精品解析：2025届安徽省合肥市A10联盟高三模拟预测数学试题B卷

A10联盟最后一卷数学B卷 本试卷共150分，考试时间120分钟. 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的焦距为（ ） A. B. C. D. 3. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知 ，则 （ ） A. B. C. D. 5. 已知正数、满足，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 9 6. 2025年春节，国产电影《哪吒之魔童闹海》火遍全球，更是于2月18日登顶全球动画榜．甲、乙、丙、丁、戊五位同学打算去蚌埠固镇、天津陈塘关、南阳西峡县三个哪吒故里旅游打卡，每位同学只去一个地方，每个地方至少去1人，则不同的安排方法有（ ） A. 120种 B. 150种 C. 180种 D. 300种 7. 在棱长为的正方体中，是的中点，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知随机变量服从正态分布 ，则（ ） 参考数据： 若 服从正态分布 ，则 ， . A. B. C. D. 10. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且，则（ ） A. 若，则 B. 若为锐角，则 C. 若，则 D. 若为锐角三角形，则 11. 由函数，相加后得到的函数，具有优美的图象和性质，称为“优生成函数”．已知，，其优生成函数记为，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 在区间上先增后减 C. 的值域为 D. 在区间上有个零点 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知向量，则在上的投影向量为_________． 13. 数轴上的一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔等可能地向正方向或负方向移动一个单位，则质点在第末位于位置的概率为__________. 14. 数列满足，其中为函数的零点，则___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数 . （1）若 ，求 的极值； （2）若 在区间 上存在零点，求实数的取值范围. 16. 如图，在四棱锥中，平面平面，为的中点，，，，，． （1）求点到平面的距离； （2）在线段上是否存在点，使得平面?若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由． 17. 某学校举办趣味投篮比赛，选手需要在距离罚球线1米、2米、3米的A，B，C三个位置分别投篮一次（选手自行选择投篮顺序）．在A，B，C三个位置投篮命中分别可得1分、2分、3分，总分不低于4分就可以获得奖品，已知甲在A，B，C三处的投篮命中率分别为，且在这三处的投篮相互独立． （1）求甲未获得奖品的概率； （2）甲参加投篮训练，训练计划如下：在C处先投个球，若这n个球都投进，则训练结束，否则额外在C处投个球．试问n为何值时，甲投篮次数的期望最大？ 18. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，离心率为 ，且 的短轴长为 是 上不同的四点. （1）求 的方程； （2）若点 在 轴上方，且 ，求直线 的斜率； （3）若 都在 轴上方，且 ，求四边形 面积的最大值. 19. 在数列中，若存在常数，使得恒成立，则称数列为“数列”. （1）判断数列1，2，3，7，43是否为“数列”，并说明理由； （2）若，试判断数列是否为“数列”，并说明理由； （3）若数列为“数列”，且，数列为等比数列，且，求数列的通项公式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ A10联盟最后一卷数学B卷 本试卷共150分，考试时间120分钟. 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次不等式的求解与交集的定义求解即可. 【详解】由题意得，，所以． 故选：B. 2. 已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的焦距为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据垂直关系解得参数的值，再根据的关系得可得焦距. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 所以，解得， 因此，双曲线的焦距为. 故选：D. 3. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，则，即可求出，即可求解． 【详解】设， 则， 则． 故选：D. 4. 已知 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式可得，再利用二倍角的余弦公式求解即可. 【详解】 . 故选：A. 5. 已知正数、满足，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式的乘“1”法即可得解. 【详解】由题意得， 当且仅当时，即时，取得最小值9． 故选：D. 6. 2025年春节，国产电影《哪吒之魔童闹海》火遍全球，更是于2月18日登顶全球动画榜．甲、乙、丙、丁、戊五位同学打算去蚌埠固镇、天津陈塘关、南阳西峡县三个哪吒故里旅游打卡，每位同学只去一个地方，每个地方至少去1人，则不同的安排方法有（ ） A. 120种 B. 150种 C. 180种 D. 300种 【答案】B 【解析】 【分析】将五位同学分成三组，各组人数分别为1,1,3或1,2,2，进行求解． 【详解】将五位同学分成三组，各组人数分别为1,1,3或1,2,2． 当各组人数为1,1,3时，共有种安排方法； 当各组人数为1,2,2时，共有种安排方法， 所以不同的安排方法有种． 故选:B. 7. 在棱长为的正方体中，是的中点，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面垂直证明线线垂直与线面垂直，结合三角形外接圆性质确定外接球半径，即可得解. 【详解】 如图为的中点， ， 平面，平面， ，，平面， 平面， 正方体的棱长为， ，，， ， ， 的外接圆半径为， 所求问题等价于求以为半径的底面圆，高为的圆柱的外接球表面积， 设圆柱的外接球半径为，则， 三棱锥的外接球的表面积为， 故选：C． 8. 若函数，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将已知转化为恒成立，再求的最小值，最后利用基本不等式即可求解. 【详解】由题意可知函数的定义域为， 又，， 恒成立，即恒成立，即， 令，， 令，， 在上单调递增，且，当时，， 存在使得，即，即， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， ， 又，，， ，， ， ，， 又，当且仅当时等号成立， ，，， 实数的取值范围是. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知随机变量服从正态分布 ，则（ ） 参考数据： 若 服从正态分布 ，则 ， . A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性即可结合选项逐一求解. 【详解】由服从正态分布 可知 对于A，，A正确， 对于B，，故B正确， 对于C，，故C错误， 对于D，，故D正确， 故选：ABD 10. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且，则（ ） A. 若，则 B. 若为锐角，则 C. 若，则 D. 若为锐角三角形，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】由余弦定理，正弦定理，三角恒等变换结合同角的三角函数关系可得A错误；由A结合已知可得B正确；由A结合二倍角的余弦公式可得C正确；由C结合正切函数的值域可得D正确. 【详解】对于A，由余弦定理得，即， 由正弦定理得， 即，即，所以. 若，则且，从而，所以，故A错误； 对于B，若为锐角，由及得，即，故B正确； 对于C，因为，所以为锐角，，所以，故C正确； 对于D，当为锐角三角形时，且，解得，则，故D正确. 故选：BCD. 11. 由函数，相加后得到的函数，具有优美的图象和性质，称为“优生成函数”．已知，，其优生成函数记为，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 在区间上先增后减 C. 的值域为 D. 在区间上有个零点 【答案】AC 【解析】 【分析】根据“优生成函数”的定义可得函数解析式，根据函数的对称性直接判断A选项；求导根据导数判断函数单调性及值域情况，即可判断BC选项，直接求解可判断D选项. 【详解】易知“优生成函数”为， 对于A，因为， 所以关于直线对称，故A选项正确； 对于B，显然， 所以是函数的周期，所以在区间上的单调性与在区间上的单调性相同， 设，则， 求导得， 故在区间上单调递增，故B选项错误； 对于C，由已知关于对称及是函数的周期，可知只需考查时的值域， 因为，，在区间上单调递增，故当时，， 当时，， 求导得， 当时，，;当时，，. 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 故当，时，， 综上所述的值域为，故C选项正确； 令，易知在区间上，零点分别为，，，，，，共有11个，故D选项错误. 故选：AC． 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知向量，则在上的投影向量为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由投影向量的计算公式即可求解. 【详解】由题意得，， 则在上的投影向量为． 故答案为： 13. 数轴上的一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔等可能地向正方向或负方向移动一个单位，则质点在第末位于位置的概率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】方法一：事件质点在第末位于位置，可理解为次移动中有次向负方向、次向正方向，利用古典概型概率公式求结论； 方法二：设前质点向正方向移动的次数为，由条件可得，事件质点在第末位于位置，可表示为，结合二项分布概率分布列求解. 【详解】方法一，若质点在第末位于位置，则次移动中有次向负方向、次向正方向， 由已知前所有的移动方式有种，符合要求的移动方式有种， 故其概率为． 方法二，设前质点向正方向移动的次数为，则， 质点在第末位于位置，则， 所以概率为． 故答案为：. 14. 数列满足，其中为函数的零点，则___________. 【答案】## 【解析】 【分析】由为的零点，推理得到，利用此式和题设条件，将分别用表示，化简消元即得. 【详解】因为，则， 所以， 在恒成立， 所以函数在上单调递增. 当时，， 当时， ； 根据零点存在定理，可知函数在内存在零点， 且满足，即，则， . 且，可得， 因为在上单调递增，则在上单调递增， 可得，， 且，则，可得. 又因为，则， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数 . （1）若 ，求 的极值； （2）若 在区间 上存在零点，求实数的取值范围. 【答案】（1）的极大值的极小值 （2） 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数确定函数的单调性，即可根据极值的定义求解， （2）分离参数后构造，求导可得函数的单调性，即可求解. 【小问1详解】 当时，， ， 令，则或， 当和时，， 当时，， 故在和单调递增，在单调递减， 故当时，取极大值 当时，取极小值 【小问2详解】 令，则，则， 令， 则， 令，则， 由于故， 即，所以在单调递减， 故，故，则在单调递增， 且当时，，当时，， 故，即， 故实数的取值范围为 16. 如图，在四棱锥中，平面平面，为的中点，，，，，． （1）求点到平面的距离； （2）在线段上是否存在点，使得平面?若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）存在，点是中点 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用坐标法可求得点到平面的距离； （2）利用坐标法设点，根据线面平行列方程，解方程即可. 【小问1详解】 因为平面平面，平面平面， 且平面，故平面． 以为原点，所在直线为轴，过点平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，得平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为； 【小问2详解】 由（1）知，平面的一个法向量为， “线段上存在点，使得平面”等价于“”． 因为，设，， 则，， 所以，解得， 所以线段上存在点，即中点，使得平面. 17. 某学校举办趣味投篮比赛，选手需要在距离罚球线1米、2米、3米的A，B，C三个位置分别投篮一次（选手自行选择投篮顺序）．在A，B，C三个位置投篮命中分别可得1分、2分、3分，总分不低于4分就可以获得奖品，已知甲在A，B，C三处的投篮命中率分别为，且在这三处的投篮相互独立． （1）求甲未获得奖品的概率； （2）甲参加投篮训练，训练计划如下：在C处先投个球，若这n个球都投进，则训练结束，否则额外在C处投个球．试问n为何值时，甲投篮次数的期望最大？ 【答案】（1） （2）当时，甲投篮次数的期望最大 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件的概率公式求解即可； （2）先求出期望的表达式，再利用作差法即可得解. 【小问1详解】 甲三次投篮都命中的概率为， 甲三次投篮只命中两次且总分不低于4分的概率为 ， 所以甲未获得奖品的概率为. 【小问2详解】 设甲的投篮次数为X，则X的分布列为 X P 则， 令，则， 所以，其中随的增大而减小. 当时，，，当时，， 所以， 故当时，甲投篮次数的期望最大． 18. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，离心率为 ，且 的短轴长为 是 上不同的四点. （1）求 的方程； （2）若点 在 轴上方，且 ，求直线 的斜率； （3）若 都在 轴上方，且 ，求四边形 面积的最大值. 【答案】（1） （2）1 （3） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的几何性质列方程组即可求解， （2）联立直线与椭圆方程可得韦达定理，根据向量的坐标关系，代入化简即可求解， （3）根据平行以及椭圆对称性得,进而得,利用韦达定理得，即可换元，结合基本不等式求解. 【小问1详解】 设椭圆的焦距为， 则，且， 结合，解得， 故椭圆方程为 【小问2详解】 由题意可得， 由于，即，故直线的斜率为正数， 设， 联立，得， 所以， 因此，， 因此故，解得， 故直线的斜率为1. 【小问3详解】 延长交椭圆于点, 由，以及椭圆的对称性可知, 则与等底等高，所以, 四边形的面积为, 设,由（2）知：， 所以 故, 令，所以， 当且仅当时，即时，四边形的面积取到最大值. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 19. 在数列中，若存在常数，使得恒成立，则称数列为“数列”. （1）判断数列1，2，3，7，43是否为“数列”，并说明理由； （2）若，试判断数列是否为“数列”，并说明理由； （3）若数列为“数列”，且，数列为等比数列，且，求数列的通项公式. 【答案】（1）是，理由如下： 由题意得，， 则1，2，3，7，43是“数列”. （2）不是，理由如下： 由，得， 由，得，而，∴不是“数列”. （3） 【解析】 【分析】（1）根据“H(1)数列”的定义，判断所给数字是否满足后一项等于前面所有项乘积加 1 的规律. （2）先根据求出、的值，再看是否满足“数列”的条件. （3）先根据和，当时求出.再继续利用这两个等式求出、，然后代入，通过解方程求出，进而求出公比，最后得到的表达式. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设数列的公比为. 由，得， 由，得， ∴，解得. 由，得， 由，得， ∴，∴，∴. 由，得， 则， 解得，∴，∴，∵，∴. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $