第三章 课时作业5 利用导数研究不等式恒（能）成立-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦导数研究不等式恒成立，通过转化与分类讨论构建系统性解题方法，强化数学思维与逻辑推理 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |不等式恒成立|4题（含双函数最值比较）|转化为函数最值、构造新函数、分类讨论导数零点|导数→单调性→最值→参数范围，体现问题转化与逻辑推理|

课时5 利用导数研究不等式恒（能）成立 解答题 1、（2026·湖南衡阳市期末节选）已知函数.若，不等式恒成立，求实数的取值范围. 2、（2026·陕西咸阳市模拟节选）已知函数.若对任意，恒成立，求实数的取值范围. 3、已知函数，且当时，恒成立，求实数的取值范围. 4、 (2024·山东济南市模拟节选)已知函数f(x)＝－1，函数g(x)＝x3＋ax2＋1. 若对∀x1，x2∈[1，e]，不等式f(x1)≤g(x2)恒成立，求实数a的取值范围． 课时5 利用导数研究不等式恒（能）成立参考答案 1、【解】若，不等式恒成立，则，， 当时，对于，，所以在上单调递增，所以时，，即满足题意；当时，若，则，在上单调递减，所以，与矛盾，不合题意.综上所述，实数的取值范围是. 2、【解】函数，，，设，，求导得，函数在上单调递减，则，即，因此，令，，求导得，令，，求导得，当时，，当时，，即在上单调递减，在上单调递增，则，即，因此函数在上是增函数，，所以，即实数的取值范围是. 3、【解】当时，不等式恒成立，即恒成立.令，则，设.令，解得.当时，单调递减；当时，单调递增；所以.所以在上单调递增，且，所以当时，恒成立.所以当时，恒成立.令，则.由于时，恒成立，即，所以，则，当时，单调递增；当，单调递减；因此当时，取得极大值也是最大值，则，所以，所以，实数的取值范围是. 4、【解】因为x1，x2∈[1，e]，不等式f (x1)≤g (x2)恒成立，所以f (x)max≤g (x)min.因为f ′(x)＝，所以当x∈[1，e]时，f ′(x)≥0恒成立，所以f(x)在[1，e]上单调递增，所以f(x)max＝f(e)＝1.g′(x)＝3x2＋2ax＝x(3x＋2a)，令g′(x)＝0，解得x＝0或x＝－. ①当－≤1，即a≥－时，g′(x)≥0在[1，e]上恒成立，所以g(x)在[1，e]上单调递增，所以g(x)min＝g(1)＝2＋a，由f(x)max≤g(x)min得1≤2＋a，解得a≥－1； ②当1<－<e，即－<a<－时，若x∈，则g′(x)<0，若x∈，则g′(x)>0，所以g(x)在上单调递减，在上单调递增，所以g(x)min＝g＝＋1<1，不满足f (x)max≤g (x)min； ③当－≥e，即a≤－时，g′(x)≤0在[1，e]上恒成立，所以g(x)在[1，e]上单调递减,所以g(x)min＝g(e)＝e3＋ae2＋1，由f (x)max≤g (x)min得1≤e3＋ae2＋1，解得a≥－e(舍)．综上所述，实数a的取值范围是[－1，＋∞)． . 学科网（北京）股份有限公司 $