 以为坐标原点，、、分别为、、轴的空间直角坐标系， ，，，，， ，， ， ， 设平面的一个法向量， ，，则， 令，有，，所以， 平面，则，即， 解得． 故答案为： 15．(1) （2） （结果不唯一） 【分析】直接利用求导公式计算得到答案． （1） ，． （2） （结果不唯一） 【分析】设出法向量的坐标，根据法向量与向量垂直，列出方程组，求解即可． 【详解】不妨设平面的法向量，又， 故可得，即，不妨取，故可得， 故平面的一个法向量为． 又平面的法向量不唯一，只要与向量平行且非零的向量均可． 故答案为：．（结果不唯一） 16．(1) (2) (3) 【详解】（1），； （2）； （3）． 所以 17．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过证明平面，结合面面垂直的判定定理可证平面PAC⊥平面PBC； （2）过作，垂足为，过作，垂足为，连，可证是二面角C­PB­A的平面角，再通过计算可求出结果． 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 因为AB是圆的直径，C是圆上的点，所以， 因为，所以平面， 因为平面，所以平面PAC⊥平面PBC． （2）过作，垂足为，过作，垂足为，连，如图： 因为平面，平面，所以， 因为，所以平面，所以， 因为，，所以平面，所以， 所以是二面角C­-PB­-A的平面角， 因为，，，所以，所以，，， 因为，，所以，所以， 在直角三角形中，， 在直角三角形中,． 所以二面角C­-PB­-A的正切值为． 18．(1)分布列见解析， (2)时，取得最大值 【分析】（1）写出X的所有可能取值及取每个值时所对应的概率，列出分布列，利用期望公式求解即可；（2）写出的概率，利用基本不等式求最值即可. 【详解】（1）当时，X的所有可能取值为0，1，2， 则，，， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P . （2）的概率为，，且. 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以当时，的概率取最大值，最大值是. 19．(1)分类讨论，答案见解析． (2) 【分析】（1）首先求出函数的导数，对a讨论，根据的正负即可求出函数单调性； （2）利用参数分离将在上恒成立，转化为在上恒成立问题，设，求出在上的最大值，即可得到a的取值范围． 【详解】（1）已知，则函数的定义域为，且， 当时，，在单调递增； 当，且时，，此时在上是增函数； 时，，此时在上是减函数． 综上所述，当时，在定义域上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减． （2）当时，在上恒成立， 即在上恒成立， 设，则， 当时，，为增函数； 当时，，为减函数． ，则， a的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $