2025-2026学年北师大版数学八年级下学期期末水平调研数学试题

**基本信息** 立足八年级数学核心知识，原创题融入考古测量、智能物流等现实情境，考查抽象能力、几何直观与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|旋转、坐标平移、解直角三角形等|原创题4以考古测量为背景，考查三角函数应用；题6结合智能物流通道，考查角平分线性质| |填空题|6/18|等边三角形、不等式组整数解、分式方程增根等|题16以平行四边形中点构造为载体，融合中点性质与平行四边形判定| |解答题|8/72|尺规作图、几何证明、应用题等|原创题19设计自动驾驶调度站作图，考查垂直平分线与角平分线交点；题21以智能代步车销售为情境，综合分式方程与不等式求最值|

命题双向细目表 2025-2026学年北师大版数学八年级下学期期末水平调研试题 命题双向细目表 题号 考查知识点 题型 分值 难度系数 难度层次 1 图形的旋转（旋转对称图形的识别） 选择题 3 0.85 基础题 2 平面直角坐标系中点的平移 选择题 3 0.85 基础题 3 三角形的外角性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和） 选择题 3 0.80 基础题 4 直角三角形的性质（30°角所对的直角边等于斜边的一半）、等腰三角形的判定与性质 选择题 3 0.75 基础题 5 因式分解与多项式乘法的关系、多项式的系数计算 选择题 3 0.80 基础题 6 角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等）、三角形的内心（三条角平分线的交点） 选择题 3 0.70 中等题 7 一元一次不等式组的解集（无解的条件） 选择题 3 0.70 中等题 8 一次函数的图象与性质、一次函数与一元一次不等式的关系 选择题 3 0.65 中等题 9 三角形中位线定理、垂线段最短、等腰三角形的性质、勾股定理 选择题 3 0.50 较难题 10 勾股定理的逆定理、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质 选择题 3 0.45 较难题 11 等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理 填空题 3 0.80 基础题 12 线段垂直平分线的性质（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）、三角形的周长计算 填空题 3 0.75 基础题 13 一元一次不等式组的整数解、参数的取值范围 填空题 3 0.70 中等题 14 完全平方式的概念、多项式的系数计算 填空题 3 0.80 基础题 15 分式方程的增根、分式方程的解法 填空题 3 0.65 中等题 16 平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理、等边三角形的判定与性质 填空题 3 0.40 较难题 17 一元一次不等式的解法、一元一次不等式组的解法 解答题 6 0.80 基础题 18 分式方程的解法、分式方程的验根 解答题 6 0.75 基础题 19 尺规作图（线段垂直平分线的作法、角平分线的作法） 解答题 8 0.75 基础题 20 角平分线的性质、直角三角形的性质、线段垂直平分线的判定、三角形内角和定理 解答题 8 0.70 中等题 21 分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的最值问题 解答题 10 0.65 中等题 22 因式分解（十字相乘法）、多项式的系数计算、阅读理解型问题 解答题 10 0.60 中等题 23 三角形中位线定理、三角形的三边关系、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质 解答题 12 0.45 较难题 24 一次函数的图象与性质、点的坐标计算、三角形的面积计算、平行四边形的判定与性质、动点问题 解答题 12 0.40 较难题 $ 绝密★启用前 2025-2026学年八年级下学期 期末水平调研数学试题 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求。 1.（原创）下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转后，能与原图形完全重合的是(    ) 2.（原创）点向左平移个单位，再向上平移个单位，则所得到的点的坐标为(    ) A. B. C. D. 3.如图，，，则(    ) A. B. C. D. （3题） （4题） 4.（原创）如图，考古勘测队员想测量一座古塔的高度，在处测得，再往前行进到达处，测得，点，，在同一条直线上，根据测得的数据，可得这座古塔的高度为(    ) A. B. C. D. 5.已知多项式可分解为，则的值为  (    ) A. B. C. D. 6.（原创）如图，直线，，表示三条相互交叉的智慧物流专用通道，现要规划一个 AI 智能分拣中心，要求它到三条通道的距离相等，则供选择的地址有（ ） A. 处 B. 处 C. 处 D. 处 7.若关于的不等式组无解，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 8.如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为(    ) A. B. C. D. 9.如图，在中，，，、分别是、边上的动点，连结，、分别是、的中点，连结，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 10.如图，在中，，，，，，都是等边三角形，下列结论中：；四边形是平行四边形；；四边形正确的个数是(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.如图，是等边三角形的中线，，则          ． 12.如图，在中，，的垂直平分线分别交于点，，垂足分别为，，已知的周长为，则的长为          ． 13.关于的不等式组恰有个整数解，则的取值范围是          ． 14.若是完全平方式，则          ． 15.当          时，关于的方程会产生增根． 16.如图，在平行四边形中，点，分别是，边的中点，延长至点，使，以，为边向平行四边形外构造平行四边形，连接交于点，连接若，，则的长为          ． 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.（本小题6分） 解不等式组                  18.（本小题6分） 解方程： ． ． 19.（原创）本小题分 如图，OA和 OB是两条自动驾驶测试专用道路，C，D 表示两个无人车停靠点，现要建造一个自动驾驶调度指挥站 P（位于∠AOB 的内部），使指挥站到两个停靠点的距离相等，且指挥站到 OA和 OB两条道路的距离也相等，那么指挥站应建造在什么位置（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）？ 20.本小题分 如图，在中，，平分，于点． 若，求的度数； 求证：直线是线段的垂直平分线． 21.（原创）本小题分 “智能出行，低碳节能” 的理念已广泛普及，某数码门店售卖 A、B 两款智能电动代步车，A 型车售价为 1500元/辆，B 型车售价为2000元/辆； (1) 已知一辆 A 型车的进价比一辆 B 型车进价少 300 元，店主第三周备货时，用48000元购进A型代步车的数量与用 60000 元购进 B 型代步车的数量相等，求 A、B 两款代步车的进货单价分别是多少元？ (2) 若计划第四周售出 A、B 两款智能代步车共 25 辆，其中 B 型车的销量大于 A 型车销量，且不超过 A 型车销量的 2 倍。该门店售出 A 型、B 型车各多少辆时，第四周总利润最大？最大利润是多少元？ 22.本小题分综合与实践． 【提出问题】你能把多项式因式分解吗 【探究问题】已知，将该式从右到左使用，就可以对形如的多项式进行因式分解，即观察多项式的特征是二次项系数为，常数项为两数之积，一次项系数为两数之和． 【解决问题】． 【知识运用】 把多项式进行因式分解 若可分解为两个一次因式的积，则整数的所有可能值是           【知识迁移】对多项式进行因式分解还可以这样思考：将二次项分解成图中的两个的积，再将常数项分解成与的乘积，图中的对角线上的乘积的和为，就是的一次项，所以有这种分解因式的方法叫做“十字相乘法” 请用十字相乘法进行因式分解：． 23.本小题分 【三角形中位线定理】 已知：如图，在中，点，分别是边，的中点直接写出和的关系 【应用】如图，在四边形中，点，分别是边，的中点，若，，，，求的度数 【拓展】 如图，在四边形中，与相交于点，点，分别为，的中点，分别交，于点，，． 求证：． 24.本小题分 如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，为的中点，点在线段上，，为线段上一动点，连接，，。 求线段的长。 若的面积为，求点的坐标。 在的条件下，点在轴上，点在直线上，是否存在以，，，为顶点的四边形为平行四边形若存在，直接写出点的坐标若不存在，请说明理由。 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 参考答案与解析 一、选择题： 1.【答案】A  2.【答案】D  3.【答案】A  4.【答案】B  5.【答案】C  【解析】因为， 而可分解为，  所以，故选C． 6.【答案】D  【解析】满足条件的地址有：三条直线构成的三角形的内角平分线的交点，共处；三条直线构成的三角形的两条外角平分线的交点，共处． 7.【答案】A  【解析】解：不等式组无解， ， 解得：， 故选：． 利用不等式组取解集的方法，根据不等式组无解求出的范围即可． 此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组取解集的方法是解本题的关键． 8.【答案】D  9.【答案】A  10.【答案】B  【解析】由，得出，故正确；再由证得，得，【详解】解：，，，， ， 是直角三角形，， ，故正确； ，都是等边三角形， ， ， 和都是等边三角形， ，，， ， 在与中， ， ， 同理可证：， ， 四边形是平行四边形，故正确； ，故错误； 过作于，如图所示： 则， 四边形是平行四边形， ， ， ，故错误； 正确的个数是个， 故选：． 二、填空题： 11.【答案】  【解析】【分析】 此题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用． 由是等边三角形的中线，根据等边三角形中：三线合一的性质，即可求得，，又由，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得的度数，继而求得答案． 【解答】解：是等边三角形的中线， ，， ． ， ， ． 12.【答案】  13.【答案】  14.【答案】  【解析】解：是完全平方式， ， 故答案为： 利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出的值． 此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解本题的关键． 15.【答案】或  【解析】原方程：， 最简公分母为， 两边乘以最简公分母得， 整理得，即． 若增根为，代入整式方程，解得， 若增根为，代入整式方程，解得， 故当或时，方程会产生增根． 16.【答案】  【解析】如图，连接，．四边形是平行四边形，，，．点，分别是，边的中点，，四边形，四边形是平行四边形． ，，四边形是平行四边形，．，，是等边三角形． ，，，，三点共线，，在和中，，故答案为． 三、计算题： 17.【答案】解：去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 系数化为得：； 由不等式移项得：， 解得：， 由不等式去括号得：， 解得：， 所以，不等式组的解集为．  【解析】此题主要考查了一元一次不等式和一元一次不等式组的解法，不等式组取解集的方法为：“同大取大”；“同小取小”；“大大小小无解”；“大小小大取中间”． 18.【答案】(1)解：方程两边都乘(x-1)(2x+1)，得2x+1＝3(x-1)．解得x＝4．检验：当x＝4时，(x-1)(2x+1)≠0，∴x＝4是原方程的根．  (2)方程两边都乘(3+x)(3-x)，得18-x(3+x)＝(3+x)(3-x)．解得x＝3．检验：当x＝3时，(3+x)(3-x)＝0，∴x＝3是原方程的增根．∴原方程无解．  四、解答题： 19.【答案】解：如图，点即为所求．  20.【答案】(1)解：∵∠BAC＝50°，AD平分∠BAC，∴．∵ DE⊥AB，∴∠AED＝90°．∴∠EDA＝90°-25°＝65°  (2)∵DE⊥AB，∴∠AED＝∠ACB＝90°．又∵AD平分∠BAC，∴∠DAE＝∠DAC．∵AD＝AD，∴△AED≌△ACD（AAS）．∴AE＝AC．∵AD平分∠BAC，∴AD⊥CE，AD平分线段EC，即直线AD是线段CE的垂直平分线  21.【答案】解：设型车的进货单价是元，则型车的进货单价是元，  根据题意得：，  解得：，  经检验，是所列方程的解，且符合题意，  元  答：型车的进货单价是元，型车的进货单价是元；  设第四周售出辆型车，则售出辆型车，  根据题意得：，  解得：，  设第四周的总利润为元，则，  即，  ，  随的增大而减小，  又，且为正整数，  当时，取得最大值，最大值为，此时  答：该专卖店第四周售出辆型车，辆型车时，总利润最大，最大利润是元．  【解析】解：设型车的进货单价是元，则型车的进货单价是元，  根据题意得：，  解得：，  经检验，是所列方程的解，且符合题意，  元  答：型车的进货单价是元，型车的进货单价是元；  设第四周售出辆型车，则售出辆型车，  根据题意得：，  解得：，  设第四周的总利润为元，则，  即，  ，  随的增大而减小，  又，且为正整数，  当时，取得最大值，最大值为，此时  答：该专卖店第四周售出辆型车，辆型车时，总利润最大，最大利润是元． 本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式． 22.【答案】(1)解:（1)-5x-24 =+(3-8)x+3(-8) =(x+3)(x-8). (2)9或6  (3)3-19x-14 =x3x+(-73+21)x+(-7)2 =(x-7)(3x+2).  23.【答案】(1)DE//BC,DE=BC; 理由:点D,E分别是边AB,AC的中点, DE是ABC的中位线, DE//BC,DE=BC;  (2)连接BD,如图所示, E,F分别是边AB,AD的中点, EF//BD,BD=2EF=4, ADB=AFE=, BC=5,CD=3, B+C=25,B=25, B+C=B, BDC=, ADC=ADB+BDC=;  (3)取DC的中点H,连接MH,NH. M,H分别是AD,DC的中点, MH是ADC的中位线, MH//AC且MH=AC(三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半), 同理可得NH//BD且NH=BD. EF=EG, EFG=EGF, MH//AC,NH//BD, EFG=HMN,EGF=HNM, HMN=HNM, MH=NH, AC=BD. 24.【答案】(1)解:直线y=-x+4交y轴于点B, B(0,4)。OB=4。C为OB的中点,OC=2。令y=0,则-x+4=0,解得x=8。A(8,0)。 OD=3AD,OD=6。在RtOCD中,根据勾股定理,得CD==2。  (2)设点E(t,-t+4)。 OB=4,OA=8,=48=16。BC=2,OD=6,AD=2,=2t=t,=26=6,=2(-t+4)=-t+4。=---,16-t-6-(-t+4)=4,解得t=4。点E的坐标为(4,2)。  (3)存在以D,E,P,Q为顶点的四边形为平行四边形。设直线CD的表达式为y=kx+b(k0)。易得C(0,2),D(6,0)。 将点C(0,2),D(6,0)的坐标代入,得 解得 直线CD的表达式为y=-x+2。 设点P(0,m),Q(n,-n+2)。 点D(6,0),E(4,2), ①当四边形以DE,PQ为对角线时, 解得点Q(10,-)。 ②当四边形以DP,EQ为对角线时, 解得 点Q(2,)。 ③当四边形以DQ,PE为对角线时, 解得点Q(-2,)。 综上所述,满足条件的点Q的坐标为(10,-)或(2,)或(-2,)。   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $