期末备考专项讲与练08——多点共线与多线共点-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦立体几何多点共线、多线共面与多线共点问题，以教材为源提炼三类证明方法，形成“基础-方法-应用”的系统训练体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |回归教材|2道教材习题|立足教材基础问题，奠定证明依据|从具体问题抽象空间位置关系本质| |基础知识|3类证明方法|共面：定平面证线面；共线：两点定线证点在线；共点：两线交点证线过点|构建“概念-原理-方法”的逻辑链条| |跟踪训练|15道分层题（单选6/多选2/填空2/解答5）|通过辨析题巩固方法，证明题提升推理能力|从概念辨析到综合证明，培养空间观念与逻辑推理素养|

高一数学人教A版必修二立体几何期末备考专项讲与练08 测试范围：多点共线、多线共面与多线共点 回归教材： 【人教A版必修二习题8.4第6题】如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线共面吗？请说说你的理由. 【人教A版必修二习题8.4第8题】已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示，求证：P，Q，R三点共线. 基础知识： 共面、共线、共点问题的证明 (1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内(或证两平面重合)． (2)证明共线的方法：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定直线上． (3)证明线共点的常用方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点． 跟踪训练： 一、单选题 1．下列说法正确的是（    ） A．若空间四点共面，则其中必有三点共线 B．若空间四点中任意三点不共线，则此四点共面 C．若空间四点中任意三点不共线，则此四点不共面 D．若空间四点不共面，则任意三点不共线 2．如果空间四点，，，不共面，那么下列判断正确的是（   ） A．直线与平行 B．直线与相交 C．，，，四点中可以有三点共线 D．，，，四点中不存在三点共线 3．如图，在正方体中，是的中点，是的中点，是的中点，直线与平面相交于点，则下列结论不正确的是（   ） A．三点共线 B．四点共面 C．四点共面 D．四点共面 4．长方体中，直线与平面的交点为，与交于点，则下列结论正确的是（    ） A．，，三点共线 B．，，三点确定一个平面 C．，，，四点共面 D．，，，四点共面 5．如图，在正方体中，，分别为，的中点，，分别为，的中点，对于下列四个结论： ①； ②四点，，，共面； ③三条直线，，有公共点； ④直线上存在点使，，三点共线. 其中错误结论的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为C1D1，B1C1的中点，O，M分别为BD，EF的中点，则下列说法错误的是（    ） A．四点B，D，E，F在同一平面内 B．三条直线BF，DE，CC1有公共点 C．直线A1C与直线OF不是异面直线 D．直线A1C上存在点N使M，N，O三点共线 二、多选题 7．如图，在正方体中，是的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（     ） A．，，三点共线 B．，，，四点共面 C．，，，四点共面 D．，，，四点共面 8．如图，在长方体中，，分别为，的中点，，分别为，的中点，则（   ） A．四点，，，在同一平面内 B．三条直线，，有公共点 C．直线与直线相交 D．直线上存在点使，，三点共线 三、填空题 9．如图所示．是正方体，O是的中点，直线交平面于点M，给出下列结论： ①A、M、O三点共线；         ②A、M、O、不共面： ③A、M、C、O共面；         ④B、、O、M共面， 其中正确的序号为_________． 10．如图，是长方体，是的中点，直线交平面于点M，则下列结论正确的是______．（填写所有符合要求的结论序号） ①三点共线；        ②四点共面； ③四点共面；    ④四点共面． 四、解答题 11. 如图，在四面体ABCD中，E， G分别为BC， AB的中点，点F在CD上，点H在AD上，且有DF∶FC＝1∶3， DH∶HA＝1∶3.求证：EF， GH， BD交于一点． 12. 如图，P是△ABC所在平面外一点，D， E分别是△PAB和△PBC的重心．求证：D， E， A， C四点共面且DE＝AC. 13．如图，空间四边形中，，分别是，的中点，，分别在，上，且. (1)求证：，，，四点共面； (2)设与交于点，求证：，，三点共线. 14．如图，在四面体中作截面，若、的延长线交于点，、的延长线交于点，、的延长线交于点．求证：、、三点共线 15．如图，在正方体中，点分别为棱的中点. (1)求证：平面平面； (2)记平面平面平面，求证：三点共线. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学人教A版必修二立体几何期末备考专项讲与练08 测试范围：多点共线、多线共面与多线共点 回归教材： 【人教A版必修二习题8.4第6题】如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线共面吗？请说说你的理由. 【答案】共面，理由见解析 【分析】先说明两条平行直线确定一个平面，再证第三条直线在这个平面内即可. 【详解】共面. 两条平行直线确定唯一的平面，又第三条直线与两条平行直线都相交， 第三条直线有两个点在此平面内，则第三条直线也在这个平面内，所以这三条直线共面. 【点睛】本题主要考查的线共面的判定，以及学生对平面基本性质的理解和应用，是基础题. 【人教A版必修二习题8.4第8题】已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示，求证：P，Q，R三点共线. 【分析】推导出P，Q，R都在平面ABC与平面α的交线上，即可证明. 【详解】证明：法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC. ∴由基本事实3可知：点P在平面ABC与平面α的交线上， 同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上.∴P，Q，R三点共线. 法二：∵AP∩AR＝A，∴直线AP与直线AR确定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R， ∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC⊂平面APR. ∵Q∈BC，∴Q∈平面APR，又Q∈α，∴Q∈PR，∴P，Q，R三点共线. 基础知识： 共面、共线、共点问题的证明 (1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内(或证两平面重合)． (2)证明共线的方法：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定直线上． (3)证明线共点的常用方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点． 跟踪训练： 一、单选题 1．下列说法正确的是（    ） A．若空间四点共面，则其中必有三点共线 B．若空间四点中任意三点不共线，则此四点共面 C．若空间四点中任意三点不共线，则此四点不共面 D．若空间四点不共面，则任意三点不共线 【答案】D 【分析】对四个命题利用空间四个点的位置关系分别分析解答． 【详解】对于A，空间四点共面，如平面四边形，其中任何三点不共线；故A错误； 对于B，空间四点中任意三点不共线，三棱锥的四个顶点，得到此四点不共面；故B错误； 对于C，空间四点中任何三点不共线，则此四点可能共面，如平面四边形；故C错误； 对于D，空间四点不共面，如果任意三点有共线的，那么此四个点就共面，与已知矛盾．故D正确， 故选：D. 2．如果空间四点，，，不共面，那么下列判断正确的是（   ） A．直线与平行 B．直线与相交 C．，，，四点中可以有三点共线 D．，，，四点中不存在三点共线 【答案】D 【分析】根据平面的基本性质逐项分析判断即可. 【详解】若直线与平行，则空间四点A，B，C，D共面，故A不正确； 若直线与相交，则空间四点A，B，C，D共面，故B不正确； 若A，B，C，D四点中有三点共线，则空间四点A，B，C，D共面，与题设矛盾，故C错误，D正确. 3．如图，在正方体中，是的中点，是的中点，是的中点，直线与平面相交于点，则下列结论不正确的是（   ） A．三点共线 B．四点共面 C．四点共面 D．四点共面 【答案】D 【详解】连接．因为平面，所以平面．又因为平面，所以点在平面与平面的交线上，即三点共线，故A正确； 因为，所以四点共面，又因为三点共线，所以四点共面，四点共面，故B，C正确；因为平面，平面， 所以四点不共面，D错误． 4．长方体中，直线与平面的交点为，与交于点，则下列结论正确的是（    ） A．，，三点共线 B．，，三点确定一个平面 C．，，，四点共面 D．，，，四点共面 【答案】A 【分析】根据平面的基本性质，异面直线的定义，逐一验证各个选项. 【详解】如下图所示： 根据题意，连接，则，所以四点共面，所以平面， 又，所以平面，又平面，所以点在平面与平面的交线上面，同理可得点在平面与平面的交线上面，所以，，三点共线，故A选项错误，B选项正确；由异面直线定义可知C选项中为异面直线，故C选项错误；由异面直线定义可知D选项中为异面直线，故D选项错误.故选：A 5．如图，在正方体中，，分别为，的中点，，分别为，的中点，对于下列四个结论： ①； ②四点，，，共面； ③三条直线，，有公共点； ④直线上存在点使，，三点共线. 其中错误结论的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】由题意，通过构造平面，用线面垂直证明线线垂直，判断①的正误，通过证明与的平行，判断②的正误，同时得出，交于点，再证明此点在线上，从而得出三线共点，判断③的正误，通过同一平面内两直线不平行必相交得出④的正误，即可得出正确选项． 【详解】解：①由图取中点为，连接，，由正方体的性质知，，， 由此可得面，从而可得，，故①正确； ②因为，是中点，连接，则，故四点，，，共面，故②正确； ③由②知，，，，共面，又与不平行，故两线交于一点，令该点为，则点同时在交于的两个侧面上，故点在线上，所以三条直线，，有公共点，故③正确； ④连接，交于一点，此点即点，同理可得线与交于点，故，在平面上，又与不平行，故两直线必交于一点，令此点为，故直线上存在点使，，三点共线，故④正确．综上，错误结论的个数为0， 故选：． 6．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为C1D1，B1C1的中点，O，M分别为BD，EF的中点，则下列说法错误的是（    ） A．四点B，D，E，F在同一平面内 B．三条直线BF，DE，CC1有公共点 C．直线A1C与直线OF不是异面直线 D．直线A1C上存在点N使M，N，O三点共线 【答案】C 【分析】利用两条平行线确定一个平面可判断选项A，利用点共线定理可判断选项B，根据异面直线的定义可判断选项C，连结OM即可判断选项D． 【详解】作出图象如图所示， 连结B1D1，则B1D1∥BD，B1D1∥EF，所以BD∥EF，所以四点B，D，E，F在同一平面内，故选项A正确；延长BF，DE，则BF，DE相交于点P，又BF⊂平面BCC1B1，DE⊂平面DD1C1C， 则P∈平面BCC1B1，P∈平面DD1C1C，又平面BCC1B1∩平面DD1C1C＝CC1， 所以P∈CC1，即三条直线BF，DE，CC1有公共点P，故选项B正确； 因为直线A1C为长方体的体对角线，所以直线A1C与直线OF不可能在同一平面内， 所以直线A1C与直线OF是异面直线，故选项C错误；A1，O，C，C1均在平面AA1C1C内，连结OM，则OM与直线A1C相交， 所以直线A1C上存在点N使M，N，O三点共线，故选项D正确．故选：C 二、多选题 7．如图，在正方体中，是的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（     ） A．，，三点共线 B．，，，四点共面 C．，，，四点共面 D．，，，四点共面 【答案】AB 【分析】利用平面的基本性质，通过寻找两个平面的公共点来确定交线，从而判断点共线或共面，再结合异面直线的判定方法分析其他选项. 【详解】因为，平面，所以平面．因为，平面， 所以平面，所以是平面和平面的公共点．同理可得，点和都是平面和平面的公共点，所以，，三点在平面与平面的交线上，即，，三点共线，故A，B正确；根据异面直线的判定定理可得与为异面直线，故，，，四点不共面，故C不正确；根据异面直线的判定定理可得与为异面直线，故，，，四点不共面，故D不正确．故选：AB． 8．如图，在长方体中，，分别为，的中点，，分别为，的中点，则（   ） A．四点，，，在同一平面内 B．三条直线，，有公共点 C．直线与直线相交 D．直线上存在点使，，三点共线 【答案】ABD 【分析】根据题意，由平面的基本性质分析A、B和D，由异面直线的定义分析C，综合可得答案． 【详解】根据题意，如图： 对于A，连接，则，而，分别为，的中点，则，所以， 所以四点，，，在同一平面内，故A正确；对于B，延长，，则，相交于点，又平面，平面，则平面，平面，且平面平面，所以，即三条直线，，有公共点，故B正确；对于C，直线为正方体的体对角线，所以直线与直线不可能在同一平面内，所以直线与直线是异面直线，故C错误；对于D，，，，均在平面内，连接，则与相交，所以直线上存在点使，，三点共线，故D正确；故选：ABD． 三、填空题 9．如图所示．是正方体，O是的中点，直线交平面于点M，给出下列结论： ①A、M、O三点共线；         ②A、M、O、不共面： ③A、M、C、O共面；         ④B、、O、M共面， 其中正确的序号为_________． 【答案】①③ 【分析】由公理1判断①，由公理2判断②和③，用反证法判断④ 【详解】连接，因为是的中点，所以，平面与平面有公共点A与，则平面平面，对于①，平面，则平面，因为平面，则，即A，M，O三点共线，所以①正确，对于②③，由①知A，M，O三点共线，所以A，M，O，共面，A，M，C，O共面，所以②错误，③正确； 对于④，连接，则都在平面上，若平面，则直线平面，所以平面，显然平面，所以④错误， 10．如图，是长方体，是的中点，直线交平面于点M，则下列结论正确的是______．（填写所有符合要求的结论序号） ①三点共线；        ②四点共面； ③四点共面；    ④四点共面． 【答案】①②③ 【分析】对于①，利用公理，证明为两个平面的公共部分即可； 对于②，③，利用“直线和直线外一点确定一个平面”判断； 对于④，根据异面直线的定义，判定直线，直线为异面直线后可知其错误. 【详解】对于①，两条平行线确定一个平面，即共面，显然平面平面，结合公理三：两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，设平面，平面的交线为，注意到是的中点，矩形对角线互相平分，故也是的中点，即，平面，故平面，又，平面，故平面，即；由，平面，即平面，由题干直接可知，平面，故，故三点共线；对于②，由直线和直线外一点可确定一个平面，结合①正确可知，故确定的直线和共面，故②正确；对于③，类似②，确定的直线和共面，故③正确； 对于④，平面，平面，平面，且，根据异面直线的定义，直线，直线为异面直线，故不可能四点共面，故④错误. 四、解答题 11. 如图，在四面体ABCD中，E， G分别为BC， AB的中点，点F在CD上，点H在AD上，且有DF∶FC＝1∶3， DH∶HA＝1∶3.求证：EF， GH， BD交于一点． 【分析】利用基本事实4和基本事实2可证三线共点. 【详解】证明　连接GE， HF.因为E， G分别为BC， AB中点， 所以. 因为DF∶FC＝1∶3， DH∶HA＝1∶3，所以.从而GE∥HF且， 故G， E， F， H四点共面且四边形为梯形， 因为EF与GH不能平行，设EF∩GH＝O，则O∈平面ABD， O∈平面BCD. 而平面ABD∩平面BCD＝BD，所以EF， GH， BD交于一点． 12. 如图，P是△ABC所在平面外一点，D， E分别是△PAB和△PBC的重心．求证：D， E， A， C四点共面且DE＝AC. 【分析】如图，连接PD， PE并延长，分别交AB， BC于点M， N，连接MN，证明DE∥MN且DE＝MN，原题即得证. 【详解】证明：如图，连接PD， PE并延长，分别交AB， BC于点M， N， 因为D， E分别是△PAB， △PBC的重心，所以M， N分别是AB， BC的中点，连接MN， 则MN∥AC且MN＝AC.在△PMN中，因为，所以DE∥MN且DE＝MN. 所以DE∥AC且DE＝×AC＝AC.则D， E， A， C四点共面． 13．如图，空间四边形中，，分别是，的中点，，分别在，上，且. (1)求证：，，，四点共面； (2)设与交于点，求证：，，三点共线. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用三角形中位线定理，以及由比例式可证，进而可得，可得结论； （2）证明平面，平面，利用基本事实，即可证得结论. 【详解】（1），分别为，的中点，. 在中，，，.，，，四点共面. （2），，平面，平面. 同理平面.为平面与平面的公共点. 又平面平面，，，，三点共线. 14．如图，在四面体中作截面，若、的延长线交于点，、的延长线交于点，、的延长线交于点．求证：、、三点共线 【答案】证明见解析 【分析】根据点线面的关系，结合相应的公理即可证明. 【详解】因为，所以直线平面，又，则直线平面， 所以是平面与平面的一个公共点，所以在平面与平面的交线上， 同理可证，、也在平面与平面的交线上，所以、、三点共线． 15．如图，在正方体中，点分别为棱的中点. (1)求证：平面平面； (2)记平面平面平面，求证：三点共线. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先由正方体中点性质证、,再利用线面平行判定定理证、分别平行于平面,最后由面面平行判定定理证平面平面； （2）依据点与直线、平面的从属关系,推出都在平面与平面的交线上,从而证得三点共线. 【详解】（1）连接，又点分别为棱的中点，所以， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面平面，所以平面， 连接，又点分别为棱的中点，所以， 在正方体中，， 所以四边形是平行四边形，所以，所以， 又平面平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. （2）因为平面，所以平面，又平面，所以平面， 因为平面，所以平面. 又平面，所以平面.所以平面平面， 因为平面，所以平面. 又平面，所以平面.所以，即三点共线. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $