精品解析：陕西西安市雁塔区陕西师范大学附属中学2025-2026学年八年级下学期5月阶段检测数学试题

八年级数学限时训练 一、选择题（每小题只有一个正确选项，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中：①，②，③，④，⑤，⑥，是一元二次方程的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的概念逐一判断即可． 【详解】解：①是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程，它是一元二次方程， ②中当时，它不是一元二次方程， ③整理得，它不是一元二次方程， ④不是一元二次方程， ⑤是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程，它是一元二次方程， ⑥不是一元二次方程， 综上，一元二次方程有2个． 2. 如图，四边形是平行四边形，添加下列条件，能判定这个四边形是矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由矩形的判定和平行四边形的性质分别对各个选项进行判断即可； 【详解】解：A、四边形是平行四边形， ， ， ， 平行四边形是矩形，故选项A符合题意； B、四边形ABCD是平行四边形，， ，， ， 选项B不能判定这个平行四边形为矩形，故选项B不符合题意； C、四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形，故选项C不符合题意； D、四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形，故选项D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键． 3. 下列各因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】A、，因式分解正确，A符合题意； B、不能分解为，故B错误，不符合题意； C、是整式乘法，不是因式分解，因式分解是将多项式化为几个整式乘积的形式，故C错误，不符合题意； D、，原分解没有分解彻底，故D错误，不符合题意． 4. 把分式的分子分母中的都扩大到原来的4倍，则分式的值（ ） A. 扩大为原来的4倍 B. 扩大为原来的16倍 C. 缩小为原来的 D. 缩小为原来的 【答案】A 【解析】 【详解】解：由题意可知，新分式的值为，扩大为原来的4倍． 5. 近日，秋浦西路（虎泉路−−长江中路段）正在进行路面维修改造，采取半幅封闭施工，给市民出行带来极大不便．该路段全长800米，在维修200米后，为了能尽快完工，采用了新的维修技术，工作效率比原来提升了，结果比原计划提前2天完成任务．设原计划每天维修x米，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“原计划修剩余路程的时间减去提速后修剩余路程的时间等于提前的2天”找等量关系列方程即可． 【详解】解：∵原计划每天维修x米，已修200米，剩余路程为米， ∴按原效率修完剩余路程的时间为天， ∵效率提升后，每天维修长度为米， ∴提速后修完剩余路程的时间为天， ∵最终提前2天完成任务，因此原时间比提速后时间多2天， ∴列方程得． 6. 若是方程的一个根，则的值为（ ） A. 2025    B. C. 2026    D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，以及代数式求值，利用方程根的性质，将、表示出来，然后代入表达式化简计算，即可解题． 【详解】解：∵ a是方程的根， ∴，即， ∴， ∴． 故选：A． 7. 如图，在中，，为的中点，，则四边形的面积为（ ） A. B. 6 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据，可得四边形为平行四边形，根据， 为的中点，则平行四边形为菱形，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ 四边形为平行四边形， 又 ∵， 为的中点， ∴， ∴ 平行四边形为菱形， ∴， ∴ 又 ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 8. 代数式的值（ ） A. 一定是正数 B. 可能是负数 C. 可能为零 D. 不能确定取值范围 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法的应用，通过完成平方将代数式变形，利用平方的非负性判断其值恒为正数． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴代数式的值一定为正数， 故选：A． 9. 如图，，，，是菱形四边的中点，顺次连接点，，，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接、，设与交于点O，根据菱形的性质得出，，，根据三角形中位线定理得出，，设，则，根据勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】解：连接、，设与交于点O，如图所示； ∵四边形为菱形， ∴，，， ∵，，，是菱形四边的中点， ∴，， ∴，， 设，则， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得： ， ∴， ∴． 10. 如图，已知正方形的边长为是对角线上一点，于点于点，连接．给出下列结论：①；②四边形的周长为；③的最小值为；④．其中正确结论的序号为（ ） A. ①③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】①证明是等腰直角三角形，则，即可判断； ②先证明是等腰直角三角形，再根据三个角是直角的四边形是矩形可得四边形为矩形，则四边形的周长，即可判断； ③证明，则，根据矩形对角线相等得，当时，垂线段最短，即可判断； ④证明，得到，进而求解． 【详解】解：连接，如图所示： ①∵正方形的边长为是对角线上一点， ， 又， ， 为等腰直角三角形， ∴，故①正确； ②由①证明过程，同理得是等腰直角三角形， ， ， ∴四边形为矩形， ∴四边形的周长，故②正确； ③∵四边形为矩形， ， ∵四边形为正方形， ， 在和中， ， ， ， ，即当最小时，最小， ∴当时，垂线段最短，即时，的最小值等于，故③错误； ④延长交于，延长交于，如图所示： ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故④正确； 综上所述，①②④正确． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若分式的值为0，则实数x的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式值为的条件，即分子等于，分母不为，计算即可． 【详解】解：由题意得 且 ， 由 解得 ， 由 ，因式分解得， 解得 或 ，不符合分母不为的条件，舍去， 所以实数的值为． 12. 已知关于的方程是一元二次方程，则的值为_____． 【答案】 1 【解析】 【分析】根据方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数是，二次项系数不为，像这样的方程叫做一元二次方程，据此解答即可． 【详解】解：方程是一元二次方程， ，且 ， 解得． 13. 若方程有两个实数根，则n的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：由已知，， 解得，． 14. 如图，在中，对角线，交于点，，点为边上一点，且，若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，连接，可知，根据平行四边形的性质得到是的中点，根据三角形中位线定理得到，可知，证明是的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出的长． 【详解】解：如图，取的中点，连接，可知， 在中，对角线，交于点， 是的中点， 是中位线， ， ， ， ，即是的中点， ． 15. 若关于x的分式方程 无解，则m的值为________ ． 【答案】1或2 【解析】 【分析】将原方程去分母并整理，然后根据题意分两种情况求得m的值即可． 【详解】解： 原方程去分母得：， 整理得：， 当时，该方程无解，符合题意， 解得：， 当时，原分式方程无解， 那么， 即， 则， 解得：， 综上，m的值为1或2． 16. 如图，正方形的边长为，动点E、F分别从点A、C同时出发，都以相同的速度分别沿、向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线的垂线，垂足为点G，连接，则长的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，两点之间线段最短；连接、相交于点，取的中点，连接、，先利用正方形的性质和勾股定理求出，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得的值，最后利用即可求出长的最小值． 【详解】解：如图所示，连接、相交于点，取的中点，连接、， ∵正方形的边长为， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴在中，， ∵， ∴是直角三角形，为斜边上的中线， ∴， ∵在中，， ∴当三点共线时，取最小值． 三、解答题（共7小题，共52分） 17. 分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 18. 解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2）无解 （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解： 方程两边同时乘以得， ∴ 解得： 当时， ∴是原方程的解； 【小问2详解】 解： 方程两边同时乘以得， ∴ 解得：， 当时， ∴是原方程的增根，原方程无解； 【小问3详解】 解： ∴ ∴ ∴ 解得： 【小问4详解】 解： ∴ ∴ ∴或 解得： 19. 先化简，然后从中选取一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】；3 【解析】 【分析】本题主要考查了分式化简求值，熟练掌握分式混合运算法则，是解题的关键．先根据根式混合运算法则进行化简，然后再代入数据计算即可． 【详解】解： ， 因为， 所以， 所以； 当时，原式． 20. 如图，，点是边上一定点，利用尺规作图法在内部求作一点，使是以为直角顶点的直角三角形，且．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【解析】 【分析】过点C作的垂线，交的平分线于D即可． 【详解】解：如图，点即为所求． 证明：由作图可知，， ∵， ∴， ∴． ∴是以为直角顶点的直角三角形，且． 21. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，于点，于点．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据矩形性质推出，进而证明，利用全等三角形性质即可证明． 【详解】证明：四边形是矩形， ∴， ． 于点，于点， ． 在和中 ． 22. 年春节，智能健康手表成为热门“孝心年货”，其中、两款手表深受市民喜爱．某商店专营该两款手表，已知款手表的进价比款手表每块多元．该商店用元购进款手表的数量，与用元购进款手表的数量相等． （1）求款、款手表每块的进价分别为多少元？ （2）该商店计划购进这两款手表(两种都要购进）共块，且进货总费用不超过元．已知每块款手表利润元，每块款手表利润元．求全部售出后可获得的最大总利润． 【答案】（1）款手表每块进价元，款手表每块进价元 （2）元 【解析】 【分析】（1）设款手表每块进价元，款手表每块进价元，根据“用元购进款手表的数量，与用元购进款手表的数量相等”可列出关于的分式方程，求解并检验后可得答案； （2）设购进款手表（为正整数）块，则购进款手表块，全部售出的利润为元，根据“进货总费用不超过元”列出关于的不等式，求解后确定的取值范围；根据“每块款手表利润元，每块款手表利润元”可确定关于的一次函数，根据一次函数的性质可得答案． 【小问1详解】 解：设款手表每块进价元，款手表每块进价元， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴（元）， ∴款手表每块进价元，款手表每块进价元； 【小问2详解】 解：设购进款手表（为正整数）块，则购进款手表块，全部售出的利润为元， ∵进货总费用不超过元， ∴， 解得：， 又∵购进款手表块， ∴， 解得：， ∴（为正整数）， 全部售出后可获得的利润为：， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最大值，最大值为（元）， ∴全部售出后可获得的最大总利润为元． 23. 问题提出 （1）如图①，在中，D，E分别是边，的中点，若，则的长为________； 问题探究 （2）如图②，在菱形中，连接，P，Q分别是，边上的动点，连接，M，N分别是，的中点，若，，求的最小值； 问题解决 （3）如图③，莫莫家有一块边长为600 m的正方形菜地，爸爸计划对其进行改造，P为菜地内一动点，且，E为的中点，F，G分别为，边上的动点，在改造的过程中始终要满足，Q为的中点，他计划在区域内种植茄子，在区域内种植西红柿，其余区域内种植辣椒，并分别沿，修建灌溉水渠，为了控制成本，要求灌溉水渠的总长度尽可能的短，若不考虑其他因素，求灌溉水渠总长度的最小值． 【答案】（1）8 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用中位线定理即可求解； （2）利用中位线定理，连接得，根据垂线段最短找到最短的情况，然后利用等面积法即可求解； （3）取的中点T，作射线，交延长线于点H，在的延长线上截取，连接，可得四边形是矩形，，利用勾股定理可得，根据得，则可推得，据此可判断最小时的位置，利用垂线段最短和勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：∵在中，D，E分别是边，的中点， ∴; 【小问2详解】 解：如图，连接，连接交于点O， ∵M，N分别是，的中点， ∴为的中位线，即， ∴当时，最小，从而最小， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为； 【小问3详解】 如图，取的中点T，作射线，交延长线于点H，在的延长线上截取，连接，过点W作于点V ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵，，Q为的中点， ∴，为的中位线， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，， , 在中，由勾股定理，，则， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴最小值是的长， ∵， ∴， 在中，由勾股定理，，即， 即灌溉水渠总长度的最小值为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，能够根据垂线段最短构造相关的三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学限时训练 一、选择题（每小题只有一个正确选项，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中：①，②，③，④，⑤，⑥，是一元二次方程的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 如图，四边形是平行四边形，添加下列条件，能判定这个四边形是矩形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 把分式的分子分母中的都扩大到原来的4倍，则分式的值（ ） A. 扩大为原来的4倍 B. 扩大为原来的16倍 C. 缩小为原来的 D. 缩小为原来的 5. 近日，秋浦西路（虎泉路−−长江中路段）正在进行路面维修改造，采取半幅封闭施工，给市民出行带来极大不便．该路段全长800米，在维修200米后，为了能尽快完工，采用了新的维修技术，工作效率比原来提升了，结果比原计划提前2天完成任务．设原计划每天维修x米，则可列方程（ ） A. B. C. D. 6. 若是方程的一个根，则的值为（ ） A. 2025    B. C. 2026    D. 7. 如图，在中，，为的中点，，则四边形的面积为（ ） A. B. 6 C. 10 D. 12 8. 代数式的值（ ） A. 一定是正数 B. 可能是负数 C. 可能为零 D. 不能确定取值范围 9. 如图，，，，是菱形四边的中点，顺次连接点，，，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知正方形的边长为是对角线上一点，于点于点，连接．给出下列结论：①；②四边形的周长为；③的最小值为；④．其中正确结论的序号为（ ） A. ①③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若分式的值为0，则实数x的值为______． 12. 已知关于的方程是一元二次方程，则的值为_____． 13. 若方程有两个实数根，则n的取值范围为__________． 14. 如图，在中，对角线，交于点，，点为边上一点，且，若，则的长为______． 15. 若关于x的分式方程 无解，则m的值为________ ． 16. 如图，正方形的边长为，动点E、F分别从点A、C同时出发，都以相同的速度分别沿、向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线的垂线，垂足为点G，连接，则长的最小值为______． 三、解答题（共7小题，共52分） 17. 分解因式： （1）； （2）． 18. 解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 19. 先化简，然后从中选取一个合适的数作为的值代入求值． 20. 如图，，点是边上一定点，利用尺规作图法在内部求作一点，使是以为直角顶点的直角三角形，且．（不写作法，保留作图痕迹） 21. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，于点，于点．求证：． 22. 年春节，智能健康手表成为热门“孝心年货”，其中、两款手表深受市民喜爱．某商店专营该两款手表，已知款手表的进价比款手表每块多元．该商店用元购进款手表的数量，与用元购进款手表的数量相等． （1）求款、款手表每块的进价分别为多少元？ （2）该商店计划购进这两款手表(两种都要购进）共块，且进货总费用不超过元．已知每块款手表利润元，每块款手表利润元．求全部售出后可获得的最大总利润． 23. 问题提出 （1）如图①，在中，D，E分别是边，的中点，若，则的长为________； 问题探究 （2）如图②，在菱形中，连接，P，Q分别是，边上的动点，连接，M，N分别是，的中点，若，，求的最小值； 问题解决 （3）如图③，莫莫家有一块边长为600 m的正方形菜地，爸爸计划对其进行改造，P为菜地内一动点，且，E为的中点，F，G分别为，边上的动点，在改造的过程中始终要满足，Q为的中点，他计划在区域内种植茄子，在区域内种植西红柿，其余区域内种植辣椒，并分别沿，修建灌溉水渠，为了控制成本，要求灌溉水渠的总长度尽可能的短，若不考虑其他因素，求灌溉水渠总长度的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $