期末备考专项讲与练07——多面体的表面积与体积-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 以教材原题为根基，通过正棱台与正棱锥性质系统提炼，构建“概念-性质-应用”逻辑链，强化空间观念与推理能力的期末专项突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |回归教材|3题（正六棱台表面积等）|教材母题溯源|从具体几何体到性质抽象| |基础知识|2类核心性质|正棱台直角梯形模型（求高/斜高）|正棱锥定义→正棱台性质推导| |跟踪训练|15题（改编题为主）|分割法求体积、结构特征分析法|性质应用于表面积/体积计算、空间角及外接球问题|

高一数学人教A版必修二立体几何期末备考专项讲与练07 测试范围：多面体的表面积与体积 回归教材： 【人教A版必修二第8.3.1节练习第1题】若正六棱台的上、下底面边长分别是2cm和6cm，侧棱长是5cm，求它的表面积. 【人教A版必修二第8.3.1节练习第2题】如图是一个表面被涂上红色的棱长是4cm的立方体，将其适当分割成棱长为1cm的小立方体. （1）共得到多少个棱长是1cm的小立方体？ （2）三面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？ （3）两面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？ （4）一面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？ （5）六个面均没有颜色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？它们占有多少立方厘米的空间？ 【人教A版必修二第8.3.1节练习第3题】某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的．如果被截正方体的棱长是50cm，那么石凳的体积是多少？ 【人教A版必修二习题8.3第1题】如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一个平面内，如果四边形ABCD是边长为30cm的正方形，那么这个八面体的表面积是多少？ 基础知识： 1. 正棱台的性质（由正棱锥截得的棱台叫做正棱台. ） (1)正棱台的侧棱都相等，侧面是全等的等腰梯形，各等腰梯形的高(正棱台的斜高) 相等. (2)正棱台的两底面以及平行于底面的截面是相似正多边形. (3)正棱台的两底面中心连线、相应的边心距和斜高组成一个直角梯形；正棱台的两底面中心连线、侧棱和两底面中心分别与该侧棱相应端点的连线也组成一个直角梯形. 2. 正棱锥：底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥. 3. 正棱锥的性质 (1)正棱锥的侧面都是全等的等腰三角形； (2)正棱锥的各侧棱都相等； (3)正棱锥的顶点与底面正多边形中心的连线垂直于底面. 跟踪训练： 一、单选题 1．【人教A版必修二第8.3.1节练习第1题改编】已知正四棱台的体积为其上下底面的边长分别为1和2，则这个正四棱台的高为（    ） A． B． C． D． 2．【人教A版必修二第8.3.1节练习第3题改编】某公园设置了一些石凳供大家休息，每张石凳是由正方体石料截去八个一样的四面体得到的，如图所示.如果一张石凳的体积是，那么原正方体石料的体积是（    ） A． B． C． D． 3．【人教A版必修二第8.3.1节练习第3题改编】某广场设置了一些石凳供大家休息，如图，每个石凳都是由正方体截去八个相同的正三棱锥得到的几何体，则下列结论不正确的是（   ） A．该几何体有6个面是正方形 B．该几何体有8个面是正三角形 C．该几何体恰有26条棱 D．该几何体的表面积比原正方体的表面积小 4．【人教A版必修二习题8.3第1题改编】连接空间几何体上的某两点的直线，如果把该几何体绕此直线旋转角，使该几何体与自身重合，那么称这条直线为该几何体的旋转轴.如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点，，，在同一平面内.则这个八面体的旋转轴共有（ ） A．7条 B．9条 C．13条 D．14条 5．将一个半径为3的铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的铁锭，若这个铁锭的上､下底面边长分别为2和4，则它的高为（    ） A． B． C． D． 6．已知正四棱台的高为，，为底面的中心，则直线与平面所成的角为（　　） A． B． C． D． 7．已知正三棱台中，，，且与平面所成的角为，则该棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．【人教A版必修二第8.3.1节练习第1题改编】正六棱台的上、下底面边长分别是和，侧棱长是，则下列说法正确的是（    ） A．该正六棱台的上底面积是 B．该正六棱台的侧面面积是 C．该正六棱台的体积是 D．该正六棱台的高是 10．如图1，某广场上放置了一些这样的石凳供大家休息，石凳是由正方体截去八个一样的正三棱锥得到的，它的所有边长均相同.如图2，设，则下列说法正确的是（   ） A．该多面体的表面积为 B．过A，Q，G三点的平面截该多面体所得的截面面积为 C．设O为平面截该多面体所得截面多边形内一点（包括边界），则的取值范围为 D．该多面体外接球的体积为 三、填空题 11．如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点在同一个平面内，四边形是正方形，这个八面体的表面积为，则正方形的边长是_______. 12．已知正四棱台的上、下底面边长分别是和，侧棱长为，则它的体积为___________． 13．如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点在同一个平面内.如果四边形是边长为的正方形，那么这个八面体的体积是__________. 四、解答题 14．某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是. (1)求石凳的体积； (2)为了美观工人准备将石凳的表面进行粉刷（接触地面的部分也要粉刷），已知每平方米造价50元，请问粉刷一个石凳需要多少钱？（精确到0.1元，） 15．已知正四棱台上底面的边长为，下底面边长为，且，求： （1）侧棱与底面夹角的正切值为； （2）若为的中点，则平面BDE； （3）该四棱台的外接球表面积为. 16．如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且四个顶点，，，在同一个平面内，若四边形是边长为2的正方形，求; (1）直线与平面所成角为 （2）动点在该八面体的外接球面上，且，求点的轨迹的周长。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学人教A版必修二立体几何期末备考专项讲与练07 测试范围：多面体的表面积与体积 回归教材： 【人教A版必修二第8.3.1节练习第1题】若正六棱台的上、下底面边长分别是2cm和6cm，侧棱长是5cm，求它的表面积. 【答案】正六棱台的表面积为 【分析】在正六棱台的侧面上计算出斜高，然后计算侧面积，两个底面面积，相加可得表面积． 【详解】如图，正六棱台中，，，，∴侧面梯形的斜高为∴ ∴.又，， ∴正六棱台的表面积. 即正六棱台的表面积为. 【点睛】本题考查求正棱台的表面积，必须是两个底面面积和侧面积相加，掌握侧面积公式是解题基础． 【人教A版必修二第8.3.1节练习第2题】如图是一个表面被涂上红色的棱长是4cm的立方体，将其适当分割成棱长为1cm的小立方体. （1）共得到多少个棱长是1cm的小立方体？ （2）三面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？ （3）两面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？ （4）一面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？ （5）六个面均没有颜色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？它们占有多少立方厘米的空间？ 【答案】（1）64个；（2）8个， 48；（3）24个， 144；（4）24个， 144； （5）8个， 48， 8 【分析】（1）棱长是4的立方体体积64，棱长为1的小正方体体积为1，由此能求出共得到多少个棱长为1的小正方体；（2）三面涂色的小正方体是位于棱长是4的立方体的顶点处的小正方体，由此能求出三面涂色的小正方体有多少个，表面积之和为多少；（3）二面涂色的小正方体是位于棱长是4的立方体的各边上的正方体，由此能求出二面涂色的小正方体有多少个，表面积之和为多少； （5）六个面均没涂色的小正方体为棱长是4的立方体中心的正方体，由此能求出六个面均没有涂色的小正方体有多少个，表面积之和为多少，它们占有多少立方厘米. 【详解】（1）棱长是4的立方体体积为：4×4×4＝64（），棱长为1的小正方体体积为1，∴共得到个小正方体； （2）三面涂色的小正方体是位于棱长是4的立方体的顶点处的小正方体，∵立方体共有8个顶点，∴三面涂色的小正方体有8个，每个小正方体的表面积为6，则表面积之和为8×6＝48（）； （3）二面涂色的小正方体是位于棱长是4的立方体的各边上的正方体，∵立方体共有12条边，每边有2个正方体，∴二面涂色的小正方体有24个，每个小正方体的表面积为6，则表面积之和为24×6＝144（）； （4）一面涂色的小正方体在棱长是4的立方体的表面上既不是顶点又不是各边上的正方体， ∵立方体共有6个面，每个面有4个正方体，∴一面涂色的小正方体有24个，每个小正方体的表面积为6，则表面积之和为24×6＝144（）； （5）六个面均没涂色的小正方体为棱长是4的立方体中心的正方体，共有64−8−24−24＝8个，每个小正方体的表面积为6，则表面积之和为8×6＝48（），它们 占8×1＝8（）的空间. 【点睛】本题考查大正方体分割成小正方体的计算，是中档题，解题时要认真审题，要熟练掌握正方体的结构特征. 【人教A版必修二第8.3.1节练习第3题】某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的．如果被截正方体的棱长是50cm，那么石凳的体积是多少？ 【答案】 【分析】计算出正方体的体积和8个四面体的体积，相减后得到答案. 【详解】如图所示，由题意知正方体的棱长为0.5m， 设正方体的体积为，则有．其中． ∴这个石凳的体积为． 【人教A版必修二习题8.3第1题】如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一个平面内，如果四边形ABCD是边长为30cm的正方形，那么这个八面体的表面积是多少？ 【答案】 【分析】依题意八面体的每一个面都是边长为的正三角形，计算可得. 【详解】由题意，每个面都是边长为30cm的正三角形， 即这个八面体的表面积是. 【点睛】本题考查简单几何体的表面积，属于基础题. 基础知识： 1. 正棱台的性质（由正棱锥截得的棱台叫做正棱台. ） (1)正棱台的侧棱都相等，侧面是全等的等腰梯形，各等腰梯形的高(正棱台的斜高) 相等. (2)正棱台的两底面以及平行于底面的截面是相似正多边形. (3)正棱台的两底面中心连线、相应的边心距和斜高组成一个直角梯形；正棱台的两底面中心连线、侧棱和两底面中心分别与该侧棱相应端点的连线也组成一个直角梯形. 2. 正棱锥：底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥. 3. 正棱锥的性质 (1)正棱锥的侧面都是全等的等腰三角形； (2)正棱锥的各侧棱都相等； (3)正棱锥的顶点与底面正多边形中心的连线垂直于底面. 跟踪训练： 跟踪训练： 一、单选题 1．【人教A版必修二第8.3.1节练习第1题改编】已知正四棱台的体积为其上下底面的边长分别为1和2，则这个正四棱台的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设正四棱台的高为，则，故. 2．【人教A版必修二第8.3.1节练习第3题改编】某公园设置了一些石凳供大家休息，每张石凳是由正方体石料截去八个一样的四面体得到的，如图所示.如果一张石凳的体积是，那么原正方体石料的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方体、正四棱锥的体积公式，结合已知进行求解即可. 【详解】设正方体的棱长为，则正方体的体积为， 每一个正四面体的体积为：，由题意可知：，故选：B 3．【人教A版必修二第8.3.1节练习第3题改编】某广场设置了一些石凳供大家休息，如图，每个石凳都是由正方体截去八个相同的正三棱锥得到的几何体，则下列结论不正确的是（   ） A．该几何体有6个面是正方形 B．该几何体有8个面是正三角形 C．该几何体恰有26条棱 D．该几何体的表面积比原正方体的表面积小 【答案】C 【分析】根据截取的几何体形状可判断AB正确，再根据正方体每个表面的棱长可判断C错误， 【详解】对于A，B，因为正方体截去八个正三棱锥，所以比原正方体多出八个正三角形， 原来的六个表面还是正方形，所以A，B正确．对于C，因为原正方体每个表面均有四条棱，所以该几何体共有24条棱，C不正确．对于D，不妨取正方体的棱长为2，截去的每个正三棱锥的侧面面积为，而它的底面积是边长为的正三角形，其面积为，即截去的每个正三棱锥的侧面面积比它的底面面积大，所以D正确．故选：C 4．【人教A版必修二习题8.3第1题改编】连接空间几何体上的某两点的直线，如果把该几何体绕此直线旋转角，使该几何体与自身重合，那么称这条直线为该几何体的旋转轴.如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点，，，在同一平面内.则这个八面体的旋转轴共有（ ） A．7条 B．9条 C．13条 D．14条 【答案】C 【解析】根据该几何体的结构特征和对称性即可求出旋转轴的条数. 【详解】由对称性结合题意可知，过､､的直线为旋转轴，此时旋转角最小为；过正方形，，对边中点的直线为旋转轴，共6条，此时旋转角最小为；过八面体相对面中心的连线为旋转轴，共4条，此时旋转角最小为.综上，这个八面体的旋转轴共有13条.故选：C. 5．将一个半径为3的铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的铁锭，若这个铁锭的上､下底面边长分别为2和4，则它的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用球和正四棱台的体积相等直接计算即可． 【详解】球的体积为，设铁锭的高为，则正四棱台的体积为， 由，可得，解得．故选：B 6．已知正四棱台的高为，，为底面的中心，则直线与平面所成的角为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设为底面的中心，连接，由正四棱台性质可得平面，由此可得直线与平面所成的角为，由条件解三角形求结论. 【详解】设为底面的中心，连接， 因为为底面的中心，由正四棱台的性质可得平面，又平面，所以，在平面内的投影为，所以直线与平面所成的角为， 因为，所以，故，因为正四棱台的高， 所以，因，所以，故直线与平面所成的角为， 7．已知正三棱台中，，，且与平面所成的角为，则该棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，求出正棱台的高，再由正棱台的体积公式，即可求解. 【详解】因为三棱台为正三棱台，且，， 则，，如图，设和的中心分别为，连接，，，则平面，，，作平面交平面于点，则即为直线与平面所成的角，由几何体为正三棱台可知，点在上，且四边形为矩形，所以，又，所以， 则棱台的体积为. 二、多选题 9．【人教A版必修二第8.3.1节练习第1题改编】正六棱台的上、下底面边长分别是和，侧棱长是，则下列说法正确的是（    ） A．该正六棱台的上底面积是 B．该正六棱台的侧面面积是 C．该正六棱台的体积是 D．该正六棱台的高是 【答案】ACD 【分析】画出该几何体，利用已知条件分别计算正六棱台的上底面积、侧面面积、表面积、正六棱台的高即可. 【详解】如图在正六棱台中， 因为，所以侧面的梯形的高即正六棱台斜高为， 所以梯形的面积为，故正六棱台的侧面积为，故B选项错误；由图可知该正六棱台的上底面积为6个边长为2的等边三角形组成，所以该正六棱台的上底面积为，故A正确；设正六棱台的高为，则， 正六棱台的上､下底面面积分别为，故它的体积是，故C、D正确；故选：ACD. 10．如图1，某广场上放置了一些这样的石凳供大家休息，石凳是由正方体截去八个一样的正三棱锥得到的，它的所有边长均相同.如图2，设，则下列说法正确的是（   ） A．该多面体的表面积为 B．过A，Q，G三点的平面截该多面体所得的截面面积为 C．设O为平面截该多面体所得截面多边形内一点（包括边界），则的取值范围为 D．该多面体外接球的体积为 【答案】ABD 【分析】根据多面体的表面积公式可判断A选项；做出截面，结合截面形状及向量数量积的坐标运算可判断BC选项；根据外接球性质及体积公式即可判断D. 【详解】对于A，由，得正方体的棱长，所以该多面体的表面积，A正确；对于B，由平面的性质可知过A，Q，G三点的平面截该多面体所得的截面是边长为的正六边形，其面积为，B正确； 对于C，以A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，设点，且，，则，， 所以，即，C错误；对于D，由多面体性质可知其外接球球心为该多面体的体心，即正方体体心，设为为，外接球的半径为，所以该多面体外接球的体积为，D正确.故选：ABD. 三、填空题 11．如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点在同一个平面内，四边形是正方形，这个八面体的表面积为，则正方形的边长是_______. 【答案】2 【分析】根据多面体表面积求法计算可得结果. 【详解】设正方形的边长为，则这个八面体的表面中所有的正三角形边长均为， 所以其表面积为，解得. 12．已知正四棱台的上、下底面边长分别是和，侧棱长为，则它的体积为___________． 【答案】/ 【分析】先求出正四棱台的高，再代入棱台体积公式计算即可得到结果。 【详解】由题意知正四棱台的上底面为边长的正方形，面积；下底面为边长的正方形，面积，其对角面为上、下底分别是和，腰为的等腰梯形， 如图所示，其中，，， 侧棱长、棱台的高、上下底面中心到对应顶点的距离之差构成直角三角形，由勾股定理得：，代入棱台体积公式， 即. 13．如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点在同一个平面内.如果四边形是边长为的正方形，那么这个八面体的体积是__________. 【答案】 【详解】由题意得，题中八面体由正四棱锥和正四棱锥底面贴合而成，正方形为公共底面，边长为.取正方形的中心，记为.连接和，则，，且,,三点共线，线段为八面体的高，连接. . 则是正方形的一条对角线.因为正方形边长为，由勾股定理得对角线.所以.八面体的每一个面都是正三角形，因此侧面是正三角形，侧棱.在中，，，， 由勾股定理：.由对称性，，所以八面体的高；底面正方形面积.八面体体积等于两个正四棱锥体积之和：.故八面体的体积为. 四、解答题 14．某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是. (1)求石凳的体积； (2)为了美观工人准备将石凳的表面进行粉刷（接触地面的部分也要粉刷），已知每平方米造价50元，请问粉刷一个石凳需要多少钱？（精确到0.1元，） 【答案】(1) (2)元 【分析】（1）利用正方体、棱锥的体积公式，结合石凳的结构特征求其体积； （2）根据石凳表面的构成，求出其表面积，进而求粉刷一个石凳的价格. 【详解】（1）正方体体积为，石凳体积为正方体体积减去8个正三棱锥体积， 其一个小正三棱锥的三条侧棱边长为，则一个小正三棱锥体积为， 故石凳体积为. （2）石凳的表面由6个正方形和8个正三角形组成，其中正方形和正三角形的边长均为， 则石凳表面积为， 则粉刷一个石登需要元. 15．已知正四棱台上底面的边长为，下底面边长为，且，求： （1）侧棱与底面夹角的正切值为； （2）若为的中点，则平面BDE； （3）该四棱台的外接球表面积为. 【详解】（1）设棱台的上下底面中心分别为，因为正方形ABCD的边长为，正方形的边长为，所以，，台体的高为，则侧棱与底面夹角的正切值为； （2）当点为的中点时，易知为AC的中点，则， 因为平面平面BDE，故平面； （3）易知该正四棱台外接球球心在直线上，设球的半径为， ，则，由可得，解得，故，因此，该四棱台的外接球表面积为． 16．如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且四个顶点，，，在同一个平面内，若四边形是边长为2的正方形，求; (1）直线与平面所成角为 （2）动点在该八面体的外接球面上，且，求点的轨迹的周长。 【详解】（1）如图，连接交于，连接，则平面， 所以为直线与平面所成角， 因为四边形是边长为2的正方形，所以,， 因为，又为锐角，所以， 即直线与平面所成角为. （2）由(1)知，连接，则, 因为，所以点为该八面体的外接球的球心，取的中点， 连接，因为都为等边三角形，所以，因为，平面，所以平面，因为，所以点平面内，因为平面过球心，所以平面与该八面体的外接球的交线为该球的大圆，即点的轨迹为此大圆，所以点的轨迹的周长为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $