课时5 利用导数研究不等式恒（能）成立课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“利用导数研究不等式恒（能）成立”专题，依据高考评价体系梳理了分离参数、分类讨论、端点问题、双变量四大核心考点，通过2025湖南邵阳二联等真题实例，明确恒成立与能成立转化策略的高频考查方向，构建了“考点—例题—方法”的系统备考体系。 课件亮点在于“真题解析+规律提炼+素养落地”，如例1通过分离参数将不等式转化为函数最值问题，培养学生数学思维（推理能力），例4双变量问题转化为最值比较渗透模型观念。规律方法总结转化策略，对点训练强化应用，助力学生掌握导数应用技巧，教师可据此精准突破压轴题，提升复习效率。

课时5 利用导数研究不等式恒 (能)成立 一、考情分析 恒（能）成立问题是高考的常考考点， 其几何意义、函数、方程等相交汇 作为压轴题出现，试题难度略大. 其中不等式的恒（能）成立问题经常与导数及 综合考查分析问题、解决问题的能力，一般 二、考点扫描 考点一分离参数求参数范围 例1(2025·湖南邵阳市二联节 1,+∞)，lnx)≤2ex恒成立， 选)设函数尤x)=m(x十1 求m的最大值. e*,m>0.若对任意x∈(- 【解】lnfx)≤2e对Hx∈(-l,+∞)恒成立，即lnm≤2e*-ln(x+1)-x对Vx ∈(-1，+∞)恒成立.令gc)=2ex-lnx+1)-x,x∈(-1，十∞)，则只需ln m≤gmn即可.g'()=2e-1,-1,x∈(-1，十o).易知y=2e,y= x+1 x+1 -1均在(-1，+∞)上单调递增，故g'(x)在(-1，+∞)上单调递增.又g′(O) =0,所以当x∈(-1,0)时，g′(x)<0,gx)单调递减；当x∈(0，+∞)时，g'x) >0,g(x)单调递增.所以g(x)min=g(0)=2,故lnm≤2=lne2,所以0<m≤e2, 故m的最大值为e2. 规律方法： 分离参数法解决恒（能）成立问题的策略 (1)分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最 (2)a≥x)恒成立台a≥fx)ms; a≤x)恒成立台a≤x)mim; a≥x)能成立台a≥术x)mm; a≤x)能成立台a≤x)max. 值问题. 对点训练已知函数x) 等式x)≤gx)-e成立， Fa-ea∈R),&e)-lnr X 求实数a的取值范围. 若存在x∈(0，十∞)，使得不 【解】若存在x∈(0，+o),使不等式fs)-e成立，则cnx0),即 0令ne0,bMe=-2血 x4 max =1-21nx,当0xe时，h(0,当xe时，h(0,所以函数在(0，e) X 上单调递增，在(c,十o上单调递减，所以Mr=(@=20所以a心2c 考点二根据参数讨论函数最值 例2（2025·湖南衡阳市期末节选)已知函数 不等式恒成立，求实数a的取值范围 意是若④， 【解】若E,不等式恒成立，则（⑧m毛，尖中≤丰延 a≤ 当 2时，对于€E,寸，所以心在四冈上单调递增，所以x之时， 即 2满足题意；当>2时，若空，则(，心9在 ©上单调递减，所以③，与⊙矛盾，不合题意综上所述， 实数a的取值范围是 02 规律方法： 根据不等式恒成立构造函数转化成求函数的最 助函数单调性求解 值问题，一般需讨论参数范围，借 对点训练设函数x)=x2 范围. (a+2)x+alnx(a∈R) 若x)≥1恒成立，求a的取值 (2x-4)(x-1) 【解】x)= X (1)当a≤0时，令fx)>0,得 令fx)<0,得0<x<1, 所以x)在(0,1)上单调递减， 所以x)mim=f1)=一a-1, 所以-a-1≥1，即a≤-2 ,x>0,由题意x)≥1， x>1; 在(1，十oo)上单调递增， 则fx)min≥1 (2)当a>0时，存在1)=-a-1<0, 可知a>0时，x)≥1不恒成立 综上，a≤-2. 故实数a的取值范围是(-o0,一2] 不满足题意， 考点三与端点有关的恒成立 例3(2025山西实验中学月考节选) , 求实数a的取值 己知函数意 范围. 9若对任意 【解】对任意⑨冬+，即ěx上6， 设主 ①当C时，g()在©冈上单调递增，单率单调递增， ，成立： ②当©时，令手 春会秉€在Q冈上单调递增， (,成立； ③当时，当时，答单单 冬三率单调递减， (,不成立综上可知I Q上单调递增， 调递减， 考点四双变量的恒（能）成立问题 例4(2024·四川成都市诊断节选)设函数 中a∈R.若Vx2∈[0，十o),3x1∈R 大值. Ax)=(x-1)(e*-e),g(x)=e*-ax-1, 使得不等式x1)≤gx2)成立，求a的最 【解】2∈[0，十o),31∈R,使得不等式x)≤gx2)成立，等价于 x1)mm≤g(x2)mim.当x<1时，x-1<0,e-e<0,所以fx)>0; 当x≥1时，x-1≥0，e-e≥0，所以x)≥0， 所以x)≥0恒成立，当且仅当x=1时，fc)mn=0, 所以x2∈[0，+o),g(x2)≥0恒成立，即e-x-1≥0x≥0). 当x=0时，e*一ax-1=0;当x>0时，由e-ax一1≥0， 记hx)=ex-x-1,x>0,则h(x)=e-1>0, 所以hx)在(0，十o)上单调递增. 又h(0)=0,所以hx)=ex-x-1>0恒成立，即ex-1>x, 所以e-1>1c>0),所以a≤1. X 所以a的最大值为1. 得a≤e-1恒成立. X 米 感谢观看 THANKS