4.4 函数y=Asin(ωx+φ) 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义围绕三角函数核心考点，系统整合y=Asin(ωx+φ)的解析式求解、图象变换、性质应用等内容，按“双基自测-核心梳理-题型突破-限时训练”流程设计，通过考向预测、方法总结与真题演练，帮助学生构建知识网络，突破参数求解、区间值域等难点。 资料以问题链驱动教学，结合“五点法”作图与整体换元思想，设计多变换叠加、隐藏条件求参等题型训练，培养学生数学思维与数形结合能力。分层限时训练匹配高考难度，助力教师精准把控复习节奏，有效提升学生解题效率与应考能力。

第四章 三角函数与解三角形 §4.4　函数y=Asin(ωx+φ) 【高考考向预测】 近三年高考y=Asin(ωx+φ)为三角函数核心必考内容，选填高频考查，重点考查解析式求解、图象平移伸缩变换、周期奇偶性、对称轴对称中心、单调区间与给定区间值域求解，常结合图象特征求参数ω，φ；预测2027 年考查难度稳中略升，命题侧重多变换叠加、隐藏图象条件求参、区间限定下性质探究，加大ω取值范围、零点分布类题型占比，联动三角恒等变换综合设问，弱化机械套用公式，强化数形结合识图辨图、整体换元思想与参数临界分析能力。 【双基自测●明考向】 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为-A. (　 　) (2)将函数y=3sin 2x的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式是y=3sin. (　 　) (3)把y=sin的图象上各点的横坐标缩短为原来的，所得图象的函数解析式为y=sin. (　 　) (4)如果y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为T，那么函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为. (　 　) 2.y=2sin的振幅、频率和初相分别为(　　) A.2，4π， B.2，， C.2，，- D.2，4π，- 3.(北师大版必修第二册P48练习T3(1))为了得到函数y=sin的图象，只需将函数y=sin的图象上的每个点 (　　) A.横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变 B.横坐标缩短为原来的，纵坐标不变 C.纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标不变 D.纵坐标缩短为原来的，横坐标不变 4.(人教A版必修第一册P241习题5.6 T4)函数y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)在一个周期内的图象如图所示，此函数的解析式为　　　　　.  【核心梳理●明考点】 1.简谐运动的有关概念 已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)，x≥0 振幅 周期 频率 相位 初相 = == ωx+φ φ 2.用“五点法”画y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个特殊点 ωx+φ 0 π 2π x y=Asin(ωx+φ) 0 A 0 -A 0 3.函数y=sin x的图象经变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径 1.熟记下列常用结论 (1)“五点法”作图中，相邻两点的横向距离均为. (2)若直线x=a为正(余)弦型曲线的对称轴，则该函数一定在x=a处取得最值. (3)函数y=Asin(ωx+φ)+k(A>0，ω>0)图象平移的规律：“左加右减，上加下减”. 2.谨防两个易误点 (1)分清“先平移后伸缩”还是“先伸缩后平移”，注意先伸缩后平移时平移距离为个单位长度. (2)不要混淆横向、纵向的缩小、扩大与系数的关系. 【题型突破●明方向】 题型一　函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换 例1　(1)(2025·永州模拟)已知函数y=2cos的图象为C，为了得到函数y=2sin的图象，只需把C上所有的点(　　) A.向右平移个单位长度 B.向左平移个单位长度 C.向右平移个单位长度 D.向左平移个单位长度 (2)(2025·安庆模拟)若将函数f(x)=sin 2x+cos 2x的图象向右平移φ个单位长度，所得图象关于原点成中心对称，则φ的最小正值是(　　) A. B. C. D. 【跟踪训练】1　(1)(多选)为了得到函数f(x)=sin的图象，只需把y=sin x的图象上所有的点(　　) A.先向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 B.先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C.先将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 D.先将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 (2)将函数f(x)=sin(ω>0)的图象向右平移个单位长度后与函数g(x)=cos ωx的图象重合，则ω的最小值为(　　) A.7 B.5 C.9 D.11 题型二　由图象确定y=Asin(ωx+φ)的解析式 例2　(1)函数f(x)=Asin(ωx+φ)+b的一部分图象如图所示，则(　　) A.f(x)=3sin+1 B.f(x)=2sin+2 C.f(x)=2sin+2 D.f(x)=2sin+2 (2)函数f(x)=Atan(ωx+φ)的部分图象如图所示，则f等于(　　) A.1 B. C.3 D.3 【跟踪训练】2　(1)(多选)如图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图象，则sin(ωx+φ)等于(　　) A.sin B.sin C.cos D.cos (2)(2025·南昌模拟)函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示，则f=　　　　.  题型三　三角函数图象、性质的综合应用 例3　(1)如图所示，摩天轮的半径为20米，圆心O距地面的高度为25米，摩天轮运行时按逆时针匀速旋转，转一周需要10分钟.摩天轮上的点P的起始位置在最低点处.若游客在距离地面至少35米的高度视觉效果最佳，则摩天轮转动一周内具有最佳视觉效果的时间长度(单位：分钟)为(　　) A. B.3 C. D. (2)(2023·全国甲卷)函数y=f(x)的图象由函数y=cos的图象向左平移个单位长度得到，则y=f(x)的图象与直线y=x-的交点个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 【跟踪训练】3　已知函数f(x)=cos，x∈，若方程f(x)=m有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是(　　) A. B. C. D. 【限时训练】 （30分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.(2025·济宁模拟)将函数y=2cos的图象向右平移个最小正周期后，所得图象对应的函数为(　　) A.y=2cos B.y=2cos C.y=2cos D.y=-2cos 2.(2025·临夏模拟)函数y=sin在一个周期内的图象可以是(　　) 3.(2026·苏州模拟)把函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=2sin的图象.则函数f(x)的一个解析式为(　　) A.f(x)=2cos B.f(x)=2sin C.f(x)=2cos D.f(x)=2sin 4.(2025·聊城模拟)已知函数f(x)=tan(ωx-φ)(ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，则ωφ等于(　　) A. B. C. D. 5.(2025·长沙模拟)某地区2024年全年月平均温度y(单位：℃)与月份t之间近似满足y=Asin+k (A>0，-π<φ<0).已知该地区2月份的月平均温度为-1 ℃，全年月平均温度最高的月份为6月份，且平均温度为32 ℃，则该地区12月份的平均温度为(　　) A.-12 ℃ B.-10 ℃ C.-9 ℃ D.-6 ℃ 6.将函数f(x)=sin 2x的图象向右平移φ个单位长度后得到函数g(x)的图象，若以f(x)，g(x)图象相邻的三个交点为顶点的三角形的面积为，则φ等于(　　) A. B. C. D. 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.为得到函数y=cos的图象，只需将y=cos 2x的图象(　　) A.先将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度 B.先将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度 C.先向右平移个单位长度，再将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变) D.先向右平移个单位长度，再将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变) 8.(2026·新乡模拟)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象如图所示，点A(0，-1)，B(x0，1)在曲线f(x)上，若|AB|=，则(　　) A.φ=- B.f(x)的图象关于点对称 C.f(x)在[7，11]上单调递减 D.若方程f(x)=m在区间上有两个根，则m的取值范围是[，2) 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.(2025·九江模拟)将函数f(x)=sin的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象关于y轴对称，则正实数ω的最小值为　　　　.  10.(2026·池州模拟)如图1，筒车亦称为“水转筒车”，是一种以流水为动力，取水灌田的工具，如图2，假设在水流量稳定的情况下，一个半径为3米的筒车按逆时针方向做每6分钟转一圈的匀速圆周运动，筒车的轴心O距离水面BC的高度为1.5米，设筒车上的某个盛水筒P的初始位置为点D(水面与筒车右侧的交点)，从此处开始计时，t分钟时，该盛水筒距水面的距离为H=f(t)=Asin(ωt+φ)+b(A>0，ω>0，|φ|<，t≥0)，则f(2 026)=　　　　.  四、解答题(共28分) 11.(13分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的最小正周期是π，且当x=时，f(x)取得最大值2. (1)求f(x)的解析式；(4分) (2)作出f(x)在[0，π]上的图象(要列表)；(4分) (3)函数f(x)的图象可由函数y=sin x的图象经过怎样的变换得到？(5分) 12.(15分)在校园美化、改造活动中，要在半径为15 m，圆心角为的扇形空地EOF的内部修建一矩形观赛场地ABCD，如图所示.取CD的中点M，OM与AB交于点N，记∠MOC=θ. (1)写出矩形ABCD的面积S与角θ的函数关系式；(8分) (2)求当角θ为何值时，矩形ABCD的面积最大，并求出最大面积.(7分) [每小题5分，共10分] 13.(2025·温州模拟)已知函数f(x)=sin x，g(x)=cos x，则两个函数的图象仅通过平移就可以重合的是(　　) A.y=f(x)-g(x)与y=f(x) B.y=[f(x)]2-[g(x)]2与y=f(x)g(x) C.y=f(f(x))与y=f(g(x)) D.y=f(f(x))与y=g(f(x)) 14.(2025·雅安模拟)将函数f(x)=sin x图象上的所有点经过平移和伸缩变换得到函数g(x)=sin的图象，若点A被变换成了g(x)图象上的点A'(x0，y0)，且sin x0=，则φ的所有可能值之和为　　　　.  第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 三角函数与解三角形 §4.4　函数y=Asin(ωx+φ) 【高考考向预测】 近三年高考y=Asin(ωx+φ)为三角函数核心必考内容，选填高频考查，重点考查解析式求解、图象平移伸缩变换、周期奇偶性、对称轴对称中心、单调区间与给定区间值域求解，常结合图象特征求参数ω，φ；预测2027 年考查难度稳中略升，命题侧重多变换叠加、隐藏图象条件求参、区间限定下性质探究，加大ω取值范围、零点分布类题型占比，联动三角恒等变换综合设问，弱化机械套用公式，强化数形结合识图辨图、整体换元思想与参数临界分析能力。 【双基自测●明考向】 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为-A. (　 　) (2)将函数y=3sin 2x的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式是y=3sin. (　 　) (3)把y=sin的图象上各点的横坐标缩短为原来的，所得图象的函数解析式为y=sin. (　 　) (4)如果y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为T，那么函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为. (　 　) 【答案】（1）×（2）×（3）×（4）√ 2.y=2sin的振幅、频率和初相分别为(　　) A.2，4π， B.2，， C.2，，- D.2，4π，- 【答案】C 【解析】由题意知A=2，f===， 初相为-. 3.(北师大版必修第二册P48练习T3(1))为了得到函数y=sin的图象，只需将函数y=sin的图象上的每个点 (　　) A.横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变 B.横坐标缩短为原来的，纵坐标不变 C.纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标不变 D.纵坐标缩短为原来的，横坐标不变 【答案】B 4.(人教A版必修第一册P241习题5.6 T4)函数y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)在一个周期内的图象如图所示，此函数的解析式为　　　　　.  【答案】y=2sin 【解析】由题图易知A=2，T=2×=π， ∴ω==2，∴y=2sin(2x+φ)， 又函数图象过点， ∴2sin=2， 即sin=1， ∴-+φ=+2kπ，k∈Z， ∴φ=+2kπ，k∈Z， 又∵0<φ<π，∴φ=，∴y=2sin. 【核心梳理●明考点】 1.简谐运动的有关概念 已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)，x≥0 振幅 周期 频率 相位 初相 = == ωx+φ φ 2.用“五点法”画y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个特殊点 ωx+φ 0 π 2π x y=Asin(ωx+φ) 0 A 0 -A 0 3.函数y=sin x的图象经变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径 1.熟记下列常用结论 (1)“五点法”作图中，相邻两点的横向距离均为. (2)若直线x=a为正(余)弦型曲线的对称轴，则该函数一定在x=a处取得最值. (3)函数y=Asin(ωx+φ)+k(A>0，ω>0)图象平移的规律：“左加右减，上加下减”. 2.谨防两个易误点 (1)分清“先平移后伸缩”还是“先伸缩后平移”，注意先伸缩后平移时平移距离为个单位长度. (2)不要混淆横向、纵向的缩小、扩大与系数的关系. 【题型突破●明方向】 题型一　函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换 例1　(1)(2025·永州模拟)已知函数y=2cos的图象为C，为了得到函数y=2sin的图象，只需把C上所有的点(　　) A.向右平移个单位长度 B.向左平移个单位长度 C.向右平移个单位长度 D.向左平移个单位长度 【答案】C 【解析】因为2cos=2cos， 即图象C上所有的点向右平移个单位长度后， 得到y=2cos的图象，又2cos =2cos=2sin， 即上述图象上所有的点再向右平移个单位长度后， 得到y=2sin的图象， 综上，为了得到函数y=2sin的图象， 只需把C上所有的点向右平移个单位长度. (2)(2025·安庆模拟)若将函数f(x)=sin 2x+cos 2x的图象向右平移φ个单位长度，所得图象关于原点成中心对称，则φ的最小正值是(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】易知f(x)=sin，将函数f(x)的图象向右平移φ个单位长度后得到 y=sin的图象， 由该函数为奇函数可知-2φ=kπ，k∈Z， 即φ=-，k∈Z，所以φ的最小正值为. 【思维升华】函数图象的平移变换解题策略 (1)解题时首先分清原函数与变换后的函数. (2)异名三角函数图象变换要利用诱导公式sin α=cos，cos α=sin将不同名函数转换成同名函数. (3)无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|φ|个单位长度，都是自变量x变为x±|φ|，而不是ωx变为ωx±|φ|. 【跟踪训练】1　(1)(多选)为了得到函数f(x)=sin的图象，只需把y=sin x的图象上所有的点(　　) A.先向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 B.先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C.先将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 D.先将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 【答案】AC 【解析】y=sin x先向右平移个单位长度，得到函数y=sin的图象， 再将所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变， 得到函数f(x)=sin的图象，故A正确，B错误； 先将y=sin x上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变， 得到函数y=sin 2x的图象，再向右平移个单位长度， 得到函数f(x)=sin的图象，故C正确，D错误. (2)将函数f(x)=sin(ω>0)的图象向右平移个单位长度后与函数g(x)=cos ωx的图象重合，则ω的最小值为(　　) A.7 B.5 C.9 D.11 【答案】D 【解析】f=sin =sin， cos ωx=sin，k∈Z， 由题可知，-ω+=2kπ+，k∈Z， 解得ω=-12k-1，k∈Z， 又ω>0，∴当k=-1时，ω取得最小值11. 题型二　由图象确定y=Asin(ωx+φ)的解析式 例2　(1)函数f(x)=Asin(ωx+φ)+b的一部分图象如图所示，则(　　) A.f(x)=3sin+1 B.f(x)=2sin+2 C.f(x)=2sin+2 D.f(x)=2sin+2 【答案】D 【解析】根据题中图象知 所以A=2，b=2，T=4×=π， 所以ω==2， 又函数图象经过最高点，代入函数f(x)=2sin(2x+φ)+2得sin=1， 因为|φ|<，所以φ=， 所以f(x)=2sin+2. (2)函数f(x)=Atan(ωx+φ)的部分图象如图所示，则f等于(　　) A.1 B. C.3 D.3 【答案】C 【解析】由图知=-=，得到ω=2，又由图知 由Atan=0，得到φ=-+kπ，k∈Z， 又|φ|<，所以φ=， 由Atan=1，得到A=， 所以f(x)=tan， 则f=tan=tan=3. 【思维升华】确定y=Asin(ωx+φ)+b(A>0，ω>0)的步骤和方法 (1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A=，b=. (2)求ω.确定函数的最小正周期T，则ω=. (3)求φ.常用方法如下： ①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入. ②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口. 【跟踪训练】2　(1)(多选)如图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图象，则sin(ωx+φ)等于(　　) A.sin B.sin C.cos D.cos 【答案】BC 【解析】由函数图象可知，=-=， 即T=π，则|ω|===2，排除A； 不妨令ω=2， 当x==时，y=-1， ∴2×+φ=+2kπ(k∈Z)， 解得φ=2kπ+(k∈Z)， 即函数的解析式为y=sin=sin=cos=sin，B，C正确； 而cos=-cos，D错误. (2)(2025·南昌模拟)函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示，则f=　　　　.  【答案】 【解析】由图象得，A=3，f(0)=3sin φ=，而|φ|<， 则φ=，f(x)=3sin， 由f(x)的图象过点，且x=在f(x)的单调递减区间上， 得ω+=π+2kπ(k∈Z)， 解得ω=2+k(k∈Z)， 而f(x)的最小正周期T满足>， 即>，解得0<ω<， 因此ω=2，f(x)=3sin， 所以f=3sin=. 题型三　三角函数图象、性质的综合应用 例3　(1)如图所示，摩天轮的半径为20米，圆心O距地面的高度为25米，摩天轮运行时按逆时针匀速旋转，转一周需要10分钟.摩天轮上的点P的起始位置在最低点处.若游客在距离地面至少35米的高度视觉效果最佳，则摩天轮转动一周内具有最佳视觉效果的时间长度(单位：分钟)为(　　) A. B.3 C. D. 【答案】C 【解析】设f(t)=Asin(ωt+φ)+h(A>0，ω>0)， 依题意，A=20，h=25，T=10，所以ω==， 又f(0)=5，所以φ=-+2kπ，k∈Z. 所以f(t)=20sin+25=25-20cost. 依题意25-20cost≥35， 所以cost≤-， 又0≤t≤10，解得≤t≤， 则摩天轮转动一周内，有-=(分钟)具有最佳视觉效果. (2)(2023·全国甲卷)函数y=f(x)的图象由函数y=cos的图象向左平移个单位长度得到，则y=f(x)的图象与直线y=x-的交点个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【解析】因为y=cos向左平移个单位长度所得函数为y=cos=cos=-sin 2x， 所以f(x)=-sin 2x， 而直线y=x-显然过与(1，0)两点，作出y=f(x)与y=x-的大致图象如图所示， 考虑2x=-， 2x=，2x=， 即x=-，x=，x=处f(x)与y=x-的大小关系， 当x=-时，f=-sin=-1， y=×-=-<-1； 当x=时，f=-sin=1， y=×-=<1； 当x=时，f=-sin=1， y=×-=>1. 所以由图可知，f(x)与y=x-的交点个数为3. 【思维升华】(1)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题. (2)求解与三角函数有关的零点(或与三角函数有关的方程的根)的个数或零点的和的问题，常结合三角函数图象利用数形结合思想直观求解. 【跟踪训练】3　已知函数f(x)=cos，x∈，若方程f(x)=m有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为x∈， 所以令t=2x-，则t∈， 方程f(x)=m有两个不相等的实数根等价于函数y=cos t 的图象与直线y=m有两个交点，函数y=cos t的图象与直线y=m的位置如图所示， 由图可得实数m的取值范围是. 【限时训练】 （30分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.(2025·济宁模拟)将函数y=2cos的图象向右平移个最小正周期后，所得图象对应的函数为(　　) A.y=2cos B.y=2cos C.y=2cos D.y=-2cos 【答案】D 【解析】函数最小正周期T==π，所以函数y=2cos的图象向右平移个最小正周期可得y=2cos=2cos=-2cos=-2cos=-2cos. 2.(2025·临夏模拟)函数y=sin在一个周期内的图象可以是(　　) 【答案】C 【解析】方法一　因为y=sin=sin 2， 所以函数y=sin的图象可由y=sin 2x的图象向左平移个单位长度得到， 又最小正周期为T==π，所以只有C符合. 方法二　函数f(x)=sin， 因为f(0)=sin=>0， 所以A，D项不符合； 因为f=sin=-<0， f=sin π=0， 所以B项不符合，C项符合. 3.(2026·苏州模拟)把函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=2sin的图象.则函数f(x)的一个解析式为(　　) A.f(x)=2cos B.f(x)=2sin C.f(x)=2cos D.f(x)=2sin 【答案】B 【解析】将函数y=2sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变， 得到y=2sin的图象，再把函数y=2sin的图象向左平移个单位长度， 得到f(x)=2sin=2sin的图象. 4.(2025·聊城模拟)已知函数f(x)=tan(ωx-φ)(ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，则ωφ等于(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由图可知，f(x)的最小正周期T=-==，ω=2， f(x)=tan(2x-φ)(0<φ<π)， 根据对称性可知-φ=kπ+，k∈Z， 则φ=-kπ，k∈Z，由于0<φ<π， 所以φ=，所以ωφ=. 5.(2025·长沙模拟)某地区2024年全年月平均温度y(单位：℃)与月份t之间近似满足y=Asin+k (A>0，-π<φ<0).已知该地区2月份的月平均温度为-1 ℃，全年月平均温度最高的月份为6月份，且平均温度为32 ℃，则该地区12月份的平均温度为(　　) A.-12 ℃ B.-10 ℃ C.-9 ℃ D.-6 ℃ 【答案】A 【解析】由题意可知，当t=6时，y=Asin+k取得最大值，A>0， 所以6×+φ=2kπ+，k∈Z， 即φ=2kπ-，k∈Z. 又-π<φ<0，即φ=-， 所以y=Asin+k=-Acost+k. 因为全年月平均温度的最大值为32 ℃， 所以A+k=32. ① 又当t=2时，y=-1，所以-Acos+k=-1，所以A-2k=2. ② 由①②解得A=22，k=10， 所以y=-22cost+10， 则当t=12时，y=-22cos+10=-12(℃). 6.将函数f(x)=sin 2x的图象向右平移φ个单位长度后得到函数g(x)的图象，若以f(x)，g(x)图象相邻的三个交点为顶点的三角形的面积为，则φ等于(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】如图， 不妨取纵轴右侧的连续三个交点，设交点分别为A，C，B，易知g(x)=sin 2(x-φ)的最小正周期也为π，可得AB=π， 由△ABC的面积为及对称性知，yA=，进而得A， 将点A代入g(x)=sin 2(x-φ)，结合0<φ<，得φ=. 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.为得到函数y=cos的图象，只需将y=cos 2x的图象(　　) A.先将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度 B.先将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度 C.先向右平移个单位长度，再将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变) D.先向右平移个单位长度，再将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变) 【答案】BC 【解析】如果是先伸缩再平移， 需先将y=cos 2x的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)， 得到y=cos x的图象，再向右平移个单位长度，即得y=cos的图象，故A错误，B正确； 如果是先平移再伸缩，需先将y=cos 2x的图象向右平移个单位长度， 得到y=cos 2=cos的图象，再将图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)， 即得y=cos的图象，故C正确，D错误. 8.(2026·新乡模拟)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象如图所示，点A(0，-1)，B(x0，1)在曲线f(x)上，若|AB|=，则(　　) A.φ=- B.f(x)的图象关于点对称 C.f(x)在[7，11]上单调递减 D.若方程f(x)=m在区间上有两个根，则m的取值范围是[，2) 【答案】ABD 【解析】对于A，由f(0)=-1，得sin φ=-，而|φ|<，则φ=-，A正确； 依题意，x0>0，|AB|==，解得x0=3， 易知函数f(x)的最小正周期T=2(x0-0)=6=，解得ω=，即f(x)=2sin， 对于B，f=2sin=0， 则f(x)的图象关于点对称，B正确； 对于C，当x∈[7，11]时，x-∈，当x-=，即x=8时，f(x)取得最大值2， 因此f(x)在[7，11]上不单调，C错误； 对于D，由f(x)的图象可知，f(x)在[0，2]上单调递增，在上单调递减， 且f(0)=-1，f(2)=2，f=， 因为方程f(x)=m在区间上有两个根，则m的取值范围是[，2)，D正确. 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.(2025·九江模拟)将函数f(x)=sin的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象关于y轴对称，则正实数ω的最小值为　　　　.  【答案】1 【解析】依题意，得g(x)=sin=sin为偶函数， 则+=kπ+，k∈Z， 即ω=6k+1，k∈Z， 正实数ω的最小值为1. 10.(2026·池州模拟)如图1，筒车亦称为“水转筒车”，是一种以流水为动力，取水灌田的工具，如图2，假设在水流量稳定的情况下，一个半径为3米的筒车按逆时针方向做每6分钟转一圈的匀速圆周运动，筒车的轴心O距离水面BC的高度为1.5米，设筒车上的某个盛水筒P的初始位置为点D(水面与筒车右侧的交点)，从此处开始计时，t分钟时，该盛水筒距水面的距离为H=f(t)=Asin(ωt+φ)+b(A>0，ω>0，|φ|<，t≥0)，则f(2 026)=　　　　.  【答案】0 【解析】由题意得T=6，又ω>0，故ω==， 且A+b=4.5，-A+b=-1.5， 解得A=3，b=1.5， 故H=f(t)=3sin+1.5， 当t=0时，H=0， 即3sin φ+1.5=0，sin φ=-， 又|φ|<，解得φ=-， 故H=f(t)=3sin+1.5， 所以f(2 026)=3sin+1.5 =3sin+1.5=-3sin+1.5=0. 四、解答题(共28分) 11.(13分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的最小正周期是π，且当x=时，f(x)取得最大值2. (1)求f(x)的解析式；(4分) (2)作出f(x)在[0，π]上的图象(要列表)；(4分) (3)函数f(x)的图象可由函数y=sin x的图象经过怎样的变换得到？(5分) 【解析】(1)因为函数f(x)的最小正周期是π， 所以ω=2. 又因为当x=时，f(x)取得最大值2， 所以A=2， 同时2×+φ=2kπ+，k∈Z， 即φ=2kπ+，k∈Z， 因为-<φ<，所以φ=， 所以f(x)=2sin. (2)因为x∈[0，π]，所以2x+∈. 列表如下： 2x+ π 2π x 0 π f(x) 1 2 0 -2 0 1 描点、连线得图象如图所示. (3)将y=sin x的图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数y=sin的图象，再将y=sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y=sin的图象，再将y=sin上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)， 得到f(x)=2sin的图象. 12.(15分)在校园美化、改造活动中，要在半径为15 m，圆心角为的扇形空地EOF的内部修建一矩形观赛场地ABCD，如图所示.取CD的中点M，OM与AB交于点N，记∠MOC=θ. (1)写出矩形ABCD的面积S与角θ的函数关系式；(8分) (2)求当角θ为何值时，矩形ABCD的面积最大，并求出最大面积.(7分) 【解析】(1)由题可知，θ∈， 在Rt△MOC中，OM=15cos θ，MC=15sin θ， ∴BN=MC=15sin θ， 在Rt△BON中，ON== =5sin θ， ∴MN=OM-ON=15cos θ-5sin θ， ∴S=2·BN·MN=2×15sin θ× =150-75 =150sin-75，θ∈. (2)∵θ∈， ∴2θ+∈. ∴当2θ+=，即θ=时，Smax=75， 故当θ=时，矩形ABCD的面积最大， 最大值为75 m2. [每小题5分，共10分] 13.(2025·温州模拟)已知函数f(x)=sin x，g(x)=cos x，则两个函数的图象仅通过平移就可以重合的是(　　) A.y=f(x)-g(x)与y=f(x) B.y=[f(x)]2-[g(x)]2与y=f(x)g(x) C.y=f(f(x))与y=f(g(x)) D.y=f(f(x))与y=g(f(x)) 【答案】C 【解析】若两个正、余弦型函数的图象仅通过平移就可以重合，则这两个函数的振幅相等，最小正周期也相等， 对于A选项，f(x)-g(x)=sin x-cos x=sin， 因为函数y=f(x)-g(x)的振幅为，函数y=f(x)的振幅为1， 所以这两个函数的振幅不相等， 故y=f(x)-g(x)与y=f(x)的图象不能通过平移重合，A错误； 对于B选项，[f(x)]2-[g(x)]2=sin2x-cos2x=-cos 2x， f(x)g(x)=sin xcos x=sin 2x， 函数y=[f(x)]2-[g(x)]2的振幅为1，函数y=f(x)g(x)的振幅为， 所以y=[f(x)]2-[g(x)]2与y=f(x)g(x)的图象不能通过平移重合，B错误； 对于C选项，因为f(f(x))=sin(sin x)， f(g(x))=sin(cos x)=sin， 将函数y=f(f(x))的图象向左平移个单位长度可与函数y=f(g(x))的图象重合，C正确； 对于D选项，g(f(x))=cos(sin x)=sin， 函数y=f(f(x))与y=g(f(x))的图象振幅不相等，不能通过平移重合，D错误. 14.(2025·雅安模拟)将函数f(x)=sin x图象上的所有点经过平移和伸缩变换得到函数g(x)=sin的图象，若点A被变换成了g(x)图象上的点A'(x0，y0)，且sin x0=，则φ的所有可能值之和为　　　　.  【答案】 【解析】由题意得A， 点A被变换成了点A'(x0，y0)， 即先变换为，再变换为-2φ， 即x0=-2φ， 所以sin=，即-2φ=+2kπ或-2φ=+2kπ，k∈Z， 又因为|φ|<，所以φ=或φ=-， 则φ的所有可能值之和为-=. 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $