立体几何初步期末备考专项讲与练05——正方体与球-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦正方体与球的外接关系，通过公式归纳与补形模型构建系统性解题方法，强化空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础知识|2模块（外接球公式、补形模型）|正方体/长方体外接球半径公式，三棱锥补形法（墙角模型、鳖臑等）|从特殊几何体到复杂几何体，基于对角线与球直径关系推导，实现知识迁移| |跟踪训练|单选10题+多选2题+填空5题（含教材改编题）|公式直接应用、补形转化、体积表面积计算|覆盖基础计算到综合应用，通过变式训练巩固空间几何直观与逻辑推理|

高一数学人教A版必修二立体几何期末备考专项讲与练05 测试范围：正（长）方体与球 回归教材： 【人教A版必修二第8.3.2节练习第3题】将一个棱长为6cm的正方体铁块磨制成一个球体零件，求可能制作的最大零件的体积. 【答案】 【分析】先求出球的半径，然后利用球的体积公式求解即可. 【详解】由题意知，球内切于正方体，，. 所以球的体积，即可制作的最大零件的体积为. 【点睛】本题考查球的体积公式，是基础题. 【人教A版必修二习题8.3第5题】一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是，求球的体积. 【答案】 【分析】由正方体的棱长为，其顶点都在一个球面上，则正方体的对角线即为球的直径，求出球的半径后，代入球的体积公式，即可得到答案． 【详解】∵正方体的棱长为,∴正方体的体对角线长为， ∴球的半径，. 【点睛】本题考查正方体的外接球的体积计算问题，棱长为的正方体，内接正四面体的棱长为，外接球直径等于长方体的对角线长，属于基础题． 【人教A版必修二第8.3.2节练习第4题】一个长、宽、高分别是80cm，60cm，55cm的水槽中装有200000的水，现放入一个直径为50cm的木球，如果木球的三分之二在水中，三分之一在水上，那么水是否会从水槽中溢出？ 【答案】不会 【分析】分别求出球的体积，水中球的体积，长方体的体积，利用它们之间的关系确定答案. 【详解】解：球的体积， 水中球的体积，长方体的体积， .故水不会从水槽中溢出. 【点睛】本题考查球的体积，长方体的体积，关键是要好好审题，注意数量关系，是基础题. 基础知识： 1、正方体与长方体的外接球 （1）若正方体边长为，则它的外接球半径为； （2）若长方体的三边长分别为，则它的外接球半径为； （3）棱长为的正方体，内接正四面体的棱长为，外接球直径等于长方体的对角线长． 2、补全为正方体与长方体的外接球 (1)若三棱锥中有三条棱互相垂直，则可考虑补全为长方体或正方体，称之为墙角模型（如上图模型1、2、3），这时三棱锥的外接球同补全的长方体或正方体的外接球，求球的半径公式如上。 (2)模型2为九章算术中的鳖臑，即四个面都为直角三角形的四面体。 (3)若三棱锥的三对对棱两两相等，也可以补全为长方体或正方体（如图对角线相等模型），外接球的半径也同长方体或正方体的外接球半径。 跟踪训练： 一、单选题 1. 【人教A版必修二第8.3.2节练习第3题改编】将一个棱长为4cm的正方体铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】先求出球的半径，然后利用球的体积公式求解即可. 【详解】由题意知，球内切于正方体，，. 所以球的体积，即可制作的最大零件的体积为. 2．【人教A版必修二习题8.3第5题改编】一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm，则球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意即求正方体外接球的表面积，又正方体外接球的直径为正方体的体对角线，即可求出外接球的半径，从而得解. 【详解】正方体的顶点都在球面上，则球为正方体的外接球，正方体外接球的直径为正方体的体对角线， 设外接球的半径为，则，即，所以外接球的表面积. 3．【人教A版必修二习题8.3第5题改编】长方体的一个顶点上三条棱长分别是1，3，，且它的八个顶点都在同一球面上，这个球的体积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设外接球的半径为，则外接球的直径即为长方体的体对角线，求出，即可求出外接球的体积. 【详解】依题意长方体的体对角线即为外接球的直径，设外接球的半径为，则，所以，所以外接球的体积.故选：A 4．已知一个正方体所有的顶点都在一个球面上，若球的体积是V，则正方体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方体的外接球的半径与棱长的关系，结合球的体积运算求解. 【详解】设正方体的棱长为，球的半径为，可知，则，整理得，所以正方体的体积为.故选：C. 5．【人教A版必修二第8.3.2节练习第3题改编】将一个棱长为的正方体铁块磨制成一个零件，能够磨制成的零件可以是（ ） A．底面半径为，高为的圆柱体 B．底面直径为，高为的圆锥体 C．半径为的球体 D．各棱长均为的四面体 【答案】B 【分析】根据空间几何体的形状，结合选项即可求解. 【详解】对于A,由于正方体的棱长为，故圆柱底面圆最大为正方体底面的内切圆，故半径最大为5，圆柱的高最大不超过，故A错误，B正确，正方体的内切球的半径为5，为正方体内最大的球，故C错误，D.正方体的面对角线的长度为，故棱长不超过.D错误，故选：B 6．【人教A版必修二第8.3.2节练习第3题改编】将一个长、宽、高分别5，4，3的长方体铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意知，此球是棱长为3的正方体的内切球，根据正方体的特征求得球的直径，再由球的表面积公式求解即可． 【详解】要将长方体铁块磨制成一个球体，则球体直径最大不超过长方体的最短棱长， 又长方体的最短棱长为3，则此球是棱长为3的正方体的内切球，根据正方体的几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为3，所以球的半径为，其表面积是. 7．在三棱锥中，已知，，，则该三棱锥外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得到三棱锥的对棱相等，可知该三棱锥可置于一个长方体中，再求长方体外接球的体积即可. 【详解】由题意可知：，，， 则三棱锥可放置在如图所示的长方体中， 设三棱锥三组对棱的长分别为，，，由对棱相等模型，，，， 即，所以长方体的体对角线平方为：，即体对角线长为，则， 该三棱锥外接球的体积.故选：B. 8．（25-26高一上·江苏南通·期末）如图，在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出外接圆半径，再利用几何体的结构特征求出球心到平面的距离，并求出球半径，进而求出球的体积. 【详解】在三棱锥中，，由正弦定理得外接圆半径， 由平面，三棱锥外接球球心在线段的中垂面上， 得该中垂面平行于平面，因此球心到平面的距离为， 则该外接球半径，所以三棱锥外接球的体积为. 故选：D 9．已知长方体的外接球表面积为，且，则该长方体的体积的最大值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】设长方体的外接球半径为，且，根据球的表面积公式，求得，再由长方体的对角线长公式，求得，结合基本不等式，即可求得长方体体积的最大值，得到答案. 【详解】设长方体的外接球半径为，且，因为外接球表面积为，故，即，又因为，可得，即， 所以该长方体的体积，当且仅当时，等号成立，所以长方体的体积的最大值为.故选：C． 10．四棱锥的底面是边长为2的正方形，且，设该四棱锥的外接球球心与内切球球心分别为，，则的长为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】由题设可知正四棱锥底面边长为侧棱长为，进而求出外接球的半径，应用等体积法求内切球的半径，即可求解. 【详解】因为四棱锥的底面是边长为2的正方形，且，为正四棱锥，设底面中心为,则四棱锥外接球球心及内切球球心都在上，设外接球球心为，半径为. 连接，则有.四棱锥的底面是边长为2的正方形， 在中，，由得，，整理得，. 设内切球的半径为，中，，，所以，所以四棱锥表面积为，由，即， ∴，则的长为.故选：B. 二、多选题 11．一棱长等于1且体积为1的长方体的顶点都在同一球的球面上，则该球的体积可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】设长方体未知的两棱长分别为，，由长方体对角线就是外接球直径得半径，求得体积，并由基本不等式求得体积范围，然后可得正确选项． 【详解】设长方体未知的两棱长分别为，则，，设外接球半径为，则，球体积为，，当且仅当时等号成立，所以．故选：BCD． 12．设一空心球是在一个大球(称为外球)的内部挖去一个有相同球心的小球(称为内球)，已知内球面上的点与外球面上的点的最短距离为1，若某正方体的所有顶点均在外球面上､所有面均与内球相切，则（    ） A．该正方体的棱长为2 B．该正方体的体对角线长为 C．空心球的内球半径为 D．空心球的外球表面积为 【答案】BD 【分析】设内外球半径分别为r，R，利用正方体的对角线求得，根据两球上点的距离最小值为，求解后得到r，R，进而求得正方体的对角线和外接球的表面积. 【详解】设内外球半径分别为r，R，则正方体的棱长为，体对角线长为，∴，又由题知，所以，，∴正方体棱长为，体对角线长为，∴外接球表面积为，故选：BD. 三、填空题 13．一个正方体的顶点都在球面上，且该正方体的表面积为，则该球的表面积为___________. 【答案】 【分析】利用正方体的表面积求解棱长，然后求解外接球的半径，即可求解球的表面积． 【详解】解：一个正方体的顶点都在球面上，且该正方体的表面积为，设正方体的棱长为，则，解得，正方体的体对角线的长度就是外接球的直径，所以，所以外接球的表面积为：， 14．（25-26高三上·广东深圳·期末）在四面体中，，，两两垂直，且，若均在球的球面上，则的表面积为_______. 【答案】50 【分析】四面体的外接球和以，，为长宽高的长方体的外接球相同，进而求得直径，再由球的表面积公式即可求解. 【详解】根据题意得四面体的外接球和以，，为长宽高的长方体的外接球相同， 所以外接球的直径为，所以外接球的表面积为， 15．将一个底面边长为2cm，高为的正四棱锥铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的表面积为______. 【答案】/ 【分析】根据给定条件，求出正四棱锥内切球半径即可求得球的表面积. 【详解】底面边长为2cm，高为的正四棱锥的斜高，因此该四棱锥的表面积，依题意，制作的球体零件表面积最大时，该球为正四棱锥的内切球，设其半径为，则，解得，该球的表面积为. 16．已知某圆锥的母线长是底面半径的4倍，且该圆锥外接球的表面积为，则该圆锥外接球的半径为___________，该圆锥的底面半径为___________. 【答案】 / 1 【分析】设圆锥的底面半径为，圆锥外接球的半径为，根据已知条件结合球的面积公式及勾股定理求出、. 【详解】如图，设圆锥的底面半径，圆锥外接球的球心为，外接球的半径为， 由题意，球的表面积为，解得，即，由，则，在中，，则，解得. 17．在三棱锥中，，，，且三棱锥的体积为，则该三棱锥外接球的表面积为___________． 【答案】 【分析】先根据三棱锥的体积，求三棱锥的高，再根据三棱锥的几何性质，确定三棱锥外接球球心的位置和外接球的半径，利用球的表面积公式求面积. 【详解】如图： 在中，，，所以.取中点，则为外接圆的圆心，且外接圆半径为.连接，因为，所以.又.所以，即.又平面，，所以平面.所以. 所以三棱锥外接球的球心在线段上，设为，再设三棱锥外接球的半径为， 在中，，，,由. 所以三棱锥外接球的表面积为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学人教A版必修二立体几何期末备考专项讲与练05 测试范围：正方体与球 回归教材： 【人教A版必修二第8.3.2节练习第3题】将一个棱长为6cm的正方体铁块磨制成一个球体零件，求可能制作的最大零件的体积. 【人教A版必修二习题8.3第5题】一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是，求球的体积. 【人教A版必修二第8.3.2节练习第4题】一个长、宽、高分别是80cm，60cm，55cm的水槽中装有200000的水，现放入一个直径为50cm的木球，如果木球的三分之二在水中，三分之一在水上，那么水是否会从水槽中溢出？ 基础知识： 1、正方体与长方体的外接球 （1）若正方体边长为，则它的外接球半径为； （2）若长方体的三边长分别为，则它的外接球半径为； （3）棱长为的正方体，内接正四面体的棱长为，外接球直径等于长方体的对角线长． 2、补全为正方体与长方体的外接球 (1)若三棱锥中有三条棱互相垂直，则可考虑补全为长方体或正方体，称之为墙角模型（如上图模型1、2、3），这时三棱锥的外接球同补全的长方体或正方体的外接球，求球的半径公式如上。 (2)模型2为九章算术中的鳖臑，即四个面都为直角三角形的四面体。 (3)若三棱锥的三对对棱两两相等，也可以补全为长方体或正方体（如图对角线相等模型），外接球的半径也同长方体或正方体的外接球半径。 跟踪训练： 一、单选题 1. 【人教A版必修二第8.3.2节练习第3题改编】将一个棱长为4cm的正方体铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的体积为（ ） A. B. C. D. 2．【人教A版必修二习题8.3第5题改编】一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm，则球的表面积是（    ） A． B． C． D． 3．【人教A版必修二习题8.3第5题改编】长方体的一个顶点上三条棱长分别是1，3，，且它的八个顶点都在同一球面上，这个球的体积是（   ） A． B． C． D． 4．已知一个正方体所有的顶点都在一个球面上，若球的体积是V，则正方体的体积为（    ） A． B． C． D． 5．【人教A版必修二第8.3.2节练习第3题改编】将一个棱长为的正方体铁块磨制成一个零件，能够磨制成的零件可以是（ ） A．底面半径为，高为的圆柱体 B．底面直径为，高为的圆锥体 C．半径为的球体 D．各棱长均为的四面体 6．【人教A版必修二第8.3.2节练习第3题改编】将一个长、宽、高分别5，4，3的长方体铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的表面积为（    ） A． B． C． D． 7．在三棱锥中，已知，，，则该三棱锥外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·江苏南通·期末）如图，在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 9．已知长方体的外接球表面积为，且，则该长方体的体积的最大值为（    ） A． B． C．3 D． 10．四棱锥的底面是边长为2的正方形，且，设该四棱锥的外接球球心与内切球球心分别为，，则的长为（   ） A．0 B． C． D． 二、多选题 11．一棱长等于1且体积为1的长方体的顶点都在同一球的球面上，则该球的体积可能是（    ） A． B． C． D． 12．设一空心球是在一个大球(称为外球)的内部挖去一个有相同球心的小球(称为内球)，已知内球面上的点与外球面上的点的最短距离为1，若某正方体的所有顶点均在外球面上､所有面均与内球相切，则（    ） A．该正方体的棱长为2 B．该正方体的体对角线长为 C．空心球的内球半径为 D．空心球的外球表面积为 三、填空题 13．一个正方体的顶点都在球面上，且该正方体的表面积为，则该球的表面积为___________. 14．（25-26高三上·广东深圳·期末）在四面体中，，，两两垂直，且，若均在球的球面上，则的表面积为_______. 15．将一个底面边长为2cm，高为的正四棱锥铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的表面积为______. 16．已知某圆锥的母线长是底面半径的4倍，且该圆锥外接球的表面积为，则该圆锥外接球的半径为___________，该圆锥的底面半径为___________. 17．在三棱锥中，，，，且三棱锥的体积为，则该三棱锥外接球的表面积为___________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $