精品解析：湖北孝感市2025-2026学年九年级下学期5月阶段检测数学试题

2026年九年级5月学业水平调研考试 数学试卷 （本试题卷满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，不涂、错涂或涂的代号超过一个，一律得0分） 1. 中国古代数学著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，用正、负数来表示具有相反意义的量．如果向西走30米记作米，那么米表示（ ） A. 向东走20米 B. 向南走20米 C. 向西走20米 D. 向北走20米 【答案】A 【解析】 【详解】∵向西走30米记作米， ∴正数表示与西相反方向的行走，即向东走， 因此米表示向东走20米. 2. 榫卯是我国传统建筑及家具的基本构件，燕尾榫是“万榫之母”．如图是燕尾榫的带榫头部分，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，还考查了空间想象能力，根据主视图的定义即可得出结果． 【详解】解：由图形可得，该图形的主视图为： ， 故选：B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查幂的运算法则与合并同类项法则，根据对应法则分别计算各选项即可判断正误． 【详解】A、，运算错误，不符合题意； B、，运算错误，不符合题意； C、，运算正确，符合题意； D、与不是同类项，不能合并，运算错误，不符合题意． 4. 一元二次方程的两根为， ，则的值是（ ） A. 4 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【详解】根据题意可得：， 由根与系数的关系可知：. 5. 如图，已知直线，将一块含的直角三角板按如图方式放置（）其中点，分别落在直线、上． 若， 则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，平角的定义，先利用平角的定义求出的度数，然后利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 6. 以下事件为随机事件的是（ ） A. 篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中 B. 通常加热到时，水沸腾 C. 任意画一个三角形，其内角和是 D. 明天太阳从东方升起 【答案】A 【解析】 【分析】根据随机事件定义逐一判断各选项即可得到结果． 【详解】解：必然事件指一定发生的事件，不可能事件指一定不发生的事件，随机事件指可能发生也可能不发生的事件， 选项A：篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中，结果不确定，可能发生也可能不发生， ∴ 该事件是随机事件，A符合题意； 选项B：通常加热到时，水一定沸腾，是一定会发生的事件， ∴该事件是必然事件，B不符合题意； 选项C：任意三角形的内角和为，不可能是，是一定不发生的事件， ∴该事件是不可能事件，C不符合题意； 选项D：明天太阳从东方升起是一定会发生的事件， ∴该事件是必然事件，D不符合题意． 7. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的周长之比是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据位似图形的性质对应点到位似中心的距离之比等于位似比，周长比等于位似比即可得． 【详解】和是以点为位似中心的位似图形， ． 8. 关于反比例函数，下列结论错误的是（　　） A. 图象位于二、四象限 B. 点在这个函数图像上 C. 图象关于原点对称 D. y随x的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数的图是解题的关键． 根据反比例函数的图判断各选项正误即可． 【详解】解：根据题意得，反比例函数， 选项A、，图位于第二、四象限，则A正确； 选项B、当时，，则点在图上，故B正确； 选项C、反比例函数图关于原点对称，则C正确； 选项D、由于，反比例函数图在每一象限内随的增大而增大，但选项未指定“在每一象限内”，因此说法错误， 故选：D． 9. 如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，根据直角三角形的性质可得，再证明为等边三角形，可得，然后利用弧长公式计算即可得． 【详解】解：如图，连接， 在中，∵，，， ∴， 由作法得：， ∴为等边三角形， ∴， ∴的长为． 10. 如图，在矩形中，点在上，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、翻折的性质以及勾股定理，先求，再求出，在中，根据勾股定理可求出，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 由翻折可知：，， ， ， ， 在中， 根据勾股定理得：， ， 解得：， ． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．请将结果直接填写在答题卡相应位置上） 11. 某校计划给每个年级配发n套劳动工具，则3个年级共需配发______套劳动工具． 【答案】 【解析】 【分析】根据总共配发的数量年级数量每个年级配发的套数，列代数式． 【详解】解：由题意得：3个年级共需配发得套劳动工具总数为：套， 故答案为：． 【点睛】本题考查了列代数式，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列代数式． 12. 已知一次函数（k是常数，），y随x的增大而减小，写出一个符合条件的k的值为________． 【答案】（答案不唯一，即可） 【解析】 【分析】根据一次函数的增减性和一次项系数的关系即可确定的范围． 【详解】在中，随的增大而减小， ,的值可以是（答案不唯一，即可）． 13. 七巧板、九连环、华容道、鲁班锁是深受大家喜爱的益智玩具．现将1个七巧板、1个九连环、1个华容道、1个鲁班锁分别装在4个不透明的盒子中（每个盒子装1个），所有盒子除里面的玩具外均相同．从这4个盒子中随机抽取1个盒子，抽中七巧板的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】用符合条件的结果数除以所有等可能的结果数即可得到答案. 【详解】解：根据题意，总共有4个等可能的抽取结果，抽中七巧板的结果有1种， 因此抽中七巧板的概率是. 14. 计算：_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式乘法法则约分计算即可． 【详解】解： ． 15. 如图1，在中，，点为的中点，动点从点出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点，在此过程中线段的长度与运动时间（单位：秒）之间的函数关系图象如图2所示（点为曲线部分的最低点）． 则：（1）______； （2）点的纵坐标的值为______． 【答案】 ①. 6 ②. 4 【解析】 【分析】（1）由题意可得，再由点为的中点，即可求得； （2）由图象可知，当运动时间时，最小，即最小，此时，可得，则，在中，即可求解． 【详解】解：（1）∵动点从点出发，线段的长度为，运动时间为，根据图象可知，当时，， ∴， ∵点为的中点， ∴． （2）由图象可知，当运动时间时，最小，即最小， ∴此时， ∴如图所示，此时点P运动的路程为， 由（1）可知，， ∴， 在中， ，即． 三、解答题（本大题共9小题，满分75分．解答写在答题卡上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 【答案】15 【解析】 【分析】原式先计算乘方、算术平方根、绝对值以及立方根，再计算乘法，最后进行加减运算即可． 【详解】解： ． 17. 如图，已知点、、、在同一直线上，，，．求证：． 【答案】证明：在和中， ， ， ， ． 【解析】 【分析】先由已知可证，由全等三角形对应角相等可得，最后由“同位角相等，两直线平行”证明即可． 【详解】略 18. 为测量物体的高度，某数学兴趣小组开展了如下活动： 小丽同学用测角仪测量一棵树的高度，她先在该树前平地上选择一点，站立此处，测得树顶端的仰角为，再测得点离树底端的距离为20米，并测得眼睛所在位置点离点的距离为米．请根据这些数据．（参考数据：，，） （1） 米； （2）求树的高度． 【答案】（1） （2）米 【解析】 【分析】（1）由题意可知，，，，故四边形是矩形，可得米； （2）由四边形是矩形得米，在中，利用三角函数求出，即可得长． 【小问1详解】 解：由题意可知，，，， ∴四边形是矩形， ∴米； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴米， 在中， （米）， （米）． 答：树的高度为米． 19. 某校与科技协会共同组织“校园科技知识竞赛”，从九（1）班和九（2）班各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，并对数据进行了整理、描述和分析（竞赛成绩用表示，共分成A，B，C，D四个等级：A：；B：；C：；D：） 【收集数据】 九（1）班10名学生竞赛成绩：65，70，71，72，82，84，85，90，90，91 九（2）班10名学生中C等级学生的竞赛成绩：80，81，83，83 【分析数据】 班级 平均数 中位数 众数 方差 九（1） 80 83 83.6 九（2） 80 82 83 92 【解决问题】根据以上信息，回答下列问题： （1）填空： ， ． （2）请你根据【分析数据】中的信息，判断哪个班级成绩比较好，简要说明理由． （3）九（1）班共有学生50人，九（2）班共有学生50人，按竞赛规定，90分及90分以上的学生可以获奖，估计这两个班级可以获奖的总人数是多少？ 【答案】（1）90；30 （2）九（1）班成绩比较好．理由：九（1）班与九（2）的平均数相同，九（1）班中位数、众数高于九（2）班，方差低于九（2）班，总体九（1）班成绩比较好； （3）30人 【解析】 【分析】（1）先根据众数的定义求出a的值，再求出九（2）班成绩在“C等级”所占的百分比，然后求出m的值； （2）通过中位数、众数、方差进行分析得出答案； （3）用50乘以九（1）班成绩大于等于90分的学生所占的比例即可求出九（1）班获奖人数，用50乘以九（2）班成绩大于等于90分的学生所占的比例即可求出九（2）班获奖人数，再求出获奖人数总和即可． 【小问1详解】 解：∵九（1）班10名学生竞赛成绩90出现的次数最多，共出现2次， ∴众数为90，即； ∵九（2）班成绩在“C等级”的共有4人，占， ∴； 【小问2详解】 解：九（1）班的成绩比较好．理由如下： ①九（1）班学生竞赛成绩中位数83高于九（2）班学生竞赛成绩中位数82， ②九（1）班学生竞赛成绩方差83.6低于九（2）班学生竞赛成绩方差92， ③九（1）班学生竞赛成绩众数90高于九（2）学生竞赛成绩众数83； 【小问3详解】 解：由题意知：10人中90分及以上的学生九（1）班有3人，占，九（2）班占， ∴估计九（1）90分及90分以上的学生有：（人）可以获奖，九（2）90分及90分以上的学生有：（人）可以获奖， ∴这两个班可以获奖的总人数是：（人）． 20. 综合与实践 素材1 进位制是为了计数和运算方便约定的计数系统，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．其中十进制数“1024”记作1024，二进制数“1011”记作，五进制数“1024”记作等． 素材2 例：八进制数“1024”转换成十进制数为：．其他进位制也有类似的算法… 素材3 将十进制数转换为与其相等的进制数，用十进制的数除以，然后将商继续除以，直到商为0，将各步所得的余数按照逆序排列即可．例如：把十进制数66转换为七进制． 任务：请同学们认真阅读上面素材，解决下面的题目： （1）把转换为十进制数为 ；把十进制数21转换为三进制数为 ． （2）请尝试将转换为五进制数． 【答案】（1）11； （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，依据二进制转十进制的算法算出对应的十进制数，再用十进制转三进制的方法得出21对应的三进制数即可． （2）先将转为十进制，再按十进制转五进制的规则将其转换为五进制数即可． 【小问1详解】 解：由题意可得，； 十进制数21转换为三进制数，可得 【小问2详解】 解：转换为十进制数，可得， 再将转换为五进制数，可得 ， 将转换为五进制数为． 21. 如图，是的半径，弦于点，，的延长线交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的直径． 【答案】（1）证明：， ， ， 是的半径， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）根据弦，，可得，根据圆的切线判定定理即可得证； （2）设，则，根据垂径定理可得，在中，，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：略 【小问2详解】 ， ， 设， 在中，， ， ，则， 的直径为． 22. 在“乡村振兴”行动中，某村办企业以A，B两种农作物为原料开发了一种有机产品，A原料的单价是B原料单价的倍，若用900元收购A原料会比用900元收购B原料少100千克．生产该产品每盒需要A原料2千克和B原料4千克，每盒还需其他成本9元． （1）求A，B两种原料的单价分别是每千克多少元？并直接写出每盒产品的成本（成本原料费其他成本）； （2）市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒．设每盒产品的售价是元（是整数），每天的利润是元． ①求关于的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）； ②求每天的利润的最大值． 【答案】（1）A原料的单价为每千克元，B原料的单价为每千克3元．每盒产品的成本为30元． （2）①；②最大利润为16000元 【解析】 【分析】（1）设B原料的单价为每千克m元，则A原料的单价为每千克元，根据题意，列出方程，即可求解； （2）①根据“该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒．”即可列出函数关系式； ②利用二次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：设B原料的单价为每千克m元，则A原料的单价为每千克元， 依题意，得． 解得，． 经检验是原方程的根，符合题意． 答：A原料的单价为每千克元，B原料的单价为每千克3元． 每盒产品的成本为：（元）， 【小问2详解】 解：① ； ② ，且， ∴当时，w取得最大值，最大值为16000． 23. 解答下列问题： （1）如图1，已知于点，于点，交于点，求证：； （2）【知识迁移】：如图2，在矩形中，是上的一点，作交于点，．若，，求的长； （3）【拓展应用】：如图3，已知菱形的边长为5，，为上一点，过点作交于点，交于点． ①求菱形的面积； ②若，直接写出的长． 【答案】（1）证明：， ， ． 又， ． （2） （3）①24；② 【解析】 【分析】1）根据等角的余角相等结合一组相等的直角即可证明； （2）证明即可求解； （3）①如图，连接交于点O，根据正切的定义设，则由勾股定理得到方程，求出，再由菱形的面积公式求解； ②记与交点为M，先证明，求出，再由求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在矩形中，， 同（1）可证， ， 设，则， ， 解得（不合题意，舍去）， 的长为； 【小问3详解】 解：①如图，连接交于点O， 四边形是菱形， ， ， 设， 解得（负值舍去）， ∴， ②记与交点为M， ，， 又 ， ， ， ， 四边形菱形， ， ， ． ． 24. 如图1，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，直线经过，两点．点是抛物线轴上方的一个动点，过点作轴交于点，其横坐标为（）． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，若点在直线上方，交直线于点，求线段的最大值； （3）定义：把平行于轴的直线，把平行于轴的直线与轴、轴围成的区域（不含边界点）称为“”域．过点作轴交于点，则矩形即为直线：，直线：与轴、轴围成的“”域．令矩形的周长为． ①求关于的函数解析式； ②当且“”域内恰有奇数个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）2 （3）①；②或 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）用m表示出的长，再结合二次函数的性质，即可求解； （3）①分两种情况讨论：当时，当时，分别求解即可；②根据①的分类，分别确定临界位置时的对应m值，再结合图象确定范围即可． 【小问1详解】 解：都在抛物线上， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：点，则点， 当时，线段的最大值2． 【小问3详解】 解：①∵， 当时， ， 解得，， ， 点， 当时， ， 当时， ， ， ； ②当时，都成立， 当时，， 当且“”域内恰有奇数个横、纵坐标均为整数的点时，仅包含点， 当时，（舍去）； 当时，（舍去）； ； 当时，，， 令， 当 时，，或 ， “”域内恰有奇数个横、纵坐标均为整数的点，包含点， 当时，（舍去），， ∴符合条件m的取值范围是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年九年级5月学业水平调研考试 数学试卷 （本试题卷满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，不涂、错涂或涂的代号超过一个，一律得0分） 1. 中国古代数学著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，用正、负数来表示具有相反意义的量．如果向西走30米记作米，那么米表示（ ） A. 向东走20米 B. 向南走20米 C. 向西走20米 D. 向北走20米 2. 榫卯是我国传统建筑及家具的基本构件，燕尾榫是“万榫之母”．如图是燕尾榫的带榫头部分，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程的两根为， ，则的值是（ ） A. 4 B. C. 3 D. 5. 如图，已知直线，将一块含的直角三角板按如图方式放置（）其中点，分别落在直线、上． 若， 则等于（ ） A. B. C. D. 6. 以下事件为随机事件的是（ ） A. 篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中 B. 通常加热到时，水沸腾 C. 任意画一个三角形，其内角和是 D. 明天太阳从东方升起 7. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的周长之比是（ ） A. B. C. D. 8. 关于反比例函数，下列结论错误的是（　　） A. 图象位于二、四象限 B. 点在这个函数图像上 C. 图象关于原点对称 D. y随x的增大而增大 9. 如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，点在上，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．请将结果直接填写在答题卡相应位置上） 11. 某校计划给每个年级配发n套劳动工具，则3个年级共需配发______套劳动工具． 12. 已知一次函数（k是常数，），y随x的增大而减小，写出一个符合条件的k的值为________． 13. 七巧板、九连环、华容道、鲁班锁是深受大家喜爱的益智玩具．现将1个七巧板、1个九连环、1个华容道、1个鲁班锁分别装在4个不透明的盒子中（每个盒子装1个），所有盒子除里面的玩具外均相同．从这4个盒子中随机抽取1个盒子，抽中七巧板的概率是_____． 14. 计算：_____． 15. 如图1，在中，，点为的中点，动点从点出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点，在此过程中线段的长度与运动时间（单位：秒）之间的函数关系图象如图2所示（点为曲线部分的最低点）． 则：（1）______； （2）点的纵坐标的值为______． 三、解答题（本大题共9小题，满分75分．解答写在答题卡上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 17. 如图，已知点、、、在同一直线上，，，．求证：． 18. 为测量物体的高度，某数学兴趣小组开展了如下活动： 小丽同学用测角仪测量一棵树的高度，她先在该树前平地上选择一点，站立此处，测得树顶端的仰角为，再测得点离树底端的距离为20米，并测得眼睛所在位置点离点的距离为米．请根据这些数据．（参考数据：，，） （1） 米； （2）求树的高度． 19. 某校与科技协会共同组织“校园科技知识竞赛”，从九（1）班和九（2）班各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，并对数据进行了整理、描述和分析（竞赛成绩用表示，共分成A，B，C，D四个等级：A：；B：；C：；D：） 【收集数据】 九（1）班10名学生竞赛成绩：65，70，71，72，82，84，85，90，90，91 九（2）班10名学生中C等级学生的竞赛成绩：80，81，83，83 【分析数据】 班级 平均数 中位数 众数 方差 九（1） 80 83 83.6 九（2） 80 82 83 92 【解决问题】根据以上信息，回答下列问题： （1）填空： ， ． （2）请你根据【分析数据】中的信息，判断哪个班级成绩比较好，简要说明理由． （3）九（1）班共有学生50人，九（2）班共有学生50人，按竞赛规定，90分及90分以上的学生可以获奖，估计这两个班级可以获奖的总人数是多少？ 20. 综合与实践 素材1 进位制是为了计数和运算方便约定的计数系统，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．其中十进制数“1024”记作1024，二进制数“1011”记作，五进制数“1024”记作等． 素材2 例：八进制数“1024”转换成十进制数为：．其他进位制也有类似的算法… 素材3 将十进制数转换为与其相等的进制数，用十进制的数除以，然后将商继续除以，直到商为0，将各步所得的余数按照逆序排列即可．例如：把十进制数66转换为七进制． 任务：请同学们认真阅读上面素材，解决下面的题目： （1）把转换为十进制数为 ；把十进制数21转换为三进制数为 ． （2）请尝试将转换为五进制数． 21. 如图，是的半径，弦于点，，的延长线交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的直径． 22. 在“乡村振兴”行动中，某村办企业以A，B两种农作物为原料开发了一种有机产品，A原料的单价是B原料单价的倍，若用900元收购A原料会比用900元收购B原料少100千克．生产该产品每盒需要A原料2千克和B原料4千克，每盒还需其他成本9元． （1）求A，B两种原料的单价分别是每千克多少元？并直接写出每盒产品的成本（成本原料费其他成本）； （2）市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒．设每盒产品的售价是元（是整数），每天的利润是元． ①求关于的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）； ②求每天的利润的最大值． 23. 解答下列问题： （1）如图1，已知于点，于点，交于点，求证：； （2）【知识迁移】：如图2，在矩形中，是上的一点，作交于点，．若，，求的长； （3）【拓展应用】：如图3，已知菱形的边长为5，，为上一点，过点作交于点，交于点． ①求菱形的面积； ②若，直接写出的长． 24. 如图1，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，直线经过，两点．点是抛物线轴上方的一个动点，过点作轴交于点，其横坐标为（）． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，若点在直线上方，交直线于点，求线段的最大值； （3）定义：把平行于轴的直线，把平行于轴的直线与轴、轴围成的区域（不含边界点）称为“”域．过点作轴交于点，则矩形即为直线：，直线：与轴、轴围成的“”域．令矩形的周长为． ①求关于的函数解析式； ②当且“”域内恰有奇数个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $