精品解析：广东中山市龙山中学2025-2026学年高二下学期5月月考数学试题

广东省中山市龙山中学2025-2026学年高二下数学5月月考试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设离散型随机变量服从两点分布，其分布列如下表，则（ ） 0 1 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分布列的性质计算可得. 【详解】依题意可得，解得. 故选：B 2. 函数的图象在点处的切线斜率为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线的斜率. 【详解】函数，求导得，则， 所以所求切线的斜率为3. 故选：D 3. 用0，1，2，3，4，5可组成无重复数字的三位数的个数为（ ） A. 98 B. 99 C. 100 D. 101 【答案】C 【解析】 【分析】由分步乘法计数原理代入计算，即可得到结果. 【详解】先填百位数，有种选法， 再填十位数，有种选法， 最后填个位数，有种选法， 由分步乘法计数原理可得， 一共可以组成无重复数字的三位数个. 故选：C 4. 质数（primenumber）又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数.数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”，如：3和5，5和，那么，如果我们在不大于30的正整数中，随机选取两个不同的数，记事件：这两个数都是素数；事件：这两个数是孪生素数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件概率的计算方法求得正确答案. 【详解】不超过的正整数有个，其中素数有共个， 孪生素数有和，和，和，和，共组， 所以，， 所以. 故选：B. 5. 等差数列的公差为2，且，则（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列通项公式，即可求解. 【详解】由条件可知，等差数列的公差， 则. 故选：C 6. 李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他分别记录了50次坐公交车和50次骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从正态分布，，．和的正态曲线如图所示．则下列结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定的正态分布密度曲线，结合正态分布的对称性和性质，逐项判定，即可求解. 【详解】对于，随机变量服从正态分布，且， 所以随机变量的方差，故错误； 对于，根据给定的正态分布密度曲线图象，可得，， 所以，故正确； 对于，根据正态分布密度曲线图象，可得时随机变量对应的曲线与轴围成的面积小于时随机变量对应的曲线与轴围成的面积， 所以，故错误； 对于，根据正态分布密度曲线图象，可得，， 即，所以D错误. 故选：. 7. 在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数在连续可导且单调递增，可得导函数在大于等于0恒成立即可得到的取值范围． 【详解】因为函数在连续可导且单调递增， 所以在恒成立， 分离参数得恒成立，即，故选D． 【点睛】本题考查函数在区间内单调递增等价于在该区间内恒成立． 8. 已知在等比数列中，，，若函数，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用导数的运算法则及等比数列的性质，即可求出结果. 【详解】由， 可知， 又，，所以， 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 小张同学对具有线性相关的两个变量x和y进行了统计分析，得到了右表，其中一些数据丢失，只记得这组数据拟合出的y关于x的经验回归方程为，若成等差数列，则（ ） x 4 6 8 10 12 y a 2 b c 6 A. 变量x与y的样本相关系数 B. C. 当时，残差为 D. 当时，y的预测值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用回归分析以及回归方程的性质必过点即可判断AB，利用残差的定义和回归方程预测即可判断CD. 【详解】由表格中的数据可计算平均数：， ， 又因为成等差数列，所以，则， 根据经验回归方程为必过点， 则，解得,故B正确； 由于经验回归方程为是递增的一次函数，所以两个变量是正相关， 则样本相关系数，故A错误； 当时，，所以残差为，故C正确； 当时，，所以y的预测值为，故D正确； 故选：BCD． 10. 若数列为等比数列，其前n项积为，且，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】利用等比数列下标和的性质求得，再利用表示即可根据选项判断. 【详解】设的公比为， 由等比数列的性质可得，所以， 则 由选项可知，的值可能为，． 故选：AB 11. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 在上单调递减，在上单调递增 B. 若方程有4个不等的实根，则 C. 当时， D. 设，若对，，使得成立，则 【答案】BD 【解析】 【分析】由函数定义域为且 可得A错误；因和都是偶函数，由对称性可知，只需要的图像与的图像有两个交点，考查的性质，可得B正确；考查的性质可得C错误；分别算出两函数的值域，由集合间的关系可得D正确. 【详解】A.，所以的定义域为且 ，故A错误 B. 如图所示 因为偶函数，当时，考查函数的性质， 当时，，所以在上单调递减且， 当时，，所以在上单调递减且， 当时，，所以在上单调递增且， 所以当时，函数的极小值为 若方程有4个不等的实根，由偶函数的对称性可得， 当时有两个不等实数根，即与有两不同交点， ，即，故B正确 C.由B知，当时，，又， 所以，即，故C错误. D.，当时，的值域为， 当时，由B知的值域为 若对，，使得成立， 则，所以，即，故D正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的二项展开式中的系数为______． 【答案】 【解析】 【分析】写出二项展开式通项公式，由的指数为2求得项数，从而得到系数． 【详解】由题意得二项式的展开式的通项公式为， 令，得，所以项的系数为. 故答案为： 13. 设，是一个随机试验中的两个事件，若，，，则________. 【答案】##0.3 【解析】 【分析】利用条件概率和和事件的概率公式进行计算即可. 【详解】由条件概率的公式：， 计算和事件的概率：， 可得. 故答案为：. 14. 设点在曲线上，点在直线上，则的最小值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】将点的距离转化为平行线间距离，结合导数的几何意义求出参数得到，最后利用平行线间距离公式求解即可. 【详解】设与直线平行并与相切的直线为， 则两平行线间的距离即为的最小值， 因为，所以，设切点为， 则，解得，此时，则切点为， 代入中，可得，解得， 则直线方程为，而可化为， 由平行线间距离公式得平行线间距离为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列和等比数列，满足，，. （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）通过设公差、公比，利用已知条件联立方程组求解，再代入通项公式即可写出； （2）利用错位相减法求和即可. 【小问1详解】 设公差为，公比为，则， 解得（舍），，所以， 故，. 【小问2详解】 由（1）得：，所以①， ② ①-②得， ， 故. 16. 为了研究高中学生每天整理数学错题的情况，沈阳市某校数学建模兴趣小组的同学在本校高二年级学生中采用随机抽样的方法抽取了40名学生，调查他们平时的数学成绩和整理数学错题的情况，现统计得部分数据如下： 数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 合计 每天都整理数学错题人数 14 a 不是每天都整理数学错题人数 b 15 20 合计 40 （1）计算a，b的值，并判断是否有99%的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”？ 附： 0.10 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 （2）从样本中不是每天都整理数学错题的学生中随机抽取3名学生做进一步访谈，设恰好抽取到数学成绩总评优秀的人数为X，求X的分布列和期望． 【答案】（1），，有把握 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）先算出，再计算卡方对比临界值即可得解. （2）由题意可得X的所有可能值为0，1，2，3，计算出对应的概率即可得分布列，进一步即可求解数学期望. 【小问1详解】 依题意，，， 数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 合计 每天都整理数学错题人数 14 6 20 不是每天都整理数学错题人数 5 15 20 合计 19 21 40 所以有99%的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”． 【小问2详解】 不是每天都整理数学错题的学生有20人，其中数学成绩总评优秀人数为5，X的所有可能值为0，1，2，3， ，， ，， 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P 期望. 17. 已知函数． （1）若函数在定义域上不单调，求实数的取值范围； （2）若，且函数有三个零点，求实数的取值范围； （3）若，过点作函数的切线，求切线方程． 【答案】（1）或 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）对求导，由不单调可得有两个不相等的实数根，利用根的判别式求解即可. （2）先利用导数确定的单调性，然后根据有三个零点确定实数的取值范围. （3）设出切点坐标，写出切线方程，利用切线经过列出关于的方程，求解出，然后写出切线方程即可. 【小问1详解】 的定义域为. . 函数在定义域上不单调，说明有两个不相等的实数根， 所以，解得或. 【小问2详解】 ，，. 令，即，或，列表如下： 极小值 极大值 . 要使函数有三个零点，则，解得. 故实数的取值范围是. 【小问3详解】 时， ，. 设切点 ，则切线的斜率 . 故切线方程为 . 又切线经过， ，整理得：， 解得或. 当时，切点坐标为，切线方程为. 当时，切点坐标为，切线方程为 . 综上，切线方程为或 . 18. 已知编号为甲、乙、丙的三个袋子中装有除标号外完全相同的小球，其中甲袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；乙袋内装有两个1号球，一个3号球；丙袋内装有三个1号球，两个2号球和一个3号球. （1）从甲袋中一次性摸出2个小球，记随机变量为1号球的个数，求随机变量的分布列和数学期望； （2）现按照如下规则摸球：连续摸球两次，第一次先从甲袋中随机摸出1个球，若摸出的是1号球放入甲袋，摸出的是2号球放入乙袋，摸出的是3号球放入丙袋；第二次从放入球的袋子中再随机摸出1个球.求第二次摸到的是3号球的概率. 【答案】（1）分布列见详解； （2） 【解析】 【分析】（1）分析可知随机变量的可能取值为0，1，2，结合超几何分布求分布列和期望； （2）设相应事件，根据题意可得相应概率，利用全概率公式圆求解. 【小问1详解】 由题意可知：随机变量的可能取值为0，1，2，则有： ， 可得随机变量的分布列为 0 1 2 所以随机变量的期望. 【小问2详解】 记第一次从甲袋中随机摸出1个球，摸出的是1、2、3号球分别为事件， 第二次摸到的是3号球为事件B， 则， 所以. 19. 已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前项和为，点均在函数的图像上． （1）求数列的通项公式； （2）设，是数列的前项和，求使得对所有都成立的最小正整数. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)设二次函数,根据导函数的表达式,再根据点均在函数的图象上,求出的递推公式； (2)把(1)中的递推关系式代入,根据裂项相消求得,最后解得使对所有都成立的最小正整数. 【小问1详解】 由题意设二次函数，则， 由于，所以，所以， 又因为点均在函数的图像上，所以， 当时，， 当时，，也适合. 所以，. 【小问2详解】 由（1）得 故 随着的增大，单调递增，故 对所有都成立，只要即可，即只要. 故使得对所有都成立的最小正整数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省中山市龙山中学2025-2026学年高二下数学5月月考试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设离散型随机变量服从两点分布，其分布列如下表，则（ ） 0 1 A. B. C. D. 2. 函数的图象在点处的切线斜率为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 用0，1，2，3，4，5可组成无重复数字的三位数的个数为（ ） A. 98 B. 99 C. 100 D. 101 4. 质数（primenumber）又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数.数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”，如：3和5，5和，那么，如果我们在不大于30的正整数中，随机选取两个不同的数，记事件：这两个数都是素数；事件：这两个数是孪生素数，则（ ） A. B. C. D. 5. 等差数列的公差为2，且，则（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 6. 李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他分别记录了50次坐公交车和50次骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从正态分布，，．和的正态曲线如图所示．则下列结果正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知在等比数列中，，，若函数，则（ ） A. 2 B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 小张同学对具有线性相关的两个变量x和y进行了统计分析，得到了右表，其中一些数据丢失，只记得这组数据拟合出的y关于x的经验回归方程为，若成等差数列，则（ ） x 4 6 8 10 12 y a 2 b c 6 A. 变量x与y的样本相关系数 B. C. 当时，残差为 D. 当时，y的预测值为 10. 若数列为等比数列，其前n项积为，且，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 11. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 在上单调递减，在上单调递增 B. 若方程有4个不等的实根，则 C. 当时， D. 设，若对，，使得成立，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的二项展开式中的系数为______． 13. 设，是一个随机试验中的两个事件，若，，，则________. 14. 设点在曲线上，点在直线上，则的最小值为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列和等比数列，满足，，. （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前项和. 16. 为了研究高中学生每天整理数学错题的情况，沈阳市某校数学建模兴趣小组的同学在本校高二年级学生中采用随机抽样的方法抽取了40名学生，调查他们平时的数学成绩和整理数学错题的情况，现统计得部分数据如下： 数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 合计 每天都整理数学错题人数 14 a 不是每天都整理数学错题人数 b 15 20 合计 40 （1）计算a，b的值，并判断是否有99%的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”？ 附： 0.10 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 （2）从样本中不是每天都整理数学错题的学生中随机抽取3名学生做进一步访谈，设恰好抽取到数学成绩总评优秀的人数为X，求X的分布列和期望． 17. 已知函数． （1）若函数在定义域上不单调，求实数的取值范围； （2）若，且函数有三个零点，求实数的取值范围； （3）若，过点作函数的切线，求切线方程． 18. 已知编号为甲、乙、丙的三个袋子中装有除标号外完全相同的小球，其中甲袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；乙袋内装有两个1号球，一个3号球；丙袋内装有三个1号球，两个2号球和一个3号球. （1）从甲袋中一次性摸出2个小球，记随机变量为1号球的个数，求随机变量的分布列和数学期望； （2）现按照如下规则摸球：连续摸球两次，第一次先从甲袋中随机摸出1个球，若摸出的是1号球放入甲袋，摸出的是2号球放入乙袋，摸出的是3号球放入丙袋；第二次从放入球的袋子中再随机摸出1个球.求第二次摸到的是3号球的概率. 19. 已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前项和为，点均在函数的图像上． （1）求数列的通项公式； （2）设，是数列的前项和，求使得对所有都成立的最小正整数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $