精品解析：黑龙江绥化市海伦市第一中学2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试题

黑龙江省海伦市第一中学2025～2026第二学期 高二期中考试数学试题 全卷满分150分，考试时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称命题的否定为特称命题即得. 【详解】命题“，”的否定是“，”， 故选：C 2. 已知，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】因为，因此，是的必要不充分条件. 故选：B. 3. 学校举行羽毛球、乒乓球和跳绳三项比赛，学生甲只能参加其中一项比赛，他参加羽毛球、乒乓球和跳绳比赛的概率分别为0.4、0.3、0.3，若他在羽毛球、乒乓球和跳绳比赛中获得冠军的概率分别为0.6、0.4、0.5，则该生获得冠军的概率为（ ） A. 0.67 B. 0.58 C. 0.51 D. 0.37 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件，结合全概率公式、条件概率公式即可求出结果. 【详解】设“参加羽毛球比赛”，“参加乒乓球比赛”，“参加跳绳比赛”， 则. 设“获得冠军”，则. 由全概率公式 . 故选：C. 4. 已知集合，，若为的真子集，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分集合是否是空集进行讨论即可求解. 【详解】当时，满足为的真子集，此时，解得. 当时，则或解得. 综上，，即m的取值范围是. 故选：C. 5. 已知每门大炮击中目标的概率都是0.5，现有10门大炮同时对某一目标各射击一次．记恰好击中目标3次的概率为A；若击中目标记2分，记10门大炮总得分的期望值为B，则A，B的值分别为（ ） A. ，5 B. ，10 C. ，5 D. ，10 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得其机种次数和期望符合二项分布，利用其期望公式即可得到值，再利用其概率公式计算值即可. 【详解】设10门大炮击中目标的次数为,则根据题意可得, 门大炮总得分的期望值为， ， 故选：B. 6. 已知随机变量X满足，，下列说法正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据方差和期望的运算性质计算即可. 【详解】由，解得， 由，解得. 故选：D. 7. 若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意可得，利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得到，解得即可. 【详解】因为正实数、满足， 即，所以， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 因为正实数、满足，且恒成立， 所以，解得，即实数的取值范围是. 故选：B． 8. 2012年国家开始实施法定节假日高速公路免费通行政策，某收费站统计了2021年中秋节前后车辆通行数量，发现该站近几天车辆通行数量，若，则当时下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性列式，再结合不等式求解作答. 【详解】因，且，则有，即， 不等式为：，则，， 所以，，A，B，D均不正确，C正确. 故选：C 【点睛】关键点睛：涉及正态分布概率问题，运用正态密度函数曲线的对称性是解题的关键. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列各选项给出的两个函数中，表示相同函数的有（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】BC 【解析】 【分析】 可判断每个选项的两函数的定义域和对应关系是否都相同，都相同的为相同函数，否则为不相同函数. 【详解】A中的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是相同函数； 中的定义域为，的定义域为，定义域和对应关系都相同，是相同函数； 中的定义域为，的定义域为，定义域和对应关系都相同，是相同函数； 中的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是相同函数． 故选：． 10. 甲、乙、丙三名钳工加工同一型号的零件，根据以往数据得知甲加工的次品率为6%，乙、丙加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知甲、乙、丙加工的零件数分别占总数的25%、30%、45%，从中任取一个零件进行检查，下列选项正确的有（ ） A. 该零件出自于甲加工的概率为0.25 B. 该零件是次品的概率为0.0525 C. 若该零件是次品，则出自于乙加工的概率为 D. 若该零件是次品，需要对三名钳工进行罚款，则甲、乙、丙的罚款额之比为2：2：3 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，结合全概率公式和条件概率的计算公式，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，因为甲加工的零件数占总数的，所以该零件出自于甲加工的概率为，所以A正确； 对于B中，该零件时次品的概率为，所以B正确； 对于C中，若零件是次品，则出自于乙加工的概率为，所以C不正确； 对于D中，若该零件是次品，则出自于甲加工的概率为， 出自于丙加工的概率为，所以甲乙丙的罚款额之比为，所以D正确. 故选：ABD. 11. 某人在次射击中击中目标的次数为，，其中，，击中奇数次为事件，则（ ） A. 若，，则取最大值时 B. 当时，取得最小值 C. 当时，n为奇数时，随着的增大而增大 D. 当时，n为偶数时，随着的增大而增大 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，根据直接写出，然后根据取最大值列式计算即可判断；对于B，根据，直接写出即可判断；对于C，D，由题意把表示出来，然后分析单调性即可. 【详解】对于A，在10次射击中击中目标的次数， 当时对应的概率， 因为取最大值，所以， 即， 即，解得， 因为且，所以，即时概率最大．故A正确， 对于B，， 当时，取得最大值，故B错误； 对于C、D，， ， ， ， 当，n为奇数时，为正项且单调递增的数列， 则随着的增大而增大，故C正确， 当，n为偶数时，，随着的增大而增大， 则随着的增大而减小，故D错误. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数解析式列出不等式组，求解即可. 【详解】由题可得，解得且； 的定义域为：． 故答案为：. 13. 下表是某饮料专卖店一天卖出奶茶的杯数y与当天气温x（单位：）的对比表，已知表中数据计算得到y关于x的线性回归方程为，则相应于点的残差为________. 气温 5 10 15 20 25 杯数y 26 20 16 14 14 【答案】. 【解析】 【分析】由表中数据计算出，，代入线性回归方程求出，进而可求得结果. 【详解】，， 代入线性回归方程得，解得， 则线性回归方程为. 所以，则相应于点的残差为. 故答案为：. 14. 若函数的值域为，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得能够取到大于等于的所有数，然后对分类求解得答案． 【详解】解：因为函数的值域为， 所以能够取到大于等于的所有数， 当时，不合题意； 当时，则，解得； 综上可得. 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 溺水、校园欺凌、食品卫生、消防安全、道路交通等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视．学校安全工作事关学生的健康成长，关系到千万个家庭的幸福和安宁，关系到整个社会的和谐稳定．为了普及安全教育，某市准备组织一次安全知识竞赛．某学校为了选拔学生参赛，按性别采用分层抽样的方法抽取200名学生进行安全知识测试，根据200名同学的测试成绩得到如下表格： 性别 了解安全知识的程度 得分不超过85分的人数 得分超过85分的人数 男生 20 100 女生 30 50 （1）现从得分超过85分的学生中根据性别采用分层随机抽样抽取6名学生进行安全知识培训，再从这6名学生中随机抽取3名学生去市里参加竞赛，求这3名学生中有至少一名女生的概率； （2）根据小概率值的独立性检验，能否推断该校男生和女生在了解安全知识的程度与性别有关？ 附：参考公式，其中． 下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值 a 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） （2）我们认为性别与了解安全知识的程度有关 【解析】 【分析】（1）根据分层抽样性质求出得分超过85分的学生中男生和女生人数，利用对立事件概率公式及古典概型概率公式求3名学生中有至少一名女生的概率； （2）根据列联表求，将所得值与临界值比较大小，确定是否接受假设. 【小问1详解】 200名学生中得分超过85分的人数为150人，其中男生人数为100人，女生人数为50人， 因此按性别进行分层抽样得： 样本中男生人数为：人， 样本中女生人数为：人， 设这3名学生中有至少一名女生为事件，则 ； 【小问2详解】 根据列联表可：， 根据小概率值的独立性检验， 我们认为性别与了解安全知识的程度有关，此推断犯错误的概率不大于0.001． 16. 已知集合． （1）若是的必要不充分条件，求a的取值范围； （2）若，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由必要不充分条件的定义可得集合是集合的真子集，由集合关系列出不等式即可求解. （2）由题可得，分类讨论的范围，求出集合，由集合关系列出不等式即可求解. 【小问1详解】 不等式可化为，所以或， 所以，由于是的必要不充分条件，则集合是集合的真子集， 对于集合，设，其图像是开口向上的抛物线，要满足集合是集合的真子集， 则，即，解得：， 所以a的取值范围为： 【小问2详解】 因为，则 当时， ，满足； 当时，， 要使，则，解得：； 当时，， 要使，则，解得：； 综上：实数m的取值范围为： 17. 已知函数，. （1）讨论关于的不等式的解集； （2）当，时，有，求的最小值. 【答案】（1）答案见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）含参一元二次不等式，首先分解因式，然后讨论根的大小； （2）化简已知方程可得，然后常数代换，转化为均值不等式求解. 【小问1详解】 ， 当时，恒成立； 当时，由，得或； 当时，由，得或. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为或. 【小问2详解】 ，，得， 又，， ， 当且仅当，即，时，等号成立. 的最小值为. 18. 已知定义域为的函数，对于任意的恒有. （1）若，求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1）1； （2）1. 【解析】 【分析】（1）根据给定的抽象函数等式，利用赋值法计算作答. （2）根据给定的抽象函数等式，利用赋值法，结合函数的意义求解作答. 【小问1详解】 因为对于任意的恒有， 则令，得，又，则， 又令，得，即， 因此，， ，， 所以. 【小问2详解】 因为对于任意的恒有， 则令，得，而，有， 令，得，又，则有， 所以. 19. 蝗虫能对农作物造成严重伤害，每只蝗虫的平均产卵数（单位：个）和平均温度（单位：）有关.现收集到一只蝗虫的产卵数（个）和温度的8组观测数据，制成图1所示的散点图.现用两种模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图. 根据收集到的数据，计算得到如下值： 24 2.9 646 168 422688 50.4 70308 表中，，，； （1）根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，模型_____比较合适？根据所选择的模型，利用上表中的参考数据，求出关于的回归方程. （2）根据以往统计，该地每年平均温度达到以上时蝗虫会对农作物造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治.设该地每年平均温度达到以上的概率为，该地今后年恰好需要2次人工防治的概率为. ①求取得最大值时对应的概率； ②当取最大值时，设该地今后5年需要人工防治的次数为，求的均值和方差. 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，. 【答案】（1）模型①，； （2）①；②均值为2，方差为 【解析】 【分析】（1）根据残差点的分布情况即可确定函数模型①的拟合效果较好，将非线性回归转化为线性回归，根据所给数据代入公式即可得回归方程； （2）①由题意表示，利用导数分析函数单调性和最值可得结果； ②由①得每年需要人工防治的概率为，故服从二项分布，根据二项分布的均值和方差公式即可得解． 【小问1详解】 模型①更合适，理由如下： 模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型②带状区域宽度窄， 所以模型①的拟合效果更好，故选模型①比较合适. 令，则， 由所给的参考数据可得，， 所以， 因此关于的线性回归方程为，即， 所以产卵数关于温度的回归方程为． 【小问2详解】 ①由题意得，， 所以 ， 令，得，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以取得最大值时对应的概率； ②由①知，当时，取最大值， 所以当时，， 由题意可知每年需要人工防治的概率为，且服从二项分布， 所以，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黑龙江省海伦市第一中学2025～2026第二学期 高二期中考试数学试题 全卷满分150分，考试时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 学校举行羽毛球、乒乓球和跳绳三项比赛，学生甲只能参加其中一项比赛，他参加羽毛球、乒乓球和跳绳比赛的概率分别为0.4、0.3、0.3，若他在羽毛球、乒乓球和跳绳比赛中获得冠军的概率分别为0.6、0.4、0.5，则该生获得冠军的概率为（ ） A. 0.67 B. 0.58 C. 0.51 D. 0.37 4. 已知集合，，若为的真子集，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知每门大炮击中目标的概率都是0.5，现有10门大炮同时对某一目标各射击一次．记恰好击中目标3次的概率为A；若击中目标记2分，记10门大炮总得分的期望值为B，则A，B的值分别为（ ） A. ，5 B. ，10 C. ，5 D. ，10 6. 已知随机变量X满足，，下列说法正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（    ） A. B. C. D. 8. 2012年国家开始实施法定节假日高速公路免费通行政策，某收费站统计了2021年中秋节前后车辆通行数量，发现该站近几天车辆通行数量，若，则当时下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列各选项给出的两个函数中，表示相同函数的有（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 10. 甲、乙、丙三名钳工加工同一型号的零件，根据以往数据得知甲加工的次品率为6%，乙、丙加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知甲、乙、丙加工的零件数分别占总数的25%、30%、45%，从中任取一个零件进行检查，下列选项正确的有（ ） A. 该零件出自于甲加工的概率为0.25 B. 该零件是次品的概率为0.0525 C. 若该零件是次品，则出自于乙加工的概率为 D. 若该零件是次品，需要对三名钳工进行罚款，则甲、乙、丙的罚款额之比为2：2：3 11. 某人在次射击中击中目标的次数为，，其中，，击中奇数次为事件，则（ ） A. 若，，则取最大值时 B. 当时，取得最小值 C. 当时，n为奇数时，随着的增大而增大 D. 当时，n为偶数时，随着的增大而增大 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域为______. 13. 下表是某饮料专卖店一天卖出奶茶的杯数y与当天气温x（单位：）的对比表，已知表中数据计算得到y关于x的线性回归方程为，则相应于点的残差为________. 气温 5 10 15 20 25 杯数y 26 20 16 14 14 14. 若函数的值域为，则实数的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 溺水、校园欺凌、食品卫生、消防安全、道路交通等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视．学校安全工作事关学生的健康成长，关系到千万个家庭的幸福和安宁，关系到整个社会的和谐稳定．为了普及安全教育，某市准备组织一次安全知识竞赛．某学校为了选拔学生参赛，按性别采用分层抽样的方法抽取200名学生进行安全知识测试，根据200名同学的测试成绩得到如下表格： 性别 了解安全知识的程度 得分不超过85分的人数 得分超过85分的人数 男生 20 100 女生 30 50 （1）现从得分超过85分的学生中根据性别采用分层随机抽样抽取6名学生进行安全知识培训，再从这6名学生中随机抽取3名学生去市里参加竞赛，求这3名学生中有至少一名女生的概率； （2）根据小概率值的独立性检验，能否推断该校男生和女生在了解安全知识的程度与性别有关？ 附：参考公式，其中． 下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值 a 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 已知集合． （1）若是的必要不充分条件，求a的取值范围； （2）若，求实数m的取值范围． 17. 已知函数，. （1）讨论关于的不等式的解集； （2）当，时，有，求的最小值. 18. 已知定义域为的函数，对于任意的恒有. （1）若，求的值； （2）若，求的值. 19. 蝗虫能对农作物造成严重伤害，每只蝗虫的平均产卵数（单位：个）和平均温度（单位：）有关.现收集到一只蝗虫的产卵数（个）和温度的8组观测数据，制成图1所示的散点图.现用两种模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图. 根据收集到的数据，计算得到如下值： 24 2.9 646 168 422688 50.4 70308 表中，，，； （1）根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，模型_____比较合适？根据所选择的模型，利用上表中的参考数据，求出关于的回归方程. （2）根据以往统计，该地每年平均温度达到以上时蝗虫会对农作物造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治.设该地每年平均温度达到以上的概率为，该地今后年恰好需要2次人工防治的概率为. ①求取得最大值时对应的概率； ②当取最大值时，设该地今后5年需要人工防治的次数为，求的均值和方差. 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $