精品解析：2026年河南周口市郸城县两校中考二模数学试题

2026年初中学业水平质量检测试卷（二） 九年级数学 （满分：120分 考试时间：100分钟） 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，考生应首先将姓名、准考证号填写在答题卡指定位置． 2．答题时，答案必须写在答题卡相应答题区域内，写在试题卷上作答无效． 3．作图题先用铅笔绘制，确认无误后再用黑色签字笔描黑． 4．考试结束后，将试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列各数中，最大的负数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先估算各选项负数的绝对值，再根据“负数比较大小，绝对值越小，对应负数越大”的规则即可得到结果． 【详解】解：∵，， ，， 又∵ ， ∴， ∴ 因此最大的负数是． 2. 如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三视图的概念进行分析即可． 【详解】从前面看可得到从左到右第1列有2个正方形，第2列有1个正方形，第3列有1个正方形， 符合题意的主视图为A． 3. 2026年河南多地推进智慧农业建设，精准灌溉设备单日节水总量可达2860000立方米，数据2860000用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 4. 如图，直线，分别交，于点，，于点．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 5. 现有一组从小到大排列且不重复的整数：，，，，， 若这组数据的中位数是，则这组数据的平均数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据中位数的定义确定的取值，再计算这组数据的平均数． 【详解】解：若这组数据的中位数是，则， 该组整数从小到大排列且不重复，则， 故这组数据的平均数为． 6. 一元二次方程 的一个根为，则另一个根是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的定义，先把代入一元二次方程 中，求出参数，再解这个一元二次方程，即可得到另一个根． 【详解】解：是方程的一个根， 将代入原方程中，得 ， 化简得 ， 解得， 将代入原方程中，得， 对左边因式分解得， 解得，， 因此方程的另一个根为． 7. 如图，两点分别在函数和的图像上，线段轴，点在轴上，则的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 9 【答案】A 【解析】 【详解】解：连接、，线段交y轴于点D， ，， ， ， 由反比例函数中k的几何意义知，，， ． 8. 如图，在平行四边形中，，点E为上一点，连接，，点M，N分别是，的中点，连接，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的性质，解题的关键是掌握相关基础性质．根据平行四边形的性质可得，再根据三角形中位线的性质，求解即可． 【详解】解：在平行四边形中，， ∴， ∵M，N分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴． 9. 如图，二次函数 的图象与x轴交于点，，与直线 交于点，若函数的图象与x轴只有一个交点，则的值是（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据二次函数 的图象与x轴交于点，得,直线 过点得，求得，根据函数的图象与x轴只有一个交点得，即可求得． 【详解】解：∵二次函数 的图象与x轴交于点，， ∴, ∵直线 过点， ∴， 解得：， ∴， ∴ ； ∵函数的图象与x轴只有一个交点， ∴当时，， ∴， 整理得， 解得：． 10. 如图，分别经过原点和点的动直线，，其夹角，点是中点，连接，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，，则点在的外接圆上运动，在轴上截取，则，当取最小值时，取最小值，连接交于点，此时的长度最小． 【详解】解：如图所示， ∵，， ∴， ∴点在的外接圆上运动， 在轴上截取，连接， ∵点是中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当取最小值时，取最小值， 连接交于点， 则，当点与点重合时，取得最小值， 此时长度的最小值为， ∵在中，，，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 过点作于点， ∴，， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 此时， ∴的最小值是． 二、填空题 （本大题共5小题，每小题3分， 共15分） 11. 计算：__________． 【答案】 【解析】 【分析】先化简二次根式，并直接将特殊角的三角函数值代入求解即可．本题考查了计算特殊角的正切值，二次根式的混合运算，解题的关键是掌握特殊角的三角函数值． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 不等式组的整数解为____________． 【答案】，， 【解析】 【分析】先分别求解不等式组中每个不等式的解集，再取两个解集的公共部分得到不等式组的解集，最后确定解集范围内的整数即可． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 则不等式组的解集为， 故不等式组的整数解为，，． 13. 现有国学经典《论语》《孟子》《中庸》《大学》四本书，从中随机抽取两本，恰好抽到《论语》和《孟子》的概率是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】先确定随机抽取两本的所有等可能结果数，再找出恰好抽到《论语》和《孟子》的结果数，根据概率公式计算即可． 【详解】解：记四本书《论语》《孟子》《中庸》《大学》分别为，，，. 随机抽取两本，所有等可能的结果为：，，，，，，共种， 其中恰好抽到《论语》和《孟子》的结果有种， 所以恰好抽到《论语》和《孟子》的概率是． 14. 如图，在扇形中，，垂直平分，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，先求扇形的圆心角，根据即可求解． 【详解】解：连接， 垂直平分， ，，． ， ． 是等边三角形，． ． ． 15. 如图，的直角边，斜边，点P为线段上动点．若F为线段上一点，且，连接，将线段绕点F顺时针方向旋转得线段，连接，则的最小值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】连接，以为边作等边，连接，证明，得出，说明点G在上运动，根据垂线段最短，得出当时，取得最小值，过点F作于点N，证明四边形为矩形，得出，，根据直角三角形的性质得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：连接，以为边作等边，连接，如图所示： 则，， 根据旋转可得：，， ∴是等边三角形，， ∴，即， ∴， ∴，即点G在上运动， ∵垂线段最短， ∴当时，取得最小值，过点F作于点N，如图所示， 则， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值为4． 三、解答题（本大题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 按要求完成下列各题： （1）计算： ； （2）解分式方程：． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）首先计算负指数幂、零指数幂、三角函数值、去绝对值符号，然后再计算乘法运算，最后，再合并即可； （2）按照解分式方程的一般步骤：找最简公分母为，然后去分母，去括号，移项，合并同类项，求出未知数的值，再进行检验即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 两边同乘得： ， 去括号得：， 移项，合并得：， 解得： 检验：当时， ， 所以，分式方程的解为． 17. 某校随机对部分学生“整理错题的行为习惯”进行问卷调查．问卷主题是：“作业或考试中做错的题目及时纠错解疑情况”，设置的选项有：A：偶尔，B：较少，C：较多，D：一直．将调查结果的数据进行了整理、绘制成部分统计图如图． 请根据图中信息，解答下列问题： （1）本次抽样调查人数是________，请补全条形统计图； （2）扇形统计图中选项“较少”占的百分比中_______，选项“偶尔”对应的圆心角是________； （3）若该校共2000名学生，请根据统计结果估计“一直”对错题进行纠错解疑的学生约有多少名？ 【答案】（1）200；见解析 （2）25；36 （3）700 【解析】 【分析】（1）用“偶尔”的人数除以其人数占比求得抽样调查的人数，作差求出“较多”的人数，然后补全条形统计图即可； （2）用“较少”的人数除以抽样调查的人数求出其占比，用乘以“偶尔”的人数占比可求出对应的圆心角； （3）用2000乘以样本中“一直”的人数占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，本次抽查的人数为（人）， ∴“较多”的人数为（人）， 补全条形统计图，如图所示： 【小问2详解】 解：“较少”的百分比为， ∴， “偶尔”对应的圆心角的度数为； 【小问3详解】 解：（人）． 答：“一直”对错题进行纠错解疑的学生约有名． 18. 如图，在等腰中，，为的中线，D为边上一点，以为直径作交于点E，与相切于点G． （1）求证：； （2）若，的半径为，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形三线合一的性质可得，再根据切线的性质可得 ，即可证明结论； （2）由题意设，则，由（1）知 ，证明 ，推出，在中，，求出，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵为等腰三角形且，为的中线， ∴， ∵与相切于点G， ∴ ， ∴ ； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 设，则， ∵的半径为 ， 由（1）知 ， ∴ ， 则，即，则， 在中，，即， 解得， ∴． 19. 为了测出如图所示的电视塔高度，在处用高为1米的测角仪，测得电视塔顶端的仰角为，再向电视塔方向前进90米，又测得电视塔顶端的仰角为．求这个电视塔的高度．（结果保留根号即可） 【答案】米 【解析】 【分析】由题意得米，米，然后设米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义可得，从而列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：如图 则，米， 设米， 米， 在中，， （米） 在中，， ， ， ， ， （米） 答：这个电视塔的高度为米． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用——仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解题的关键． 20. 校园文创商店计划购进中原非遗剪纸与泥塑摆件两种文创产品．已知购进3件剪纸、2件泥塑共需160元；购进2件剪纸、3件泥塑共需140元． （1）求每件剪纸、每件泥塑摆件的进价分别为多少元； （2）若该商店准备一次性购进两种文创产品共100件，剪纸数量不少于泥塑数量的2倍，且总进货资金不超过3400元，请求出最优进货方案． 【答案】（1）剪纸40元每件，泥塑20元每件 （2）剪纸67件，泥塑33件 【解析】 【分析】（1）设每件剪纸的进价为元，每件泥塑摆件的进价为元，根据“购进3件剪纸、2件泥塑共需160元；购进2件剪纸、3件泥塑共需140元”可列方程组，求解方程组即可； （2）设购进泥塑a件，剪纸件，根据“剪纸数量不少于泥塑数量的2倍，且总进货资金不超过3400元”可列不等式组，求出不等式组的解集， 【小问1详解】 解：设每件剪纸的进价为元，每件泥塑摆件的进价为元，根据题意得： ， 解得：， 答：每件剪纸的进价为40元，每件泥塑摆件的进价为20元； 【小问2详解】 解：设购进泥塑a件，剪纸件，根据题意得： 解得：， ∵是正整数，故可取30，31，32，33， 总进货资金：， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，总资金最少． 此时，剪纸数量为（件） 答：最优方案为购进泥塑33件，剪纸67件． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象的一个交点为． （1）求反比例函数的表达式； （2）点是反比例函数图象上的点，过点作轴，交一次函数的图象于点，求线段的长； （3）若两函数图象的另一交点为点，在轴上找一点使得的面积为6，求点坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）待定系数法求解析式即可； （2）分别求解，，再进一步求解即可； （3）根据中心对称的性质可得，再进一步即可求解． 【小问1详解】 解：∵点在一次函数的图象上， ∴代入得：， ∴点A的坐标为， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴． ∴反比例函数的解析式为． 【小问2详解】 解：∵点是反比例函数图象上的点， ∴， 解得：， ∴， ∵轴， ∴，， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：如图， ∵， ∴， 设，的面积为6， ∴， 解得：， ∴或． 22. 综合与实践： （1）【提出问题】 如图1，在菱形中，，点是对角线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，．则的度数为 ；线段与的数量关系为 ． （2）【类比探究】 如图2，在正方形中，点是对角线上一动点，且，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，．当时，求的长． （3）【迁移运用】 如图3，在矩形中，，，是对角线上一动点，连接，以为边在的右边作，且，，当点到的距离为时，求出的长． 【答案】（1）， （2） （3）的长为 【解析】 【分析】（1）结合菱形的性质以及等边三角形的判定和性质可证明，即可求解； （2）过作于点，证明，可得，即可解答； （3）过作于，过作于，则，在中，，然后分两种情况讨论：当在上方时，当在下方时，即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∴，是等边三角形， ∴， 由旋转的性质得：， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图2，过作于点， 四边形是正方形，是对角线， ，即是等腰直角三角形 ，， 由旋转的性质，得，， 是等腰直角三角形， ，， ，， ， ， 在中，， ， ； 【小问3详解】 解：在中，，则， ， ， 如图3，过作于，过作于，则， 在中，， ①当在上方时， ， ， 又， ， ； ②如图4，当在下方时， 同理， ； 综上，的长为． 23. 抛物线与轴的两个交点为，，且与轴交点的纵坐标为． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）如图，若是抛物线上任意一点，过点作轴的平行线，交直线于点．当时，求点的横坐标； （3）针对上述抛物线的特征，小宇发现这样的一个结论：若抛物线经过抛物线的顶点，则抛物线的顶点也在抛物线上．你认为他发现的这个结论正确吗？请说明理由． 【答案】（1） （2）或或或 （3）结论正确，理由见解析 【解析】 【分析】（1）使用待定系数法求函数表达式即可； （2）先求出直线的函数表达式为，设点，则点，从而得到，因此，分别求解即可； （3）先计算出抛物线的顶点的坐标为，将点代入的表达式可得，进而求出抛物线的顶点的坐标为，代入的表达式可知，点也在抛物线． 【小问1详解】 解：由题意可知，点的坐标为， 将点，，代入，得， ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：设直线的函数表达式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴直线的函数表达式为， 设点的坐标为， ∵轴， ∴， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴，即， 当时， 整理，得， 解得或； 当时， 整理，得， 解得或； 综上所述，点的横坐标为或或或； 【小问3详解】 解：结论正确，理由如下： ， ∴抛物线的顶点的坐标为， 将点代入，得， ， ∴， ∴抛物线的表达式为， ∴抛物线的顶点的坐标为， 将代入，得， ∴点也在抛物线上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平质量检测试卷（二） 九年级数学 （满分：120分 考试时间：100分钟） 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，考生应首先将姓名、准考证号填写在答题卡指定位置． 2．答题时，答案必须写在答题卡相应答题区域内，写在试题卷上作答无效． 3．作图题先用铅笔绘制，确认无误后再用黑色签字笔描黑． 4．考试结束后，将试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列各数中，最大的负数是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 2026年河南多地推进智慧农业建设，精准灌溉设备单日节水总量可达2860000立方米，数据2860000用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线，分别交，于点，，于点．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 现有一组从小到大排列且不重复的整数：，，，，， 若这组数据的中位数是，则这组数据的平均数为（ ） A. B. C. D. 6. 一元二次方程 的一个根为，则另一个根是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，两点分别在函数和的图像上，线段轴，点在轴上，则的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 9 8. 如图，在平行四边形中，，点E为上一点，连接，，点M，N分别是，的中点，连接，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 不确定 9. 如图，二次函数 的图象与x轴交于点，，与直线 交于点，若函数的图象与x轴只有一个交点，则的值是（ ） A. B. 1 C. D. 2 10. 如图，分别经过原点和点的动直线，，其夹角，点是中点，连接，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 （本大题共5小题，每小题3分， 共15分） 11. 计算：__________． 12. 不等式组的整数解为____________． 13. 现有国学经典《论语》《孟子》《中庸》《大学》四本书，从中随机抽取两本，恰好抽到《论语》和《孟子》的概率是_____________． 14. 如图，在扇形中，，垂直平分，则图中阴影部分的面积为________． 15. 如图，的直角边，斜边，点P为线段上动点．若F为线段上一点，且，连接，将线段绕点F顺时针方向旋转得线段，连接，则的最小值为______． 三、解答题（本大题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 按要求完成下列各题： （1）计算： ； （2）解分式方程：． 17. 某校随机对部分学生“整理错题的行为习惯”进行问卷调查．问卷主题是：“作业或考试中做错的题目及时纠错解疑情况”，设置的选项有：A：偶尔，B：较少，C：较多，D：一直．将调查结果的数据进行了整理、绘制成部分统计图如图． 请根据图中信息，解答下列问题： （1）本次抽样调查人数是________，请补全条形统计图； （2）扇形统计图中选项“较少”占的百分比中_______，选项“偶尔”对应的圆心角是________； （3）若该校共2000名学生，请根据统计结果估计“一直”对错题进行纠错解疑的学生约有多少名？ 18. 如图，在等腰中，，为的中线，D为边上一点，以为直径作交于点E，与相切于点G． （1）求证：； （2）若，的半径为，求的长． 19. 为了测出如图所示的电视塔高度，在处用高为1米的测角仪，测得电视塔顶端的仰角为，再向电视塔方向前进90米，又测得电视塔顶端的仰角为．求这个电视塔的高度．（结果保留根号即可） 20. 校园文创商店计划购进中原非遗剪纸与泥塑摆件两种文创产品．已知购进3件剪纸、2件泥塑共需160元；购进2件剪纸、3件泥塑共需140元． （1）求每件剪纸、每件泥塑摆件的进价分别为多少元； （2）若该商店准备一次性购进两种文创产品共100件，剪纸数量不少于泥塑数量的2倍，且总进货资金不超过3400元，请求出最优进货方案． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象的一个交点为． （1）求反比例函数的表达式； （2）点是反比例函数图象上的点，过点作轴，交一次函数的图象于点，求线段的长； （3）若两函数图象的另一交点为点，在轴上找一点使得的面积为6，求点坐标． 22. 综合与实践： （1）【提出问题】 如图1，在菱形中，，点是对角线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，．则的度数为 ；线段与的数量关系为 ． （2）【类比探究】 如图2，在正方形中，点是对角线上一动点，且，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，．当时，求的长． （3）【迁移运用】 如图3，在矩形中，，，是对角线上一动点，连接，以为边在的右边作，且，，当点到的距离为时，求出的长． 23. 抛物线与轴的两个交点为，，且与轴交点的纵坐标为． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）如图，若是抛物线上任意一点，过点作轴的平行线，交直线于点．当时，求点的横坐标； （3）针对上述抛物线的特征，小宇发现这样的一个结论：若抛物线经过抛物线的顶点，则抛物线的顶点也在抛物线上．你认为他发现的这个结论正确吗？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $