2025-2026学年北师大版八年级数学下册期末试题

**基本信息** 立足北师大版八年级下册核心内容，以露营帐篷、校园义卖等生活情境及物理电路跨学科素材为载体，分层考查数学抽象、几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|不等式解集、分式方程去分母、角平分线性质|第6题结合簸箕旋转考查旋转角计算，体现空间观念| |填空题|5/15|因式分解、中心对称坐标、反证法假设|第14题通过帐篷截面图求角度，融合平行线性质与多边形内角和| |解答题|8/75|分式方程应用（19题）、平行四边形证明（20题）、图形变换探究（23题）|23题综合平移与旋转探究平行四边形判定及含30°直角三角形性质，培养创新意识与推理能力|

2025-2026学年北师大八年级数学下学期期末试题 测试范围：新教材北师大版八年级下册第1-6章 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．不等式3x﹣2≤2x﹣1的解在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 2．解分式方程，去分母后的结果是（　　） A．1+（2x+1）＝x﹣3 B．1﹣（2x+1）＝x﹣3 C．1﹣（2x+1）＝1 D．1+（2x+1）＝1 3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，若CD＝3，则点D到AB的距离为（　　） A．4 B．3.5 C．3.2 D．3 4．如图，下列分子结构模型平面图中，对称轴在3条以上的中心对称图形是（　　） A．B． C． D． 5．如图，已知直线y＝ax+b（a≠0）和直线y＝kx（k≠0）交于点P（1，2），则不等式ax+b＜kx的解集是（　　） A．x＞1 B．x＜1 C．x＞2 D．x＜2 6．如图，教室的水平地面上有一个倒地的簸箕，BC与地面的夹角为55°，∠α＝26°，小明同学将它扶起（绕点C逆时针旋转）后平放在地面上，AB的对应线段为A′B′，在这一过程当中，簸箕柄AB绕点C旋转了（　　） A．55° B．81° C．98° D．99° 7．在物理实验中，某串联电路的总电阻为R（单位：Ω），其分压关系可表示为分式，当该分式的值等于0时，说明此时电路中的某一分压恰好为0，对应的电阻R值为（　　） A．±2 B．2 C．﹣2 D．0 8．6月进入了毕业季，某校九年级班主任准备给自己的学生买一些相册，并把初中三年来学生的照片放进去，这些照片记录了他们初中三年的点点滴滴．目前有A，B两款相册比较合适，其中A款相册的单价比B款相册的单价贵3元，用1000元购买A款相册的数量是用425元购买B款相册数量的2倍，求B款相册的单价．若设B款相册的单价为x元，则根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 9．小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案，如图．其中△OAB与△ODC都是等腰三角形，且它们关于直线l对称，点E，F分别是底边AB，CD的中点，OE⊥OF．下列推断错误的是（　　） A．OB⊥OD B．∠BOC＝∠AOB C．OE＝OF D．∠BOC+∠AOD＝180° 10．如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置．若∠B＝90°，AB＝8，DH＝3，阴影部分的面积为26，则CF＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11．分解因式：3x2+6xy＝　 　 ． 12．已知平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′关于原点O中心对称．若点A的坐标为（﹣2，4），则点A的对应点A′的坐标为 　 　 ． 13．牛顿曾说：“反证法是数学家最精良的武器之一”，用反证法证明命题“在三角形的三个内角中，至少有两个锐角”第一步应假设　 　 ． 14．近几年，人们把亲近自然的露营作为新的出游方式，而倡导精致露营的帐篷酒店也是备受追捧．如图1是一个帐篷酒店截面图，其示意图如图2所示，若AB∥CD，BE∥FG，ED∥HI，∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝∠5＝∠6，则∠E的度数为 　 　 ． 15．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，点B，C的对应点分别为点D，E，连接BD并延长交CE于点F，若AC＝4，则EF的长为　 　 ． 三．解答题（共8小题，共75分） 16．计算： （1）； （2）． 17．解不等式组：，并将其解集表示在如图所示的数轴上． 18．已知关于x的分式方程． （1）当a＝1时，求分式方程的解． （2）若该分式方程有增根，求a的值． 19．某校开展校园义卖活动．活动前，张明到纪念品商店购买若干个“广州塔”挂件作为义卖奖品，每个挂件标价10元．请认真阅读结账时老板与张明的对话： （1）结合两人的对话内容，求张明原计划购买“广州塔”挂件多少个？ （2）根据活动情况，需要购买“喜洋洋”挂件和“乐融融”挂件共50个作为补充奖品，两次购买奖品总支出不超过450元．其中“喜洋洋”挂件标价每个8元，“乐融融”挂件标价每个6元．经过沟通，这次老板给予8折优惠，那么张明最多可购买“喜洋洋”挂件多少个？ 20．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD于E，过点C作CF⊥BD于点F． （1）求证：AE＝CF； （2）若AB⊥AC，AC＝6，AB＝4，求AE的长度． 21．已知：如图，△ABC中，点D边AC上的一点，连接BD，点G是AC的中点． （1）实践与操作：过点A作直线AF⊥BD于点E，交BC于点F（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母）； （2）推理与计算：若∠ABC＝60°，且BD平分∠ABC，AE＝1.5，BC＝8，直接写出E，G两点之间的距离（若完成（1）题有困难，可直接画草图完成（2）题）． 22．阅读与思考 下面是小颖同学的数学日记，请认真阅读，并完成相应的任务． x月x日 星期三 晴 用数学知识解释生活现象 数学李老师常说：“我们要会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界”．为此，我尝试着用数学知识解释了下面的生活现象． 发现问题 生活经验告诉我们，往一杯糖水中再加入一点糖，水就变更甜了．用数学的知识如何解释其中的道理呢？ 分析问题 将上述生活现象转化为数学问题：将a克糖放入水中，得到b克糖水，此时糖水的含糖量（含糖量）可以记为（b＞a＞0），再往杯中加入c（c＞0）克糖，可以表示出现在糖水的含糖量． 解决问题 ①根据原糖水和现糖水中含糖量的大小可以得到不等式； ②验证该不等式的正确性： … 回顾反思 在验证不等式的正确性时我遇到了困难，同桌小果给我分享了“用求差法比较大小”的方法，帮助我顺利解决了问题． 用求差法比较大小 我们经常把两个要比较的对象先数量化，再求它们的差，根据差的正负判断对象的大小． 当m﹣n＞0时，一定有m＞n； 当m﹣n＝0时，一定有m＝n； 当m﹣n＜0时，一定有m＜n． 任务： （1）小颖根据原糖水和现糖水中含糖量的大小可以得到的不等式为　 　 ； A. B. C. （2）请你利用求差法验证（1）中所选不等式的正确性． 23．综合与探究 问题情境：一次数学兴趣小组活动中，同学们准备了一大一小两张直角三角形纸片（即△ABC，△ADE），按照图1所示的方式摆放．其中∠ACB＝∠AED＝90°，∠A＝30°，点D、E分别为AB、AC的中点．老师要求各小组结合所学的图形变化的知识展开数学探究． 操作探究1：（1）如图2，“勤学”小组将△ADE沿射线AC上平移得到△FGH，分别连接DF，BG，发现四边形BDFG是平行四边形，请证明这一结论． 操作探究2：（2）“善思”小组将△AED由初始位置（图1）绕点A按顺时针方向旋转得到△APQ． ①如图3，当点Q落在边AB上时，延长PQ交AC于点M，判断△APM的形状并说明理由． ②当△APQ旋转到AP⊥AC时，连接CQ，若BC＝2，请直接写出线段CQ的长． 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．【解答】解：3x﹣2≤2x﹣1， 3x﹣2x≤﹣1+2， x≤1， ∴该不等式的解集在数轴上表示如图所示： 故选：C． 2．【解答】解：解分式方程， ∵3﹣x＝﹣（x﹣3）， ∴原方程可变形为 ， 方程两边同时乘以最简公分母x﹣3， 得1﹣（2x+1）＝x﹣3． 故选：B． 3．【解答】解：作DF⊥AB于点F， ∵∠C＝90°，∴CD⊥AC于点C， ∵AD平分∠BAC，DF⊥AB于点F，CD⊥AC于点C， ∴DF＝CD＝3， ∴点D到AB的距离为3， 故选：D． 4．【解答】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、是中心对称图形，但对称轴有2条，不符合题意； C、是中心对称图形，但对称轴有2条，不符合题意； D、是对称轴在3条以上的中心对称图形，符合题意； 故选：D． 5．【解答】解：由条件可知不等式ax+b＜kx的解集是x＞1． 故选：A． 6．【解答】解：∵∠BCA＝55°，∠α＝26°， ∴∠BCB'＝180°﹣∠BCA﹣∠α＝180°﹣55°﹣26°＝99°， ∴簸箕柄AB绕点C转动的角度为99°． 故选：D． 7．【解答】解：当式子等于0时可得， ， 解得R＝2． 故选：B． 8．【解答】解：∵A款相册的单价比B款相册的单价贵3元，且设B款相册的单价为x元， ∴A款相册的单价为（x+3）元． 根据题意得：2． 故选：D． 9．【解答】解：∵△OAB与△ODC都是等腰三角形，且它们关于直线l对称， ∴△OAB≌△ODC， ∴∠AOB＝∠COD， ∵点E，F分别是底边AB，CD的中点， ∴∠AOE＝∠BOE∠AOB，∠COF＝∠DOF∠COD， ∴∠AOE＝∠BOE＝∠COF＝∠DOF， ∵OE⊥OF， ∴∠BOE+∠BOF＝90°， ∵∠BOE＝∠DOF， ∴∠DOF+∠BOF＝90°， ∴OB⊥OD，故A正确； ∵∠AOB与∠BOC的度数不能确定， ∴无法证明∠BOC与∠AOB的关系，故B错误； ∵△OAB≌△ODC，点E，F分别是底边AB，CD的中点， ∴OE＝OF，故C正确； ∵OB⊥OD， ∴∠BOC+∠COD＝90°①， ∵OE⊥OF， ∴∠COF+∠EOC＝90°， ∵∠COF＝∠AOE， ∴∠AOE+∠EOC＝90°， ∴OC⊥OA， ∴∠AOB+∠BOC＝90°②， ①+②得，∠BOC+∠COD+∠AOB+∠BOC＝180°， 即∠BOC+∠AOD＝180°，故D正确． 故选：B． 10．【解答】解：∵将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置，AB＝8， ∴DE＝AB＝8，BC＝EF， ∴BC﹣EC＝EF﹣EC，即BE＝CF， ∵DH＝3， ∴HE＝DE﹣DH＝5， ∵S△ABC＝S梯形ABEH+S△HEC＝S△HEC+S阴影，阴影部分的面积为26， ∴， ∴，解得：BE＝4， ∴CF＝4， 故选：D． 二．填空题（共5小题） 11．【解答】解：原式＝3x（x+2y）． 故答案为：3x（x+2y）． 12．【解答】解：∵平面直角坐标系中，△ABC与△A'B'C'关于原点对称，点A的坐标为（﹣2，4）， ∴对应点A'的坐标为（2，﹣4）． 故答案为：（2，﹣4）． 13．【解答】解：用反证法证明命题“在三角形的三个内角中，至少有两个锐角”时， 第一步应假设原命题的结论不成立，即假设在三角形的三个内角中，最多有一个锐角， 故答案为：在三角形的三个内角中，最多有一个锐角． 14．【解答】解：延长FG交ED于点M，延长IH交GM于点N，连接PK， 由题意得，∠P+∠K＝180°， ∴八边形P A F G H I C K 的内角和是：（8﹣2）×180°＝1080°， ∵∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝∠5＝∠6， ∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝∠5＝∠6＝（1080°﹣180°）÷6＝150°， ∵∠3+∠NGH＝180°，∠4+∠NHG＝180°， ∴∠NGH＝30°，∠NHG＝30°， ∴∠GNH＝180°﹣∠NGH﹣∠NHG＝120°， ∵BE∥FG， ∴∠GMD＝∠E， ∵ED∥HI， ∴∠GMD＝∠GNH＝120°， ∴∠E＝120°， 故答案为：120°． 15．【解答】解：如图，过点C作CG∥ED交BF延长线于点G， ∵∠ABC＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，点B，C的对应点分别为点D，E，连接BD并延长交CE于点F，AC＝4， ∴AC＝AE＝4，AB＝AD，∠BAD＝∠CAE＝90°，CB＝DE， ∴△ABD，△CAE是等腰直角三角形， ∴∠ABD＝∠ADB＝45°，， ∴∠CBD＝45°， ∵∠BAD＝∠ADE＝90°， ∴DE∥AB， ∵CG∥ED， ∴CG∥AB， ∴∠GCB＝180°﹣∠CBA＝90°， ∴∠G＝90°﹣45°＝45°， ∴CB＝CG， ∴CG＝DE， ∵CG∥ED， ∴∠G＝∠FDE， 又∵∠CFG＝∠EFD， ∴△CGF≌△EDF（AAS）， ∴． 故答案为：2． 三．解答题（共8小题） 16．【解答】解：（1）原式 ＝x； （2）原式 ． 17．【解答】解：， 解不等式①得，x≤4， 解不等式②得，x＞﹣3， ∴不等式组的解集为﹣3＜x≤4， 把不等式组的解集表示在数轴上，如图所示： ． 18．【解答】解：（1）当a＝1时，原分式方程为：， 两边同乘以（x﹣3），得： 4+1＝2（x﹣3）， 解这个整式方程，得： ． 检验：当时，x﹣3≠0， ∴是原分式方程的解． （2）， 两边同乘以x﹣3，得： 4+a＝2（x﹣3）， 解得：． ∵该分式方程有增根， ∴x﹣3＝0，即x＝3， ∴， 解得：a＝﹣4， ∴当a＝﹣4时，该分式方程有增根． 19．【解答】解：（1）设张明原计划购买“广州塔”挂件x个，则实际购买（x+1）个， 依题意得：10x﹣10×85%（x+1）＝17， 解得：x＝17． 答：张明原计划购买“广州塔”挂件17个． （2）设张明购买m个“喜洋洋”挂件，则购买（50﹣m）个“乐融融”挂件， 依题意得：10×85%×（17+1）+80%[8m+6（50﹣m）]≤450， 解得：m， 又∵m为整数， ∴m的最大值为35． 答：张明最多可购买“喜洋洋”挂件35个． 20．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠ABE＝∠CDF， ∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴∠AEB＝∠CFD＝90°， ∴△AEB≌△CFD（AAS）， ∴AE＝CF； （2）解：∵在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝6，AB＝4， ∴， ∵AB⊥AC， ∴， ∵AE⊥BD ∴，即 ∴． 21．【解答】解：（1）图形如图所示； （2）∵BD平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠FBE， ∵BD⊥AF， ∴∠BAE+∠ABE＝90°，∠FBE+∠BFE＝90°， ∴∠BAE＝∠BFE， ∴BA＝BF， ∴AE＝EF， ∵AG＝GC， ∴EGBC＝4． 22．【解答】解：（1）由题意可得小颖根据原糖水和现糖水中含糖量的大小可以得到的不等式为， 故选：A； （2） ， ∵b＞a＞0，c＞0， ∴b﹣a＞0，b+c＞0， ∴0， ∴． 23．【解答】（1）证明：∵△ADE沿射线AC上平移得到△FGH， ∴GF＝AD，∠A＝∠GFH＝30°， ∴GF∥AB， ∵点D是AB的中点， ∴BD＝AD，AC＝18，BC＝12， ∴GF＝BD， ∴四边形BDFG是平行四边形； （2）解：①△APM是等边三角形；理由如下： ∵△AED绕点A按顺时针方向旋转得到△APQ， ∴∠PAQ＝∠MAQ＝30°，∠AQP＝∠AED＝∠AQM＝90°， ∴∠P＝60°， 在△AQP和△AQM中， ， ∴△AQP≌△AQM（ASA）， ∴AP＝AM， ∴△APM是等边三角形； ②CQ＝3或．理由如下： ∵BC＝2，∠BAC＝30°， ∴AB＝4， ∴， ∵点D、E分别是AB、AC的中点， ∴， 如图4，当点P在AC的上方， 由旋转的性质得，∠PAQ＝∠BAC＝30°，， ∵AP⊥AC， ∴∠QAE＝60°， ∴△AQE是等边三角形， ∴∠AEQ＝60°，， ∴∠QEC＝120°， 过点E作EG⊥CQ于点G， ∵CE＝AE， ∴CE＝EQ， ∵EG⊥CQ， ∴， ∴∠ECG＝30°， ∵∠EGC＝90°， ∴， ∴， ∴CQ＝2CG＝3； 如图5，当点P在AC的下方， 由旋转的性质得，∠PAQ＝∠BAC＝30°，， 延长CA，过点Q作QM⊥CA于点M， ∵AP⊥AC， ∴∠QAM＝60°， ∴∠AQM＝30°， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵QM⊥CA， ∴， 综上所述，CQ＝3或． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/5/31 14:51:40；用户：试用；邮箱：hanm@xyh.com；学号：38871860 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $