期末备考专项讲与练06——圆柱与球-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 围绕圆柱与球，通过教材典例回归、外接球方法总结及多题型训练，构建“概念-公式-应用”的系统性备考体系，培养空间观念与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |回归教材|2个教材典例|体积比/组合体表面积计算|从教材基础概念出发，建立公式直接应用逻辑| |基础知识|2类外接球问题|外接球半径公式、补形法、勾股定理|推导外接球计算通法，形成“几何体-外接圆-球”转化逻辑| |跟踪训练|多题型覆盖|改编题强化公式迁移与综合应用|从单一计算到复杂情境，构建“基础-变式-综合”递进逻辑|

高一数学人教A版必修二立体几何期末备考专项讲与练06 测试范围：圆柱与球 回归教材： 【人教A版必修二第8.3.2节例4】如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比. 【答案】 【分析】利用圆柱和球的体积公式，求出体积即可. 【详解】设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R.球的体积， 圆柱的体积，. 【点睛】本题考查圆柱和球的体积，是基础题. 【人教A版必修二第8.3.2节例3】如图，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是0.3m，圆柱高0.6m如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要0.5kg涂料，那么给1000个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？（π取3.14） 【答案】423.9kg 【分析】先求出一个浮标的表面积，进而可得所需涂料. 【详解】一个浮标的表面积是，所以给1000个这样的浮标涂防水漆约需涂料. 【点睛】本题考查旋转体的体积，是基础题. 基础知识： 直棱柱、圆柱的外接球： 1、 圆柱的高为，底面半径为，则圆柱的外接球半径 2、 若是直棱柱，则可以先找直棱柱上下底的外接圆，求外接圆半径，然后补成圆柱，按圆柱的外接球半径公式来算即可。 圆台、棱台的外接球： 1、 圆台的上底半径 ,下底半径，高为，（如图1，图2），两次使用勾股定理，可求得它的外接球的半径 2、 棱台的外接球（如图3），先找上下底面的外接圆半径，然后按照圆台的外接球半径公式。 跟踪训练： 一、单选题 1．【人教A版必修二第8.3.2节例4改编】已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的表面积之比（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设球的半径为，分别求出圆柱及球的表面积，即可求出表面积之比． 【详解】设球的半径为，则，，所以球的表面积与圆柱的表面积之比为，故选：D 3．【人教A版必修二第8.3.2节例3改编】如图，某种中药胶囊外形是由两个半球和一个圆柱组成的，半球的直径是，圆柱高，则该中药胶囊的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由球的体积公式和圆柱的体积公式求解即可； 【详解】由题意得该几何体由两个半球和一个圆柱筒组成，所以体积为一个球体体积和一个圆柱体积之和， 由球体的体积为：，圆柱体积为：， 所以浮球的体积为：.故选：B. 4.【人教A版必修二第8.3.2节例4改编】．“圆柱容球”是阿基米德最欣赏的几何体．如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，球与圆柱的体积之比为，表面积之比为，则（    ） A．， B． C．， D． 【答案】B 【分析】设球的半径为 ，分别求出球的体积与圆柱体积，以及球的表面积与圆柱的表面积，即可得解． 【详解】设球的半径为，则球的体积为，圆柱的体积为， 球的表面积为，圆柱的表面积为，所以，，所以．故选：B. 5．【人教A版必修二第8.3.2节练习第3题改编】将一个底面半径为2，高为3的圆柱体铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆柱底面直径与高的关系可知球体最大直径，然后可得. 【详解】由题可知，圆柱的底面直径为4，高为3，因为，所以该圆柱体铁块能磨制的最大球体直径为3，半径为，所以该球体的最大体积为.故选：B 6．已知圆柱的上、下底面圆周都在一个球的球面上，若圆柱的表面积是球的表面积的一半，则圆柱的底面半径与球的半径的比值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先设圆柱的底面半径为r，高为2h，球的半径为R，再求出圆柱及球的表面积构造即可求解. 【详解】设圆柱的底面半径为r，高为2h，球的半径为R，则． ，分子分母同除以，然后设，即，解得（舍去），即，所以． 7．已知正四棱台的上、下底面边长分别为，，该四棱台的所有顶点都在球的球面上，且球心是下底面的中心，则该四棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合图象作出正四棱台的高，根据边长及点为正四棱台外接球的球心利用勾股定理可求正四棱台的高，再根据棱台的体积公式即可求解. 【详解】 如图，正四棱台，分别为上下底面的中心.由题意知正四棱台的上、下底面边长分别为，，则.又因为该四棱台的所有顶点都在球的球面上，且球心是下底面的中心，可知，得，即正四棱台的高为.又上底面的面积，下底面的面积，则该四棱台的体积为.故选：B. 8．在三棱柱中，，侧棱底面ABC，若该三棱柱的所有顶点都在同一个球O的表面上，且球O的表面积的最小值为，则该三棱柱的侧面积为（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【详解】如图：设三棱柱上、下底面中心分别为、，则的中点为，    设球的半径为，则，设，，则，， 则在△中，， 当且仅当时，等号成立，所以，所以，所以， 所以该三棱柱的侧面积为.故选：B. 【点睛】本题考查利用不等式求解棱柱的外接球面积最小值与侧面积问题，属于中档题 二、多选题 9．一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是（　　） A．圆柱的侧面积与球的表面积相等 B．圆锥的侧面展开图的圆心角为 C．圆柱的表面积为 D．圆柱的体积等于球与圆锥的体积之和 【答案】AD 【分析】利用圆柱、圆锥、球的表面积、体积公式计算判断ACD；利用圆锥侧面展开图计算判断B. 【详解】对于A，圆柱的侧面积，球的表面积，A正确；对于B，圆锥底面周长为，则圆锥的侧面展开图扇形弧长为，而圆锥母线长，因此圆锥的侧面展开图的圆心角为，B错误；对于C，圆柱的表面积，C错误；对于D，圆柱的体积，圆锥的体积，球的体积，因此，D正确.故选：AD 三、填空题 10．阿基米德（Archimedes， 公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的数学家、物理学家和天文学家.他推导出的结论“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”是其毕生最满意的数学发现，后人按照他生前的要求，在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，若球的体积为36π，则圆柱的表面积为______. 【答案】 【分析】先根据球的体积得出球的半径，再根据圆柱的表面积公式计算即可. 【详解】可设球的半径为，则根据题意可知圆柱的底面半径也为，圆柱的高等于直径，即为，由球的体积为，利用球的体积公式可得：，解得：，再由圆柱的表面积公式得：， 11．若圆锥、圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则圆锥、圆柱、球的体积比为______． 【答案】 【分析】根据几何体的体积公式，求出各几何体体积，求出结果. 【详解】设球的半径为，则圆锥的体积为，圆柱的体积为， 球的体积为，圆锥、圆柱、球的体积比为， 12．如图所示的图案，是由圆柱、球和圆锥组成，已知球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面，图案中圆锥、球、圆柱的体积分别为、、，则________. 【答案】1 【分析】设球的半径为，则可求、、，故可得. 【详解】设球的半径为，则圆柱底面半径为，高为，圆锥的底面半径为，高为，圆柱的体积，球的体积，，. 四、解答题 13．如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是6cm，圆柱筒长2cm. (1)求“浮球”的体积； (2)求“浮球”的表面积. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由题意可得球的半径和圆柱底面半径相等都是，圆柱母线为， 因此“浮球”的体积. （2）“浮球”的表面积. 14．如图，在水平放置的直径与高相等的圆柱内，放入两个半径相等的小球球A和球，圆柱的底面直径为，向圆柱内注满水，水面刚好淹没小球 (1)求球A的体积； (2)求圆柱的侧面积与球B的表面积之比. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据圆柱的轴截面分析即可；（2）直接利用球表面积、圆柱的侧面积公式计算即可． 【详解】（1）设圆柱的底面半径为R，小球的半径为r，且， 由圆柱与球的性质知，即，， 球A的体积为 （2）球B的表面积，圆柱的侧面积， 圆柱的侧面积与球B的表面积之比为 15．如图，圆柱的底面半径为2，球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面. （1）计算圆柱的表面积； （2）计算图中圆锥、球、圆柱的体积比. 【答案】(1)；(2). 【解析】(1)由已知可得圆柱的高和圆锥的高均为，求出圆柱的侧面积及上底面积、下底面积，即可求得圆柱的表面积；(2)根据圆锥、球、圆柱的体积公式，求出各自的体积，作比即可得到答案. 【详解】(1)由已知可得圆柱的高和圆锥的高均为，故圆柱的表面积． (2)因为圆锥的底面半径为，高为，所以圆锥的体积； 因为球的直径与圆柱底面的直径相等，所以球的半径为，所以球的体积； 又圆柱的体积；所以． 【点睛】本题主要考查了圆柱的表面积的求法及圆锥、球、圆柱的体积的求法，关键是抓住几何体之间的关系，求出所需要的量． 16．如图，已知点在圆柱的底面圆上，为圆的直径，，，三棱锥的体积为． (1)求圆柱的表面积； (2)求三棱锥外接球的体积． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）首先求出AP、BP，即可得到，再由，求出，最后根据圆柱的表面积公式计算可得； （2）三棱锥外接球即为圆柱的外接球，求出外接球的半径，再根据球的体积公式计算可得． 【详解】（1）在中，，， ，又在中，，， ，而点P在圆柱的底面圆O上，且为圆的直径，， 所以，于是由，得， ，圆柱的表面积． （2） 三棱锥外接球即为圆柱的外接球，则外接球的球心是的中点， 半径，所以三棱锥外接球的体积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学人教A版必修二立体几何期末备考专项讲与练06 测试范围：圆柱与球 回归教材： 【人教A版必修二第8.3.2节例4】如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比. 【人教A版必修二第8.3.2节例3】如图，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是0.3m，圆柱高0.6m如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要0.5kg涂料，那么给1000个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？（π取3.14） 基础知识： 直棱柱、圆柱的外接球： 1、 圆柱的高为，底面半径为，则圆柱的外接球半径 2、 若是直棱柱，则可以先找直棱柱上下底的外接圆，求外接圆半径，然后补成圆柱，按圆柱的外接球半径公式来算即可。 圆台、棱台的外接球： 1、 圆台的上底半径 ,下底半径，高为，（如图1，图2），两次使用勾股定理，可求得它的外接球的半径 2、 棱台的外接球（如图3），先找上下底面的外接圆半径，然后按照圆台的外接球半径公式。 跟踪训练： 一、单选题 1．【人教A版必修二第8.3.2节例4改编】已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的表面积之比（    ） A． B． C． D． 3．【人教A版必修二第8.3.2节例3改编】如图，某种中药胶囊外形是由两个半球和一个圆柱组成的，半球的直径是，圆柱高，则该中药胶囊的体积为（    ） A． B． C． D． 4.【人教A版必修二第8.3.2节例4改编】．“圆柱容球”是阿基米德最欣赏的几何体．如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，球与圆柱的体积之比为，表面积之比为，则（    ） A．， B． C．， D． 5．【人教A版必修二第8.3.2节练习第3题改编】将一个底面半径为2，高为3的圆柱体铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的体积为（    ） A． B． C． D． 6．已知圆柱的上、下底面圆周都在一个球的球面上，若圆柱的表面积是球的表面积的一半，则圆柱的底面半径与球的半径的比值为（   ） A． B． C． D． 7．已知正四棱台的上、下底面边长分别为，，该四棱台的所有顶点都在球的球面上，且球心是下底面的中心，则该四棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 8．在三棱柱中，，侧棱底面ABC，若该三棱柱的所有顶点都在同一个球O的表面上，且球O的表面积的最小值为，则该三棱柱的侧面积为（    ） A． B． C． D．3 二、多选题 9．一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是（　　） A．圆柱的侧面积与球的表面积相等 B．圆锥的侧面展开图的圆心角为 C．圆柱的表面积为 D．圆柱的体积等于球与圆锥的体积之和 三、填空题 10．阿基米德（Archimedes， 公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的数学家、物理学家和天文学家.他推导出的结论“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”是其毕生最满意的数学发现，后人按照他生前的要求，在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，若球的体积为36π，则圆柱的表面积为______. 11．若圆锥、圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则圆锥、圆柱、球的体积比为______． 12．如图所示的图案，是由圆柱、球和圆锥组成，已知球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面，图案中圆锥、球、圆柱的体积分别为、、，则________. 四、解答题 13．如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是6cm，圆柱筒长2cm. (1)求“浮球”的体积； (2)求“浮球”的表面积. 14．如图，在水平放置的直径与高相等的圆柱内，放入两个半径相等的小球球A和球，圆柱的底面直径为，向圆柱内注满水，水面刚好淹没小球 (1)求球A的体积； (2)求圆柱的侧面积与球B的表面积之比. 15．如图，圆柱的底面半径为2，球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面. （1）计算圆柱的表面积； （2）计算图中圆锥、球、圆柱的体积比. 16．如图，已知点在圆柱的底面圆上，为圆的直径，，，三棱锥的体积为． (1)求圆柱的表面积； (2)求三棱锥外接球的体积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $