精品解析：河南省部分学校2025-2026学年高二下学期5月检测数学试题（B卷）

高二数学（B卷） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，若，则（ ） A. B. 4 C. D. 6 2. 已知椭圆的短轴的长为6，则该椭圆的离心率（ ） A. B. C. D. 3. 若圆与圆交于M，N两点，则直线MN的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 4. 过点作圆 的两条切线，切点分别为，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 在空间直角坐标系中，三棱锥的四个顶点的坐标分别为，若该三棱锥的四个顶点均在球M的表面上，则球M的表面积为（ ） A. 8π B. 9π C. 11π D. 14π 6. 已知随机变量，若，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 某航天任务计划从5名备选航天员（包括甲、乙）中选派4人执行空间站作业，分别负责机械臂操作、舱外维护、数据监测三项不同的工作，其中数据监测需要2人负责，机械臂操作与舱外维护各需要1人负责．若甲、乙必须入选且不能从事同一项工作，则不同的安排方案共有（ ） A. 30种 B. 45种 C. 60种 D. 90种 8. 已知函数，若，则的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数 ，其中是在处的导数值，则下列结论正确的有（ ） A. B. 的单调递减区间为 C. 的极小值为1 D. 在上的最大值为3 10. 一袋中装有6个盲盒，盒内分别印有福州三坊七巷、厦门鼓浪屿、福建土楼三种图案，数量分别为3，2，1，盲盒除内部图案不同，其余均相同．每次从中随机抽取1个盲盒，抽后不放回，连续抽取两次．设事件A为“第一次抽到福州三坊七巷盲盒”，事件B为“第二次抽到厦门鼓浪屿盲盒”，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 设数列满足，其中．数列满足，数列的前项和记作，则下列说法正确的有（ ） A. B. 与均为数列的最大项 C. 的最小值为28 D. 数列的前200项的和为100 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数为__________． 13. 已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于两点，若，则___________ 14. 某科技公司举办智能机器人挑战赛，赛场上有甲、乙、丙三款不同型号的机器人各一台，它们独立完成指定任务．已知甲机器人完成任务的概率为，乙机器人完成任务的概率为，丙机器人完成任务的概率为，各机器人能否完成任务相互独立，设为成功完成任务的机器人台数，则___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某健康机构为研究成年人的年龄与收缩压的相关关系，随机记录了5名成年人的年龄（单位：岁）与收缩压（单位：mmHg），数据如下表： 年龄 35 40 45 50 55 收缩压 114 125 126 132 133 收缩压为血压偏高，为血压正常． （1）若用线性回归模型拟合与的关系，求关于的经验回归方程； （2）从这5人中随机抽取2人，求恰好抽到1名血压偏高的人的概率． 附：经验回归方程的斜率及截距的最小二乘估计分别为． 16. 已知数列满足，且． （1）证明：数列是等差数列，并求的通项公式； （2）设为数列的前项和，求使不等式成立的正整数的取值集合. 17. 如图1，四边形是边长为4的正方形，在扇形中，，点是弧的中点．现将正方形沿进行翻折，使得点到达点的位置，点到达点的位置，如图2所示，其中． （1）证明：平面； （2）求四棱锥的体积； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知双曲线的实轴的长为，离心率． （1）求双曲线的标准方程； （2）过点的直线与双曲线交于两点，求线段的中点的轨迹方程； （3）设为双曲线上任意一点，过作的两条渐近线的垂线，垂足分别为.的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由． 19. 已知函数，函数，为实数． （1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若存在正实数，使不等式成立，求的取值范围； （3）若函数有两个零点，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学（B卷） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，若，则（ ） A. B. 4 C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】先应用空间向量共线列式求参，再代入计算求解. 【详解】因为，所以，解得 ，故． 2. 已知椭圆的短轴的长为6，则该椭圆的离心率（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意求出的值，再由离心率公式求解即可. 【详解】因为椭圆的短轴的长为6， 所以，解得， 所以， 所以离心率. 3. 若圆与圆交于M，N两点，则直线MN的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】圆的圆心，半径， 圆 的圆心，半径， ，圆与圆相交，直线的斜率为 ， 而，因此直线的斜率为，其倾斜角为. 4. 过点作圆 的两条切线，切点分别为，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两点间距离公式可得，即可由勾股定理求解，由三角形面积公式即可求解. 【详解】由 可得， 所以，进而可得， 故， 所以四边形的面积为. 5. 在空间直角坐标系中，三棱锥的四个顶点的坐标分别为，若该三棱锥的四个顶点均在球M的表面上，则球M的表面积为（ ） A. 8π B. 9π C. 11π D. 14π 【答案】C 【解析】 【分析】根据球心到球面上的点的距离等于球的半径，列出方程，求解球心坐标，再得到球的半径，从而求出球的表面积. 【详解】设球心为，球的半径为R，由，得 解得，即球心，，故球M的表面积为． 故选：C 6. 已知随机变量，若，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正态密度曲线的对称性求解. 【详解】因为，所以该正态密度曲线的对称轴为直线， 所以， 由，得，解得． 故实数m的取值范围为． 故选：C． 7. 某航天任务计划从5名备选航天员（包括甲、乙）中选派4人执行空间站作业，分别负责机械臂操作、舱外维护、数据监测三项不同的工作，其中数据监测需要2人负责，机械臂操作与舱外维护各需要1人负责．若甲、乙必须入选且不能从事同一项工作，则不同的安排方案共有（ ） A. 30种 B. 45种 C. 60种 D. 90种 【答案】A 【解析】 【分析】应用分组分配结合分步乘法原理计算求解. 【详解】甲、乙必选，再从剩余3人中选2人，有种方法； 安排4人到3项不同工作，甲、乙不能从事同一项工作，共有种方法， 所以共有种安排方案． 8. 已知函数，若，则的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对函数求导，根据导数得到函数的单调性，利用函数的单调性依次判断即可. 【详解】已知函数，求导得，令，解得， 所以当时，；当时，； 所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是，如图所示， 对于A，假设都在单调递增区间，若，则有，所以是可能的，故A正确； 对于B，假设都在单调递减区间，若 ，则有，所以是可能的，故B正确； 对于C，假设在单调递增区间，在单调递减区间，此时取，，，有， 则 ，，，满足，符合题意，所以是可能的，故C正确； 对于D，假设都在单调递增区间，若，则有，不符合题意； 假设都在单调递减区间，若，则有，不符合题意； 假设在单调递增区间，在单调递减区间，若，则有，不符合题意； 假设在单调递增区间，在单调递减区间，若，则有，不符合题意； 因此，是不可能的，故D错误. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数 ，其中是在处的导数值，则下列结论正确的有（ ） A. B. 的单调递减区间为 C. 的极小值为1 D. 在上的最大值为3 【答案】BCD 【解析】 【分析】先求出导函数得出判断A，进而得出函数单调性及极值判断B，C，最后得出最值判断D. 【详解】函数 ， ，令，则， ，故A错误； 函数 ，则，所以函数的单调递减区间为，故B正确； 函数 ，则或，所以函数的单调递增区间为或， 所以函数的极小值为 ，故C正确； 由上分析，时，函数单调递增，时，函数单调递减，时，函数单调递增， 所以函数的极大值为 ，又 ， 故在上的最大值为3，故D正确. 10. 一袋中装有6个盲盒，盒内分别印有福州三坊七巷、厦门鼓浪屿、福建土楼三种图案，数量分别为3，2，1，盲盒除内部图案不同，其余均相同．每次从中随机抽取1个盲盒，抽后不放回，连续抽取两次．设事件A为“第一次抽到福州三坊七巷盲盒”，事件B为“第二次抽到厦门鼓浪屿盲盒”，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】总盲盒数为． 对于A，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，设事件M为“第一次抽到厦门鼓浪屿盲盒”，，，，，由全概率公式，得，D正确． 故选：ABD． 11. 设数列满足，其中．数列满足，数列的前项和记作，则下列说法正确的有（ ） A. B. 与均为数列的最大项 C. 的最小值为28 D. 数列的前200项的和为100 【答案】ABC 【解析】 【分析】由题意可得数列是等比数列，求得通项公式为，进而求得，即可判断A；根据二次函数及指数函数的性质判断B；求得数列是等差数列，且，从而求得，由二次函数的性质判断C；利用分组求和，求出数列的前200项的和，从而判断D. 【详解】因为， 所以数列是等比数列，其首项为，公比， 所以， 又因为， 所以，故A正确； 令，， 所以当或时，取最大值， 又因为是单调递增函数， 所以当或时，最大，故B正确； 因为， 所以， 所以数列是等差数列，公差为1，首项， 所以， 又因为， 由二次函数的性质可知当或时，有最小值，为，故C正确； 因为数列的前200项的和为： ，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数为__________． 【答案】9 【解析】 【分析】根据二项式展开式结合化简运算计算求解. 【详解】因为， 所以的展开式中含的项为， 故展开式中的系数为9． 13. 已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于两点，若，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】通过点确定抛物线方程，从而确定直线方程，二者联立即可求得点的横坐标，最后利用过焦点的弦长公式即可求解. 【详解】根据题意，点在抛物线上，则有 ，解得， 因此抛物线方程为，焦点， 如图所示，直线过焦点且与抛物线交于，则直线的斜率为，方程为， 联立，解得和，由于，所以， 根据过焦点的弦长公式，. 14. 某科技公司举办智能机器人挑战赛，赛场上有甲、乙、丙三款不同型号的机器人各一台，它们独立完成指定任务．已知甲机器人完成任务的概率为，乙机器人完成任务的概率为，丙机器人完成任务的概率为，各机器人能否完成任务相互独立，设为成功完成任务的机器人台数，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】先列出随机变量的所有可能取值，再根据相互独立事件的概率乘法公式分别计算各取值对应的概率，得到分布列后，利用数学期望的定义式计算期望. 【详解】设甲、乙、丙三台机器人完成任务分别为事件， 则，，，且相互独立. 的可能取值为. 当时，三台机器人均未完成任务： 当时，恰有一台机器人完成任务： , 当时，恰有两台机器人完成任务： , , 当时，三台机器人均完成任务： , 可得的分布列： 因此，数学期望为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某健康机构为研究成年人的年龄与收缩压的相关关系，随机记录了5名成年人的年龄（单位：岁）与收缩压（单位：mmHg），数据如下表： 年龄 35 40 45 50 55 收缩压 114 125 126 132 133 收缩压为血压偏高，为血压正常． （1）若用线性回归模型拟合与的关系，求关于的经验回归方程； （2）从这5人中随机抽取2人，求恰好抽到1名血压偏高的人的概率． 附：经验回归方程的斜率及截距的最小二乘估计分别为． 【答案】（1） （2） 【解析】 【详解】（1）， ， ， ， 则 ， ， 所以关于的经验回归方程为 ． （2）由题可知，血压偏高的共2人，血压正常的有3人，从5人中抽2人可能的组合有种， 恰好1人偏高、1人正常的组合有种， 所以从这5人中随机抽取2人，求恰好抽到1名血压偏高的人的概率． 16. 已知数列满足，且． （1）证明：数列是等差数列，并求的通项公式； （2）设为数列的前项和，求使不等式成立的正整数的取值集合. 【答案】（1）由，得，即， 又，所以数列是首项为、公差为的等差数列， 所以 ，所以． （2） 【解析】 【分析】（1）直接由递推关系可得，进而可证明数列是等差数列，并可得通项公式； （2）由裂项相消法求和可得，进而可将所求不等式转化为，再构造函数 ，用导数判断函数单调性，并结合函数值可得不等式的解集. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，所以， 故， 代入，整理得． 设 ，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 又 ， 所以不等式的正整数解集为. 故使不等式成立的正整数的取值集合为． 17. 如图1，四边形是边长为4的正方形，在扇形中，，点是弧的中点．现将正方形沿进行翻折，使得点到达点的位置，点到达点的位置，如图2所示，其中． （1）证明：平面； （2）求四棱锥的体积； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）因为四边形是边长为4的正方形，所以， 翻折后，，又，平面， 所以平面，即平面，所以平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）运用线面垂直的判定定理，证明一条直线垂直于平面内两条相交直线；再结合翻折前后的平行关系，将线面垂直进行传递； （2）利用余弦定理和等腰三角形的三线合一性质求出底面四边形的面积，再根据棱锥体积公式代入已知高计算体积； （3）通过建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，并利用向量夹角公式计算两平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，在中，由余弦定理得． 因为，易知，故四边形的面积为. 由（1）得四棱锥的高，所以四棱锥的体积． 【小问3详解】 取的中点，连接，则，易知两两垂直， 则以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系． 则， 因为为边长为4的等边三角形，所以， 所以． 设平面的法向量为， 则，即，． 设平面的法向量为， 则，即，． 设平面与平面夹角为， 则． 18. 已知双曲线的实轴的长为，离心率． （1）求双曲线的标准方程； （2）过点的直线与双曲线交于两点，求线段的中点的轨迹方程； （3）设为双曲线上任意一点，过作的两条渐近线的垂线，垂足分别为.的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）是， 【解析】 【分析】1）根据实轴的长为，离心率，求出即可求得双曲线的标准方程; （2）假设直线的方程与双曲线的标准方程联立，通过韦达定理表示出线段的中点的坐标，从而求出轨迹方程； （3）设，求出点双曲线两条渐近线的距离，再利用分别取两条渐近线的法向量为求出两条渐近线的夹角，由于与两条渐近线垂直，故与该夹角互补，从而表示出面积，再判断是否为定值. 【小问1详解】 由双曲线的实轴的长为，得，所以， 又，所以，所以， 所以双曲线的标准方程为． 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，不符合题意； 当直线的斜率存在时，设斜率为，则直线的方程为， 联立，消去并整理，得 ， 由直线与双曲线有两个交点，得， 且 ，解得且． 设，则，故， 由且，得或， 将代入，整理得， 因为，所以，即 ， 故线段的中点的轨迹方程为或． 【小问3详解】 的面积是定值．理由如下： 设，则，双曲线的渐近线方程分别为 ． 点到两条渐近线的距离分别为， 故．分别取两条渐近线的法向量为， 则， 由于与两条渐近线垂直，所以，与该夹角互补 故， 所以的面积， 故的面积为定值． 19. 已知函数，函数，为实数． （1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若存在正实数，使不等式成立，求的取值范围； （3）若函数有两个零点，证明：． 【答案】（1） （2） （3）由，得， 令，又，则，易得， 所以函数在上单调递增． 若令，则关于的方程有两个正实数根， 要证，即证， 也即证，即证， 由已知所以 所以， 不妨设，即证， 即证 令，即证，令函数， 则 所以函数在上单调递增，所以， 故原不等式得证． 【解析】 【分析】（1）根据切点和斜率求得切线方程，进而求得切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）由分离参数，利用构造函数法，结合导数求得的取值范围. （3）利用换元法，将要证明的不等式转化为证明，利用构造函数法，结合导数证得不等式成立. 【小问1详解】 当时，， ， 所以曲线在点处的切线方程为， 即． 令，得；令，得， 所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为． 【小问2详解】 由化简可得，， 即 在上有解． 设 ，则， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以当时，取得最小值，为 ， 由题意知 ，即 ， 故的取值范围为． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $