精品解析：2026年河南南阳市宛城区等2地初中毕业班第二次调研测试数学试题卷

2026年初中毕业班第二次调研测试 数学试题卷 注意事项： 1．本试卷满分120分，考试时间100分钟． 2．答题前，考生务必先将自己的姓名、考号、学校等填写在试题卷和答题卡相应的位置． 3．考生作答时，将答案涂、写在答题卡上，在本试题卷上答题无效． 4．考试结束，将答题卡和试题卷一并交回． 一、选择题（每小题3分，共30分，下列各小题只有一个答案是正确的．） 1. 的平方根为（ ） A. B. C. D. 2. 华为某系列手机采用的是纳米的麒麟芯片，纳米用科学记数法表示是米，那么所代表的原数是（ ）． A. B. C. D. 3. 如图，凹镜面内有一光源，其发出的两束光线经过反射以后得到和，如果，则关于或下列说法中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列整式运算，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 中华传统蒙学经典《弟子规》有言“凡出言，信为先”，将这六个字写在正方体的表面展开图中如图所示，则原正方体中与“为”字所在面相对的面上标的字是（ ） A. 凡 B. 出 C. 言 D. 先 6. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 7. 在对一组样本数据进行分析时，小明列出了方差的计算公式：，由公式提供的信息，判断下列关于样本的说法错误的是（ ） A. 平均数是8 B. 众数是6 C. 中位数是9 D. 方差是3.6 8. 我们知道：四边形具有不稳定性，如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的边与x轴平行，对角线交点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点处，则点C的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 我国宋代数学家杨辉发现了展开式系数的规律： 1 展开式系数和为1 1 1 展开式系数和为 1 2 1 展开式系数和为 1 3 3 1 展开式系数和为 　1 4 6 4 1 展开式系数和为 以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，展开式的系数和是（ ） A. 64 B. 128 C. 256 D. 612 10. 很多家庭都用燃气热水器，为了防止一氧化碳泄漏带来的危害，一般会安装燃气报警器．其中一种燃气报警器核心部件是气敏传感器(如图①中的)，的阻值随空气中一氧化碳质量浓度的变化而变化(如图②)，空气中一氧化碳体积浓度与一氧化碳质量浓度的关系见图③．下列说法不正确的是（ ） A. 空气中一氧化碳质量浓度越大，的阻值越小 B. 当时，的阻值小于 C. 当空气中一氧化碳体积浓度是时，燃气报警器为报警状态 D. 当时，燃气报警器为报警状态 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个比大且比小的整数______． 12. 若不等式组无解，则m的取值范围是 ________． 13. 如图，这是化学元素周期表中原子序数为1~4的元素，从中随机一次性选取两种元素，则这两种元素恰好都是金属元素（锂和铍为金属元素）的概率为______． 14. 如图，在中，，，D是的中点，以点D为圆心，作圆心角为的扇形，点C恰好在弧上（点C不与点E，F重合），半径分别与，相交于点，，则阴影部分的面积为_______． 15. 如图，在矩形中，，，点E是边的中点，点F是对角线上一动点，作点C关于直线的对称点P，若，则的长为_______． 三、解答题（共8个小题，满分75分） 16. 完成下列各题： （1）计算：； （2）化简：． 17. 某校随机抽取九年级部分同学接受一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动，学校收集并整理数据后，将减压方式分为五类，并绘制了图1、图2两个不完整的统计图，请根据图中的信息解答下列问题： （1）求该校九年级接受调查的人数并补全条形统计图． （2）计算扇形统计图中的“体育活动”所对应的圆心角度数． （3）若该校九年级有500名学生，请估计该校九年级学生中喜欢“体育活动或听音乐”方式进行考前减压的人数． （4）根据调查数据，对学校提出一条合理安排课余活动或心理辅导的建议． 18. 如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过A点作x轴的垂线，垂足为点C，的面积为4． （1）分别求出a和b的值； （2）结合图象直接写出的取值范围； （3）在y轴上取点P，使取得最大值时，求出点P的坐标． 19. “阁楼三层读书论奇，泉水九壑听瀑蒸茗”，这是宋代一位名士为桐柏山茶写的一副对联．桐柏玉叶作为“桐柏茶”的代表品种，深受国内外饮茶者的好评．清明前后就是桐柏玉叶的采摘季节．已知一个熟练采茶工人每天采茶的数量是一个新手采茶工人的倍，一个熟练采茶工人采摘斤鲜叶比一个新手采茶工人采摘斤鲜叶少用天． （1）求熟练采茶工人和新手采茶工人一天分别能采摘鲜叶的斤数； （2）某茶厂计划一天采摘鲜叶斤，该茶厂有名熟练采茶工人和名新手采茶工人，熟练采茶工人每人每天的工资为元，新手采茶工人每人每天的工资为元，应如何安排熟练采茶工人和新手采茶工人能使费用最少？ 20. 2026马年春晚的《武BOT》机器人武术秀燃爆全场，机器人每一个精准利落的动作，不仅给观众带来一场视觉盛宴，更让全世界看到了中国AI机器人硬核实力． 如图1，是某型号的机器人在展示中国功夫时的精彩瞬间，图2是其瞬间抽象的几何示意图，机器人的一腿直立于地面，小腿部分刚好与地面平行，上身垂直于大腿，即于点，，于点．是机器人小腿上踢后与大腿在同一直线的瞬间．已知，，． （1）求的度数； （2）求点距地面的高度．（参考数据：，，） 21. 如图，是的直径，交于点． （1）用无刻度的直尺和圆规作出弧的中点，保留作图痕迹； （2）作，垂足为，证明：是的切线； （3）连接，若，，求的半径． 22. 【发现问题】 小明和小强做弹球游戏，如图，小明向斜坡抛一个乒乓球，乒乓球弹起的运行路线是一条抛物线，乒乓球落地后又弹起，第二次弹起的运行路线和第一次运行路线的抛物线形状相同，小强在地面立一块高度为的木板，当乒乓球在第二次下落时能落在木板上，则小强获胜． 【提出问题】 小强将木板放在距斜坡底端多远，才能确保获胜？ 【分析问题】 小强以斜坡底端为坐标原点，地面水平线为轴，取单位长度为，建立如图所示的平面直角坐标系，乒乓球的大小忽略不计，经测量发现，抛球点的坐标为，第一次弹起的运行路线最高点坐标为，第二次弹起的最大高度为，小强通过这些数据，经过计算，确定了木板立的位置，从而确保自己获胜． 【解决问题】 （1）求乒乓球第一次弹起运行路线的抛物线的解析式； （2）求乒乓球第一次落地点B距斜坡低端O的距离； （3）小强将木板立在距斜坡底端多远的范围内，才能确保自己获胜？ 23. 综合与探究 【探索发现】如图1，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形． 【抽象定义】以等腰三角形的一腰为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”．如图2，在中，，，．此时，四边形是“双等四边形”，是“伴随三角形”． 【问题解决】如图3，在四边形中，，，．求： ①与的位置关系为：__________： ②_____．（填“>”，“”或“”） 【方法应用】①如图4，若，将绕点逆时针旋转至，点恰好落在边上，求证：四边形是双等四边形． ②如图5，在等腰三角形中，，，，在平面内找一点，使四边形是以为伴随三角形的双等四边形，若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中毕业班第二次调研测试 数学试题卷 注意事项： 1．本试卷满分120分，考试时间100分钟． 2．答题前，考生务必先将自己的姓名、考号、学校等填写在试题卷和答题卡相应的位置． 3．考生作答时，将答案涂、写在答题卡上，在本试题卷上答题无效． 4．考试结束，将答题卡和试题卷一并交回． 一、选择题（每小题3分，共30分，下列各小题只有一个答案是正确的．） 1. 的平方根为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的平方根，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据运算法则运算求解即可． 【详解】解：， 故选：B． 2. 华为某系列手机采用的是纳米的麒麟芯片，纳米用科学记数法表示是米，那么所代表的原数是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 3. 如图，凹镜面内有一光源，其发出的两束光线经过反射以后得到和，如果，则关于或下列说法中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作，得到，根据平行的性质可得，即可得出结论． 【详解】解：过点作， ∵， ∴， ∴， ∴，故选项C一定正确． 4. 下列整式运算，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据整式的基本运算法则，包括合并同类项、同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方，由对应法则逐一判断即可． 【详解】解：选项A：与不是同类项，不能合并，故A计算错误； 选项B：根据同底数幂除法法则，底数不变，指数相减，得，故B计算错误； 选项C：根据幂的乘方法则，底数不变，指数相乘，得，故C计算正确； 选项D：根据积的乘方法则，每个因式分别乘方，得，故D计算错误． 5. 中华传统蒙学经典《弟子规》有言“凡出言，信为先”，将这六个字写在正方体的表面展开图中如图所示，则原正方体中与“为”字所在面相对的面上标的字是（ ） A. 凡 B. 出 C. 言 D. 先 【答案】C 【解析】 【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答． 【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， “为”与“言”是相对面． 6. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知该一元二次方程根的判别式，即得出关于m的不等式，解出m的值即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ∴只有A选项符合． 故选A． 【点睛】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数．掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根是解题关键． 7. 在对一组样本数据进行分析时，小明列出了方差的计算公式：，由公式提供的信息，判断下列关于样本的说法错误的是（ ） A. 平均数是8 B. 众数是6 C. 中位数是9 D. 方差是3.6 【答案】C 【解析】 【分析】由方差的计算公式得出这组数据为8、6、9、6、11，再根据平均数、众数、中位数、方差的定义求解即可． 【详解】解：由方差的计算公式知，这组数据为6、6、8、9、11， 所以平均数=(6+6+8+9+11) ÷5=8； 众数是6； 中位数为8； 方差=3.6． 所以A、B、D正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查方差，解题的关键是根据方差的计算公式得出样本的具体数据及中位数、众数和平均数的定义． 8. 我们知道：四边形具有不稳定性，如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的边与x轴平行，对角线交点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点处，则点C的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、坐标与图形的性质、勾股定理等知识点，正确的识别图形是解题的关键． 由已知条件得到，根据勾股定理得到 ，最后根据点在坐标系的位置即可解答． 【详解】解：如图：∵， ∴， ∵轴且点在第一象限， ∴点的坐标为． 故选A． 9. 我国宋代数学家杨辉发现了展开式系数的规律： 1 展开式系数和为1 1 1 展开式系数和为 1 2 1 展开式系数和为 1 3 3 1 展开式系数和为 　1 4 6 4 1 展开式系数和为 以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，展开式的系数和是（ ） A. 64 B. 128 C. 256 D. 612 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了数字规律，解题的关键是熟练掌握观察展开式中所有项的系数和．由“杨辉三角”得到是（n为非负整数）展开式的项系数和为，即可求解． 【详解】解：由系数和可得： 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， ⋯， ∴（n为非负整数）展开式的项系数和为 当时，展开式的项系数和为， 故答案为：C． 10. 很多家庭都用燃气热水器，为了防止一氧化碳泄漏带来的危害，一般会安装燃气报警器．其中一种燃气报警器核心部件是气敏传感器(如图①中的)，的阻值随空气中一氧化碳质量浓度的变化而变化(如图②)，空气中一氧化碳体积浓度与一氧化碳质量浓度的关系见图③．下列说法不正确的是（ ） A. 空气中一氧化碳质量浓度越大，的阻值越小 B. 当时，的阻值小于 C. 当空气中一氧化碳体积浓度是时，燃气报警器为报警状态 D. 当时，燃气报警器为报警状态 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查函数图象在实际问题中的应用，关键是理解气敏传感器的阻值与一氧化碳浓度的关系，以及体积浓度和质量浓度的换算关系，从而判断报警器是否报警，需结合图②、图③逐一分析． 【详解】解：对于A选项：由图②可知，随着一氧化碳质量浓度的增大，的阻值逐渐减小，故A选项正确； 对于B选项：由图②可知，当时，，故B选项正确； 对于C选项：由图③可知，一氧化碳体积浓度一氧化碳质量浓度，当时报警器报警，此时体积浓度，当空气中一氧化碳体积浓度是时，，故燃气报警器为报警状态，C正确； 当时，由图②可知对应的一氧化碳质量浓度，而报警条件是，故此时燃气报警器不为报警状态，D错误． 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个比大且比小的整数______． 【答案】3（答案不唯一） 【解析】 【分析】先分别求出与在哪两个相邻的整数之间，依此即可得到答案． 【详解】解：∵2＜＜3，4＜＜5， ∴所有比小且比大的整数有3，4， ∴这个整数可以是3， 故答案为：3（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了实数的大小比较，也考查了无理数的估算的知识，分别求出与在哪两个相邻的整数之间是解答此题的关键． 12. 若不等式组无解，则m的取值范围是 ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查不等式的解集，熟记解集的口诀“大大限较大，小小取较小，大小小大中间找，大大小小，无处找”是解题的关键． 根据“大大小小，无处找”即可作答． 【详解】解：∵不等式组无解， ． 故答案为：． 13. 如图，这是化学元素周期表中原子序数为1~4的元素，从中随机一次性选取两种元素，则这两种元素恰好都是金属元素（锂和铍为金属元素）的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：列表可得： 氢 氦 锂 铍 氢 （氢，氦） （氢，锂） （氢，铍） 氦 （氦，氢） （氦，锂） （氦，铍） 锂 （锂，氢） （锂，氦） （锂，铍） 铍 （铍，氢） （铍，氦） （铍，锂） 由表格可得，共有12种等可能出现的结果，其中这两种元素恰好都是金属元素的情况有种， 故这两种元素恰好都是金属元素的概率为． 14. 如图，在中，，，D是的中点，以点D为圆心，作圆心角为的扇形，点C恰好在弧上（点C不与点E，F重合），半径分别与，相交于点，，则阴影部分的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，作于，于，证明，四边形为正方形，得出，，进而可得，再由计算即可得解． 【详解】解：连接，作于，于， ， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴，即， ∵在中，，，D是的中点， ∴，，， ∴平分， ∴， ∴，四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴． 15. 如图，在矩形中，，，点E是边的中点，点F是对角线上一动点，作点C关于直线的对称点P，若，则的长为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了对称的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，根据题意画出示意图，连接，交直线于点G，延长交于点H，当点P在上方时，由勾股定理求出，进而得到，由点C关于直线的对称点P，得到，，求出，进而得到，再求出，证明是等腰三角形，在中，解直角三角形求出，进而求解；当点P在下方时，先求出，，结合对称的性质易证是等边三角形，易求，解直角三角形求出，由即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，交直线于点G，延长交于点H， 当点P在上方时， ∵在矩形中，，， ∴， ∴， ∴， ∵点E是边的中点， ∴， ∵点C关于直线的对称点P， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， 在中，，， ∴， ∴； 如图，当点P在下方时， ∵， ∴， ∵， ∴，， 由对称的性质得， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴； 综上，的长为或． 故答案为：或． 三、解答题（共8个小题，满分75分） 16. 完成下列各题： （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用零次幂、负数的偶次幂、负指数幂的运算法则，分别计算后求和； （2）先因式分解、通分，再将除法转化为乘法，通过约分完成分式化简． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 某校随机抽取九年级部分同学接受一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动，学校收集并整理数据后，将减压方式分为五类，并绘制了图1、图2两个不完整的统计图，请根据图中的信息解答下列问题： （1）求该校九年级接受调查的人数并补全条形统计图． （2）计算扇形统计图中的“体育活动”所对应的圆心角度数． （3）若该校九年级有500名学生，请估计该校九年级学生中喜欢“体育活动或听音乐”方式进行考前减压的人数． （4）根据调查数据，对学校提出一条合理安排课余活动或心理辅导的建议． 【答案】（1）50；见解析 （2） （3）270名 （4）见解析 【解析】 【分析】（1）用选择“享受美食”的人数除以人数占比可求出参与调查的人数，再求出选择“听音乐”的人数，进而补全统计图即可； （2）用360度乘以选择“体育活动”的人数占比即可得到答案； （3）用500乘以样本中选择“体育活动”和“听音乐”的人数占比之和即可得到答案； （4）言之有理即可． 【小问1详解】 解：人， ∴该校九年级接受调查的人数为50人， ∴选择“听音乐”的有人， 补全统计图如下： 【小问2详解】 解：， ∴扇形统计图中的“体育活动”所对应的圆心角度数为； 【小问3详解】 解：名， 答：估计该校九年级学生中喜欢“体育活动或听音乐”方式进行考前减压的人数为270名； 【小问4详解】 解：建议学校多开展体育活动和音乐欣赏课，以帮助学生缓解考前压力． 18. 如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过A点作x轴的垂线，垂足为点C，的面积为4． （1）分别求出a和b的值； （2）结合图象直接写出的取值范围； （3）在y轴上取点P，使取得最大值时，求出点P的坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3）点P的坐标为 【解析】 【分析】（1）利用反比例函数的几何意义可以求出反比例函数解析式，再将和点的坐标代入即可求出的值； （2）利用函数图像即可求出不等式的解集； （3）作点A关于y轴的对称点，连接并延长，交轴于点P，连接，因为点关于轴的对称点，又，则直线与轴的交点即为所求的点，求出直线的关系式，再求其与x轴的交点坐标即可． 【小问1详解】 解：∵的面积为4， ∴， 解得，或（不符合题意舍去）， ∴反比例函数的关系式为， 把点和点代入得， ，． 【小问2详解】 解：根据一次函数与反比例函数的图象可知， 不等式的解集为： 或； 【小问3详解】 解：作点A关于y轴的对称点，连接并延长，交轴于点P，连接，如图所示： 根据轴对称可得：， ∴， ∴此时最大， 点关于轴的对称点， 设直线的关系式为，代入和得， ， 解得， ∴直线的关系式为， 令，， ∴直线与轴的交点坐标为， 即点P的坐标为． 19. “阁楼三层读书论奇，泉水九壑听瀑蒸茗”，这是宋代一位名士为桐柏山茶写的一副对联．桐柏玉叶作为“桐柏茶”的代表品种，深受国内外饮茶者的好评．清明前后就是桐柏玉叶的采摘季节．已知一个熟练采茶工人每天采茶的数量是一个新手采茶工人的倍，一个熟练采茶工人采摘斤鲜叶比一个新手采茶工人采摘斤鲜叶少用天． （1）求熟练采茶工人和新手采茶工人一天分别能采摘鲜叶的斤数； （2）某茶厂计划一天采摘鲜叶斤，该茶厂有名熟练采茶工人和名新手采茶工人，熟练采茶工人每人每天的工资为元，新手采茶工人每人每天的工资为元，应如何安排熟练采茶工人和新手采茶工人能使费用最少？ 【答案】（1）熟练采茶工人一天能采摘鲜叶斤，新手采茶工人一天能采摘鲜叶斤 （2）茶厂一天应安排名熟练采茶工人采摘鲜叶，名新手采茶工人采摘鲜叶能使费用最少 【解析】 【分析】（1）通过设未知数，利用“时间差”列分式方程，求解并检验，得到熟练工和新手的采摘效率； （2）设新手人数为，然后用表示熟练工人数和总工资，得到一次函数，结合约束条件求整数解，找到费用最小值． 【小问1详解】 解：设新手采茶工人一天能采摘鲜叶斤，则熟练采茶工人一天能采摘鲜叶斤， 根据题意列方程得， 整理得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 即熟练的采茶工人一天能采摘鲜叶斤， 故熟练采茶工人一天能采摘鲜叶斤，新手采茶工人一天能采摘鲜叶斤． 【小问2详解】 解：设一天安排名新手采茶工人采摘鲜叶，该茶厂需要支付工资为元， 则每天安排名熟练的采茶工人采摘鲜叶， 根据题意列方程得， ， 随的增大而减小， 是非负整数，且不超过，，且为整数， 当时，有最小值， 此时． 故茶厂一天应安排名熟练采茶工人采摘鲜叶，名新手采茶工人采摘鲜叶能使费用最少． 20. 2026马年春晚的《武BOT》机器人武术秀燃爆全场，机器人每一个精准利落的动作，不仅给观众带来一场视觉盛宴，更让全世界看到了中国AI机器人硬核实力． 如图1，是某型号的机器人在展示中国功夫时的精彩瞬间，图2是其瞬间抽象的几何示意图，机器人的一腿直立于地面，小腿部分刚好与地面平行，上身垂直于大腿，即于点，，于点．是机器人小腿上踢后与大腿在同一直线的瞬间．已知，，． （1）求的度数； （2）求点距地面的高度．（参考数据：，，） 【答案】（1） （2）点P距地面的高度为 【解析】 【分析】（1）延长交于点F，利用三角形的外角性质求解即可； （2）延长，过点P作于点G，在中，解直角三角形即可求解． 【小问1详解】 解：延长交于点F， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ； 【小问2详解】 解：延长，过点P作于点G， 则 ， ∵，， ∴ ， ∴ ， ∴在中， ， ∴， 答：点P距地面的高度为． 21. 如图，是的直径，交于点． （1）用无刻度的直尺和圆规作出弧的中点，保留作图痕迹； （2）作，垂足为，证明：是的切线； （3）连接，若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，解直角三角形，圆周角定理，切线的判定，熟知圆的相关知识是解题的关键． （1）作线段的垂直平分线交于E，则点E即为所求； （2）先证明，则可证明，得到，据此可证明结论； （3）过点E作于H，解得到，解得到，则，，，进而可得；再证明，得到，则，可得． 【小问1详解】 解：如图所示，作线段的垂直平分线交于E，则点E即为所求； ∵， ∴由垂径定理可得； 【小问2详解】 证明：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线； 【小问3详解】 解；如图所示，过点E作于H， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵是弧的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的半径为． 22. 【发现问题】 小明和小强做弹球游戏，如图，小明向斜坡抛一个乒乓球，乒乓球弹起的运行路线是一条抛物线，乒乓球落地后又弹起，第二次弹起的运行路线和第一次运行路线的抛物线形状相同，小强在地面立一块高度为的木板，当乒乓球在第二次下落时能落在木板上，则小强获胜． 【提出问题】 小强将木板放在距斜坡底端多远，才能确保获胜？ 【分析问题】 小强以斜坡底端为坐标原点，地面水平线为轴，取单位长度为，建立如图所示的平面直角坐标系，乒乓球的大小忽略不计，经测量发现，抛球点的坐标为，第一次弹起的运行路线最高点坐标为，第二次弹起的最大高度为，小强通过这些数据，经过计算，确定了木板立的位置，从而确保自己获胜． 【解决问题】 （1）求乒乓球第一次弹起运行路线的抛物线的解析式； （2）求乒乓球第一次落地点B距斜坡低端O的距离； （3）小强将木板立在距斜坡底端多远的范围内，才能确保自己获胜？ 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数，二次函数的图形及性质，二次函数与坐标轴的交点，二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求二次函数以及二次函数的图形及性质是解题的关键． （1）根据待定系数法求解即可得解； （2）令得，解方程即可得解； （3）用待定系数法求出乒乓球第二次弹起运行路线的抛物线解析式，再令和，解方程求出的取值范围． 【小问1详解】 解：乒乓球第一次弹起运行路线的抛物线顶点为，过点， 设． 代入，， 解得， ， 【小问2详解】 解：令，则 解得，（舍） ，乒乓球第一次落地点距斜坡底端的距离为． 【小问3详解】 解：∵乒乓球第二次弹起运行路线的抛物线与第一次形状相同，且最大高度为1.21m， ∴设乒乓球第二次弹起运行路线的抛物线为 ， ∵点B在第一次的抛物线上也在第二次的抛物线上， ∴当时，代入得，， 解得：（舍去）， ， 把代入解析式得：， 解得（舍）， ∴乒乓球第二次弹起运行路线的抛物线为； 当时，则， 解得：（舍）； 当时，则， 解得（舍）． ∴当时，小强确保获胜． 23. 综合与探究 【探索发现】如图1，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形． 【抽象定义】以等腰三角形的一腰为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”．如图2，在中，，，．此时，四边形是“双等四边形”，是“伴随三角形”． 【问题解决】如图3，在四边形中，，，．求： ①与的位置关系为：__________： ②_____．（填“>”，“”或“”） 【方法应用】①如图4，若，将绕点逆时针旋转至，点恰好落在边上，求证：四边形是双等四边形． ②如图5，在等腰三角形中，，，，在平面内找一点，使四边形是以为伴随三角形的双等四边形，若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由． 【答案】问题解决：①互相平行；②=；【方法应用】①见解析；②或或 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，旋转的性质以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． 问题解决：①根据等腰三角形的性质得出，从而可得； ②证明得出，即，由可得结论； 方法应用：①根据双等四边形的定义进行证明；②分，或，或，三种情况讨论求解即可． 【详解】解：[问题解决]①∵， ∴， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ， ， ， ； 故答案为：①平行；②＝； 方法应用：①为旋转得到， ， 令，则，， ， 由旋转得，， 又， ∴， ， ， ， 四边形为双等四边形； ②作于点， ，， ，， 设，则： ， 在中，，即， 解得：， ，， 若，时，， 若，时， ， 作于点， ∴， ， ， 若，时，如图， ， ， ， ， ． 综上所述：满足条件时，或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $