精品解析：2025年陕西省宝鸡市凤翔区九年级下学期学业水平第二次模考数学试卷

2025年初中学业水平第二次模考卷 数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列四个数中，最大的数是（ ） A. B. 3 C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了实数比较大小，掌握无理数的估算是关键． 根据无理数的估算进行判定即可． 【详解】解：， ∴最大的数是， 故选：D ． 2. 某校开展“运用几何画板，探寻美丽的数学世界”活动，下面是活动的部分作品，其中是中心对称图形的是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，根据中心对称图形的定义判断即可，掌握中心对称图形的定义是解题的关键． 【详解】解： A、不是中心对称图形，故选项不符合题意； B、不是中心对称图形，故选项不符合题意； C、是中心对称图形，故选项符合题意； D、不是中心对称图形，故选项不符合题意； 故选：C． 3. 如图，直线与交于点，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角度计算、对顶角、垂直的定义，熟练掌握对顶角相等是解题的关键．根据对顶角相等的性质和垂直的定义即可求解． 【详解】解：， ， ，， ， ． 故选：C． 4. 计算的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方、同底数幂的乘法、合并同类项，首先根据幂的乘方和同底数幂的乘法法则可得：原式，再利用合并同类项的法则进行计算，即可得到结果． 【详解】解： ． 故选：D． 5. 如图，在中，点是边上一点，连接，，于点，若，，则的长为（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线性质、等角对等边、三角形外角的性质等知识点， 根据是的垂直平分线可知，进而可得，结合三角形外角的性质得，从而可得，由此证明，即 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选A． 6. 已知一次函数的图象与轴交于点，将该一次函数的图象沿 轴向右平移3个单位长度后所得新一次函数的图象与轴交于点，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的平移，求一次函数与y轴交点坐标．首先求出，然后得到平移后的一次函数表达式为，然后求出，进而求解即可． 【详解】∵一次函数的图象与轴交于点， ∴当时， ∴； 将一次函数的图象沿 轴向右平移3个单位长度后所得新一次函数为 ∴当时， ∴； ∴． 故选：C． 7. 如图，正方形的周长是16，点是的中点，以为边在右侧作等边，连接，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、解直角三角形，结合图形构造直角三角形是解题的关键．过点作，交于点，交于点，通过证明四边形是矩形，得到，，，再利用等边三角形的性质和三角函数的知识得到，，最后在中利用正切的定义即可求解． 【详解】解：如图，过点作，交于点，交于点， 正方形的周长是16， ，，， 点是的中点， ， ，，， 四边形是矩形， ，，， 是等边三角形， ，， ，， ，， ，， ， 在中，， ． 故选：C． 8. 已知二次函数在的范围内的最大值为4，则实数的值为（ ） A. 或5 B. 或5 C. 或7 D. 或7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的最值问题，将二次函数解析式化为顶点式，再根二次函数的性质分两种情况解答即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，为最高点， ①当时，抛物线随 的增大而增大， ∴当，即，函数有最大值4， ∴， 解得，， ∵， ∴； ②当时，抛物线随 的增大而减小， ∴当时，即函数有最大值4， ∴， 解得，， ∵， ∴； 综上，的值为或5， 故选：B． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解：原式， 故答案为 【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 10. 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹，每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意：牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，每人6竿，多14竿，每人8竿，少2竿．若设牧童有x人，根据题意，可列方程______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用．根据竿的数量一定，列出方程即可． 【详解】解：设有牧童 人，由题意，得：； 故答案为：． 11. 如图，四边形内接于，交于点，若，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，平行线的性质，同角的补角相等，解题的关键是根据平行线的性质得出． 先根据圆内接四边形的性质，得出，再利用平行线的性质，得出，然后根据同角的补角相等，求出． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 已知在平面直角坐标系中，正比例函数（为常数，且）与反比例函数（为常数，且）的图象相交于，两点，则的值为______． 【答案】25 【解析】 【分析】此题考查了正比例函数和反比例函数交点问题，根据题意得到和关于原点对称，求出，然后代入和求出，，然后代入求解即可． 【详解】∵正比例函数（为常数，且）与反比例函数（为常数，且）的图象相交于，两点， ∴和关于原点对称 ∴ ∴ ∴将代入得， ∴； ∴将代入得， ∴； ∴． 故答案为：25． 13. 如图，在矩形中，，，点是边上一点（点不与端点重合），连接，点关于的对称点在矩形内，连接、，若是直角三角形，则的面积为________________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．连接，根据矩形和对称的性质得到，，，根据直角三角形的性质得到，，进而得出、、三点共线，设，在中利用勾股定理列出方程，解出 的值，再利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图，连接， 矩形， ，，， 由对称的性质得，，，， 点在矩形内，是直角三角形， ， ，， 、、三点共线， 设， ，， 在中，， ， 解得：， ， 的面积． 故答案为：6． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 解不等式： 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了求一元一次不等式的解集，正确掌握一元一次不等式的解法是解题的关键．去分母，移项，合并，将系数化为1即可求出不等式的解集． 【详解】解： ． 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先算乘方、开方、绝对值，再算乘法，后算加减． 【详解】解：原式 ． 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简与求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．利用分式的运算法则化简，再代值计算即可求解． 【详解】解： ， 代入，原式． 17. 如图，已知，，利用尺规作图法在边上求作一点，连接 ，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】如图所示 【解析】 【分析】此题考查了尺规作角平分线，特殊角的三角函数值， 作出的平分线交于点D即为所求，，即可得到． 【详解】如图所示，点D即为所求． 由作图得， ∴． 18. 如图，在和中，，有下列三个选项：①，②，③．请你在上述三个选项中选择两个作为补充条件，另一个作为结论，并证明你的结论．（只要求写出一种正确的选法） （1）你选的补充条件为______、______，结论为______；（填序号即可） （2）根据第（1）问的选择，证明你的结论． 【答案】（1）①，②；③或①，③；②； （2） 解法一：选的条件是：①，②，结论是③； 证明：在和中，，，， ， ； 解法二：选的条件是：①，③，结论是②； 证明：在和中，，，， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键． （1）根据全等三角形的判定选择即可； （2）根据选择的条件进行证明． 【小问1详解】 解：解法一：选的条件是：①，②，结论是③； 解法二：选的条件是：①，③，结论是②； 【小问2详解】 略 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，将绕坐标原点逆时针旋转得到（点、、的对应点分别为点、、）． （1）在图中画出； （2）求点与点之间的距离． 【答案】（1） 如图所示； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了作图——旋转变换，勾股定理，解题的关键是数形结合． （1）利用网格特点和旋转的性质画出点，，的对应点，，，再依次连接可得到； （2）根据勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ． 20. 十二生肖是我国历史悠久的民俗文化符号，是十二地支的形象化代表；根据文献资料记载，最早并广为流传的完整十二生肖循环，是由东汉王充在公元1世纪期间所著《论衡》中提出的．下列四幅十二生肖图片的大小、形状、质地及背面完全相同，将其背面朝上洗匀置于桌面上． （1）事件“小萌从这四张图片中随机抽取一张，抽到的图片正面的生肖是兔”是______事件；（选填“必然”“随机”或“不可能”） （2）小乐从这四张图片中同时随机抽取两张，利用列表或画树状图的方法求抽到的两张图片正面的生肖恰好是“牛”和“虎”的概率． 【答案】（1）随机； （2）． 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法求概率，事件的分类，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）根据“必然事件”，“随机事件”和“不可能事件”的定义求解即可； （2）画树状图可得出所有等可能的结果数以及两张图片恰好是“牛”“虎”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 事件“小萌从这四张图片中随机抽取一张，抽到的图片正面的生肖是兔”是随机事件； 【小问2详解】 画树状图如下： 由上图可知共有12种等可能的结果，其中抽到的两张图片正面的生肖恰好是“牛”和“虎”的有2种结果， ∴抽到的两张图片正面的生肖恰好是“牛”和“虎”的概率． 21. 某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测算某水池中假山的高度 测量工具 皮尺、测角仪等 活动过程 模型抽象 某公园内的水池中有一座假山，测量其高度示意图如下： 测绘过程与数据信息 ①甲同学在水池外的点处，使用测角仪测得假山山顶的仰角为，； ②甲同学沿 方向移动至点，在点处用测角仪测得假山山顶的仰角，； ③乙同学用皮尺测得的长为，且，，． （参考数据：，，，，，） 根据以上信息求出水池中假山的高度． 【答案】12.1米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，矩形的判定与性质；延长交于点H，根据题意可得：四边形和是矩形，从而可得米，设的长为x米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，从而求出的长，最后利用线段的和差关系，进行计算即可解答 【详解】解：延长交于点H，如图， 根据题意可得：四边形和是矩形， ∴米，米， 设的长为x米，则米， 在中，， ； ∵米， ∴米， 在中，， ∴， 解得，， ∴（米）， 所以，水池中假山的高度为12.1米． 22. 凤翔草编是历史悠久的传统手工艺品，作为一种古老的传统民间工艺，据《凤翔县志》记载，凤翔草编工艺起源于北宋，距今已有一千多年历史，草编制品是凤翔农村世代相传的一种家庭副业．某商家想要购进一批草编手提包，草编手提包的总价（元）与购买数量 （个）之间的关系存在如图所示的关系． （1）当时，求与 之间的函数表达式； （2）若该商家计划用元购进草编手提包，再以元/个的价格售出，求该商家售完这批草编手提包获得的总利润． 【答案】（1）； （2）该商家售完这批草编手提包获得的总利润为元． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，待定系数法求一次函数的解析式，已知函数值求自变量的值，解题的关键是设出一次函数的解析式，再代入两点坐标求解． （1）先设出一次函数表达式，再将两点的坐标代入，求出待定系数即可； （2）当时，得到关于 的方程求出购买数量，再根据利润等于总售价减总进价，即可解题． 【小问1详解】 解：当时，设与 之间的函数表达式为（、为常数，且）． 将和代入， 得， 解得：， 当时，与 之间的函数表达式为． 【小问2详解】 当时，， 解得， （元）， 该商家售完这批草编手提包获得的总利润为290元． 23. 植树造林是生态文明建设的重要一环，2025年4月3日，习近平总书记在参加首都义务植树活动时强调绿化祖国必须坚持“三绿”并举、“四库”联动，要更加注重“提质”“兴业”“利民”．某校组织学生参加植树活动，要求每人植树4~7棵，活动结束后随机调查了部分学生植树的棵数，并将结果绘制成如下不完整的统计图： 所抽取学生植树棵数条形统计图 所抽取学生植树棵数扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图，所抽取学生植树棵数的中位数是____________棵，众数是______________棵； （2）求所抽取的学生平均每人植树的棵数； （3）若该校共有500名学生参加此次植树活动，请你估计该校此次活动植树的总数． 【答案】（1） 补全条形统计图如下： 5，5 （2）5.3 （3）2650棵 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，求中位数，众数和加权平均数，用样本估计总体等，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解题． （1）根据扇形图和条形图求出调查的总人数再计算植树7棵的人数即可补全条形统计图，根据中位数和众数的定义求解即可． （2）根据加权平均数公式计算即可． （3）用样本的平均数乘以总人数即可． 【小问1详解】 解：植树5棵的有8人，占， 调查的总人数为：（人）， 植树7棵的人数为：（人）， 补全条形统计图如略 中位数是第10、11个的平均数，第10、11个数是5，中位数为，5出现的次数最多，众数是5， 故答案为：5，5； 【小问2详解】 解：所抽取的学生平均每人植树的棵数：（棵）， 答：所抽取的学生平均每人植树的棵数是5.3棵． 【小问3详解】 解：（棵）， 答：该校500名学生此次活动植树的总数是2650棵． 24. 如图，以四边形的边为直径的交边于点，交对角线 于点，，，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的直径的长． 【答案】（1） 证明：， . ， ， . ， ， ， 为的直径， 为的切线； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定、锐角三角函数、圆周角定理，解决本题的关键是根据直径所对的圆周角是直角，找到图形中角之间的关系，再根据角之间的关系找边之间的关系． （1）根据等边对等角可证，根据内错角相等，两直线平行可证，根据平行线的性质可证，再是的直径可证结论成立； （2）连接，根据同角的余角相等可证，根据直角三角形中正切的定义可得：，从而可得，根据，可以求出，再利用勾股定理可以求出的长度． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如下图所示，连接， 为的直径， ， . ， ， . 在中，，， ， 在中，. ， ， 在中，， ． 25. 如图，抛物线（a，b为常数，）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接，D为第三象限抛物线上的动点，轴，交线段于点E． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）是否存在以C，D，E为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）点或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质及相似三角形的判定与性质． （1）根据已知条件将抛物线化为交点式，再将式子展开后与抛物线表达式进行对比，得到，再将代入原式得到抛物线的表达式即可； （2）先求出相关点坐标和直线的表达式，再分情况讨论为等腰直角三角形的情况，最终得到点E的坐标． 【小问1详解】 解：由题意得：，则， 则抛物线的表达式为：． 【小问2详解】 解：存在， 理由：由抛物线的表达式知，点，则为等腰直角三角形，直线的表达式为：， 当以C，D，E为顶点的三角形与相似时，则为等腰直角三角形， 当为直角时，则此时C、D关于抛物线的对称轴对称，则点， 当时，，即点，则，符合题意； 当为直角时，则此时点D为抛物线的顶点， 当时，，即点， 则，符合题意； 综上，点或． 26. 【问题提出】 （1）如图1，点是直线外一点，于点，点在直线上，，连接，，则点到直线的最短距离为______； 【问题探究】 （2）如图2，在中，，点、、分别为、和的中点，连接、．求证：四边形是矩形； 【问题解决】 （3）如图3，和是某植物园的两块三角形花圃，且点、、在同一条直线上，，，．点是上的动点（不与端点重合），连接，现要沿搭建一道篱笆墙，并在区域种植另外一种植物，将的中点设为入口，再沿铺设一条观赏小路（宽度忽略不计），为节省铺设观赏小路的成本，要求的长尽可能的短．已知，当观赏小路的长度最短时，求的长． 【答案】（1）12； （2）证明：点、、分别为、和的中点， 和是的中位线， ，， 四边形是平行四边形． ， 四边形是矩形． （3）． 【解析】 【分析】（1）先利用勾股定理求得，再利用垂线段最短求得点到直线的最短距离； （2）先证明四边形是平行四边形，再根据它有一个角是直角，证得结论成立； （3）先证明是等腰直角三角形，再利用中位线的性质证得和，证得四边形是矩形，再利用矩形的性质得出，，设，接着手 表示出，，再借助三角函数求得，再用 表示出，然后利用线段的和求最的长度最短． 【详解】解：（1）于点，，， ∴， ∴点到直线的最短距离为12． （2）略 （3）连接，分别取、的中点、，连接，过点作于点，交于点． ， 是等腰直角三角形，． 在中，点、分别是、的中点， 是的中位线， ，则． 点是的中点，点是的中点， 是的中位线，则，． G、O、H三点共线， 当点在上运动时，点在上运动， 当时，最短，即点与点重合时，的长度最短． 连接并延长交于点，则的长度最短时，点与点重合，此时． ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ，． 在中，设，则， ． 在中，， ， ． 的长度最短时，． 当观赏小路的长最短时，的长为． 【点睛】本题考查了勾股定理，平行四边形的判定与性质，中位线的性质，矩形的判定与性质，解直三角形，勾股定理等知识，解题的关键是根据矩形的性质与判定求线段长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年初中学业水平第二次模考卷 数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列四个数中，最大的数是（ ） A. B. 3 C. 0 D. 2. 某校开展“运用几何画板，探寻美丽的数学世界”活动，下面是活动的部分作品，其中是中心对称图形的是（   ） A. B. C. D. 3. 如图，直线与 交于点，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 计算的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，点是边上一点，连接，，于点，若，，则的长为（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 6. 已知一次函数的图象与轴交于点，将该一次函数的图象沿 轴向右平移3个单位长度后所得新一次函数的图象与轴交于点，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 7. 如图，正方形的周长是16，点是的中点，以为边在右侧作等边，连接，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数在的范围内的最大值为4，则实数的值为（ ） A. 或5 B. 或5 C. 或7 D. 或7 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 分解因式：______． 10. 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹，每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意：牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，每人6竿，多14竿，每人8竿，少2竿．若设牧童有x人，根据题意，可列方程______． 11. 如图，四边形内接于，交于点，若，则的度数为______． 12. 已知在平面直角坐标系中，正比例函数（为常数，且）与反比例函数（为常数，且）的图象相交于，两点，则的值为______． 13. 如图，在矩形中，，，点是边上一点（点不与端点重合），连接，点关于的对称点在矩形内，连接、，若是直角三角形，则的面积为________________． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 解不等式： 15. 计算：． 16. 先化简，再求值：，其中． 17. 如图，已知，，利用尺规作图法在边上求作一点，连接 ，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 18. 如图，在和中，，有下列三个选项：①，②，③．请你在上述三个选项中选择两个作为补充条件，另一个作为结论，并证明你的结论．（只要求写出一种正确的选法） （1）你选的补充条件为______、______，结论为______；（填序号即可） （2）根据第（1）问的选择，证明你的结论． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，将绕坐标原点逆时针旋转得到（点、、的对应点分别为点、、）． （1）在图中画出； （2）求点与点之间的距离． 20. 十二生肖是我国历史悠久的民俗文化符号，是十二地支的形象化代表；根据文献资料记载，最早并广为流传的完整十二生肖循环，是由东汉王充在公元1世纪期间所著《论衡》中提出的．下列四幅十二生肖图片的大小、形状、质地及背面完全相同，将其背面朝上洗匀置于桌面上． （1）事件“小萌从这四张图片中随机抽取一张，抽到的图片正面的生肖是兔”是______事件；（选填“必然”“随机”或“不可能”） （2）小乐从这四张图片中同时随机抽取两张，利用列表或画树状图的方法求抽到的两张图片正面的生肖恰好是“牛”和“虎”的概率． 21. 某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测算某水池中假山的高度 测量工具 皮尺、测角仪等 活动过程 模型抽象 某公园内的水池中有一座假山，测量其高度示意图如下： 测绘过程与数据信息 ①甲同学在水池外的点处，使用测角仪测得假山山顶的仰角为，； ②甲同学沿 方向移动至点，在点处用测角仪测得假山山顶的仰角，； ③乙同学用皮尺测得的长为，且，，． （参考数据：，，，，，） 根据以上信息求出水池中假山的高度． 22. 凤翔草编是历史悠久的传统手工艺品，作为一种古老的传统民间工艺，据《凤翔县志》记载，凤翔草编工艺起源于北宋，距今已有一千多年历史，草编制品是凤翔农村世代相传的一种家庭副业．某商家想要购进一批草编手提包，草编手提包的总价（元）与购买数量 （个）之间的关系存在如图所示的关系． （1）当时，求与 之间的函数表达式； （2）若该商家计划用元购进草编手提包，再以元/个的价格售出，求该商家售完这批草编手提包获得的总利润． 23. 植树造林是生态文明建设的重要一环，2025年4月3日，习近平总书记在参加首都义务植树活动时强调绿化祖国必须坚持“三绿”并举、“四库”联动，要更加注重“提质”“兴业”“利民”．某校组织学生参加植树活动，要求每人植树4~7棵，活动结束后随机调查了部分学生植树的棵数，并将结果绘制成如下不完整的统计图： 所抽取学生植树棵数条形统计图 所抽取学生植树棵数扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图，所抽取学生植树棵数的中位数是____________棵，众数是______________棵； （2）求所抽取的学生平均每人植树的棵数； （3）若该校共有500名学生参加此次植树活动，请你估计该校此次活动植树的总数． 24. 如图，以四边形的边为直径的交边于点，交对角线 于点，，，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的直径的长． 25. 如图，抛物线（a，b为常数，）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接，D为第三象限抛物线上的动点，轴，交线段于点E． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）是否存在以C，D，E为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 26. 【问题提出】 （1）如图1，点是直线外一点，于点，点在直线上，，连接，，则点到直线的最短距离为______； 【问题探究】 （2）如图2，在中，，点、、分别为、和的中点，连接 、．求证：四边形是矩形； 【问题解决】 （3）如图3，和是某植物园的两块三角形花圃，且点、、在同一条直线上，，，．点是上的动点（不与端点重合），连接，现要沿搭建一道篱笆墙，并在区域种植另外一种植物，将的中点设为入口，再沿铺设一条观赏小路（宽度忽略不计），为节省铺设观赏小路的成本，要求的长尽可能的短．已知，当观赏小路的长度最短时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $