第4章 因式分解期末专项复习题2025-2026学年浙教版七年级下册数学

**基本信息** 聚焦因式分解全体系，以定义辨析-公因式提取-公式应用-思想拓展为逻辑主线，融合整体代换、配方法等解题技巧，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|选择1-2/填空11|定义判断/公因式确定法|概念生成| |公式应用|选择3-5/填空13、15|平方差/完全平方公式法|公式推导| |综合计算|选择6-7/填空12、14|因式分解与代数式求值结合|应用拓展| |思想方法|解答23-24/填空16|整体思想/配方法|思想提升|

浙教版七年级下册数学期末专项复习题--第4章 因式分解 一、选择题 1．下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 2．多项式各项的公因式是（　　） A． B． C． D．9 3．因式分解的结果是（　　） A． B． C． D． 4．下列多项式中能用平方差公式进行分解因式的是（　　） A． B． C． D． 5．若是完全平方式，则m的值是（　　） A．4 B．8 C． D． 6．已知，，则的值是（　　） A． B．1 C． D． 7．若，，则的值为（　　） A．4 B．6 C．9 D．18 8． 在多项式4x2+1中，添加一个单项式使其成为一个整式的完全平方，则加上的单项式不可以是（　　） A．4x B．2x C．﹣4x D．4x4 9． 把多项式 分解因式， 得到 ， 则 的值分别是 ( ) A． B． C． D． 10．三个连续自然数的平方和一定（　　） A．能够被2整除 B．能够被3整除 C．被3除余1 D．被3除余2 二、填空题 11．分解因式： 　 　. 12．已知，，则的值为　 　． 13．若是一个完全平方式，则n的值是 　 　 14．若，．则　 　． 15．若二次三项式可分解为，则=　 　． 16．将多项式变形为的形式，这样的方法叫做配方法．利用配方法和非负数的性质可以求出多项式的最大（小）值．例如：， ，，当时，多项式有最小值． 已知，为实数，多项式展开后的一次项系数为，多项式展开后的一次项系数为，且，均为正整数，则当时，的最大值为　 　． 三、解答题 17． 因式分解： （1）； （2）. 18．因式分解． （1）； （2）． 19．计算： （1）（用简便方法）； （2）（结果用科学记数法表示）； （3）（x-1）2-（x+1）（x-3）． 20．下面是嘉淇同学把多项式分解因式的具体步骤： 利用加法交换律变形： 第一步 提取公因式： 第二步 逆用积的乘方公式 …． 第三步 运用平方差公式因式分____ ……第四步 （1）事实上，嘉淇的解法是错误的，造成错误的原因是　 　； （2）请给出这个问题的正确解法． 21．给出三个多项式：①，②，③． （1）请任意选择两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解： （2）当，时，求第（1）问所得的代数式的值． 22．完全平方公式通过适当的变形，可以解决很多的数学问题． （1）若，，求的值； （2）已知实数a，b满足，，求的值； （3）如图，已知正方形，的边长分别为x，y，若，，则图中阴影部分的面积为________； （4）如果，那么．以上说法正确吗？请说明理由． 23．先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：（x＋y）2＋2（x＋y）＋1 解：将“x＋y”看成整体，令x＋y＝m，则原式＝m2＋2m＋1＝（m＋1）2 再将x＋y＝m代入，得原式＝（x＋y＋1）2 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）因式分解：1＋2（x-y）＋（x-y）2＝　 　； （2）因式分解：9（x-2）2-6（x-2）＋1 （3）因式分解：（x2-6x）（x2-6x＋18）＋81 24．阅读并完成下列问题： （1）分解下列因式，将结果写在横线上： =　 　；=　 　；　 　. （2）观察以上三个多项式的系数，有 ， ， ， 于是小明猜想：若多项式（a>0）是完全平方式，则实数系数a，b，c存在某种关系：请用数学式子表示a，b，c之间关系：. （3）解决问题：若多项式是一个完全平方式，求m的值. 答案解析部分 1．【答案】C 【解析】【解答】解：A．不是因式分解，故选项不符合题意； B．不是因式分解，故选项不符合题意； C．是因式分解，故选项符合题意； D．不是因式分解，故选项不符合题意． 故选：C． 【分析】根据因式分解的定义逐项进行判断即可求出答案. 2．【答案】B 【解析】【解答】解： 中，系数的最大公约数为9，相同字母的最低指数幂是a2x2， ∴公因式是9a2x2； 故答案为：B. 【分析】找出各项系数的最大公约数，相同字母的最低指数幂，即可确定公因式. 3．【答案】A 【解析】【解答】解： 故选：A． 【分析】本题考查因式分解，先提公因式3，得 3（x24），再用平方差公式分解，可得3（x+2）(x2). 4．【答案】D 【解析】【解答】解：A、，不能用平方差公式进行分解因式，不符合题意； B、，不能用平方差公式进行分解因式，不符合题意； C、，不能用平方差公式进行分解因式，不符合题意； D、，符合题意. 故答案为：D． 【分析】一个二项式满足符号相反，且每一项都能写成一个整式的完全平方，这个二项式就能使用平方差公式分解因式，据此逐一判断得出答案. 5．【答案】D 【解析】【解答】解：∵是完全平方式，∴，故D正确. 故选：D. 【分析】由完全平方式公式，可知m是首尾乘积的2倍。 6．【答案】A 【解析】【解答】解： ， ∵，， ∴. 故答案为：A． 【分析】根据提公因式法将因式分解得，把，代入即可得的值. 7．【答案】C 【解析】【解答】解：将进行因式分解得， ∵， ∴=32=9， 故答案为：C． 【分析】先运用完全平方公式法对进行因式分解再将代入求解即可． 8．【答案】B 【解析】【解答】解：A.4x2+1+4x=(2x+1)2，即是整式2x+1的完全平方，故本选项不符合题意； B.4x2+1+2x不是一个整式的完全平方，故本选项符合题意； C.4x2+1-4x=(2x-1)2，即是整式2x-1的完全平方，故本选项不符合题意； D.4x2+1+4x4=(2x2+1)2，即是整式2x2+1的完全平方，故本选项不符合题意； 故答案为：B. 【分析】根据完全平方式的特点逐个判断即可. 9．【答案】B 【解析】【解答】解： ∴a=-2，b=-3， 故答案为：B． 【分析】根据整式的乘法法则计算，再把结果与原多项式对比，即可解答. 10．【答案】D 【解析】【解答】解：设三个连续的自然数分别为x-1，x，x+1，由题意得 ∴三个连续的自然数的平方和一定被3除余2. 故答案为：D. 【分析】设三个连续的自然数分别为x-1，x，x+1，由题意得从而得出答案。 11．【答案】3xy(2y-x) 【解析】【解答】解： 故答案为： . 【分析】直接提取公因式3xy即可得答案. 12．【答案】3 【解析】【解答】解：∵，， ∴ 即 故答案为： 【分析】首先把m2-n2进行因式分解，然后把整体代入，即可得出，进而即可求得。 13．【答案】 【解析】【解答】解：，是一个完全平方式， ，， 解得：，， 故答案为：． 【分析】 完全平方公式的特点是两数的平方和加上或减去这两数乘积的2倍． 14．【答案】 【解析】【解答】解：将，两式相加， 可得：， 即：， 解得：， 故答案为：． 【分析】先将两式相加，再利用完全平方公式求解即可． 15．【答案】﹣4 【解析】【解答】解：∵可分解为， ∴ ， 则， 解得：， ∴． 故答案为：． 【分析】先利用多项式乘多项式的计算方法展开，再利用待定系数法可得，求出a、b的值，最后将其代入a+b计算即可. 16．【答案】3 【解析】【解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴. ∴当时，的最大值为， 故答案为：3． 【分析】根据多项式乘多项式的运算法则和题意可得，，即可得出，代入ab，根据配方法可得当时，的最大值为. 17．【答案】（1）解： =4a(2ab-1) （2）解： 【解析】【分析】（1）直接提取公因式4a分解因式即可； （2）注意（a+b)整体结构，直接利用完全平方公式分解因式即可. 18．【答案】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【解析】【分析】（1）先提取公因式（如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外，把多项式写成公因式与另一个多项式的积的形式），再利用完全平方公式（运用完全平方公式将某些多项式分解因式，其结构特征是：等式的左边是两个数的平方和与这两个数积的2倍的和或差，右边是这两个数和或差的平方）分析求解即可； （2）先提取公因式（如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外，把多项式写成公因式与另一个多项式的积的形式），再利用平方差公式（运用平方差公式对某些多项式进行因式分解，其结构特征是：等式的左边是两个数的平方差，右边是这两个数的和与这两个数的差的积）分析求解即可. （1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 19．【答案】（1）解： （2）解：原式 （3）解： 【解析】【分析】（1）利用平方差公式对2021×2019进行简便计算，完成计算即可； （2）根据有理数积的乘方运算法则计算，再将结果写成科学记数法的形式： （3）利用完全平方公式展开，以及多项式乘多项式的规则展开，再合并同类项计算即可。 20．【答案】（1）解：公因式没有提取完 （2）解：． 【解析】【解答】（1）解：（1）事实上，嘉淇的解法是错误的，造成错误的原因是公因式没有提取完；故答案为：公因式没有提取完； 【分析】利用因式分解的步骤判断求解即可。 21．【答案】（1）解：得：； 得：； 得：． （2）解：当，时， ； ； ． 【解析】【分析】（1）根据合并同类项法则以及平方差公式、完全平方公式、提取公因式法进行分解即可； （2）将a=2、b=-3代入（1）的结果中进行计算即可. 22．【答案】（1）解：，， ，， ，即， ， （2）解：∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴； （3） （4）解：说法正确，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴说法正确． 【解析】【解答】（3）解： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为： ． 【分析】（1）根据完全平方公式化简，再整体代入即可求出答案. （2）根据完全平方公式将等号左边展开，两式相加减可得，，则，，再根据完全平方公式将代数式化简，再整体代入即可求出答案. （3）由题意可得，化简可得，根据完全平方公式即可求出答案. （4）根据完全平方公式即可求出答案. （1）解：，， ，， ，即， ， （2）解：∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴； （3）解： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为： ． （4）解：说法正确，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴说法正确． 23．【答案】（1） （2）解：因式分解：9（x-2）2-6（x-2）＋1 将看成整体，令 则原式 再将代入，得原式 （3）解：因式分解：（x2-6x）（x2-6x＋18）＋81 将看成整体，令 则原式 再将代入，得原式 【解析】【解答】解：（1）1+2(x-y)+(x-y)2=(x-y+1)2； 【分析】（1）将(x-y)看作整体，然后利用完全平方公式进行分解； （2）将(x-2)看作整体，令x-2=m，则原式=9m2-6m+1=(3m-1)2，然后将x-2=m代入即可； （3）将(x2-6x)看作整体，令x2-6x=m，则原式=m(m+18)+81=m2+18m+81=(m+9)2，然后将x2-6x=m代入即可. 24．【答案】（1）(x+3)2；(4x+1)2；(3x-2)2 （2）b2=4ac （3）解：由（2）知，， 4m2-24m+36=40-24m， m2=1， 解得， 【解析】【解答】解：（1）x2+6x+9=(x+3)2；16x2+8x+1=(4x+1)2；9x2-12x+4=(3x-2)2. 故答案为：(x+3)2；(4x+1)2；(3x-2)2. 【分析】（1）直接利用完全平方公式进行分解即可； （2）观察可得a、b、c之间的关系； （3）由（2）知：[-2(m-3)]1=4(10-6m)，求解即可. 学科网（北京）股份有限公司 $