精品解析：陕西省宝鸡市凤翔区2026年初中学业水平 第二次模拟考试九年级数学试题

2026年凤翔区初中学业水平第二次模考卷数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 的相反数是（　　） A. 6 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的概念是解题的关键． 根据相反数的定义，直接确定的相反数． 【详解】解：的相反数是， 故选：D． 2. 将下列平面图形绕轴旋转一周，可以得到如图所示的立体图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据面动成体的原理，分析各选项中的平面图形绕轴旋转一周后形成的立体图形，与题干给出的立体图形进行对比即可得出答案； 【详解】解：观察题干图形可知，该立体图形是一个圆柱和圆锥相叠， A：旋转后得不到圆柱圆锥的组合，不符合； B：图形上半部分是一边在轴上的矩形，旋转后得到圆柱；下半部分是直角边在轴上的直角三角形，旋转后得到同底的圆锥，正好得到题目中的立体，符合要求； C：完整矩形旋转后只得到一个圆柱，不符合； D：旋转后得到两个同底的圆锥，不符合． 3. 如图，，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线平行内错角相等得到，再根据垂直的定义得到，即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴ ∵， ∴， ∴． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据单项式乘法、合并同类项、单项式除法、幂的乘方逐项判断即可． 【详解】解：A．，故选项 A错误； B．，故选项B错误； C．，故选项C错误； D．，故选项D正确． 5. 如图，在中，，，点在边上，连接，若点在边的垂直平分线上，则图中等腰三角形的个数为（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 【答案】B 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定、三角形的内角和、外角的性质解题即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴等腰三角形有、两个． 6. 将一次函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，所得到的图象一定经过点（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用“左加右减”的规律求出平移后的函数解析式，把代入计算值即可判断． 【详解】解：∵一次函数图象沿轴向右平移3个单位长度，符合“左加右减”的平移规律，原函数为， ∴平移后的函数解析式为 ， 化简得， 将代入解析式，得 ， ∴平移后的图象经过点． 7. 如图，四边形内接于，连接、，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质求出，利用平行线的性质求出，最后根据圆内接四边形的性质求出； 【详解】解：，，  ，  ，  ，  ，  四边形内接于，  ，  ． 8. 已知二次函数（为常数），当时，该二次函数的最大值与最小值的差为（ ） A. 9 B. C. 1 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数解析式得到二次函数图象开口向下，对称轴直线为，得到离对称轴越远值越小，则当时，二次函数取得最大值，当时，二次函数取得最小值，由此即可求解． 【详解】解：二次函数（为常数）， ∵， ∴二次函数图象开口向下，对称轴直线为， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，离对称轴越远值越小， ∵，则， ∴当时，二次函数取得最大值，最大值为， 当时，二次函数取得最小值，最小值为， ∴， 故选：D ． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 在数轴上，点表示的数为1，数轴上与点的距离为3，且在点的左侧的点表示的数是____． 【答案】 【解析】 【分析】根据数轴上点表示的数以及两点之间的距离求解即可． 【详解】解：∵点表示的数为1，数轴上与点的距离为3，且在点的左侧， ∴． 10. 如图，点为正八边形的中心，连接、，则的度数为_________． 【答案】90 【解析】 【详解】解：根据正多边形的性质，正n边形的每个中心角为， ． 11. 一件衣服在进价的基础上提高标价，再打8折出售仍可获利18元，则这件衣服的进价为______元． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程在商品销售问题中的应用，解题的关键是根据利润公式找到等量关系，列出方程求解． 设进价为未知数，先根据进价表示出标价和售价，再根据“利润=售价-进价”列方程求解． 【详解】解：设这件衣服的进价为元， 则标价为元，售价为元． 根据题意，得， 解得． 12. 七巧板具有深厚的中华文化底蕴，它是由正方形、平行四边形和大小不一的等腰直角三角形组成的．如图1，为正方形的对角线的中点，、分别为、的中点，连接，连接并延长交于点，、分别为、的中点，连接、，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板，将这幅七巧板拼成图2的“小鱼”形象．已知，则图2中阴影部分的面积为____． 【答案】8 【解析】 【分析】根据拼接可知：“小鱼”形象的整体面积与正方形的面积相等，“小鱼”形象的非阴影部分的面积等于正方形中的的面积，据此即可作答． 【详解】解：∵正方形中，， ∴． 13. 若反比例函数和的图象分别经过点和，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数图象上的点的横纵坐标之积为，列出方程进行求解即可. 【详解】解：∵反比例函数和的图象分别经过点和， ∴，，即， ∴ 解得， ∴. 14. 如图，是矩形的对角线，动点在对角线上（不与点重合），点E在上方，连接、、．若，，，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据勾股定理求出的长，利用三角形面积公式求出点到的距离，进而得到点到的距离．然后利用锐角三角函数将转化为点到的距离，最后根据垂线段最短求解． 【详解】解：在矩形中，，， ，， ， 过点作于点，延长交于点， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ，， ， ， ， 在中，， ， 过点作于点， 在中，， ， 当点、、在同一条直线上时，取得最小值，最小值为的长， 的最小值为3． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法、绝对值的化简与负整数指数幂的运算，解题的关键是掌握各运算的法则，按顺序化简并合并同类二次根式。 先计算二次根式乘法；再根据绝对值内式子的正负性去掉绝对值符号；接着计算负整数指数幂；最后合并同类项。 【详解】解：原式 16. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】将分式方程转换为整式方程，再进行求解，最后检验即可． 【详解】解： 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 17. 先化简：，已知，再在、、、中任意选取一个数作为的值，并代入求值． 【答案】，（答案不唯一）． 【解析】 【分析】先利用完全平方公式和平方差公式展开括号内的式子，再合并同类项，接着进行多项式除以单项式的运算化简式子；最后根据除数不为0的条件，选取合适的值代入化简后的式子求值． 【详解】解： ， ， ，题目中的取值为 ，均满足条件． 当，时，原式 ； 当，时，原式 ； 当，时，原式 ； 当，时，原式 ． 18. 如图，已知，请用尺规作图法在边上求作点，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】图见解析 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得，进而可得只需作点，使得，则作的垂直平分线，交于点，连接即可． 【详解】解：如图，点即为所作． ． 19. 如图，在正方形中，点是对角线延长线上一点，连接、，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】连接，如图，根据正方形的性质可得垂直平分，根据线段垂直平分线的性质即可得到结论． 【详解】证明：连接，如图， ∵四边形是正方形， ∴垂直平分， ∵点是对角线延长线上一点， ∴． 20. 为深入弘扬中华优秀传统文化，扎实推进中医药文化弘扬工程，某校成立了百草园中草药种植小组．为进一步认识中草药，组长设置了一个游戏：在一个不透明的袋子中装一个白球（金银花）、一个黄球（连翘）、一个红球（紫苏）和一个绿球（桔梗），这四个球除颜色不同外，其余完全相同．摇匀后某位组员从袋子中随机摸出一个球，记下颜色放回摇匀，该组员要回答出所摸小球对应药材的一种功效，每位组员只摸一次球． （1）共随机摸球20次，其中摸出红球4次，则这20次摸球中，摸出红球的频率是_________； （2）用画树状图或列表的方法，求该组的铭铭和骏骏两位成员都要回答连翘的功效的概率． 【答案】（1）0.2 （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率的计算公式求解即可； （2）利用树状图求解即可． 【小问1详解】 解：摸出红球的频率是； 【小问2详解】 画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中铭铭和骏骏两位成员都要回答连翘的功效的结果只有1种， 铭铭和骏骏两位成员都要回答连翘的功效． 21. 三阳寺塔因邻近泾阳、咸阳，地处渭水之阳，所以又称“三阳塔”．某数学小组在假期开展了测量三阳寺塔高度的活动，活动报告如下： 活动主题 测量三阳寺塔的高度 测量过程及示意图 测量过程 示意图 如图，小组成员甲在地面上的点处竖立一根标杆，三阳寺塔顶端、标杆顶端与地面上的在同一直线上；小组成员乙在地面上的点处放置一面平面镜（大小忽略不计），当其站在地面上的点处时，恰好从平面镜中看到三阳寺塔顶端的像． 数据 米，米，米，米． 说明 ，，，点、、、、在同一直线上，图中所有点均在同一平面内． 请根据上述信息，求出三阳寺塔的高度． 【答案】53米 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用．由光的反射的性质可以得出，结合，可以证得 ，得到，再由，结合，证得，从而得到与之间的比例关系，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， , ， 解得， 三阳寺塔的高度为53米． 22. 船舶工业正在经历一场前所未有的“新能源化”和“智能化”革命，而中国在这个赛道上正扮演着领跑者的角色．某艘船空载（未装载重物）时吃水深度（船舶在水中浸入水下的最深长度）为，船的吃水深度随着船上重物的均匀增加而均匀增大．船的吃水深度与船上重物（）之间的函数关系如图所示． （1）求与之间的函数关系式； （2）当船上重物为时，该船的吃水深度是多少？ 【答案】（1） （2）当船上重物为时，该船的吃水深度是 【解析】 【分析】（1）设与之间的函数关系式为，由图象可把点 代入进行求解即可； （2）把代入（1）中函数解析式进行求解即可． 【小问1详解】 解：设与之间的函数关系式为， 把 代入，得： ，解得， 与之间的函数关系式为． 【小问2详解】 解：当时， ， ∴当船上重物为时，该船的吃水深度是． 23. 中小学生心理健康事关立德树人，事关强国建设和民族复兴，因此教育部发布十条措施，进一步加强中小学生心理健康工作．某校为加强学生的心理健康，举办了心理健康讲座活动，要求全校800名学生都参加，活动结束后，对参加讲座的学生进行了心理健康问卷测试（单位：分，满分100分），并随机抽取了40名学生的问卷测试成绩，将他们的成绩（用表示）绘制成如下不完整的统计表： 组别 成绩(分) 频数 组内总成绩(分) A 4 260 B 8 622 C 16 1366 D 1152 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：上表中________，所抽取学生心理健康测试成绩的中位数位于________组； （2）求所抽取学生心理健康测试成绩的平均数； （3）若成绩高于90分为优秀，请你估计该校心理健康测试成绩为优秀的学生总人数． 【答案】（1）， （2）分 （3）人 【解析】 【分析】本题考查频数，平均数，中位数，样本估计总体． （1）用频数总数减去其它组的频数就可以求出，再根据中位数的定义求解即可； （2）根据平均数的定义求解即可； （3）利用样本估计总体思想解答即可． 【小问1详解】 解：， 将40个数据从小到大排列，中位数是第20、21个数据的平均数，前两组的频数之和为，前三组的频数之和为，所以第20、21个数据都在C组，即所抽取学生心理健康测试成绩的中位数位于C组； 故答案为：，； 【小问2详解】 ， 答：所抽取学生心理健康测试成绩的平均数为分； 【小问3详解】 （人） 答：估计该校心理健康测试成绩为优秀的学生有人． 24. 如图，在中，以为直径作交边于点D，连接，过点D作的切线，交的延长线于点E． （1）求证：； （2）若的直径为10，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）如图：连接，由圆的基本性质以及等边对等角可得，再利用切线的性质、圆周角定理以及同角的余角相等可得，最后利用等量代换即可证明结论； （2）由圆的基本性质可得，利用正弦的定义可得，最后根据线段的和差即可解答． 【小问1详解】 证明：如图：连接， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴, ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：∵的直径为10， ∴， ∵， ∴，即，解得：， ∴． 25. 如图，某度假村观景台窗户的外轮廓是由线段、抛物线和抛物线围成的封闭图形．抛物线、的顶点分别为、，抛物线、交于点，以过、的直线为轴，过点的竖直直线为轴建立平面直角坐标系，为坐标原点．抛物线与关于轴对称，轴，与轴之间的距离为米，米，抛物线的函数表达式为（为常数）． （1）求抛物线的函数表达式及点的坐标； （2）窗户上有两条竖直的支撑骨架和（宽度不计），点、在上，点、分别在抛物线、上，，，点与点关于轴对称，米，分别求与的长． 【答案】（1）， （2） 米 【解析】 【分析】（1）根据题意得：，然后代入解析式即可确定抛物线的函数表达式为．再由轴对称的性质即可求解； （2）根据题意得出点D、F的横坐标分别为 ，然后代入函数解析式求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：， 把点代入，得， ∴抛物线的函数表达式为． ∵抛物线与关于轴对称， ∴抛物线的函数表达式为． ∴点的坐标为． 【小问2详解】 ∵点与点关于轴对称，米，， ∴点D、F的横坐标分别为 ， 当时，， （米）． 26. 【问题初探】 （1）如图1，在中，延长至点，使得，延长至点，使得．若，则的周长为_____； （2）如图2，在中，，过点作于点，作的外接圆，连接，已知，请问是否存在最小值？若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由； 【问题解决】 （3）如图3，某生态园区内有一块四边形空地，其中，，米，米．连接，现计划沿修建一条休闲步道，同时在线段上选取两个可移动的智能监测点，保证观测角，且由点为顶点构成的三角形区域的周长尽可能的小，以节约材料成本并缩短布线距离．请你帮助规划师计算周长的最小值．（步道的宽度及监测点的大小均忽略不计） 【答案】（1）14 （2）存在，的最小值为 （3）米 【解析】 【分析】（1）由线段的和差以及等量代换即可解答； （2）如图，过点作于点，连接，利用三角形内角和定理以及圆周角定理可得；设的半径为，则，易得，进而得到，即，从而确定的最小值； （3）如图，过点作于点，易得，进而得到，如图，在射线上取一点，使得，在射线上取一点，使得 ，易得的周长，即当最小时，的周长最小；如图，作的外接圆，连接、、，过点作于点，由易得，即；设的半径为，求得，再求得r的最小值即可解答． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴，即的周长为14． 【小问2详解】 解：存在，的最小值为（或），理由如下： 如图，过点作于点，连接， ， ， ， 设的半径为，则， ， ， ， ， 的最小值为． 【小问3详解】 解：如图，过点作于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 如图，在射线上取一点，使得，在射线上取一点，使得 ， 的周长 ， 当最小时，的周长最小， ， ， ， 如图，作的外接圆，连接、、，过点作于点， 由易得， ， 设的半径为， ， ， 当最小时，最小， ， ， ， 的最小值为100， 的最小值为， 周长的最小值为米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年凤翔区初中学业水平第二次模考卷数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 的相反数是（　　） A. 6 B. C. D. 2. 将下列平面图形绕轴旋转一周，可以得到如图所示的立体图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，点在边上，连接，若点在边的垂直平分线上，则图中等腰三角形的个数为（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 6. 将一次函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，所得到的图象一定经过点（ ） A. B. C. D. 7. 如图，四边形内接于，连接、，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数（为常数），当时，该二次函数的最大值与最小值的差为（ ） A. 9 B. C. 1 D. 4 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 在数轴上，点表示的数为1，数轴上与点的距离为3，且在点的左侧的点表示的数是____． 10. 如图，点为正八边形的中心，连接、，则的度数为_________． 11. 一件衣服在进价的基础上提高标价，再打8折出售仍可获利18元，则这件衣服的进价为______元． 12. 七巧板具有深厚的中华文化底蕴，它是由正方形、平行四边形和大小不一的等腰直角三角形组成的．如图1，为正方形的对角线的中点，、分别为、的中点，连接，连接并延长交于点，、分别为、的中点，连接、，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板，将这幅七巧板拼成图2的“小鱼”形象．已知，则图2中阴影部分的面积为____． 13. 若反比例函数和的图象分别经过点和，则______． 14. 如图，是矩形的对角线，动点在对角线上（不与点重合），点E在上方，连接、、．若，，，则的最小值为________． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 16. 解方程：． 17. 先化简：，已知，再在、、、中任意选取一个数作为的值，并代入求值． 18. 如图，已知，请用尺规作图法在边上求作点，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 如图，在正方形中，点是对角线延长线上一点，连接、，求证：． 20. 为深入弘扬中华优秀传统文化，扎实推进中医药文化弘扬工程，某校成立了百草园中草药种植小组．为进一步认识中草药，组长设置了一个游戏：在一个不透明的袋子中装一个白球（金银花）、一个黄球（连翘）、一个红球（紫苏）和一个绿球（桔梗），这四个球除颜色不同外，其余完全相同．摇匀后某位组员从袋子中随机摸出一个球，记下颜色放回摇匀，该组员要回答出所摸小球对应药材的一种功效，每位组员只摸一次球． （1）共随机摸球20次，其中摸出红球4次，则这20次摸球中，摸出红球的频率是_________； （2）用画树状图或列表的方法，求该组的铭铭和骏骏两位成员都要回答连翘的功效的概率． 21. 三阳寺塔因邻近泾阳、咸阳，地处渭水之阳，所以又称“三阳塔”．某数学小组在假期开展了测量三阳寺塔高度的活动，活动报告如下： 活动主题 测量三阳寺塔的高度 测量过程及示意图 测量过程 示意图 如图，小组成员甲在地面上的点处竖立一根标杆，三阳寺塔顶端、标杆顶端与地面上的在同一直线上；小组成员乙在地面上的点处放置一面平面镜（大小忽略不计），当其站在地面上的点处时，恰好从平面镜中看到三阳寺塔顶端的像． 数据 米，米，米，米． 说明 ，，，点、、、、在同一直线上，图中所有点均在同一平面内． 请根据上述信息，求出三阳寺塔的高度． 22. 船舶工业正在经历一场前所未有的“新能源化”和“智能化”革命，而中国在这个赛道上正扮演着领跑者的角色．某艘船空载（未装载重物）时吃水深度（船舶在水中浸入水下的最深长度）为，船的吃水深度随着船上重物的均匀增加而均匀增大．船的吃水深度与船上重物（）之间的函数关系如图所示． （1）求与之间的函数关系式； （2）当船上重物为时，该船的吃水深度是多少？ 23. 中小学生心理健康事关立德树人，事关强国建设和民族复兴，因此教育部发布十条措施，进一步加强中小学生心理健康工作．某校为加强学生的心理健康，举办了心理健康讲座活动，要求全校800名学生都参加，活动结束后，对参加讲座的学生进行了心理健康问卷测试（单位：分，满分100分），并随机抽取了40名学生的问卷测试成绩，将他们的成绩（用表示）绘制成如下不完整的统计表： 组别 成绩(分) 频数 组内总成绩(分) A 4 260 B 8 622 C 16 1366 D 1152 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：上表中________，所抽取学生心理健康测试成绩的中位数位于________组； （2）求所抽取学生心理健康测试成绩的平均数； （3）若成绩高于90分为优秀，请你估计该校心理健康测试成绩为优秀的学生总人数． 24. 如图，在中，以为直径作交边于点D，连接，过点D作的切线，交的延长线于点E． （1）求证：； （2）若的直径为10，，求的长． 25. 如图，某度假村观景台窗户的外轮廓是由线段、抛物线和抛物线围成的封闭图形．抛物线、的顶点分别为、，抛物线、交于点，以过、的直线为轴，过点的竖直直线为轴建立平面直角坐标系，为坐标原点．抛物线与关于轴对称，轴，与轴之间的距离为米，米，抛物线的函数表达式为（为常数）． （1）求抛物线的函数表达式及点的坐标； （2）窗户上有两条竖直的支撑骨架和（宽度不计），点、在上，点、分别在抛物线、上，，，点与点关于轴对称，米，分别求与的长． 26. 【问题初探】 （1）如图1，在中，延长至点，使得，延长至点，使得．若，则的周长为_____； （2）如图2，在中，，过点作于点，作的外接圆，连接，已知，请问是否存在最小值？若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由； 【问题解决】 （3）如图3，某生态园区内有一块四边形空地，其中，，米，米．连接，现计划沿修建一条休闲步道，同时在线段上选取两个可移动的智能监测点，保证观测角，且由点为顶点构成的三角形区域的周长尽可能的小，以节约材料成本并缩短布线距离．请你帮助规划师计算周长的最小值．（步道的宽度及监测点的大小均忽略不计） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $