4.4 简单的三角恒等变换的应用 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦三角恒等变换应用专题，涵盖降幂、升幂、辅助角、积化和差与和差化积、半角公式等核心考点，按“公式基础-化简求值-综合应用”逻辑架构组织，通过考点梳理、方法指导（如辅助角公式参数确定）、真题训练（模拟题及期中题）等环节，帮助学生构建知识网络，突破变换难点。 讲义采用“问题驱动-分层突破”教学策略，如在辅助角公式考点中，结合函数值域问题引导学生用数学思维分析参数关系，通过选择、填空、解答题分层练习培养运算能力与模型意识，确保高效复习，提升学生解题规范性与应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

4.4 简单的三角恒等变换的应用 1．降幂公式 sin2α＝，cos2α＝. 2．升幂公式 1＋cos 2α＝2cos2α， 1－cos 2α＝2sin2α， 1±sin 2α＝(sin α±cos α)2. 3．辅助角公式 asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)， 其中sin φ＝，cos φ＝. 4．积化和差公式与和差化积公式 积化和 差公式 sin αcos β＝[sin (α＋β)＋sin (α－β)] cos αsin β＝[sin (α＋β)－sin (α－β)] cos αcos β＝[cos (α＋β)＋cos (α－β)] sin αsin β＝－[cos (α＋β)－cos (α－β)] 和差化 积公式 sin θ＋sin φ＝2sin cos sin θ－sin φ＝2cos sin cos θ＋cos φ＝2cos cos cos θ－cos φ＝－2sin sin 5．半角公式 (1)sin (2)cos (3)tan ＝±． [常用结论] 公式的常用变式(万能公式) (1)sin 2α＝＝； (2)cos 2α＝＝； (3)1＋cos α＝2cos2； (4)1－cos α＝2sin2； (5)1＋sin α＝2； (6)1－sin α＝2； (7)tan ＝＝. 考点一　辅助角公式与降幂公式 考点二　积化和差、和差化积与半角公式 考点三　利用三角恒等变换公式化简求值 考点四　三角恒等变换综合应用 考点一　辅助角公式与降幂公式 1．（25-26高三上·上海·期中）函数的值域是______________． 2．（2026·江苏淮安·模拟预测）的值域为___________． 3．（25-26高三上·辽宁大连·期中）（多选）下列各式中，化简结果为1的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·湖南永州·开学考试）（多选）已知函数的图象关于点对称，则的值可以是（   ）. A． B． C． D． 5．（25-26高三下·安徽·期中）（多选）已知为锐角，若，则（    ） A． B． C． D． 6．（2026·河南焦作·一模）（   ） A． B． C． D． 考点二　积化和差、和差化积与半角公式 7．（2026·重庆·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C． D． 8．（2026·青海西宁·二模）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高三上·全国·课后作业）已知且，则的值为_____________． 10．（25-26高三上·江苏盐城·期中）的值为（    ） A．1 B． C． D．2 11．（湖北武汉市2026届高三年级五月供题数学试题）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 12．（2026高三·全国·专题练习）（1）求值：______； （2）若，则的最大值是______． 考点三　利用三角恒等变换公式化简求值 13．（25-26高三上·江苏盐城·阶段检测）（1）已知，求的值； （2）化简：. 14．（2026·海南海口·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 15．（25-26高三上·广东中山·阶段检测）（多选）下列各式化简正确的是（   ） A． B． C． D． 16．（25-26高三上·辽宁·期中）已知． (1)化简，并求值； (2)若且，求的值． 17．（25-26高三上·辽宁大连·期中）已知函数. (1)化简； (2)若，求的值； (3)若，，且，均为锐角，求的值. 18．（25-26高三上·云南昆明·阶段检测）化简（   ） A．-1 B． C． D．1 19．（25-26高三上·江苏镇江·阶段检测）（1）已知，，其中，.求角的值. （2）化简：. 20．（25-26高三上·全国·课后作业）化简： (1)； (2)； (3)． 考点四　三角恒等变换综合应用 21．（25-26高三上·湖北·期中）（多选）在音乐合成中，两个简单的声波可以叠加形成新的波形.已知某合成波形对应的函数为，下列关于该函数说法正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．的最大值为 C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增 22．（25-26高三上·海南海口·期中）已知函数. (1)求的最小正周期和对称中心； (2)求在区间内的单调递增区间. 23．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知，，． (1)当，时，求函数在上的单调区间； (2)若在区间上有解，求的取值范围． 24．（25-26高三上·江苏南京·阶段检测）（1）已知，，求的值； （2）已知角，，且，，求和的值． 25．（25-26高三上·湖北荆州·阶段检测）已知函数，． (1)求在的单调递减区间； (2)当时，求的最大值和最小值； (3)若，，求的值． 1．（2026·浙江金华·三模）已知，则（   ） A． B．3 C．或3 D．或3 2．（25-26高三上·辽宁沈阳·期中）下列函数的最小正周期为的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三下·重庆·阶段检测）函数 的最大值为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·安徽马鞍山·期末）已知角满足，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·福建泉州·三模）若，则（   ） A． B． C． D． 6．（2026·河南开封·二模）设函数，若恒成立，且在上最大值与最小值的和为0，则的最小值为（   ） A．8 B．6 C．5 D．4 7．（25-26高三上·广东江门·期中）设函数，若，则函数的值域为（     ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·江苏宿迁·阶段检测）（多选）下列各式的值正确的是（         ） A． B． C． D． 9．（24-25高三上·江苏淮安·阶段检测）（多选）下列等式正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 10．（25-26高三下·甘肃武威·阶段检测）（多选）下列函数中，最小正周期为，且在上单调递增的为（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高三上·辽宁抚顺·期中）（多选）下列各式计算不正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高三上·四川巴中·期中）（多选）下列代数式的值为的是（ ） A． B． C．     D． 13．（24-25高三上·江苏南通·阶段检测）已知，则的值为__________． 14．（25-26高二下·北京·期中）已知函数．若在区间上的最大值为，则___________． 15．（25-26高三上·上海·期中）化简： (1)； (2). 16．（25-26高三上·上海·期中）已知函数． (1)求函数的最小正周期、对称轴和零点； (2)若，，求的值； (3)若关于x的方程在上有两个不同的解、，求实数m的取值范围及的值． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.4 简单的三角恒等变换的应用 1．降幂公式 sin2α＝，cos2α＝. 2．升幂公式 1＋cos 2α＝2cos2α， 1－cos 2α＝2sin2α， 1±sin 2α＝(sin α±cos α)2. 3．辅助角公式 asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)， 其中sin φ＝，cos φ＝. 4．积化和差公式与和差化积公式 积化和 差公式 sin αcos β＝[sin (α＋β)＋sin (α－β)] cos αsin β＝[sin (α＋β)－sin (α－β)] cos αcos β＝[cos (α＋β)＋cos (α－β)] sin αsin β＝－[cos (α＋β)－cos (α－β)] 和差化 积公式 sin θ＋sin φ＝2sin cos sin θ－sin φ＝2cos sin cos θ＋cos φ＝2cos cos cos θ－cos φ＝－2sin sin 5．半角公式 (1)sin (2)cos (3)tan ＝±． [常用结论] 公式的常用变式(万能公式) (1)sin 2α＝＝； (2)cos 2α＝＝； (3)1＋cos α＝2cos2； (4)1－cos α＝2sin2； (5)1＋sin α＝2； (6)1－sin α＝2； (7)tan ＝＝. 考点一　辅助角公式与降幂公式 考点二　积化和差、和差化积与半角公式 考点三　利用三角恒等变换公式化简求值 考点四　三角恒等变换综合应用 考点一　辅助角公式与降幂公式 1．（25-26高三上·上海·期中）函数的值域是______________． 【答案】 【详解】因为，所以，其中， 因此的值域为. 2．（2026·江苏淮安·模拟预测）的值域为___________． 【答案】 【分析】首先根据的正负去掉绝对值符号，将整理为分段函数形式，再利用辅助角公式求出的整体取值范围，最后结合分段函数的表达式即可得到的值域. 【详解】设，化简得， 因此，当时：， 当时：，此时， 合并两种情况，可得的所有取值范围是. 3．（25-26高三上·辽宁大连·期中）（多选）下列各式中，化简结果为1的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】因为，所以A正确； 因为，所以B正确； 因为，所以C错误； 因为，所以D正确. 4．（25-26高三上·湖南永州·开学考试）（多选）已知函数的图象关于点对称，则的值可以是（   ）. A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】依题意，函数， 由，得， 则函数的图象关于点对称，即， 当时，；当时，，BD是， 不存在整数，使得，AC不是. 5．（25-26高三下·安徽·期中）（多选）已知为锐角，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据结合题干式子可求出，根据同角三角关系可求出，可判断A；利用可判断B；根据齐次式转换可判断C；利用同角三角关系求出，结合辅助角公式可判断D. 【详解】由，得，解得， 因为为锐角，所以，所以， 所以，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，又为锐角，解得， ， 故D错误. 6．（2026·河南焦作·一模）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 . 考点二　积化和差、和差化积与半角公式 7．（2026·重庆·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定角的范围，求出 值，利用正弦和余弦的差角公式求出 和 ，最后用半角公式即可求解. 【详解】已知 ，因此 ， 所以， 所以， 化简得①； 而， 化简得②； 联立①②，相加得： 相减得： ， 由 ，得 ， 根据半角公式 ，代入 得. 8．（2026·青海西宁·二模）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两角和的余弦公式，可得的值，根据半角公式，即可得答案. 【详解】由题得 ， 又，所以是锐角，所以． 9．（25-26高三上·全国·课后作业）已知且，则的值为_____________． 【答案】2 【分析】由已知条件求出值，进而求出，再利用半角正切公式计算求解． 【详解】 由且，可知， ， ， ， ． 故答案为：． 10．（25-26高三上·江苏盐城·期中）的值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】运用和差化积公式进行化简分子部分变为，再使用诱导公式、二倍角公式化简分母，从而让问题得到解决. 【详解】运用和差化积公式进行化简，得 . 11．（湖北武汉市2026届高三年级五月供题数学试题）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助和差化积公式、同角三角函数基本关系、二倍角公式计算即可得. 【详解】由，故， 由，故， 则， 则 . 12．（2026高三·全国·专题练习）（1）求值：______； （2）若，则的最大值是______． 【答案】 / 【分析】（1）先利用降幂公式，再利用和差化积和积化和差公式化简即可； （2）利用和差化积公式化简，结合三角函数的最值求解或利用消元思想，结合辅助角公式化简，最后利用三角函数的最值求解. 【详解】（1）原式 ． （2）（方法一）因为， 所以， 当且仅当时取等号，则的最大值为． （方法二）由于， 则 ， 当且仅当， 即时，取最大值， 且的最大值为． 考点三　利用三角恒等变换公式化简求值 13．（25-26高三上·江苏盐城·阶段检测）（1）已知，求的值； （2）化简：. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用二倍角、差角公式化简已知等式，约去非零项后得到的值，再平方求； （2）先将正切化为正弦、余弦，用辅助角公式化简分子，再用降幂公式化简分母，约分得到结果. 【详解】（1）由二倍角公式：， 由余弦差角公式：. 由于原式分母不为0，故，则， 化简得，两边平方得 ， 解得. （2）将代入得 ， 则分子 ， 由降幂公式可知分母， 从而原式. 14．（2026·海南海口·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得， 即，得， 则. 因为， 所以，. 15．（25-26高三上·广东中山·阶段检测）（多选）下列各式化简正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据二倍角公式，两角和与差的正弦、余弦、正切公式计算即可. 【详解】对于A：，A错误； 对于B：因为， 所以 所以，B正确； 对于C：因为， 所以，C正确； 对于D： ，D正确. 16．（25-26高三上·辽宁·期中）已知． (1)化简，并求值； (2)若且，求的值． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）因为，，所以， 原式， 所以，原式 （2）因为，所以， 又，所以， 所以 17．（25-26高三上·辽宁大连·期中）已知函数. (1)化简； (2)若，求的值； (3)若，，且，均为锐角，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）. （2），即， . （3）因为，均为锐角，所以， 因为，， 所以，解得. 18．（25-26高三上·云南昆明·阶段检测）化简（   ） A．-1 B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据同角三角函数商的关系，诱导公式，辅助角公式，二倍角公式化简可得. 【详解】解析： 故选：A 19．（25-26高三上·江苏镇江·阶段检测）（1）已知，，其中，.求角的值. （2）化简：. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先利用同角三角函数的基本关系求出的余弦和的正弦，再利用两角差的正弦求出的值，从而可求的值； （2）利用同角三角函数基本关系式可得，再利用辅助角公式和两角差的正弦可求三角函数的值. 【详解】（1）因为，且，，可得， 所以， 则. 因为，，可得， 又因为，， 所以，，可得， 所以，所以. （2）原式 . 20．（25-26高三上·全国·课后作业）化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系进行化简； （2）利用同角三角函数的基本关系进行化简； （3）利用同角三角函数的基本关系进行化简； 【详解】（1）原式 ． （2）原式． （3）原式 . 考点四　三角恒等变换综合应用 21．（25-26高三上·湖北·期中）（多选）在音乐合成中，两个简单的声波可以叠加形成新的波形.已知某合成波形对应的函数为，下列关于该函数说法正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．的最大值为 C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增 【答案】AB 【分析】化简函数，结合三角函数的图象与性质，逐项分析判断，即可求解. 【详解】由函数， 对于A，函数的最小正周期为，所以A正确； 对于B，函数的最大值为，所以B正确； 对于C，令，可得， 其中不是的解，所以不是的对称轴，所以C错误； 对于D，由，可得， 当时，即时，函数单调递增； 当时，即时，函数单调递减，所以D错误. 22．（25-26高三上·海南海口·期中）已知函数. (1)求的最小正周期和对称中心； (2)求在区间内的单调递增区间. 【答案】(1)最小正周期，对称中心为； (2)和. 【分析】利用三角恒等变换将函数化为一个正弦型函数，根据周期公式得到最小正周期；令正弦函数内部的相位等于，解出即为对称中心的横坐标； （2）令正弦函数内部的相位落在正弦函数的单调递增区间内，解出的范围，得到单调递增区间的通式，再与给定区间取交集，即得所求的单调递增区间. 【详解】（1）函数 ， 所以的最小正周期， 令，解得：，此时， 的对称中心为； （2）令， 解得， 的单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为； 在区间内单调递增区间和. 23．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知，，． (1)当，时，求函数在上的单调区间； (2)若在区间上有解，求的取值范围． 【答案】(1)函数单调递增区间为和；函数递减区间为和． (2) 【分析】（1）用二倍角公式把原函数转化为关于的二次函数，利用换元法结合二次函数和余弦函数的单调性，利用同增异减原则分析函数单调性，求出函数单调区间； （2）利用二倍角公式结合两角和与差的公式化简已知不等式，把在区间上有解问题转化为最小值问题，进而求解； 【详解】（1）当，时，， 令，则，开口向上，对称轴为， 则时，函数单调递减；当时，函数单调递增； 在上单调递增，在上单调递减， 令，在上，解得， 根据同增异减原则，当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 故函数单调递增区间为和；函数递减区间为和． （2）由题意得， 则不等式化简为， 即， 在时，，，， 故，不等式转化为， 即， 当时，，故， 令，则， 存在使得等价于，． 24．（25-26高三上·江苏南京·阶段检测）（1）已知，，求的值； （2）已知角，，且，，求和的值． 【答案】（1）；（2）， 【分析】（1）先对已知式子进行平方，再相加结合正弦差角公式求解； （2）根据题意，利用倍角公式及同角三角函数的关系求出、、，再由展开计算即可． 【详解】（1）， 得， 解得； （2），，，， ，， 又，， ． 25．（25-26高三上·湖北荆州·阶段检测）已知函数，． (1)求在的单调递减区间； (2)当时，求的最大值和最小值； (3)若，，求的值． 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 (3) 【分析】（1）根据降幂公式，二倍角公式及辅助角公式化简，再根据正弦函数的性质即可求解； （2）根据三角函数的性质即可求解最值； （3）由已知得出，结合及同角三角函数的平方关系得出，由两角和的正弦公式即可求解． 【详解】（1）， 由，解得， 又，所以的单调递减区间为． （2）因为，所以，则， 所以， 所以的最大值为，最小值为． （3）由，所以，所以， 又，所以， 所以， 所以 ． 1．（2026·浙江金华·三模）已知，则（   ） A． B．3 C．或3 D．或3 【答案】C 【详解】，所以， ， 当时，， 当时，， 所以或. 2．（25-26高三上·辽宁沈阳·期中）下列函数的最小正周期为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角函数的周期公式可判断ACD选项；利用函数周期性的定义可判断B选项. 【详解】对于A选项，函数的最小正周期为，A符合要求； 对于B选项，对于函数，因为，故函数的最小正周期不是，B不符合要求； 对于C选项，函数的最小正周期为，C不符合要求； 对于D选项，函数的最小正周期为，D不符合要求. 3．（25-26高三下·重庆·阶段检测）函数 的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】换元法构造函数利用单调性求最值 【详解】令，则，且， 所以，， 因为， 令，得，令，得， 故函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以其最大值. 4．（25-26高三上·安徽马鞍山·期末）已知角满足，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用降幂扩角公式及和差角的余弦公式求解. 【详解】角满足， 则 . 故选：D 5．（2026·福建泉州·三模）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用辅助角公式可得，结合特殊角的三角函数值求得，代入即可求解. 【详解】由， 所以,则， 即，所以 6．（2026·河南开封·二模）设函数，若恒成立，且在上最大值与最小值的和为0，则的最小值为（   ） A．8 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【分析】利用正弦函数的性质结合已知条件求出的特征，再结合最大值与最小值的和为0的条件，求出的最小值． 【详解】，周期为， ，则是周期， ，即是正偶数， 当时，， 已知最大值与最小值的和为0， 最大值与最小值互为相反数， 若，区间，最大值为，最小值为1，和不为0； 若，区间，最大值为，最小值为，和不为0； 若，区间，最大值为，最小值为，和为0； 的最小值为6． 7．（25-26高三上·广东江门·期中）设函数，若，则函数的值域为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】利用降幂公式，代入原函数得 ， 再用辅助角公式整理得 . 已知，则 ， 正弦函数，的取值范围是，故， 则， 因此函数的值域为. 8．（24-25高三上·江苏宿迁·阶段检测）（多选）下列各式的值正确的是（         ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用二倍角的正弦公式可判断A选项；利用诱导公式结合两角和的余弦公式可判断B选项；利用二倍角的正切公式可判断C选项；利用两角和的正切公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，，A错； 对于B选项， ，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，因为， 所以，， 故 ，D对. 故选：BD. 9．（24-25高三上·江苏淮安·阶段检测）（多选）下列等式正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据三角函数的二倍角公式、和差公式、降幂公式以及半角公式，可得答案. 【详解】，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，故，故D正确. 故选：ACD. 10．（25-26高三下·甘肃武威·阶段检测）（多选）下列函数中，最小正周期为，且在上单调递增的为（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】选项A：的最小正周期为， 单调递增区间为，满足在上单调递增，故A正确； 选项B：，定义域为且，没有意义，最小正周期不是，故B错误； 选项C：的最小正周期为，在单调递减， 则在单调递减，故在单调递增，故C正确； 选项D：，最小正周期为， 在时，，函数在区间内先增后减，故D错误． 11．（25-26高三上·辽宁抚顺·期中）（多选）下列各式计算不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用和差角的三角函数公式、辅助角公式、二倍角公式逐项求解判断. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，由，得， 因此，D错误. 12．（25-26高三上·四川巴中·期中）（多选）下列代数式的值为的是（ ） A． B． C．     D． 【答案】BC 【分析】本题考查三角恒等变换的应用，需结合二倍角公式、同角三角函数基本关系，逐一计算各选项代数式的值，判断是否等于. 【详解】选项A：由二倍角余弦公式， 得，A错误. 选项B：由二倍角正弦公式， 得，B正确. 选项C：由同角三角函数关系， 代入得，C正确. 选项D：结合诱导公式和二倍角正弦公式计算：，D错误. 13．（24-25高三上·江苏南通·阶段检测）已知，则的值为__________． 【答案】 【详解】， ， ， 又， ， ． 14．（25-26高二下·北京·期中）已知函数．若在区间上的最大值为，则___________． 【答案】 【分析】先通过三角恒等变换将函数化简为正弦型函数，再结合正弦函数的单调性与最值特征，根据给定区间的最大值条件求解参数。 【详解】因为， 所以， 当时，， 若在区间上的最大值为， 则，， 则，即得. 15．（25-26高三上·上海·期中）化简： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【详解】（1）原式. （2）原式. 16．（25-26高三上·上海·期中）已知函数． (1)求函数的最小正周期、对称轴和零点； (2)若，，求的值； (3)若关于x的方程在上有两个不同的解、，求实数m的取值范围及的值． 【答案】(1)，对称轴，零点或． (2) (3)且，或 【分析】（1）利用降幂公式、诱导公式及辅助角公式化简函数为，再利用正弦型函数的性质求最小正周期、对称轴和零点； （2）利用已知条件求出，进而根据求出，最后利用余弦的和角公式计算求解； （3）把零点问题转化为与直线的交点问题，作出的大致图象，结合图象及正弦型函数的对称性求实数m的取值范围及的值． 【详解】（1） ， 函数的最小正周期为， 令，解得对称轴为， 令，即，则或， 解得或． （2），解得， ， ，则位于第四象限，， ， ． （3）方程在上有两个不同的解、，等价于与 在有两个不同交点， ， 当时，在和上单调递增，在上单调递减， 最大值为，最小值为，且， 作出函数大致图象如下： 由图象可知，且时，直线与有两个交点， 解得且， 当，即时，两交点关于对称轴对称， 则； 当，即时，两交点关于对称轴对称， 则． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $