期末培优：以弦图为背景的计算问题、用勾股定理构造图形解决问题专项训练-2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 以弦图面积关系和勾股定理构造图形为双核心，通过“原理推导-模型构建-应用迁移”系统训练，培养几何直观与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |以弦图为背景的计算问题|3例+3变式|面积法证明勾股定理、弦图变式应用|从弦图面积关系推导定理到图形变式计算| |用勾股定理构造图形解决问题|3例+3变式|构造直角三角形模型解决代数最值、实际问题|从代数问题几何化到实际情境应用|

期末培优：以弦图为背景的计算问题、用勾股定理构造图形解决问题专项训练 期末培优：以弦图为背景的计算问题、用勾股定理构造图形解决问题专项训练 考点目录 以弦图为背景的计算问题 用勾股定理构造图形解决问题 考点一 以弦图为背景的计算问题 例1．（25-26八年级下·广东广州·期中）回顾人类文明历史，勾股定理所揭示的直角三角形三边关系早已被广泛应用，被认为是人类最早发现、最基本以及应用最广的数学定理之一．历史上不同时代、不同国家的人士，先后给出了各种证明方法，据统计已有数百种，其中中国历代数学家的贡献独树一帜． 【拼图证明】晓风对勾股定理的证明进行了再研究．他动手操作，用四张全等的直角三角形纸片（直角边分别为a、b，斜边为c）拼成如图1所示的图形． (1)从面积的角度思考，不难发现：大正方形面积个小三角形面积小正方形面积，从而得到等式①________，化简证得勾股定理②________． 【图形变式】晓华同学受此启发，对原图进行拼接，提出以下问题： (2)如图2，晓华再将4个全等直角三角形紧密的拼接成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，求该风车状图案的面积． 【迁移运用】如图3，用三张含角的全等三角形纸片能拼出一个大等边三角形，你能仿照勾股定理的验证过程，发现含角的三角形三边a、b、c之间的关系吗？ (3)请直接写出此等量关系式：________． 例2．（25-26八年级下·安徽池州·期中）【问题背景】 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． 【探索求证】 (1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，与按如图所示位置放置，连接，其中，请你利用图②推导勾股定理； 【问题解决】 (2)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得米，米，求新路比原路少多少米？ 【延伸扩展】 (3)在第（2）问中若时，，，，，设，求x的值． 例3．（25-26八年级下·宁夏固原·阶段检测）动手操作：用4张全等的直角三角形纸片如（图1，两直角边长分别是a，b，斜边长为c），拼成含有正方形的图案如（图2）．拼图时，直角三角形纸片不能互相重叠 (1)【探究】研究发现可利用面积的方法证明勾股定理，在图2中，大正方形的面积可表示为_____________，也可表示为_____________，因此化简可得_____________． (2)【实践】如图①、②、③分别是利用4个全等的直角三角形组合成的新图形，图中间的四边形为正方形，其中图_____________可以证明勾股定理． (3)【应用】将图1中的两个三角形拼成如图3所示的图形，试比较代数式与的大小． (4)【发现】聪聪认真观察图3后发现，此图也可用面积法证明勾股定理，请你帮聪聪完成证明过程． 变式1．（25-26八年级下·山东日照·阶段检测）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形．该直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b． (1)若，大正方形的面积为129，求小正方形的边长； (2)若大正方形的面积为17，小正方形的面积为5，求的值． 变式2．（25-26八年级下·内蒙古乌兰察布·阶段检测）勾股定理是初等几何中最重要的定理之一，它的证明方法很多，如图是约3世纪我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理． (1)定理证明：如图是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间的部分是一个小正方形（阴影）．如果直角三角形较小的直角边长为a，较大的直角边长为b，斜边长为c，请你根据如图证明勾股定理； (2)如果大正方形的面积是12，一个三角形的面积是3，求：的值． 变式3．（25-26八年级上·山西临汾·期末）阅读与思考 美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形．如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，每个直角三角形较长直角边为，较短直角边为，斜边长，用面积法得到直角三角形三边长、、之间的一个重要结论：． (1)已知：，，，．求证． 下面是小颖的证明过程，请把空缺处补充完整： 证明：∵四个直角三角形全等，且，， ∴正方形的边长为__________， ∵，且（等面积法）， ∴__________＋__________， ∴． (2)如图2，四边形是直角梯形，，，，， 其中，． ①求证：； ②仿照（1）用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明：． (3)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，外围轮廓（图中实线部分）的总长度为52，则这个风车图案的面积为__________． 考点二 用勾股定理构造图形解决问题 例1．（25-26八年级下·湖北恩施·期中）【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点B和E重合（图2），这时，，，问题就变成“点B在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． 【模型应用】 (1)代数式的最小值为 ； (2)变式训练：利用图3，求代数式 的最小值； 【模型拓展】 (3)根据以上学习，解决问题：已知正数x满足 ，求x的值． 例2．（25-26八年级下·安徽安庆·期中）按要求解答下列各题： (1)问题再现：数学探究课时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题．如，“求代数式的最小值”，小明同学发现可看作两直角边分别为和2的直角三角形斜边长，可看作是两直角边分别为和3的直角三角形的斜边长．于是构造出如图所示，将问题转化为求线段的长．求的最小值 (2)类比迁移：已知，均为正数，且，求的最小值 例3．（25-26八年级下·云南昆明·期中）【综合与实践】小明同学在延时课上进行了实践探究，并绘制了如下表格： 课题 在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度 模型抽象 测绘数据（如图1） ①测得水平距离的长为15米 ②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线的长为17米 ③牵线放风筝的手到地面的距离为1.6米 说明 点在同一平面内 请根据表格信息，解答下列问题． (1)求线段的长； (2)如图2，若想要风筝沿方向再上升12米（即米），则在长度不变的前提下，求的长． 变式1．（25-26八年级下·广东广州·阶段检测）著名数学家希尔伯特曾说：“算式是算出来的图形，图形是画出来的公式”，构造图形是为了运用几何图形的直观性，数形结合来简化解决一些复杂代数问题： (1)如图1，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，求两个村庄的距离； (2)在（1）的条件下，要在上建造一个供应站，使得，求的距离； (3)借助上面的思考过程与几何模型，请思考下列代数式的构图并直接写出最值（其中） ①代数式（）的最小值为_____． ②代数式的最大值为_____． 变式2．（25-26八年级上·河南郑州·期末）勾股定理是数形结合思想的经典体现，实现了从“形”到“数”的转化与求解． (1)【问题解决】据记载，毕达哥拉斯就是借助图1和图2验证了勾股定理，请你写出验证过程． (2)【反思拓展】我们可以用图2表示的，，，之间的关系解决教材第页第题：两个正数的和是，求它们积的最大值．如图，设两个正数，为直角三角形的两条直角边，且， ，； 要使最大，则值应最小． 由图2可知，当点在线段上时，最小，此时，______，即最大为______． (3)【迁移应用】如图3，正方形的边长为，借助“反思拓展”思路，利用图求代数式的最小值为_________． 变式3．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）借助勾股定理，我们可以在数轴上找到一些特殊的无理数对应的点，认识了“数轴上的点与实数一一对应”这一事实． 回顾梳理：要在数轴上找到表示的点，关键是在数轴上构造线段．如图1，等腰直角三角形的直角边长为1个单位长度，以原点为圆心，斜边长为半径画弧与数轴交于点，则点对应的数为． 拓展思考：如图2，改变图1中三角形的位置，用类似的方法作图，可在数轴上构造出线段，其中仍在原点，点在原点的左侧，可由线段的长得到点所表示的无理数，按照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数轴上找到无理数对应的点． 任务： (1)点表示的数为______． (2)把5个小正方形按图中位置摆放，并将其进行裁剪，拼成一个大正方形．请在图3中画出裁剪线，并在图4的框中画出所拼得的大正方形的示意图 (3)小丽想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片如图5，使它的长是宽的2倍．小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？请你通过计算说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末培优：以弦图为背景的计算问题、用勾股定理构造图形解决问题专项训练 期末培优：以弦图为背景的计算问题、用勾股定理构造图形解决问题专项训练 考点目录 以弦图为背景的计算问题 用勾股定理构造图形解决问题 考点一 以弦图为背景的计算问题 例1．（25-26八年级下·广东广州·期中）回顾人类文明历史，勾股定理所揭示的直角三角形三边关系早已被广泛应用，被认为是人类最早发现、最基本以及应用最广的数学定理之一．历史上不同时代、不同国家的人士，先后给出了各种证明方法，据统计已有数百种，其中中国历代数学家的贡献独树一帜． 【拼图证明】晓风对勾股定理的证明进行了再研究．他动手操作，用四张全等的直角三角形纸片（直角边分别为a、b，斜边为c）拼成如图1所示的图形． (1)从面积的角度思考，不难发现：大正方形面积个小三角形面积小正方形面积，从而得到等式①________，化简证得勾股定理②________． 【图形变式】晓华同学受此启发，对原图进行拼接，提出以下问题： (2)如图2，晓华再将4个全等直角三角形紧密的拼接成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，求该风车状图案的面积． 【迁移运用】如图3，用三张含角的全等三角形纸片能拼出一个大等边三角形，你能仿照勾股定理的验证过程，发现含角的三角形三边a、b、c之间的关系吗？ (3)请直接写出此等量关系式：________． 【答案】(1)， (2)15 (3) 【分析】（1）根据图形写出即可； （2）可设，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解； （3）根据大正三角形面积三个全等三角形面积小正三角形面积，构建关系式即可． 【详解】（1）解：大正方形面积个小三角形面积+小正方形面积， 从而得到等式，化简证得勾股定理； （2）解：如图， ， 根据题意得 ，． 设，则，． 在中，， 即， 解得， ∴， ∴该风车状图案的面积； （3）解：设大正三角形的高为，中心小正三角形的高为，三个全等三角形的边a上的高为． 由图可知大正三角形面积三个全等三角形面积小正三角形面积， ， 大等边三角形的面积， ， 小等边三角形的面积， ， ， 三个这样的三角形面积之和为， ， 即， ∴． 例2．（25-26八年级下·安徽池州·期中）【问题背景】 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． 【探索求证】 (1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，与按如图所示位置放置，连接，其中，请你利用图②推导勾股定理； 【问题解决】 (2)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得米，米，求新路比原路少多少米？ 【延伸扩展】 (3)在第（2）问中若时，，，，，设，求x的值． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)新路比原路少米； (3)． 【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）设，则，，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果； （3）在和中，由勾股定理得出，列出方程求解即可得到结果． 【详解】（1）证明：由图可知，， ，， ， 又 ， ， ， ， ； （2）设，则，， 在中，， ， 解得：， ， ； 答：新路比原路少米． （3）解：∵， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ， 解得：． 例3．（25-26八年级下·宁夏固原·阶段检测）动手操作：用4张全等的直角三角形纸片如（图1，两直角边长分别是a，b，斜边长为c），拼成含有正方形的图案如（图2）．拼图时，直角三角形纸片不能互相重叠 (1)【探究】研究发现可利用面积的方法证明勾股定理，在图2中，大正方形的面积可表示为_____________，也可表示为_____________，因此化简可得_____________． (2)【实践】如图①、②、③分别是利用4个全等的直角三角形组合成的新图形，图中间的四边形为正方形，其中图_____________可以证明勾股定理． (3)【应用】将图1中的两个三角形拼成如图3所示的图形，试比较代数式与的大小． (4)【发现】聪聪认真观察图3后发现，此图也可用面积法证明勾股定理，请你帮聪聪完成证明过程． 【答案】(1)，， (2)① (3) (4)见解析 【分析】（1）利用三角形与正方形面积公式表示出大正方形的面积，再建立等式化简，即可解题；（2）类比（1）中解题方法，分别用不同的方式表示大正方形的面积，建立等式化简，即可解题； （3）由得到，再因式分解所给的代数式，即可判断； （4）类比（1）中解题方法，分别用不同的方式表示梯形的面积，建立等式化简，即可解题． 【详解】（1）解：正方形的面积可表示为，也可表示为， 因此， 化简可得， 故答案为：，，； （2）图①中大正方形的面积可表示为，也可表示为， 因此可得， 整理得， 故在图①、②、③中，图①可证明勾股定理， 故答案为：①； （3）， ， ，， ； （4）证明：图3中梯形的面积可表示为，也可表示为， 因此可得 ∴． 变式1．（25-26八年级下·山东日照·阶段检测）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形．该直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b． (1)若，大正方形的面积为129，求小正方形的边长； (2)若大正方形的面积为17，小正方形的面积为5，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，，再结合完全平方公式计算即可得出结果； （2）根据大正方形的面积减去小正方形的面积等于四个直角三角形的面积，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得：，， ∴， ∵， ∴， ∴小正方形的边长为； （2）解：由题意可得：， ∴． 变式2．（25-26八年级下·内蒙古乌兰察布·阶段检测）勾股定理是初等几何中最重要的定理之一，它的证明方法很多，如图是约3世纪我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理． (1)定理证明：如图是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间的部分是一个小正方形（阴影）．如果直角三角形较小的直角边长为a，较大的直角边长为b，斜边长为c，请你根据如图证明勾股定理； (2)如果大正方形的面积是12，一个三角形的面积是3，求：的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)24 【分析】（1）阴影部分的面积=大正方形面积减去4个直角三角形面积，表示各个图形的面积证明即可； （2）根据求解即可． 【详解】（1）解：∵阴影部分的面积=大正方形面积减去4个直角三角形面积， ； （2）解：∵大正方形的面积是12，一个三角形的面积是3， ， ， ； 变式3．（25-26八年级上·山西临汾·期末）阅读与思考 美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形．如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，每个直角三角形较长直角边为，较短直角边为，斜边长，用面积法得到直角三角形三边长、、之间的一个重要结论：． (1)已知：，，，．求证． 下面是小颖的证明过程，请把空缺处补充完整： 证明：∵四个直角三角形全等，且，， ∴正方形的边长为__________， ∵，且（等面积法）， ∴__________＋__________， ∴． (2)如图2，四边形是直角梯形，，，，， 其中，． ①求证：； ②仿照（1）用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明：． (3)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，外围轮廓（图中实线部分）的总长度为52，则这个风车图案的面积为__________． 【答案】(1)、、 (2)①见解析；②见解析 (3)97 【分析】本题考查了勾股定理的验证和运用，理解勾股定理解决问题的关键． （1）依据题意得，再由图形是由四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，然后用两种方法表示正方形的面积，即可解题； （2）①先根据角度关系，证出，随后根据“”证明即可；②由①中的全等，可得出，，再分别根据梯形面积公式以及等面积法将梯形转换为三个三角形的面积，得出两种表达方式，也可证出； （3）根据题意，先得出，设，则，根据勾股定理得，代入求出的值，最终可求出风车图案的面积． 【详解】（1）解：证明：∵四个直角三角形全等，且，， ∴正方形的边长为， ∵，且（等面积法）， ∴， ∴， 故答案为：、、． （2）解：①∵， ∴， ， ∴， 又∵，， ∴ ． ②∵， ∴，， ∴， ， 故， 化简得． （3）解：由题意，如下图： ∵外围轮廓的总长度为， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 将，代入可得， ， 解得， ∴小正方形的边长为， ∴风车的面积为：， 故答案为：． 考点二 用勾股定理构造图形解决问题 例1．（25-26八年级下·湖北恩施·期中）【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点B和E重合（图2），这时，，，问题就变成“点B在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． 【模型应用】 (1)代数式的最小值为 ； (2)变式训练：利用图3，求代数式 的最小值； 【模型拓展】 (3)根据以上学习，解决问题：已知正数x满足 ，求x的值． 【答案】(1)13 (2) (3) 【分析】（1）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可； （2）根据题目所给的方法建立直角三角形然后进行求解即可； （3）先建立模型，然后根据题意直接进行求解即可． 【详解】（1）解：，，， 根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值．如图，当三点共线时，作，， ∴， ∴的最小值是13， 故答案为13； （2）如图，由 ， ， ， ∴ 的最小值是； （3）解：构造于，如图所示： 设，则， ， ， ， ， ， ∴方程的解是． 例2．（25-26八年级下·安徽安庆·期中）按要求解答下列各题： (1)问题再现：数学探究课时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题．如，“求代数式的最小值”，小明同学发现可看作两直角边分别为和2的直角三角形斜边长，可看作是两直角边分别为和3的直角三角形的斜边长．于是构造出如图所示，将问题转化为求线段的长．求的最小值 (2)类比迁移：已知，均为正数，且，求的最小值 【答案】(1)13； (2)17． 【分析】（1）利用给出的图形，标上必要的字母，可以推出，，根据两点之间线段最短，可得的最小值为的长，再利用勾股定理求出的长即可； （2）过点B作交AC延长线于点F，根据，，，，可推出的值最小，需的值最小，即当，，三点共线时，的值最小，最小值为，先证明四边形为长方形，再运用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图， 在中， 由勾股定理，可得， 在中， 由勾股定理，可得， ∵， ∴的最小值为的长， 在中， 由勾股定理，可得， ∴的最小值是13； （2）解：过点B作交延长线于点F，如图， ∵，，，， ∴在中，； 在中，， ∴， ∴当A，D，B三点共线时，的值最小，最小值为的长， ∵，，， ∴四边形为长方形， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为17． 例3．（25-26八年级下·云南昆明·期中）【综合与实践】小明同学在延时课上进行了实践探究，并绘制了如下表格： 课题 在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度 模型抽象 测绘数据（如图1） ①测得水平距离的长为15米 ②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线的长为17米 ③牵线放风筝的手到地面的距离为1.6米 说明 点在同一平面内 请根据表格信息，解答下列问题． (1)求线段的长； (2)如图2，若想要风筝沿方向再上升12米（即米），则在长度不变的前提下，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）如图1，过点作于点，则，，利用勾股定理可求得，再利用线段的和差求解即可； （2）先利用线段的和差求得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图1，过点作于点，则，， 在中，，， 由勾股定理得：， ． （2）解：如图2：， ， ． 变式1．（25-26八年级下·广东广州·阶段检测）著名数学家希尔伯特曾说：“算式是算出来的图形，图形是画出来的公式”，构造图形是为了运用几何图形的直观性，数形结合来简化解决一些复杂代数问题： (1)如图1，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，求两个村庄的距离； (2)在（1）的条件下，要在上建造一个供应站，使得，求的距离； (3)借助上面的思考过程与几何模型，请思考下列代数式的构图并直接写出最值（其中） ①代数式（）的最小值为_____． ②代数式的最大值为_____． 【答案】(1)千米 (2)千米 (3)①；② 【分析】（1）连接，过点作交于点，由题意根据勾股定理求出的长即可； （2）连接，作的垂直平分线交于点，则点即为所求，设千米，则千米，根据勾股定理列出方程，解方程即可； （3）①参考（1）的几何模型，构造，，垂足分别为、，其中，，，，，作点关于的对称点，连接，交于点，连接，，过点作的延长线，交于点，根据勾股定理求出，得出点、、三点共线时，的长就是代数式的最小值，借助勾股定理求出的长即可求解； ②构造与，其中，，，且，过点作交于点，连接，根据勾股定理得出，借助三角形的三边关系得出当点、、三点共线时，的长就是代数式的最大值，借助勾股定理求出的长即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，过点作交于点， 则四边形是矩形， 故千米，（千米）， 在中，（千米）． （2）解：由题意可知，点在的垂直平分线上，如图，连接，作的垂直平分线交于点，则点即为所求， 设千米，则千米， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得， 即的距离为千米． （3）解：①如图，，，垂足分别为、，其中，，，，， 作点关于的对称点，连接，交于点，连接，，过点作的延长线，交于点， 则四边形是矩形，，； ∵点、点关于对称， 故是的垂直平分线， ∴， 在中，， 在中，， 则； 故求代数式的最小值，即为求的最小值． 当点、、三点共线时，的值最小，最小值为的长； 即此时的长就是代数式的最小值． 在中，，， 故， 故代数式的最小值为． ②如图，作与，其中，，，且， 过点作交于点，连接， 则四边形是矩形，，，； 在中，， 在中，， 则； 故求代数式的最大值，即为求的最大值． 在中，； 如图，当点、、三点共线时，的值最大，最大值为的长； 即此时的长就是代数式的最大值． 在中，， 故代数式的最大值为． 变式2．（25-26八年级上·河南郑州·期末）勾股定理是数形结合思想的经典体现，实现了从“形”到“数”的转化与求解． (1)【问题解决】据记载，毕达哥拉斯就是借助图1和图2验证了勾股定理，请你写出验证过程． (2)【反思拓展】我们可以用图2表示的，，，之间的关系解决教材第页第题：两个正数的和是，求它们积的最大值．如图，设两个正数，为直角三角形的两条直角边，且， ，； 要使最大，则值应最小． 由图2可知，当点在线段上时，最小，此时，______，即最大为______． (3)【迁移应用】如图3，正方形的边长为，借助“反思拓展”思路，利用图求代数式的最小值为_________． 【答案】(1)见解析； (2)； (3) 【分析】（1）利用正方形的面积一定，得出等式，化简即可； （2）利用勾股定理求出的长，进而计算即可； （3）利用勾股定理，结合（2）的思路，得出的最小值为的长即可得答案． 【详解】（1）解：在图中，， 在图中， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴最大为． （3）解：由图可得，，， ∴， 由（2）可知，点在线段上时，取最小值， ∴的最小值为的长， ∵正方形的边长为， ∴， ∴的最小值为． 变式3．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）借助勾股定理，我们可以在数轴上找到一些特殊的无理数对应的点，认识了“数轴上的点与实数一一对应”这一事实． 回顾梳理：要在数轴上找到表示的点，关键是在数轴上构造线段．如图1，等腰直角三角形的直角边长为1个单位长度，以原点为圆心，斜边长为半径画弧与数轴交于点，则点对应的数为． 拓展思考：如图2，改变图1中三角形的位置，用类似的方法作图，可在数轴上构造出线段，其中仍在原点，点在原点的左侧，可由线段的长得到点所表示的无理数，按照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数轴上找到无理数对应的点． 任务： (1)点表示的数为______． (2)把5个小正方形按图中位置摆放，并将其进行裁剪，拼成一个大正方形．请在图3中画出裁剪线，并在图4的框中画出所拼得的大正方形的示意图 (3)小丽想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片如图5，使它的长是宽的2倍．小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？请你通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)画图见解析 (3)小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用、数轴上无理数的表示，解题的关键是结合图形构造的线段长度，确定数轴上点对应的数． （1）根据图2中直角三角形的边长，结合圆弧的圆心与半径，确定点B表示的数； （2）由小正方形总面积确定大正方形边长，进行裁剪拼接； （3）通过计算长方形与正方形的边长，判断能否裁出． 【详解】（1）解：图2中，构造的直角三角形直角边长为1，由勾股定理得斜边长为， 以数轴上表示1的点为圆心，为半径画弧，交原点左侧的数轴于点B， 则点B表示的数为． 故答案为：． （2）解：5个小正方形的总面积为，故大正方形的边长为． 裁剪线：在图3中，将右上角小正方形沿对角线裁剪为两个直角三角形，再分割左侧的正方形（裁剪线如下图左所示）； 拼接示意图：将裁剪后的部分拼接成边长为的正方形（如下图右所示）． （3）解：正方形纸片的面积为，故其边长为． 设长方形的宽为，则长为， 由面积得：，即，解得， ∴长方形的长为． ∵，，且， ∴，即长方形的长超过了正方形的边长． 答：小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片． 2 学科网（北京）股份有限公司 $