精品解析：安徽合肥市第十中学等校2026届高三年级高考适应性考试数学试题

2026届高三年级高考适应性考试 数学试题 注意事项： 1．答卷前，务必将自己的姓名和考号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，务必擦净后再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知是虚数单位，复数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 2. 样本数据3，5，6，8的第75百分位数是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 3. 已知是函数的对称轴，则的值可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的极小值点为3，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 股票是一种有价证券，代表持有者对股份公司的所有权，股票交易是一种重要的金融市场行为．已知某支股票的当前价格为12元每股，交易所规定每个交易日该股票价格的最大涨幅为20%（达到最大涨幅时称为“涨停板”），最大跌幅也为20%（达到最大跌幅时称为“跌停板”），现在不考虑其他限制，设个交易日后该股票价格达到60元每股，则的最小值为（ ）（参考数据：，） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 7. 已知抛物线的焦点为，以为圆心的圆与抛物线交于，两点，与轴负半轴交于点，，与轴分别交于点，，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 8. 下列曲线上，不存在四个点能构成正方形的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合是第一象限角，，则（ ） A. B. C. ， D. ， 10. 已知双曲线：的左，右焦点分别为，，过点与双曲线的一条渐近线平行的直线交于点，则（ ） A. 双曲线的离心率为 B. 若，则 C. 若，则 D. 若的面积为，则 11. 某闯关游戏中，玩家初始积分1分，每次闯关成功的概率都为，闯关成功则玩家积分，失败则积分，每次闯关结果相互独立．记第关后玩家累积积分为，的数学期望为，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 事件“”与事件“”相互独立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填在答题卡的相应位置． 12. 在中，已知，，，则__________． 13. 已知，当取得最大值时，则__________． 14. 在四棱锥中，底面正方形边长为，，，则四棱锥的外接球的表面积为__________． 四、解答题：本题共5题，共77分．解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程．解答写在答题卡上的指定区域内． 15. 设数列的前项和为，已知是公比大于0的等比数列，，． （1）求通项公式； （2）求数列的前项和． 16. 如图，四棱台中，平面，底面为梯形，，，，． （1）证明：平面平面； （2）若直线与平面所成角正弦值为，且，求四棱台体积． 17. 某研发团队为测试新型智能学习助手的答题准确率，对道高中数学概率统计题进行测试，记录了每道题的解题成功率（单位：%）．已知该助手解答同类型题目的成功率近似服从正态分布，其中，． （1）从该助手解答的题目中随机抽取1道，求其成功率满足的概率； （附：若，则 ， ） （2）现有（，）同类型的题目，其中成功率不低于的题目共有6道．现从这道测试题中随机抽取3道进行人工复核，记抽到成功率不低于的题目数量为随机变量． （i）当时，求的分布列及数学期望； （ii）若，试估计的值（即使得取得最大值时的的值）． 18. 设椭圆：的离心率为，为椭圆的左端点． （1）求椭圆的标准方程： （2）设动点，在椭圆上且在第三象限，点，射线，关于直线对称，记，的斜率分别为，． （i）若，求； （ii）求证：直线过定点，并求出该定点的坐标． 19. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）若存在，，且，使，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三年级高考适应性考试 数学试题 注意事项： 1．答卷前，务必将自己的姓名和考号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，务必擦净后再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知是虚数单位，复数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】由题意得，则. 2. 样本数据3，5，6，8的第75百分位数是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【详解】因为一共有4个数据，且，所以第75百分位数为从小到大第3个数和第4个数的平均值，即：. 3. 已知是函数的对称轴，则的值可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知函数在处取最值，代入求解即可. 【详解】因为， 又因为是函数的对称轴， 所以函数在处取最值， 所以 ， 解得 ， 所以当时，， 当时，， 故只有A选项满足. 4. 向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，，所以， ，， 所以向量在向量上的投影向量为. 5. 已知函数的极小值点为3，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数的极小值点为3，求得，利用导数确定函数的单调性及极值，作出图象，结合图象求解即可. 【详解】因为， 所以， 令，解得或， 当时，， 此时当时，；当时，； 当时，； 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处取极小值，不满足题意； 当时，， 函数在R上单调递增，不存在极小值，不满足题意； 当时，， 当时，；当时，； 当时，； 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 且函数的极小值点为3，所以， 所以， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又，， 所以的解集为. 6. 股票是一种有价证券，代表持有者对股份公司的所有权，股票交易是一种重要的金融市场行为．已知某支股票的当前价格为12元每股，交易所规定每个交易日该股票价格的最大涨幅为20%（达到最大涨幅时称为“涨停板”），最大跌幅也为20%（达到最大跌幅时称为“跌停板”），现在不考虑其他限制，设个交易日后该股票价格达到60元每股，则的最小值为（ ）（参考数据：，） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据每日最大涨幅列出个交易日后股票价格满足的不等式，两边取常用对数后结合给定参考数据计算，得到的最小正整数值. 【详解】要让最小，需要每个交易日都涨停（每天价格变为原来的倍）， 因此天后的价格满足不等式 化简得 ， 两边取常用对数，得 因为 ， ， 所以 ， 因为是正整数，所以的最小值为. 7. 已知抛物线的焦点为，以为圆心的圆与抛物线交于，两点，与轴负半轴交于点，，与轴分别交于点，，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设圆的方程为， 且，得 ，根据在抛物线和圆上得 ，进而得到，坐标，结合已知得，，代入解析式求参数值. 【详解】已知抛物线的焦点为 以为圆心的圆的半径为，则圆的方程为， 该圆与轴负半轴交于点，令得 ，故 ， 圆与抛物线交于两点，由对称性可设 ，其中， 由在抛物线和圆上，则，消去化简得，所以， 从而的横坐标为，即 ， 由 得直线的斜率，方程为 ， 令得与轴的交点 ；同理得与轴交于点 ， 所以，已知 ，故 ，即，又 ， 而 代入 得 ，解得（负值舍去）， 由得，所以 ​​ 8. 下列曲线上，不存在四个点能构成正方形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对四个选项中的曲线分别通过坐标构造、结合对称性分析验证是否存在四个点可构成正方形，最终选出不存在四个点构成正方形的选项. 【详解】对于A：是顶点为的菱形，两条对角线长均为4且互相垂直，本身就是正方形， 因此存在四个点构成正方形，A错误； 对于B：曲线 是反比例曲线平移得到，中心为， 过曲线对称中心的直线 与曲线有交点的充要条件是斜率， 若曲线上四点构成正方形，则由曲线的中心对称性质可知，正方形的中心必是， 其两条对角线所在直线的斜率需满足 且， 与矛盾，故不存在这样的正方形，B正确； 对于C：取四个点，验证均满足分段曲线方程，且边长均为， 对角线长均为，可构成正方形，C错误； 对于D，令，则定义域为，且对，都有， 所以是奇函数，关于原点对称，若曲线上存在四个点构成正方形，则正方形中心为原点， 若是顶点，绕原点旋转得也为顶点，代入， 整理得方程，方程有正实解，因此存在符合条件的四个点，D错误. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合是第一象限角，，则（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】BC 【解析】 【分析】由题设，结合已知判断A、B，应用辅助角公式得、，结合前提描述及正弦函数的性质判断C、D. 【详解】由是第一象限角，， 所以间没有包含关系，且，A错，B对， 由，且，则，， 所以，则恒成立，C对， 由且， 所以，则，D错. 10. 已知双曲线：的左，右焦点分别为，，过点与双曲线的一条渐近线平行的直线交于点，则（ ） A. 双曲线的离心率为 B. 若，则 C. 若，则 D. 若的面积为，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，结合双曲线的定义和性质依次判定即可. 【详解】 如图所示，双曲线：，其中， ， 左焦点，右焦点，渐近线方程， 设过左焦点的直线与渐近线 平行，则直线的方程为， 联立，解得，所以点的坐标为， 对于A，由题意可知，，且为锐角， 则构造直角三角形，对边为，邻边为，斜边为 ， 所以，所以 ，而双曲线的离心率，故A错误； 对于B，若，则，即 由于向量， ， 所以 ，化简得， 由于 ，解得，，即，， 所以向量， 所以 ，故B正确； 对于C，若，由于，且 ， 化简得 ，解得，故C正确； 对于D，若的面积为，由于的底边为， 高为点的纵坐标的绝对值， 所以 ，解得， 由C选项可知， 所以 ，故D正确. 11. 某闯关游戏中，玩家初始积分1分，每次闯关成功的概率都为，闯关成功则玩家积分，失败则积分，每次闯关结果相互独立．记第关后玩家累积积分为，的数学期望为，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 事件“”与事件“”相互独立 【答案】ABC 【解析】 【分析】A选项，找到每次得分和总得分的关系，进行转化即可计算； B选项，利用条件概率分别计算求解； C选项，计算得到，再进行判断； D选项，分析事件之间是否会相互影响，若会则不独立. 【详解】A选项，设每次闯关得分为，成功时，概率为，失败时，，概率为， 则 ，若，则 ， 初始积分为1分，则， ，所以A选项正确； B选项，.，即：前两次闯关后积分为正，包含两种情况：①两次闯关均胜；②两次闯关一胜一负. 若为第一种情况，其概率为，若为第二种情况，其概率为， 所以； 且，即：前两次闯关后积分为正的同时前四次闯关后积分也为正，包含两种情况： ③前两次闯关均胜，后两次不管如何都能保证最终积分为正；④前两次闯关一胜一负，则后两次闯关只能一胜一负或者两次均胜才能保证最终积分为正. 若为第三种情况，其概率为，若为第四种情况，其概率为， 所以， 则由条件概率公式得：，所以B选项正确； C选项，当时，由A选项解析得：，故， 显然随的增大而增大，因此，所以C选项正确； D选项，事件“” 表示第一次闯关成功， 事件“” 表示前两次闯关成功， 很明显前两次成功受第一次成功与否的影响，所以两个事件不独立，所以D选项错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填在答题卡的相应位置． 12. 在中，已知，，，则__________． 【答案】或 【解析】 【详解】因为中，，由正弦定理， 得，因为，所以或， 因为，经检验，或均符合题意. 13. 已知，当取得最大值时，则__________． 【答案】3 【解析】 【详解】因为，所以，所以， 所以，所以，当且仅当时，等号成立. 所以，所以. 14. 在四棱锥中，底面正方形边长为，，，则四棱锥的外接球的表面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设，则四棱锥的外接球的球心在过点且垂直于平面的直线上，以其为轴，为轴建立空间直角坐标系，利用进行求解. 【详解】设， 则四棱锥的外接球的球心在过点且垂直于平面的直线上， 以其为轴，为轴建立空间直角坐标系， 因为正方形边长为，则， 所以 设， 则，得， 所以， 设球心，则， 即， 解得， 所以外接球的半径为， 则四棱锥的外接球的表面积为. 四、解答题：本题共5题，共77分．解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程．解答写在答题卡上的指定区域内． 15. 设数列的前项和为，已知是公比大于0的等比数列，，． （1）求通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，结合已知条件构造方程求出，进而求出； （2）先求出，再利用裂项相消法求． 【小问1详解】 设，则， 由题可设，则， 则，解得， ， ． 【小问2详解】 ， ． 16. 如图，四棱台中，平面，底面为梯形，，，，． （1）证明：平面平面； （2）若直线与平面所成角正弦值为，且，求四棱台体积． 【答案】（1）在中，，，， 由余弦定理得， 代入数据解得， 所以，则， 又，所以， 因为平面，平面，所以， 又，，所以平面， 又平面，所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）通过证明平面，可得到平面平面； （2）建立空间正交坐标系，表示出平面的法向量，直线与平面所成角的正弦值即可解出的值，最后求出答案. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 因为，平面，分别以，，所在直线为，，轴建系，如图所示： 设，则，，，， 由得，故 ， 设平面法向量为，则，令，则，则， 设直线与平面所成角为，为锐角， 则，化简得 ，又，故得， 设梯形与梯形面积为，，则， 因为，则，所以. 17. 某研发团队为测试新型智能学习助手的答题准确率，对道高中数学概率统计题进行测试，记录了每道题的解题成功率（单位：%）．已知该助手解答同类型题目的成功率近似服从正态分布，其中，． （1）从该助手解答的题目中随机抽取1道，求其成功率满足的概率； （附：若，则 ， ） （2）现有（，）同类型的题目，其中成功率不低于的题目共有6道．现从这道测试题中随机抽取3道进行人工复核，记抽到成功率不低于的题目数量为随机变量． （i）当时，求的分布列及数学期望； （ii）若，试估计的值（即使得取得最大值时的的值）． 【答案】（1） （2）（i） Y 0 1 2 3 ；（ii）或 【解析】 【分析】（1）利用正态分布的对称性，结合已知 ， 计算求解； （2）（i）识别分布类型，求出相关概率和分布列，进而计算期望值； （ii）写出的表达式，构造数列，分情况讨论相邻两项的比值确定单调性，找出单调性的分界点，即为对应的值． 【小问1详解】 由题意， ． 【小问2详解】 （i）服从超几何分布，且，，， 故的所有可能取值为：0，1，2，3， ，， ，， 故的分布列为： Y 0 1 2 3 期望． （ii）记， ， 则 ，解得 ， 故当 时，，当 时， ， 当时， ， 故 ， 所以或时，最大． 18. 设椭圆：的离心率为，为椭圆的左端点． （1）求椭圆的标准方程： （2）设动点，在椭圆上且在第三象限，点，射线，关于直线对称，记，的斜率分别为，． （i）若，求； （ii）求证：直线过定点，并求出该定点的坐标． 【答案】（1） （2）（i）； （ii）设直线：，由在第三象限可知，． 与椭圆 联立得 ． 则，且，． 由（i）知 ，即， 即 ， 即 ， 即 ，即 ． 又，，故 ， 因此直线：恒过定点. 【解析】 【分析】（1）根据离心率和椭圆性质求解； （2）（i）设直线，的倾斜角分别为，，则 ，故，于是， ，可解；（ii）设直线：，联立方程组，根据（i） ，化简可得证. 【小问1详解】 由题意，，又离心率，故， 所以椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 （i）由题，，设直线，的倾斜角分别为，， 由题意，，即 ，故． 于是， ， 故时， （ii）略 19. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）若存在，，且，使，证明：． 【答案】（1）当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减 （2） （3）因为，，且，可得 ， 则在不单调，故，且，解得 由，则，所以， 即，解得． 由，故. 【解析】 【分析】（1）求导，分和两种情况讨论可得函数的单调性； （2）结合（1）的单调性可得，进而计算求解即可； （3）结合题意可得在不单调，可得，进而可得，计算可得结论. 【小问1详解】 ， 当时，，函数在上单调递增； 当时，由，即 ，解得； 由，即 ，解得， 所以，函数在上单调递增，在上单调递减． 综上，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 【小问2详解】 由（1）知，当时， ，与矛盾，舍； 当时，的最大值为，即 ，解得 综上，实数的取值范围是 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $