精品解析：2026年河北省石家庄市中考二模考试数学试题

2026年初中毕业年级教学质量检测二数学 注意事项： 1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图是某古筝调音器软件的界面，指针指在0处为标准音，不需要调弦．指针指向40表示音调偏高，需放松琴弦．下列指针指向的数字中表示需拧紧琴弦，且最接近标准音的是（ ） A. B. 20 C. D. 2. 中国瓷器以“技术+文化”为双驱动，在国际市场保持核心竞争力．如图，是白釉暗刻龙纹高足杯，下面说法正确的是（ ） A. 主视图和俯视图相同 B. 主视图和左视图相同 C. 左视图和俯视图相同 D. 主视图、左视图和俯视图都相同 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，分别为，的中点，点是线段上的点，且，若，，则的长为（ ） A. 1 B. 1.5 C. 1.6 D. 2 5. 如图为嘉淇在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜后反射入眼；若；，，则入射角的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 已知、是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. -3 B. 1 C. D. 7. 如图是某校一张餐桌的示意图，学生甲先坐在座位，陪餐老师和学生乙在，，三个座位中随机选择两个座位．则陪餐老师和学生乙坐在正对面的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 《孙子算经》中记载：“量之所起，起于粟．六粟为一圭，十圭为一撮，十撮为一抄，十抄为一勺，十勺为一合…”可知：6粟圭，10圭撮，10撮抄，10抄勺，10勺合，则9合为（ ） A. 粟 B. 粟 C. 粟 D. 粟 9. 古代用漏壶计时，水匀速滴出，水位均匀下降；某漏壶开始时水深30厘米，2小时后水深26厘米．设从开始到水深变为20厘米共经过小时，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正六边形的边长为2，正六边形的外接圆与正六边形的各边相切，正六边形的外接圆与正六边形的各边相切……按这样的规律进行下去，的边长为（ ） A. B. 2 C. D. 1 11. 如图，在矩形中，，，点为边上一点，将翻折，使点落在边上的点处，折痕为．点为边上一点，将翻折，使点落在边上的点处，折痕为，则（ ） A. B. 8 C. D. 12. 如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图．若正方形硬纸板的边长为，则折成立方体的棱长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 计算= _________________． 14. 如图，分别是数轴上的两点，点表示的数是，点表示的数是5．定义：已知点是线段上的一个点，若点到线段两个端点的距离之比为，则称点为线段的“理想点”．则线段的“理想点”表示的数为_____． 15. 一个正数的平方根分别是和，则__． 16. 如图，线段，点从点出发，点从点出发，都以每秒1个单位长度的速度沿直线运动，其中向点运动，向点运动，两点分别到达点、点时停止运动．以为一边的矩形面积始终为6．设点的运动时间为秒，之间的距离为，的长度为．在平面直角坐标系中，以为横坐标、为纵坐标，得到和随变化的图像．当时，设这两个函数的图像与直线所围成的封闭图形为（包括边界）．在封闭区域中的格点（横、纵坐标都是整数的点）中，恰好在或图像上的个数为_____个． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算、解不等式组： （1）； （2）． 18. “洛书”，是世界上最早的矩阵，又称幻方．“幻方”需要满足的条件是每一行、每一列和每条对角线上各个数之和都相等． 表1 表2 表3 4 2 1 8 ？ 3 0 5 4 根据题意回答： （1）表1三阶幻方中间的数字是_____； （2）设表2三阶幻方中间的数字是， ①用含的代数式表示幻方中9个数的和； ②每一行、每一列、每条对角线三数之和等于中间数的_____倍； ③求第一行中间的代数式； （3）类比于“幻方”，表3是一个每一行、每一列和每条对角线上各个数之积都相等的“三阶积幻方”，根据表格信息求． 19. 如图，在四边形中，，点为中点，直线分别交，的延长线于点，，分别交，，于点，，． （1）求证：； （2）若为的四等分点，当时，求的值． 20. “赋能，改变生活”，行业的兴起为各行各业带来了前所未有的创新和变革．某科技公司为了了解甲款软件的使用效果，随机抽取10名软件工程师和名各行业普通使用者做评委，对甲款软件的使用效果进行评分（评分用表示，单位：分），并对他们的评分结果进行整理、描述、分析，得到如下部分信息： a．软件工程师评分：82 83 85 88 90 90 90 91 95 96 b．普通使用者的评分整理后分成5组，A组：，B组：，C组：，D组：，E组：，并绘制成如图12的频数分布直方图和扇形统计图． c．评委评分平均数、中位数、众数如下表： 平均数 中位数 众数 软件工程师评分 90 普通使用者评分 91 91 根据以上信息，回答下列问题： （1）_____，_____，_____； （2）b的值位于____组，请补全频数分布直方图； （3）在扇形统计图中，E组所对应的扇形圆心角的度数为_____； （4）为了让使用者对软件有更多的了解，该科技公司再次组织这10名软件工程师和名普通使用者考察乙款软件．已知软件工程师和普通使用者评委对乙款软件打分的平均数分别为87分，92分．若软件工程师打分（取平均数）占，普通使用者打分（平均数）占，确定甲、乙两款软件的最终得分，如果只比较两款软件的最终得分，请通过计算说明哪款软件更受欢迎？ 21. 某大型摩天轮如图1所示，摩天轮共设有28个轿厢（大小忽略不计），把摩天轮看作，摩天轮依靠等腰三角形钢架支撑固定于地面上，如图2所示，已知，，轿厢旋转至最低点距离地面高度为，摩天轮匀速旋转一圈用时． （1）求支架固定点距离地面的高度；（，，，结果保留整数） （2）某轿厢从点出发，后到达点，此过程中，该轿厢所经过的路径长为多少；（结果保留） （3）要在摩天轮上安装一条彩灯（为线段，如图3），彩灯到劣弧的中点的距离为，求彩灯的长度． 22. 杆秤是中国传统的不等臂杠杆式称重工具，是古代度量衡的代表．如图，杆秤由秤杆、秤砣、秤盘、提纽组成．秤盘固定悬挂在秤杆的端点处，提纽固定在点处，秤砣悬挂的位置记为点．杆秤称物符合杠杆原理“动力动力臂阻力阻力臂”． 设秤盘的质量为，秤砣的质量为，物体的质量为，，．根据杠杆原理、可得： ．（秤杆自身的质量忽略不计，秤砣可以悬挂在点处．） （1）已知一款秤杆长度，提纽到秤盘固定点距离； ①根据题意，求出关于的函数表达式； ②在秤杆上可以标出质量的刻度，求零刻度所对应的点与点之间的距离； （2）在（1）的条件下．由于秤砣生锈，秤砣的质量会变大，导致杆秤称物的质量有偏差．用生锈的秤砣称得一个物体的质量为，若该物体的实际质量为，求生锈秤砣的质量； （3）若杆秤可用长度，为保证杆秤的最大刻度不小于，请计算的取值范围． 23. 【情境】如图1，有一张的铁板，经测量可知，，的面积为24． 【操作】点是上的一动点（点与点，不重合）．将平行四边形铁板分别沿，剪成三块，并按图2所示拼接成钻石五边形（注：图2中的①，②是将图1中的①，②翻转背面朝上，再拼接而成的）． （1）【探究】问题1：在中，______； （2）问题2：当切割线与相互垂直时，请利用尺规作图在图3中确定点位置；（不写作法，保留作图痕迹） （3）【拓展】问题3：当点是的中点时，求的长； （4）问题4：当点在的什么位置上时，的长最小？请求出这个最小值． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点．（点在点右侧），与轴交于点，已知抛物线的顶点为，．过，两点作直线． （1）求抛物线的解析式； （2）已知直线在点下方、将抛物线在直线上方的部分沿直线翻折，使点落在点处，抛物线剩余部分与翻折后得到的图形组成“M”形图案； ①当时，在图形位于轴上方的部分是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由； ②当点落在内部（含边界）时，求的取值范围． ③当时，将直线向下平移个单位长度，得到直线，当直线与“M”形图案恰有4个公共点时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中毕业年级教学质量检测二数学 注意事项： 1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图是某古筝调音器软件的界面，指针指在0处为标准音，不需要调弦．指针指向40表示音调偏高，需放松琴弦．下列指针指向的数字中表示需拧紧琴弦，且最接近标准音的是（ ） A. B. 20 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正负数的意义以及绝对值，根据题意得到负数表示音调偏低，需拧紧琴弦，排除错误选项，再通过比较数值与0的距离来判断即可． 【详解】解：指针指向40表示音调偏高，需放松琴弦， 正数表示音调偏高，需放松琴弦， 负数表示音调偏低，需拧紧琴弦， 与音准0的距离为，与音准0的距离为，与音准0的距离为， 指针指在0处为标准音，且2最小， 最接近标准音的是． 2. 中国瓷器以“技术+文化”为双驱动，在国际市场保持核心竞争力．如图，是白釉暗刻龙纹高足杯，下面说法正确的是（ ） A. 主视图和俯视图相同 B. 主视图和左视图相同 C. 左视图和俯视图相同 D. 主视图、左视图和俯视图都相同 【答案】B 【解析】 【分析】根据图形得到其三视图，进而问题可求解． 【详解】解：由图可知：该白釉暗刻龙纹高足杯的主视图和左视图相同，故B选项符合题意． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：选项A，，A错误． 选项B，，B错误． 选项C，∵与不是同类项，不能合并，C错误． 选项D，，D正确． 4. 如图，在中，，分别为，的中点，点是线段上的点，且，若，，则的长为（ ） A. 1 B. 1.5 C. 1.6 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理求出，根据直角三角形的性质求出，计算即可． 【详解】解：∵D、E分别为，的中点，， ∴， ∵， ∵D为的中点，， ∴， ∴． 5. 如图为嘉淇在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜后反射入眼；若；，，则入射角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质得出，结合图形根据角的和差即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 6. 已知、是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. -3 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出两根和与两根积，代入计算即可得到结果． 【详解】解：、是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴ ． 7. 如图是某校一张餐桌的示意图，学生甲先坐在座位，陪餐老师和学生乙在，，三个座位中随机选择两个座位．则陪餐老师和学生乙坐在正对面的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了古典概型的概率计算，通过列出陪餐老师和学生乙在，，三个座位中随机选择两个座位的所有情况，再利用概率公式即可求解． 【详解】解：陪餐老师和学生乙在，，三个座位中随机选择两个座位， 所有可能的排列如下： 老师，学生乙； 老师，学生乙； 老师，学生乙； 老师，学生乙； 老师，学生乙； 老师，学生乙； 共种等可能的情况， 只有当老师和学生乙坐在和时，才满足正对面的情况，则符合情况的有： 老师，学生乙； 老师，学生乙； 则陪餐老师和学生乙坐在正对面共种情况， ． 8. 《孙子算经》中记载：“量之所起，起于粟．六粟为一圭，十圭为一撮，十撮为一抄，十抄为一勺，十勺为一合…”可知：6粟圭，10圭撮，10撮抄，10抄勺，10勺合，则9合为（ ） A. 粟 B. 粟 C. 粟 D. 粟 【答案】B 【解析】 【分析】根据题目给出的单位进率逐步换算得到9合对应的粟数，再写成科学记数法的形式即可． 【详解】解：9合勺勺抄抄撮撮圭圭粟粟， 粟． 9. 古代用漏壶计时，水匀速滴出，水位均匀下降；某漏壶开始时水深30厘米，2小时后水深26厘米．设从开始到水深变为20厘米共经过小时，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】水匀速滴出，单位时间内下降的水位深度不变，利用下降速度相等列方程即可． 【详解】解：由题意得，． 10. 如图，正六边形的边长为2，正六边形的外接圆与正六边形的各边相切，正六边形的外接圆与正六边形的各边相切……按这样的规律进行下去，的边长为（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】连接，根据正六边形的性质可得为等边三角形，再结合切线的性质可得，从而得到，从而得到正六边形的边长，同理得到正六边形的边长，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵六边形为正六边形， ∴，， ∴为等边三角形， ∵正六边形的外接圆与正六边形的各边相切， ∴， ∴， ∴， ∴正六边形的边长为， 同理正六边形的边长为 ， ……， 正六边形的边长为． 11. 如图，在矩形中，，，点为边上一点，将翻折，使点落在边上的点处，折痕为．点为边上一点，将翻折，使点落在边上的点处，折痕为，则（ ） A. B. 8 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用翻折的性质可得，推出，，设，中，由勾股定理求出，设，在中，由勾股定理求出，由此即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 由翻折的性质可知：，，，， ∴， 在中，， ∴， 设，在中有：， ∴， 设，在中，， ∴， ∴， ∴． 12. 如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图．若正方形硬纸板的边长为，则折成立方体的棱长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、几何体展开图的认识以及勾股定理，通过设，根据勾股定理在中有，在中，即可求出的值进行解答． 【详解】解：如图，正方形硬纸板的边长为， 设， ， ， ， ， 在中，由勾股定理可得：， ， 解得：或（负值舍去）， 立方体的棱长． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 计算= _________________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据平方差公式计算，即可求解． 【详解】解： 故答案为： 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，灵活利用平方差公式计算是解题的关键． 14. 如图，分别是数轴上的两点，点表示的数是，点表示的数是5．定义：已知点是线段上的一个点，若点到线段两个端点的距离之比为，则称点为线段的“理想点”．则线段的“理想点”表示的数为_____． 【答案】或1 【解析】 【分析】设“理想点”P表示的数为x，分两种情况当时和当时，根据“理想点”的定义列出关于x的一元一次方程求解即可得出答案． 【详解】解：设“理想点”P表示的数为x， 当时， ， ， ； 当时， ， ， ； 综上，P表示的数为或1． 15. 一个正数的平方根分别是和，则__． 【答案】2． 【解析】 【分析】根据正数的两个平方根互为相反数可得关于x的方程，解方程即可得． 【详解】根据题意可得：x+1+x﹣5=0， 解得：x=2， 故答案为2． 【点睛】本题主要考查了平方根的定义和性质，熟练掌握平方根的定义和性质是解题的关键． 16. 如图，线段，点从点出发，点从点出发，都以每秒1个单位长度的速度沿直线运动，其中向点运动，向点运动，两点分别到达点、点时停止运动．以为一边的矩形面积始终为6．设点的运动时间为秒，之间的距离为，的长度为．在平面直角坐标系中，以为横坐标、为纵坐标，得到和随变化的图像．当时，设这两个函数的图像与直线所围成的封闭图形为（包括边界）．在封闭区域中的格点（横、纵坐标都是整数的点）中，恰好在或图像上的个数为_____个． 【答案】6 【解析】 【分析】根据已知条件分别求出和的表达式，然后结合t的取值范围，找出封闭区域G中的格点，并判断这些格点是否在或的图像上． 【详解】解：∵点从点出发，点从点出发，都以每秒1个单位长度的速度沿直线运动，，点的运动时间为秒， 当时，，，则 ，即； 当时，，，则, 即 ； 因为矩形的面积始终为6，，根据矩形面积公式， ∴，即， 如图， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 则在封闭区域中的格点（横、纵坐标都是整数的点）中，恰好在或图像上的点为，，，，，，共6个点． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算、解不等式组： （1）； （2）． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1）根据的余弦值，绝对值的化简，以及正整数指数幂的运算求解即可； （2）根据一元一次不等式组的解法求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 解不等式①得 解不等式②得， 则不等式组的解集为． 18. “洛书”，是世界上最早的矩阵，又称幻方．“幻方”需要满足的条件是每一行、每一列和每条对角线上各个数之和都相等． 表1 表2 表3 4 2 1 8 ？ 3 0 5 4 根据题意回答： （1）表1三阶幻方中间的数字是_____； （2）设表2三阶幻方中间的数字是， ①用含的代数式表示幻方中9个数的和； ②每一行、每一列、每条对角线三数之和等于中间数的_____倍； ③求第一行中间的代数式； （3）类比于“幻方”，表3是一个每一行、每一列和每条对角线上各个数之积都相等的“三阶积幻方”，根据表格信息求． 【答案】（1）1 （2）①幻方中9个数的和为 ②3③第一行中间代数式为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据每一行各个数之和都相等，求解即可； （2）①求出第三列三个数的和，即可解决问题； ②由①可得结论； ③用这一行的和减去第一、三的式子，可得中间的代数式； （3）根据每一行、每一列和每条对角线上各个数之积都相等，列出方程，解方程，即可解决问题； 【小问1详解】 解：由题意可知，， ∴， 【小问2详解】 解：①幻方中9个数的和为 ， ②由①知每一行、每一列、每一对角线三数之和等于中间数的3倍 ③第一行中间代数式为： 【小问3详解】 解：∵横、竖、斜三数之积均相等， ， 解得：，， ； 19. 如图，在四边形中，，点为中点，直线分别交，的延长线于点，，分别交，，于点，，． （1）求证：； （2）若为的四等分点，当时，求的值． 【答案】（1）证明：∵点为中点， ， ， ， 在和中，， ， （2） 【解析】 【分析】（1）利用“”证明即可； （2）根据四等分点先求出，再证明即可求出、之间的关系，问题随之得解． 【小问1详解】 解析略 【小问2详解】 解：， ． 、、为的四等分点， ， ， ． ， ， ， ， ， ． 20. “赋能，改变生活”，行业的兴起为各行各业带来了前所未有的创新和变革．某科技公司为了了解甲款软件的使用效果，随机抽取10名软件工程师和名各行业普通使用者做评委，对甲款软件的使用效果进行评分（评分用表示，单位：分），并对他们的评分结果进行整理、描述、分析，得到如下部分信息： a．软件工程师评分：82 83 85 88 90 90 90 91 95 96 b．普通使用者的评分整理后分成5组，A组：，B组：，C组：，D组：，E组：，并绘制成如图12的频数分布直方图和扇形统计图． c．评委评分平均数、中位数、众数如下表： 平均数 中位数 众数 软件工程师评分 90 普通使用者评分 91 91 根据以上信息，回答下列问题： （1）_____，_____，_____； （2）b的值位于____组，请补全频数分布直方图； （3）在扇形统计图中，E组所对应的扇形圆心角的度数为_____； （4）为了让使用者对软件有更多的了解，该科技公司再次组织这10名软件工程师和名普通使用者考察乙款软件．已知软件工程师和普通使用者评委对乙款软件打分的平均数分别为87分，92分．若软件工程师打分（取平均数）占，普通使用者打分（平均数）占，确定甲、乙两款软件的最终得分，如果只比较两款软件的最终得分，请通过计算说明哪款软件更受欢迎？ 【答案】（1）40，89，90 （2）C， （3）36 （4）甲款软件更受欢迎 【解析】 【分析】（1）由C组人数及其所占百分比可得总人数，根据平均数和众数的定义可得、的值； （2）根据中位数的定义及频数分布直方图可得的值位于C组；由各组人数之和等于总人数求出E这组人数，从而补全图形； （3）用乘以E组人数所占比例即可； （4）根据加权平均数的定义求解即可． 【小问1详解】 解：， 软件工程师评分平均数， 软件工程师评分中，90出现的次数最多， 所以软件工程师评分众数； 【小问2详解】 解：名各行业普通使用者，则其中位数是第20、21位数的平均数，由频数分布直方图可知，b的值位于C组； （人）， 补全频数分布直方图如图所示； 【小问3详解】 解：E组对应的扇形圆心角的度数为； 【小问4详解】 解：甲款软件最终得分：（分）， 乙款软件最终得分：（分）， ， ∴甲款软件更受欢迎． 21. 某大型摩天轮如图1所示，摩天轮共设有28个轿厢（大小忽略不计），把摩天轮看作，摩天轮依靠等腰三角形钢架支撑固定于地面上，如图2所示，已知，，轿厢旋转至最低点距离地面高度为，摩天轮匀速旋转一圈用时． （1）求支架固定点距离地面的高度；（，，，结果保留整数） （2）某轿厢从点出发，后到达点，此过程中，该轿厢所经过的路径长为多少；（结果保留） （3）要在摩天轮上安装一条彩灯（为线段，如图3），彩灯到劣弧的中点的距离为，求彩灯的长度． 【答案】（1）支架固定点距离地面的高度约为； （2）该轿厢所经过的路径长度为 ； （3）彩灯的长度为 ． 【解析】 【分析】（1）延长交于点，解，可求出； （2）先求出摩天轮半径，再求出，最后根据弧长公式求出结果即可； （3）连接交于点，连接，根据勾股定理和垂径定理的推论求解即可． 【小问1详解】 解：延长交于点， 在中，，， ， ∴ ， 解得 ， 答：支架固定点距离地面的高度约为． 【小问2详解】 解：由题意得， ∴半径 ， ∵摩天轮匀速旋转一圈用时，轿厢从点出发，后到达点， ∴ ， ∴． 答：该轿厢所经过的路径长度为 ． 【小问3详解】 解：连接交于点，连接， ∵点为劣弧的中点， ∴，， ∵ ， ， ∴ ， 在中，， ∴， ∴， 答：彩灯的长度为 ． 22. 杆秤是中国传统的不等臂杠杆式称重工具，是古代度量衡的代表．如图，杆秤由秤杆、秤砣、秤盘、提纽组成．秤盘固定悬挂在秤杆的端点处，提纽固定在点处，秤砣悬挂的位置记为点．杆秤称物符合杠杆原理“动力动力臂阻力阻力臂”． 设秤盘的质量为，秤砣的质量为，物体的质量为，，．根据杠杆原理、可得： ．（秤杆自身的质量忽略不计，秤砣可以悬挂在点处．） （1）已知一款秤杆长度，提纽到秤盘固定点距离； ①根据题意，求出关于的函数表达式； ②在秤杆上可以标出质量的刻度，求零刻度所对应的点与点之间的距离； （2）在（1）的条件下．由于秤砣生锈，秤砣的质量会变大，导致杆秤称物的质量有偏差．用生锈的秤砣称得一个物体的质量为，若该物体的实际质量为，求生锈秤砣的质量； （3）若杆秤可用长度，为保证杆秤的最大刻度不小于，请计算的取值范围． 【答案】（1）①；②零刻度所对应的点与点之间的距离为 （2）生锈秤砣的质量为 （3） 【解析】 【分析】（1）①根据公式代入已知数量可得答案；②由零刻度时， ，即可求解； （2）根据题意可得当一个物体的质量为，，设生锈的秤砣的质量为，可得 ，即可求解； （3）把 ，代入，可得 ，从而得到越大，越小，即可求解． 【小问1详解】 解：① ，，， ， ． ②∵零刻度时， ， ． ∴零刻度所对应的点与点之间的距离为． 【小问2详解】 解：∵当一个物体的质量为， ， ， 设生锈的秤砣的质量为， ， 解得：， ∴生锈秤砣的质量为． 【小问3详解】 解：由题意得： ，代入．得： ， ， ， 越大，越小， 当时，， ． 23. 【情境】如图1，有一张的铁板，经测量可知，，的面积为24． 【操作】点是上的一动点（点与点，不重合）．将平行四边形铁板分别沿，剪成三块，并按图2所示拼接成钻石五边形（注：图2中的①，②是将图1中的①，②翻转背面朝上，再拼接而成的）． （1）【探究】问题1：在中，______； （2）问题2：当切割线与相互垂直时，请利用尺规作图在图3中确定点位置；（不写作法，保留作图痕迹） （3）【拓展】问题3：当点是的中点时，求的长； （4）问题4：当点在的什么位置上时，的长最小？请求出这个最小值． 【答案】（1）135 （2） （3） （4）当时，的长最小，长的最小值是 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形对平行的性质即可求解． （2）根据过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图法作图即可． （3）连接交于P，根据平行四边形的性质得到，即点P是的中点，过D作于H，于E，根据三角形的中位线的性质得到，，根据已知条件得到，解直角三角形即可得到结论． （4）（2）由题意得，，，于是得到，当时，的长最小，过D作于H，根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式得到，根据勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：略； 【小问3详解】 解：连接交于， ∵四边形是平行四边形， ，即点是的中点， 过作于，于， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问4详解】 解：由题意得，，， ， ， 当时，的长最小， 过作于， 由问题3求得， ， ， ， ， ， ， 长的最小值是． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，三角形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点．（点在点右侧），与轴交于点，已知抛物线的顶点为，．过，两点作直线． （1）求抛物线的解析式； （2）已知直线在点下方、将抛物线在直线上方的部分沿直线翻折，使点落在点处，抛物线剩余部分与翻折后得到的图形组成“M”形图案； ①当时，在图形位于轴上方的部分是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由； ②当点落在内部（含边界）时，求的取值范围． ③当时，将直线向下平移个单位长度，得到直线，当直线与“M”形图案恰有4个公共点时，请直接写出的值． 【答案】（1） （2）①存在，点坐标为或； ②当点落在内部（含边界）时，； ③ 【解析】 【分析】（1）设该抛物线的解析式为，把点代入解答即可； （2）①先求出点，根据，可得，再求出当时，翻折后部分得到的图形所在的抛物线的解析式，即可求解； ②求出直线的解析式为，设点的坐标为，则，再求出当点落在上时，当点落在上时，t的值，即可求解； ③求出当时，翻折后得到的图形所在的抛物线的解析式，直线的解析式，然后求出当直线过点时， 当直线与翻折后部分得到的图形只有一个交点时，n的值，即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点为， ∴可设该抛物线的解析式为， ∵， ∴点， 把点代入得： ，解得：， ∴该抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：①存在， 对于， 当时，， 解得：， ∴点， ∴， ∵， ∴， ∴， 对于，当时，， 解得，， 点坐标为或； 由折叠的性质得：点， ∴当时，翻折后部分得到的图形所在的抛物线的解析式为， 此时图象开口向上，顶点坐标为，图象最低点的纵坐标为， 所以翻折后出现的函数图像部分不存在点， 综上所述，点H的坐标为或； ②设直线的解析式为，经过， 当时，，当时，， ， 设点的坐标为， ∵点，关于直线对称， ， ． 对于，当时，， ∴当点落在上时，，解得； 当点落在上时，，解得． ∴当点落在内部（含边界）时，； ③当时，由折叠的性质得：点， 此时翻折后得到的图形所在的抛物线的解析式为． 由②得：直线l的解析式为， ∵将直线向下平移个单位长度，得到直线， ∴直线的解析式为：， 当直线过点时，， 此时， 当直线与翻折后部分得到的图形只有一个交点时， 联立：得：， 整理得：， 此时 ， 解得：， ∴当直线与“M”形图案恰有4个公共点时，n的取值范围为． 第1页/共1页 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