期末常考知识-二元一次方程和二元一次不等式的新定义问题- 2025-2026学年苏科版七年级数学下册

**基本信息** 初中数学期末专项训练，聚焦二元一次方程与不等式新定义问题，通过15道阶梯式例题构建"概念理解-变式应用-参数探究"的完整解题体系，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二元一次方程新定义|4题|定义转化法、解的代入法、参数方程组求解|从系数特征（伴随数）到解的关系（k系相关解），构建方程与解的双向映射| |一元一次不等式新定义|9题|解集范围判定法、参数不等式组解法|以"关联方程""相伴方程"为载体，强化方程解与不等式解集的包含关系分析| |不等式组整数解|2题|整数解逆向推导法、参数边界确定法|通过"相容/相斥不等式组"概念，深化解集包含关系的逻辑推理|

期末常考知识-二元一次方程和二元一次不等式的新定义问题- 2025-2026学年苏科版七年级数学下册 一．二元一次方程新定义问题 1．我们把关于x、y的二元一次方程ax+by+c＝0的系数a、b、c称为该方程的伴随数，记作（a，b，c）．例如：二元一次方程5x﹣y+3＝0 的伴随数是（5，﹣1，3）． （1）二元一次方程3x+2y＝1的伴随数是　 　 ； （2）已知关于x、y的二元一次方程的伴随数是（3，m，n），且，是该方程的两组解，求m、n的值． 2．定义：关于x，y的二元一次方程ax+by＝c中的常数项c与未知数系数a，b之一互换，得到的方程叫“交换系数方程”，例如：ax+by＝c的交换系数方程为cx+by＝a或ax+cy＝b． （1）方程3x+2y＝4与它的“交换系数方程”组成的方程组的解为　 　 ； （2）已知关于x，y的二元一次方程ax+by＝c的系数满足a+b+c＝0，且ax+by＝c与它的“交换系数方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程mx+ny＝p的一个解，求代数式（m+n）m﹣p（n+p）+2026的值． 3．定义：若关于x，y的二元一次方程ax+by＝c的一个解为，当m﹣n＝k时，则称，为二元一次方程ax+by＝c的“k系相关解”．例如：是二元一次方程x+y＝4的“2系相关解”． （1）二元一次方程x+y＝3的“1系相关解”为　 　 ； （2）下列二元一次方程存在“2系相关解”的是　 　 （填序号）； ①2x+y＝1； ②x﹣y＝1； ③x+y＝3． （3）为二元一次方程2x﹣y＝﹣1的“k系相关解”，且m+n≤3，求k的取值范围． 4．若将关于x、y的二元一次方程变形为y＝ax+b的形式（a、b是常数，a≠0），则这对常数a、b称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为（a，b）．例如：将二元一次方程x﹣2y＝1变形为，则二元一次方程x﹣2y＝1的“相伴系数对”为． （1）二元一次方程2x+y＝1的“相伴系数对”为 　 　 ； （2）已知一个关于x、y的二元一次方程的解为，且该方程的“相伴系数对”为（k，k+3），写出这个二元一次方程为 　 　 ． 二．一元一次不等式新定义问题 5．【阅读材料】 定义：若关于x的一元一次方程的解及解的2倍都在一元一次不等式组的解集范围内，则称这个方程为该不等式组的“绝美子方程”． 例如，方程x+1＝2的解为x＝1，则2x＝2；不等式组的解集是﹣1＜x≤2，可以发现方程的解x＝1和2x＝2都在不等式组的解集﹣1＜x≤2的范围内，则称方程x+1＝2为不等式组的“绝美子方程”． 【解决问题】 （1）在方程①2x﹣1＝0；②3x+4＝0中，为不等式组的“绝美子方程”的是　 　 ；（填序号） （2）若方程2x﹣k＝4为不等式组的“绝美子方程”，求k的取值范围； （3）若方程3x+1＝x+3为不等式组的“绝美子方程”，请直接写出a的取值范围． 6．定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”，例如：2x﹣1＝3的解为x＝2，的解集为﹣3≤x＜4，不难发现x＝2在﹣3≤x＜4的范围内，所以2x﹣1＝3是的“子方程”． 问题解决： （1）在方程①3x﹣1＝0，②，③2x+3（x+2）＝21中，不等式组的“子方程”是 　 　 ；（填序号） （2）若关于x的方程2x﹣k＝2是不等式组的“子方程”，求k的取值范围． 7．定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该一元一次不等式组的“关联方程”．例如：方程x﹣2＝1的解为x＝3，不等式组的解集为﹣1＜x＜4，因为x＝3在﹣1＜x＜4的范围内，所以方程x﹣2＝1是不等式组的“关联方程”． （1）方程2x+1＝﹣x　 　 （填“是”或“不是”）不等式组的“关联方程”． （2）已知关于x的方程x+2m＝5是不等式组的“关联方程”，求m的取值范围． （3）已知关于x的方程x﹣2n＝1是关于x的不等式组的“关联方程”，直接写出n的取值范围为　 　 ． 8．新定义：若某一元一次方程的解在某一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程x﹣1＝3的解为x＝4，而不等式组的解集为3＜x＜5，不难发现x＝4在3＜x＜5的范围内，所以方程x﹣1＝3是不等式组的“关联方程”． （1）在方程①2x﹣4＝0；②中，关于x的不等式组的“关联方程”是　 　 ；（填序号） （2）若关于x的方程2x﹣k＝6是不等式组的“关联方程”，求k的取值范围． 9．定义：如果一个一元一次方程的解也是一个一元一次不等式组的解，那么称这个一元一次方程为这个一元一次不等式组的“友好方程”．例如：一元一次方程2x﹣7＝1的解为x＝4，一元一次不等式组的解集为2＜x＜5，因为，2＜4＜5，所以，称一元一次方程2x﹣7＝1是一元一次不等式组的友好方程． （1）问一元一次方程2（x﹣1）+9＝1是否是一元一次不等式组的友好方程？请说明理由； （2）若关于x的一元一次方程2x﹣m＝1是一元一次不等式组的友好方程，求m的取值范围； （3）若一元一次方程5x＝﹣10和都是关于x的一元一次不等式组的友好方程，请直接写出n的取值范围． 10．定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集的范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”． 例如：x﹣2＝﹣1的解为x＝1，不等式组的解集为，不难发现x＝1在的范围内，所以x﹣2＝﹣1是不等式组的“相伴方程”． 问题解决： （1）在方程①5﹣x＝0，②3x＝﹣1中，不等式组的“相伴方程”是　 　 （填序号）； （2）若关于x的方程3k+x＝1是不等式组的“相伴方程”，求k的取值范围． 11．阅读与思考 定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”．例如：方程2x﹣6＝0的解为x＝3，不等式组的解集为2＜x＜5．∵2＜3＜5，∴方程2x﹣6＝0为不等式组的“相伴方程”．阅读上面的内容完成下列问题： （1）填空：下列方程是不等式组的“相伴方程”的是　 　 （填序号）； ①x+3＝0； ②3x﹣1＝0； ③﹣5x+3＝8． （2）若关于x的方程2x﹣a＝2是不等式组的“相伴方程”，求a的取值范围． 12．定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的“船山方程”．例如：方程x﹣2＝1的解为x＝3，不等式组的解集为2＜x＜5，因为2＜3＜5，所以称方程x﹣2＝1是不等式组的船山方程． （1）问方程3（x﹣1）﹣8＝1是不是不等式组的船山方程？请说明理由； （2）若关于x的方程3x+a＝1是不等式组的船山方程，求a的取值范围； （3）若方程5x+10＝0和都是关于x的不等式组（k≠﹣2）的船山方程，求k的取值范围． 13．阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应的任务． 定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该一元一次不等式组的“关联方程”．例如方程2x﹣4＝0的解为x＝2，不等式组的解集为﹣1＜x＜3，因为﹣1＜2＜3，所以方程2x﹣4＝0是不等式组的“关联方程”． 任务： （1）在方程①x+3＝0；②2x+5＝1；③1﹣2x＝﹣1中，不等式组的“关联方程”是 　 　 ．（填序号） （2）若关于x的方程3x﹣m＝2是不等式组组的“关联方程”，求m的取值范围． 三．一元一次不等式组的整数解（共2小题） 14．定义：如果一元一次不等式组①的解都是一元一次不等式组②的解，那么称一元一次不等式组①是一元一次不等式组②的“相容不等式组”，如果一元一次不等式组①的解都不是一元一次不等式组②的解，那么称一元一次不等式组①是一元一次不等式组②的“相斥不等式组”． （1）根据上述定义，判断不等式组是不等式组的 　 　 ．（填序号①“相容不等式组”或②“相斥不等式组”）； （2）若关于x的不等式组是的“相斥不等式组”，求a的范围； （3）若关于x的不等式组是的“相容不等式组”，且和的整数解相同，求a的范围． 15．我们规定若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：x﹣1＝2的解为x＝3，的解集为﹣3≤x＜4，不难发现x＝3在﹣3≤x＜4的范围内，所以x﹣1＝2是的“关联方程”． 问题解决： （1）方程3x+3＝6是不等式组的“关联方程”吗？请说明理由． （2）若关于x的方程2x+k＝2是不等式组的“关联方程”，求k的取值范围； （3）若关于x的不等式组的所有“关联方程”只有3个不同整数解，试求m的取值范围． 参考答案与试题解析 1．【解答】解：（1）二元一次方程3x+2y＝1变形为3x+2y﹣1＝0， ∴二元一次方程3x+2y＝1的伴随数是（3，2，﹣1）， 故答案为：（3，2，﹣1）； （2）∵关于x、y的二元一次方程的伴随数是（3，m，n）， ∴原方程为3x+my+n＝0， ∵，是方程的两组解， ∴， 解得：． 2．【解答】解：（1）方程3x+2y＝4与它的“交换系数方程”为4x+2y＝3，所组成的方程组为： ， ②﹣①得x＝﹣1， 把x＝﹣1代入①得，﹣3+2y＝4， 解得y＝3.5， 所以方程3x+2y＝4与它的“交换系数方程”组成的方程组的解为， 故答案为：； （2）关于x、y的方程ax+by＝c与它的“交换系数方程”组成的方程组为， 解得x＝﹣1， 把x＝﹣1代入ax+by＝c得﹣a+by＝c， 解得y， 又∵a+b+c＝0，即a+c＝﹣b， ∴y＝﹣1， 即关于x、y的方程ax+by＝c与它的“交换系数方程”组成的方程组的解为， 把代入mx+ny＝p得，﹣m﹣n＝p， ∴（m+n）m﹣p（n+p）+2026 ＝（m+n）m+（m+n）（n﹣m﹣n）+2026 ＝（m+n）m﹣（m+n）m+2026 ＝2026． 3．【解答】解：（1）设是二元一次方程x+y＝3的“1系相关解”， 则得，解得：， 故； 故答案为：； （2）设是二元一次方程的“2系相关解”，即m﹣n＝2； 当2m+n＝1时，，解得， 当m﹣n＝1时，方程组无解； 当m+n＝3时，，解得， 综上，二元一次方程存在“2系相关解”的是①，③； 故答案为：①③； （3）由题意得2m﹣n＝﹣1，则n＝2m+1． ∵m+n≤3， ∴m+2m+1≤3．解得， ∴k＝m﹣n＝m﹣（2m+1）＝﹣m﹣1． ∴，即． 4．【解答】解：（1）2x+y＝1， y＝﹣2x+1， ∴方程2x+y＝1的“相伴系数对”为（﹣2，1）， 故答案为：（﹣2，1）； （2）该二元一次方程可写成：y＝kx+k+3， 把代入y＝kx+k+3得： 3k+k+3＝15， 4k＝12， k＝3， ∴这个二元一次方程为：y＝3x+6，即3x﹣y+6＝0， 故答案为：3x﹣y+6＝0． 5．【解答】解：（1）由题意，∵不等式组为， ∴﹣2＜x≤1． ①∵2x﹣1＝0， ∴x＝0.5． ∴2x＝1，故符合题意． ②∵3x+4＝0， ∴x． ∴2x2，故不合题意． ∴不等式组的“绝美子方程”的是①． 故答案为：①． （2）由题意，∵2x﹣k＝4， ∴x，2x＝k+4． ∵不等式组为， ∴﹣2＜x≤1． 又∵方程2x﹣k＝4为不等式组的“绝美子方程”， ∴． ∴﹣6＜k≤﹣3． （3）由题意，∵3x+1＝x+3， ∴x＝1，2x＝2． ∵不等式组为， ∴﹣2＜x≤a． 又∵方程3x+1＝x+3为不等式组的“绝美子方程”， ∴a≥2． 6．【解答】解：（1）由3x﹣1＝0，得x， 由，得x， 由2x+3（x+2）＝21，得x＝3， 由，得2＜x≤5， ∵x和x不在2＜x≤5的范围内，x＝3在2＜x≤5的范围内， ∴不等式组的“子方程”是③， 故答案为：③； （2）由2x﹣k＝2，得x， 由，得x≤3， ∵方程2x﹣k＝2是不等式组的“子方程”， ∴3， 解得3＜k≤4， 即k的取值范围是3＜k≤4． 7．【解答】解：（1）∵方程2x+1＝﹣x的解是x， 不等式组的解集为x＜2， ∴x在x＜2的范围内， ∴方程2x+1＝﹣x是不等式组的“关联方程”， 故答案为：是； （2）由x+2m＝5，解得 x＝5﹣2m， 由，解得1＜x＜3， 根据题意，得1＜5﹣2m＜3， 解得1＜m＜2； （3）∵方程x﹣2n＝1是关于x的不等式组的“关联方程”， ∴不等式组有解，即2＜n+3， ∵方程x﹣2n＝1的解是x＝2n+1， 不等式组的解集为2＜x＜n+3， ∴根据题意，得2＜2n+1＜n+3， ∴． 故答案为：． 8．【解答】解：（1）解方程①2x﹣4＝0得x＝2； 解方程②得x＝1， 解关于x的不等式组得1＜x≤5， 故2x﹣4＝0是不等式组的“关联方程”， 故答案为：①． （2）解方程2x﹣k＝6得：， 由，解得﹣1≤x≤7， ∵方程2x﹣k＝6是不等式组的“关联方程”， ∴， 解得﹣8≤k≤8． 9．【解答】解：（1）方程2（x﹣1）+9＝1是一元一次不等式组的友好方程． 理由如下： 解不等式组，得：﹣4＜x≤﹣2， 解方程2（x﹣1）+9＝1，得：x＝﹣3， ∵﹣4＜﹣3＜﹣2， ∴方程2（x﹣1）+9＝1是一元一次不等式组的友好方程． （2）解不等式组，得：1＜x≤3， 解方程2x﹣m＝1，得：x， ∵关于x的一元一次方程2x﹣m＝1是一元一次不等式组的友好方程， ∴13， 解得：1＜m≤5， 即m的取值范围是1＜m≤5． （3）解方程5x＝﹣10，得：x＝﹣2， 解方程都，得：x＝﹣1， ∵一元一次方程5x＝﹣10和都是关于x的一元一次不等式组的友好方程， ∴不等式组的解集为n﹣3≤x， ∴， 解得﹣2＜n≤1． 即n的取值范围为﹣2＜n≤1． 10．【解答】解：（1）5﹣x＝0的解x＝5，3x＝﹣1的解x， 由x+2＞﹣3得：x＞﹣5， 由4x≤4得：x≤1， 则不等式组的解集为﹣5＜x≤1， 所以不等式组的“相伴方程”是②， 故答案为：②； （2）3k+x＝1的解为x＝1﹣3k， 由x﹣2＜0得：x＜2， 由3x﹣1≤4x得：x≥﹣1， 则不等式组的解集为﹣1≤x＜2， 由题意知，﹣1≤1﹣3k＜2， 解得k． 11．【解答】解：（1）解不等式组得：﹣1＜x＜2， 解方程①，x+3＝0，得：x＝﹣3； 解方程②，3x﹣1＝0，得：； 解方程③，﹣5x+3＝8，得：x＝﹣1． ∵， ∴不等式组的“相伴方程”的是②． 故答案为：②． （2）解不等式组，得：， 解方程 2x﹣a＝2 得：， ∵关于x的方程2x﹣a＝2是不等式组的“相伴方程”， ∴． ∴3＜a≤4，即a的取值范围是3＜a≤4． 12．【解答】解：（1）方程3（x﹣1）﹣8＝1不是不等式组的船山方程， 理由如下： 方程3（x﹣1）﹣8＝1的解为x＝4， 不等式组的解集为x≤﹣2， ∵4＞﹣2， ∴方程3（x﹣1）﹣8＝1不是不等式组的船山方程； （2）方程3x+a＝1的解为x， 不等式组的解集为x≤3， ∵关于x的方程3x+a＝1是不等式组的船山方程， ∴3， 解得：﹣8≤a； （3）解方程5x+10＝0，得：x＝﹣2， 解方程，得：x＝﹣1， ∵方程5x+10＝0和都是关于x的不等式组（k≠﹣2）的船山方程， ∴分为两种情况： ①当k＜﹣2时，不等式为：，此时不等式组的解集为：x＞1，不符合题意，舍去； ②当k＞﹣2时，不等式为：，此时不等式组的解集为：k﹣3≤x＜1， ∴根据题意，得：， 解得：﹣2＜k≤1， 即k的取值范围为﹣2＜k≤1． 13．【解答】解：（1）的解集为：； 解x+3＝0得：x＝﹣3；解2x+5＝1得：x＝﹣2；解1﹣2x＝﹣1得：x＝1； 由于，但，故2x+5＝1是不等式组的“关联方程”； 故答案为：②； （2）解不等式组得：﹣1＜x＜2， 解方程3x﹣m＝2，得：， 由题意得：， 解得：﹣5＜m＜4． 14．【解答】解：（1）由题意，∵不等式组的解集是2＜x＜3，不等式组的解集是4＜x＜5， ∴不等式组是不等式组的“相斥不等式组”． 故答案为：②． （2）由题意，∵关于x的不等式组是的“相斥不等式组”，且不等式组的解集为2＜x＜3， ∴a﹣1≥3或a+1≤2． ∴a≥4或a≤1． （3）由题意，∵是的“相容不等式组”， ∴． ∴a＜1.6． ∵的整数解为2，3，4，且和的整数解相同， ∴． ∴． ∴a＜2． 综上所述：a＜1.6． 15．【解答】解：（1）由题意，∵3x+3＝6， ∴x＝1． 又∵， 由①得：x＞2， 由②得：3x﹣6﹣x≤4， 2x≤6+4， 2x≤10， x≤5， ∴的解集为2＜x≤5． ∵x＝1不在2＜x≤5范围内， ∴方程3x+3＝6不是不等式组的“关联方程”． （2）由题意，∵2x+k＝2， ∴x＝1． 又∵， 由①得：x＞2， 由②得：x﹣4x≥1﹣13，﹣3x≥﹣12，则x≤4， ∴不等式组的解集为：2＜x≤4， ∵关于x的方程2x+k＝2是不等式组的“关联方程”， ∴． ∴． ∴﹣6≤k＜﹣2． （3）由题意，∵， ∴m＜xm． ∵不等式组的所有“关联方程”只有3个不同整数解， ①如是整数，则三个整数解为 ， ②如不是整数，则三个整数解为 ， 综上所述 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $