精品解析：2025年湖北省孝感市安陆市涢东学校中考数学模拟试卷（四）

2025年湖北省孝感市安陆市涢东学校中考数学模拟试卷（四） 一．选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 的倒数是（ ） A. -2 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据倒数的概念求解即可． 【详解】根据乘积等于1的两数互为倒数，可直接得到-的倒数为-2． 故选：A． 2. 据悉，一季度本是航空运输淡季，恩施机场航空运输生产却呈现良好发展态势．“得益于2015年12月春秋航空开通恩施至上海直飞旅游航线，恩施航空市场增长势头非常明显，航空旅游客源也迅速增加．”恩施机场市场部相关负责人说，截至2016年3月31日，共完成旅客吞吐量106679人次，与去年同期相比增长．请将数106679用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：， 故选：A 3. 下列运算正确的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，合并同类项，单项式乘多项式，幂的乘方运算，根据同底数幂的乘法，合并同类项，单项式乘多项式，幂的乘方运算法则逐一计算作出判断： 【详解】解：A、，故本选项错误； B、，故本选项正确； C、，故本选项错误； D、，故本选项错误． 故选∶B． 4. 已知直线，将含30°角的直角三角板按图所示摆放．若，则（ ） A. 120° B. 130° C. 140° D. 150° 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线的性质可得∠3=∠1=120°，再由对顶角相等可得∠4=∠3=120°，然后根据三角形外角的性质，即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意得：∠5=30°， ∵， ∴∠3=∠1=120°， ∴∠4=∠3=120°， ∵∠2=∠4+∠5， ∴∠2=120°+30°=150°． 故选：D 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，对顶角相等，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质，对顶角相等，三角形外角的性质是解题的关键． 5. 如图是一个圆柱体和一长方体组成的几何体，圆柱的下底面紧贴在长方体的上底面上，那么这个几何体的俯视图为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】俯视图是指从几何体的上面观察得出的图形，根据以上内容即可得出答案． 【详解】这个几何体的俯视图为 故选C． 【点晴】本题考查了简单组合体的三视图，能理解三视图的定义是解此题的关键． 6. 若关于x的不等式组恰有两个整数解，则n的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得不等式组的两个整数解为0，，进而可得，即可求解. 【详解】解：∵关于x的不等式组恰有两个整数解，且不等式组的解集为， ∴， 解得：； 故选：A. 【点睛】本题考查了不等式组的整数解问题，正确理解题意，得出是解题关键. 7. 《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（　　） A. 900（x+1）×2＝900（x﹣3） B. 900（x+1）＝900（x﹣3）×2 C. 90（x+1）×2＝900（x+3） D. 900（x+1）＝900（x+3）×2 【答案】B 【解析】 【分析】首先设规定时间为x天，则快马所需时间为（x−3）天，慢马所需的时间为（x＋1）天，由题意得等量关系：慢马速度×2＝快马速度，根据等量关系，可得方程． 【详解】设规定时间为x天，则快马所需的时间为（x﹣3）天，慢马所需的时间为（x+1）天，由题意得： ， 即900（x+1）＝900（x﹣3）×2， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系． 8. 如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将△ABO绕点O按顺时针方向旋转90°，得△A′B′O，则点A′的坐标为（ ） A. （3，1） B. （3，2） C. （2，3） D. （1，3） 【答案】D 【解析】 【分析】画出旋转后的图形即可求解． 【详解】解：如图，点A′的坐标为(1，3)． 故选D． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，熟练掌握网格结构作出旋转后的三角形，利用数形结合的思想求解更简便． 9. 如图，在菱形中，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质及等边对等角． 由菱形的性质可知，结合，可得，即可求解． 【详解】解：∵在菱形中，， ∴， 又∵， ∴． 故选：B． 10. 已知二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列论中：①；②若点均在该二次函数图象上，则；③若m为任意实数，则；④方程的两实数根为，且，则．正确结论的序号为（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①④ 【答案】B 【解析】 【分析】将代入，可判断①；根据抛物线的对称轴及增减性可判断②；根据抛物线的顶点坐标可判断③；根据的图象与x轴的交点的位置可判断④． 【详解】解：将代入，可得， 故①正确； 二次函数图象的对称轴为直线， 点到对称轴的距离分别为：4，1，3， ， 图象开口向下，离对称轴越远，函数值越小， ， 故②错误； 二次函数图象的对称轴为直线， ， 又， ， ， 当时，y取最大值，最大值为， 即二次函数的图象的顶点坐标为， 若m为任意实数，则 故③正确； 二次函数图象的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为， 与x轴的另一个交点坐标为， 的图象向上平移一个单位长度，即为的图象， 的图象与x轴的两个交点一个在的左侧，另一个在的右侧， 若方程的两实数根为，且，则， 故④正确； 综上可知，正确的有①③④， 故选B． 【点睛】本题考查根据二次函数图象判断式子符号，二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系，熟练运用数形结合思想． 二．填空题（共5小题每题3分，共15分） 11. 16的平方根是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方根的定义求解即可：若，则，x是a的平方根，注意正数的平方根有2个． 【详解】解：∵， ∴16的平方根是． 12. 计算：_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查分式加减，掌握同分母分式的加减法则解题即可． 【详解】解：， 故答案为：2． 13. 若一元二次方程的两根分别为，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，．根据一元二次方程根与系数的关系可得，，代入代数式即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为， ∴，， ∴． 故答案为：． 14. 如图，用圆心角为120°，半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽，则这个纸帽的高是_____cm． 【答案】 【解析】 【分析】先求出扇形弧长，再求出圆锥的底面半径，再根据勾股定理 即可出圆锥的高． 【详解】圆心角为120°，半径为6cm的扇形的弧长为4cm ∴圆锥的底面半径为=2， 故圆锥的高为=4cm 故答案为：4 【点睛】此题主要考查圆的弧长及圆锥的底面半径，解题的关键是熟知圆的相关公式． 15. 如图，平行四边形中，，，，点在上，将沿折叠得到，若点恰好在线段上，则的长为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质，解直角三角形， 过点作交的延长线于点，根据平行四边形的性质以及已知条件得出，进而求得，根据折叠的性质得出，进而在中，勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作交的延长线于点， ∵在中，，，，， ∴， ∴， 在中， ∵将沿折叠得到，当点恰好落在上时， ∴ 又 ∴ ∴ ∴ 设， ∴ 在中， ∴ 解得：（负数舍去） 则的长为： 故答案为：． 三．解答题（共9小题，共75分） 16. 计算：． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，涉及分母有理化、特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂等知识，根据相关运算法则正确求解即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 17. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是边BC上一点，且DE＝DC．求证：AD＝BE． 【答案】详见解析． 【解析】 【分析】利用已知先证明AB∥DE，进而根据平行四边形的定义：两组对边平行的四边形是平行四边形，即可得出结论． 【详解】证明：∵DE＝DC， ∴∠DEC＝∠C． ∵∠B＝∠C， ∴∠B＝∠DEC， ∴AB∥DE， ∵AD∥BC， ∴四边形ABED是平行四边形． ∴AD＝BE． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质．解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定定理和性质定理的运用． 18. 为实施“留守学生关爱计划”，某校对全校各班留守学生人数情况进行了统计，发现各班留守学生只有名、名、名、名、名共五种情况，据此制成了如下两幅不完整的统计图： 请结合图中信息，解决下列问题： （1）将条形统计图补充完整； （2）求出该校平均每班有多少名留守学生； （3）某福利机构决定从只有名留守学生的这些班级中任选两名进行生活资助，请用画树状图或列表的方法，求出所选两名留守学生来自不同班级的概率． 【答案】（1）补图见解析； （2）名； （3）． 【解析】 【分析】（）用留守学生名的班级数除以它的百分比求出全校留守学生的班级数，可算出留守学生名的班级数，进而即可将条形统计图补充完整； （）利用加权平均数公式计算即可求解； （）画出树状图，根据树状图即可求解； 本题考查了条形统计图和扇形统计图，加权平均数，用树状图或列表法求概率，看懂统计图是解题的关键． 【小问1详解】 解：全校留守学生班级数为个， ∴留守学生名的班级有个， 条形统计图补充完整如下： 【小问2详解】 解：该校平均每班留守学生人数为名； 【小问3详解】 解：用、表示来自同一个班级的两名留守学生，、表示来自另一个班级的两名留守学生，画树状图如下： 由树状图可知，共有种等结果，其中所选两名留守学生来自不同班级的结果有种， ∴所选两名留守学生来自不同班级的概率为． 19. 如图，小颖家所在居民楼高为，从楼顶A处测得另一座大厦顶部C的仰角是，而大厦底部D的俯角是． （1）求两楼之间的距离． （2）求大厦的高度． （结果精确到．参考数据：，，） 【答案】（1）两楼之间的距离约为 （2）大厦的高度为 【解析】 【分析】（1）过点A作于点E，易得，根据，即可求解： （2）易证四边形为矩形，则，根据等腰直角三角形的性质得出，最后根据，即可求解． 【小问1详解】 解：过点A作于点E， 根据题意可得：， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， 解得：， 答：两楼之间的距离约为． 【小问2详解】 解：根据题意可得：， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 答：大厦的高度为． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形，掌握解直角三角形的方法和步骤． 20. 如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像都经过点． （1）求点A的坐标和反比例函数表达式． （2）若点在该反比例函数图像上，且它到y轴距离小于3，请根据图像直接写出n的取值范围． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）把点A的坐标代入一次函数关系式可求出a的值，再代入反比例函数关系式确定k的值，进而得出答案； （2）确定m的取值范围，再根据反比例函数关系式得出n的取值范围即可． 小问1详解】 解：把的坐标代入， ， 解得， ∴． 又∵点是反比例函数的图像上， ∴， ∴反比例函数的关系式为； 【小问2详解】 解：∵点在该反比例函数图像上，且它到y轴距离小于3， ∴或， 当时，， 当时，， 由图像可知， 若点在该反比例函数图像上，且它到 y轴距离小于3，n的取值范围为或． 【点睛】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征，反比例函数与一次函数的图像交点坐标，把点的坐标代入相应的函数关系式求出待定系数是求函数关系式的常用方法． 21. 如图，是的直径，为上一点，是劣弧的中点，过点作的垂线，分别交，的延长线于E，F两点． （1）求证：是的切线； （2）若，求图中阴影部分面积和面积的比． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由是劣弧的中点，得到，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，推出，得到，根据切线的判定定理得到结论； （2）根据已知条件得到，求得，得到，推出是等边三角形，求得，得到，得到，求得，图中阴影部分面积的面积，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 证明：连接， 是劣弧的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：如图，连接， 是劣弧的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ，图中阴影部分面积的面积， ， ， ， ， ， ， ， 图中阴影部分面积和面积的比为． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形性质，平行线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 22. 如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出球的飞行路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律如下表： x 0 1 2 m 4 5 6 7 … y 0 6 8 n … （1）①______，______； ②小球的落点是A，求点A的坐标． （2）小球飞行高度y（米）与飞行时间t（秒）满足关系． ①小球飞行的最大高度为______米； ②求v的值． 【答案】（1）①3，6；②； （2）①8，② 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用以及从图象和表格中获取数据， （1）①由抛物线的顶点坐标为可建立过于a，b的二元一次方程组，求出a，b的值即可；②联立两函数解析式求解，可求出交点A的坐标； （2）①根据第一问可知最大高度为8米； ②将小球飞行高度与飞行时间的函数关系式化简为顶点式即可求得v值． 【小问1详解】 解：①根据小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律表可知：抛物线顶点坐标为， ∴， 解得：， ∴二次函数解析式为， 当时，， 解得：或（舍去）， ∴， 当时，， 故答案为：3，6． ②联立得：， 解得：或 ， ∴点A的坐标是， 【小问2详解】 ①由题干可知小球飞行最大高度为8米， 故答案为：8； ②， 则， 解得（负值舍去）． 23. 【问题情境】如图，在中，，，是边上的高，点E是上一点，连接，过点A作于F，交于点G． （1）【特例证明】如图1，当时，求证：； （2）【类比探究】如图2，当时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请指出此时与的数量关系，并说明理由； （3）【拓展运用】如图3，连接，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）当时，（1）中的结论不成立，此时，（或者），见解析 （3） 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）证明，即可得到结论； （2）证明，则，即可得到，再证明，即可得到结论； （3） 连接，证明．则，得到，由得到，则，由勾股定理得到．即可得到答案． 【小问1详解】 证明：∵，，是边上的高， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴ 【小问2详解】 当时，（1）中的结论不成立，此时，（或者） 理由如下：∵，是边上的高， ∴． ∴． ∴． ∴ ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． ∴ 【小问3详解】 如图，连接， ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴， ∵， ∴，． ∴ ∴． 由勾股定理得， ． ∴． 24. 如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，过点作轴交抛物线于点． （1）则点的坐标为 ，抛物线的对称轴是直线 ； （2）若点是抛物线上的一点，当三角形是直角三角形时，求点坐标； （3）若点是抛物线上在轴右侧的一个动点，其横坐标为，点到抛物线对称轴和直线的距离分别是，，且． ①求关于的函数解析式； ②当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）， （2）当三角形是直角三角形时，点坐标为或 （3）关于的函数解析式为 当时，的取值范围为或或 【解析】 【分析】（1）由轴上的点的坐标特征，可得点坐标，根据二次函数的图象和性质可得对称轴方程； （2）根据题意进行分类讨论，用待定系数法求直线解析式，与抛物线联立，求交点坐标即可； （3）根据题意进行分类讨论，用坐标表示线段长度即可；根据题意解不等式组，即可得不同情况下的取值范围． 【小问1详解】 解：在中，令，得， ∴点的坐标为，抛物线的对称轴是直线， 故答案：，． 【小问2详解】 解：在中，令，得， 解得，，， ∴， 如图，取，则， 设所在直线解析式为，则， 解得，， ∴所在直线解析式为， 由， 解得，或， ∴， 如图，取，则， 设所在直线解析式为，则， 解得，， ∴所在直线解析式为， 由， 解得，或， ∴， 答：当三角形是直角三角形时，点坐标为或． 【小问3详解】 解：∵抛物线的对称轴是直线，，轴交抛物线于点， ∴， ∵点是抛物线上在轴右侧的一个动点，其横坐标为， ∴，， 当时，，，， 当时，，，， 当时，，，， 答：关于的函数解析式为； 由得，， 由得，， 由得，， 答：当时，的取值范围为或或． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，一次函数的解析式，二次函数与几何综合，解一元二次不等式组，解题的关键是熟练掌握二次函数的相关知识． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年湖北省孝感市安陆市涢东学校中考数学模拟试卷（四） 一．选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 的倒数是（ ） A. -2 B. 2 C. D. 2. 据悉，一季度本是航空运输淡季，恩施机场航空运输生产却呈现良好发展态势．“得益于2015年12月春秋航空开通恩施至上海直飞旅游航线，恩施航空市场增长势头非常明显，航空旅游客源也迅速增加．”恩施机场市场部相关负责人说，截至2016年3月31日，共完成旅客吞吐量106679人次，与去年同期相比增长．请将数106679用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是 A. B. C. D. 4. 已知直线，将含30°角直角三角板按图所示摆放．若，则（ ） A. 120° B. 130° C. 140° D. 150° 5. 如图是一个圆柱体和一长方体组成几何体，圆柱的下底面紧贴在长方体的上底面上，那么这个几何体的俯视图为（　　） A. B. C. D. 6. 若关于x的不等式组恰有两个整数解，则n的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（　　） A. 900（x+1）×2＝900（x﹣3） B. 900（x+1）＝900（x﹣3）×2 C. 90（x+1）×2＝900（x+3） D. 900（x+1）＝900（x+3）×2 8. 如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将△ABO绕点O按顺时针方向旋转90°，得△A′B′O，则点A′的坐标为（ ） A. （3，1） B. （3，2） C. （2，3） D. （1，3） 9. 如图，在菱形中，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列论中：①；②若点均在该二次函数图象上，则；③若m为任意实数，则；④方程的两实数根为，且，则．正确结论的序号为（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①④ 二．填空题（共5小题每题3分，共15分） 11. 16平方根是___________． 12. 计算：_____． 13. 若一元二次方程的两根分别为，则___________． 14. 如图，用圆心角为120°，半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽，则这个纸帽的高是_____cm． 15. 如图，平行四边形中，，，，点在上，将沿折叠得到，若点恰好在线段上，则的长为___________． 三．解答题（共9小题，共75分） 16. 计算：． 17. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是边BC上一点，且DE＝DC．求证：AD＝BE． 18. 为实施“留守学生关爱计划”，某校对全校各班留守学生人数情况进行了统计，发现各班留守学生只有名、名、名、名、名共五种情况，据此制成了如下两幅不完整的统计图： 请结合图中信息，解决下列问题： （1）将条形统计图补充完整； （2）求出该校平均每班有多少名留守学生； （3）某福利机构决定从只有名留守学生的这些班级中任选两名进行生活资助，请用画树状图或列表的方法，求出所选两名留守学生来自不同班级的概率． 19. 如图，小颖家所在居民楼高为，从楼顶A处测得另一座大厦顶部C的仰角是，而大厦底部D的俯角是． （1）求两楼之间的距离． （2）求大厦的高度． （结果精确到．参考数据：，，） 20. 如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像都经过点． （1）求点A的坐标和反比例函数表达式． （2）若点在该反比例函数图像上，且它到y轴距离小于3，请根据图像直接写出n的取值范围． 21. 如图，是的直径，为上一点，是劣弧的中点，过点作的垂线，分别交，的延长线于E，F两点． （1）求证：是的切线； （2）若，求图中阴影部分面积和面积的比． 22. 如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出球的飞行路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律如下表： x 0 1 2 m 4 5 6 7 … y 0 6 8 n … （1）①______，______； ②小球的落点是A，求点A的坐标． （2）小球飞行高度y（米）与飞行时间t（秒）满足关系． ①小球飞行最大高度为______米； ②求v的值． 23. 【问题情境】如图，在中，，，是边上的高，点E是上一点，连接，过点A作于F，交于点G． （1）【特例证明】如图1，当时，求证：； （2）【类比探究】如图2，当时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请指出此时与的数量关系，并说明理由； （3）【拓展运用】如图3，连接，若，，求的长． 24. 如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，过点作轴交抛物线于点． （1）则点的坐标为 ，抛物线的对称轴是直线 ； （2）若点是抛物线上的一点，当三角形是直角三角形时，求点坐标； （3）若点是抛物线上在轴右侧的一个动点，其横坐标为，点到抛物线对称轴和直线的距离分别是，，且． ①求关于的函数解析式； ②当时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $