精品解析：2026年陕西渭南市临渭区中考模拟训练（二）九年级数学试题

2026年陕西渭南市临渭区中考模拟训练（二）九年级数学试题 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 计算：（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示的平面图形能折叠成的几何体是（ ） A. 四棱柱 B. 三棱锥 C. 正方体 D. 三棱柱 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，、相交于点O，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，平分交于点D，若的面积为7，则的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 6. 将一次函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，所得到的图象一定经过点（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在矩形中，是的中点，是边上一点，连接、、，且，，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 定义：两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离，叫做这两个函数的“向心值”．根据定义可得抛物线与直线的“向心值”为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 在数轴上，点表示的数为1，数轴上与点的距离为3，且在点的左侧的点表示的数是____． 10. 从七边形一个顶点出发，最多可引________条对角线． 11. 七巧板具有深厚的中华文化底蕴，它是由正方形、平行四边形和大小不一的等腰直角三角形组成的．如图1，为正方形的对角线的中点，、分别为、的中点，连接，连接并延长交于点，、分别为、的中点，连接、，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板，将这幅七巧板拼成图2的“小鱼”形象．已知，则图2中阴影部分的面积为____． 12. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，则的度数为______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点与原点重合，顶点在反比例函数的图象上，顶点在轴负半轴上，则正方形的面积为__________． 14. 如图，在矩形中，，，点在边上，且，点是矩形内一动点，且，点为线段的中点，连接、，则的最小值为__________． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解不等式：． 16. 计算：． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，已知，请用尺规作图法在边上求作点，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 如图，在中，，点在边上，，过点作，连接，． 求证：． 20. 悠久的历史与壮美的名山大川共同构成了陕西丰富的旅游资源．如图，一个可以自由转动的均匀转盘被分成4个相同的扇形，这些扇形内分别标有钟楼、大雁塔、华山、华清池，指针的位置固定．小夏和小华玩转盘游戏，转动转盘，当转盘自动停止后，指针指向“钟楼”得1分，指向“华清池”得2分，指向“华山”得3分，指向“大雁塔”得4分．（若指针指向两个扇形的分割线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止） （1）小华转动转盘一次，指针恰好指向“华山”的概率为_____________； （2）每人转动转盘一次，若两人转动转盘后所得的分数之和为偶数，则小夏赢，否则小华赢．请用列表法或画树状图法判断这个游戏对双方是否公平，并说明理由． 21. 陕西省渭南市渭华起义纪念馆旁，巍然耸立着一座雄伟的标志性建筑物——渭华起义纪念碑．某综合与实践小组开展测量该纪念碑高度的活动，如图，纪念碑的顶端在阳光下的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆的顶端在阳光下的影子落在点处，在纪念碑另一侧点处测出纪念碑的顶端的仰角，测得，，，已知，，点、、、在一条直线上，图中所有点均在同一平面内．请你帮助该实践小组求纪念碑的高度． 22. 某实践小组为了研究某种均匀蜡烛（每根总长）的燃烧变化情况．取一根这种蜡烛点燃后，每隔测量一次蜡烛的剩余长度，发现燃烧时间每增加，蜡烛的剩余长度就减少，设这根蜡烛的燃烧时间为，蜡烛的剩余长度为． （1）求与之间的函数关系式； （2）请按此变化情况估计这根蜡烛从点燃到燃尽所用的时间．（不考虑其他因素） 23. 2026年5月3日，2026年跳水世界杯总决赛落幕，中国队包揽全部9枚金牌，中国队在赛场上的拼搏精神点燃了校园运动热潮．为了解八、九年级男生做“引体向上”的情况，体育老师在八、九年级中各随机抽取了40名男生，测试了这些男生一分钟所做“引体向上”的次数，测试结果统计如图表： 九年级所抽取男生一分钟所做“引体向上”次数统计表 次数/次 6 7 8 9 10 人数/人 3 8 12 10 7 请根据图表中提供的信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图，九年级所抽取的这40名男生一分钟所做“引体向上”次数的中位数为____________次、众数为___________次； （2）求八年级所抽取的这40名男生一分钟所做“引体向上”次数的平均数； （3）若该校八、九年级各有400名男生，请估计该校这两个年级的男生一分钟所做“引体向上”次数为10次的男生总数． 24. 如图，为的直径，C、D为上两点，且位于的两侧，连接、并延长交于点F，过点C作于点E，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 25. 温室大棚春意浓，花果飘香醉眼瞳．小明家的菜地上有一个蔬菜大棚，其横截面由抛物线和矩形构成，如图，以点为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，已知大棚棚顶最高点到地面的距离为5米，支撑杆米，棚宽米，点与点关于抛物线的对称轴对称． （1）求抛物线的函数表达式； （2）为了加固棚顶，现需在横梁上方至顶端部分加装两根与轴平行的支撑柱、，并沿、安装斜支撑杆，已知、、为的四等分点（即），且、均在抛物线上，求两根斜支撑杆的总长度（即求的长）． 26. 简答题 （1）【问题探究】如图1，点、在直线上，且，点在直线外，连接、，的面积为3．若是直线上任意一点，则、两点之间距离的最小值为___________； （2）如图2，在正方形中，点为边上的动点（不与端点重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，试说明：； （3）【问题解决】为了激发青少年的科创热情，某校拟对校园科创角进行扩建，如图3，菱形是扩建前的平面示意图（菱形外部区域可利用），，，点是对角线的中点，校方计划在边上取一点，在下方取一点，连接、、，将区域规划为机器人体验区，并从点向点修建一条笔直的通道，根据规划要求，，，为了节约成本，要求通道的长度尽可能的短，请你求出通道长度的最小值，即求、两点之间距离的最小值．（通道的宽度忽略不计） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年陕西渭南市临渭区中考模拟训练（二）九年级数学试题 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 计算：（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：． 2. 如图所示的平面图形能折叠成的几何体是（ ） A. 四棱柱 B. 三棱锥 C. 正方体 D. 三棱柱 【答案】D 【解析】 【详解】解：题干平面图形为两个三角形及三个长方形， 则能折叠成的几何体是三棱柱． 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解： ． 4. 如图，、相交于点O，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴． 5. 如图，在中，，，平分交于点D，若的面积为7，则的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】过点D作于点E，首先利用三角形面积求出，然后利用角平分线的性质求解即可． 【详解】解：过点D作于点E， ∵，的面积为7， ∴， ∴， ∴， ∵，平分，， ∴． 6. 将一次函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，所得到的图象一定经过点（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用“左加右减”的规律求出平移后的函数解析式，把代入计算值即可判断． 【详解】解：∵一次函数图象沿轴向右平移3个单位长度，符合“左加右减”的平移规律，原函数为， ∴平移后的函数解析式为， 化简得， 将代入解析式，得， ∴平移后的图象经过点． 7. 如图，在矩形中，是的中点，是边上一点，连接、、，且，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由矩形的性质得，，得到，即得到，即得，再根据直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴． 8. 定义：两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离，叫做这两个函数的“向心值”．根据定义可得抛物线与直线的“向心值”为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】将问题转化为求同一横坐标下两个函数纵坐标差的最小值，利用配方法求二次函数的最小值即可． 【详解】解：设竖直距离为，则 ， 整理得， 配方得， ∵， ∴， ∴当时，的最小值为，即两个函数的“向心值”为． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 在数轴上，点表示的数为1，数轴上与点的距离为3，且在点的左侧的点表示的数是____． 【答案】 【解析】 【分析】根据数轴上点表示的数以及两点之间的距离求解即可． 【详解】解：∵点表示的数为1，数轴上与点的距离为3，且在点的左侧， ∴． 10. 从七边形一个顶点出发，最多可引________条对角线． 【答案】 【解析】 【分析】边形从一个顶点出发可以引条对角线，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴从七边形一个顶点出发，最多可引条对角线． 11. 七巧板具有深厚的中华文化底蕴，它是由正方形、平行四边形和大小不一的等腰直角三角形组成的．如图1，为正方形的对角线的中点，、分别为、的中点，连接，连接并延长交于点，、分别为、的中点，连接、，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板，将这幅七巧板拼成图2的“小鱼”形象．已知，则图2中阴影部分的面积为____． 【答案】8 【解析】 【分析】根据拼接可知：“小鱼”形象的整体面积与正方形的面积相等，“小鱼”形象的非阴影部分的面积等于正方形中的的面积，据此即可作答． 【详解】解：∵正方形中，， ∴． 12. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用圆内接四边形的性质可得，利用圆周角定理可得，再根据角的和差关系解答即可求解． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴ ， 又∵是的直径， ∴， ∴． 13. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点与原点重合，顶点在反比例函数的图象上，顶点在轴负半轴上，则正方形的面积为__________． 【答案】10 【解析】 【分析】作轴于点D，根据正方形的性质得到，进而可知，即，根据k的几何意义求出，根据勾股定理求出，根据正方形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，作轴于点D， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵顶点在反比例函数的图象上， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∴正方形的面积为． 14. 如图，在矩形中，，，点在边上，且，点是矩形内一动点，且，点为线段的中点，连接、，则的最小值为__________． 【答案】13 【解析】 【分析】根据比例关系，先算出，由此取中点G，通过证明全等三角形，得到，从而将转化为，变为“两点之间线段最短”的最值问题，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，取的中点G，连接， 在矩形中，，，， ∵，， ∴，， 又， ∴， ∵点F，G分别是，的中点， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为13． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解不等式：． 【答案】 【解析】 【分析】利用不等式的性质，将不等式逐步化为或的形式，即可求解． 【详解】解：去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】根据分式的运算法则进行化简，再将代入化简结果计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 18. 如图，已知，请用尺规作图法在边上求作点，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】图见解析 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得，进而可得只需作点，使得，则作的垂直平分线，交于点，连接即可． 【详解】解：如图，点即为所作． ． 19. 如图，在中，，点在边上，，过点作，连接，． 求证：． 【答案】详见解析 【解析】 【分析】根据平行线的性质得到，证明，即可得到． 【详解】证明：， 在和中，， ． 20. 悠久的历史与壮美的名山大川共同构成了陕西丰富的旅游资源．如图，一个可以自由转动的均匀转盘被分成4个相同的扇形，这些扇形内分别标有钟楼、大雁塔、华山、华清池，指针的位置固定．小夏和小华玩转盘游戏，转动转盘，当转盘自动停止后，指针指向“钟楼”得1分，指向“华清池”得2分，指向“华山”得3分，指向“大雁塔”得4分．（若指针指向两个扇形的分割线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止） （1）小华转动转盘一次，指针恰好指向“华山”的概率为_____________； （2）每人转动转盘一次，若两人转动转盘后所得的分数之和为偶数，则小夏赢，否则小华赢．请用列表法或画树状图法判断这个游戏对双方是否公平，并说明理由． 【答案】（1） （2）公平，详见解析 【解析】 【分析】（1）根据概率公式求解即可； （2）先列表得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一个可以自由转动的均匀转盘被分成4个相同的扇形，这些扇形内分别标有钟楼、大雁塔、华山、华清池，指针的位置固定 ∴小华转动转盘一次，指针恰好指向“华山”的概率为； 【小问2详解】 解：公平 理由如下：分别用1、2、3、4表示钟楼、华清池、华山、大雁塔， 列表如下： 共有16种等可能出现的结果，其中两人转动转盘后所得的分数之和为偶数的结果有8种，为奇数的结果有8种， 小夏赢小华赢， ∴这个游戏对双方公平． 21. 陕西省渭南市渭华起义纪念馆旁，巍然耸立着一座雄伟的标志性建筑物——渭华起义纪念碑．某综合与实践小组开展测量该纪念碑高度的活动，如图，纪念碑的顶端在阳光下的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆的顶端在阳光下的影子落在点处，在纪念碑另一侧点处测出纪念碑的顶端的仰角，测得，，，已知，，点、、、在一条直线上，图中所有点均在同一平面内．请你帮助该实践小组求纪念碑的高度． 【答案】纪念碑的高度为 【解析】 【分析】设，可得和，证明，根据相似三角形的性质列方程求解． 【详解】解：设， ， ， ， ， ， ， ， 由题意知，，， ， ，即， 解得， ∴纪念碑的高度为． 22. 某实践小组为了研究某种均匀蜡烛（每根总长）的燃烧变化情况．取一根这种蜡烛点燃后，每隔测量一次蜡烛的剩余长度，发现燃烧时间每增加，蜡烛的剩余长度就减少，设这根蜡烛的燃烧时间为，蜡烛的剩余长度为． （1）求与之间的函数关系式； （2）请按此变化情况估计这根蜡烛从点燃到燃尽所用的时间．（不考虑其他因素） 【答案】（1） （2）估计这根蜡烛从点燃到燃尽所用的时间为 【解析】 【分析】（1）根据蜡烛每根总长，燃烧时间每增加，蜡烛的剩余长度就减少，列出函数解析式即可； （2）令，得出，求出t的值即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得， ∵， ∴， 解得：， 又∵燃烧时间不能为负数， ∴， ∴t的取值范围是， 与之间的函数关系式为． 【小问2详解】 解：由题意，令，则， 解得． ∴估计这根蜡烛从点燃到燃尽所用的时间为． 23. 2026年5月3日，2026年跳水世界杯总决赛落幕，中国队包揽全部9枚金牌，中国队在赛场上的拼搏精神点燃了校园运动热潮．为了解八、九年级男生做“引体向上”的情况，体育老师在八、九年级中各随机抽取了40名男生，测试了这些男生一分钟所做“引体向上”的次数，测试结果统计如图表： 九年级所抽取男生一分钟所做“引体向上”次数统计表 次数/次 6 7 8 9 10 人数/人 3 8 12 10 7 请根据图表中提供的信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图，九年级所抽取的这40名男生一分钟所做“引体向上”次数的中位数为____________次、众数为___________次； （2）求八年级所抽取的这40名男生一分钟所做“引体向上”次数的平均数； （3）若该校八、九年级各有400名男生，请估计该校这两个年级的男生一分钟所做“引体向上”次数为10次的男生总数． 【答案】（1） 8，8 （2）八年级所抽取的这40名男生一分钟所做“引体向上”次数的平均数为7.8次 （3）估计该校这两个年级的男生一分钟所做“引体向上”次数为10次的男生总数为110名 【解析】 【分析】（1）求出7次的人数，进而补全条形统计图；根据中位数和众数的定义作答即可； （2）根据平均数的定义计算即可； （3）用八、九年级的男生数乘以各自所做“引体向上”次数为10次的男生人数的比例，相加即可． 【小问1详解】 解：八年级一分钟所做“引体向上”次数为7次的人数为（人） 补全条形统计图如图所示： ∵，， ∴中位数为次； ∵8次出现的次数最多， ∴众数为8次； 【小问2详解】 解：（次）， ∴八年级所抽取的这40名男生一分钟所做“引体向上”次数的平均数为7.8次； 【小问3详解】 解：（名）， ∴估计该校这两个年级的男生一分钟所做“引体向上”次数为10次的男生总数为110名． 24. 如图，为的直径，C、D为上两点，且位于的两侧，连接、并延长交于点F，过点C作于点E，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先连接半径，利用圆周角定理得出，结合已知推出，进而得到，再由传递得到，最后根据是的半径，依据切线判定定理即可证明是的切线； （2）先连接、，由得，再由得，由同弧所对圆周角相等得，从而推出，得到，再由利用等腰三角形三线合一得出，接着由是直径得，通过同角的余角相等推出，然后在中利用和求出，再在中利用求出，进而得到，最后通过即可计算得出的长． 【小问1详解】 证明：如图，连接，则， ∵， ∴， ， ， ， 是的半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：如图，连接、， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ∴在Rt中，， ， ， ∴在Rt中，， ， ， ． 25. 温室大棚春意浓，花果飘香醉眼瞳．小明家的菜地上有一个蔬菜大棚，其横截面由抛物线和矩形构成，如图，以点为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，已知大棚棚顶最高点到地面的距离为5米，支撑杆米，棚宽米，点与点关于抛物线的对称轴对称． （1）求抛物线的函数表达式； （2）为了加固棚顶，现需在横梁上方至顶端部分加装两根与轴平行的支撑柱、，并沿、安装斜支撑杆，已知、、为的四等分点（即），且、均在抛物线上，求两根斜支撑杆的总长度（即求的长）． 【答案】（1） （2）米 【解析】 【分析】（1）设抛物线的函数表达式为，把代入，求出的值即可； （2）根据矩形的性质得出米，根据、、为的四等分点得出米，把代入抛物线的解析式即可求出的长，利用勾股定理可求出的长，进而得出的长，即可得出答案． 【小问1详解】 解：根据题意，得，抛物线的顶点， ∴设抛物线的函数表达式为， 将代入，得， 解得：， ∴抛物线AEC的函数表达式为． 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形，米， ∴米， ∵、、为的四等分点， ∴（米）， ∵当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴两根斜支撑杆的总长度为米． 26. 简答题 （1）【问题探究】如图1，点、在直线上，且，点在直线外，连接、，的面积为3．若是直线上任意一点，则、两点之间距离的最小值为___________； （2）如图2，在正方形中，点为边上的动点（不与端点重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，试说明：； （3）【问题解决】为了激发青少年的科创热情，某校拟对校园科创角进行扩建，如图3，菱形是扩建前的平面示意图（菱形外部区域可利用），，，点是对角线的中点，校方计划在边上取一点，在下方取一点，连接、、，将区域规划为机器人体验区，并从点向点修建一条笔直的通道，根据规划要求，，，为了节约成本，要求通道的长度尽可能的短，请你求出通道长度的最小值，即求、两点之间距离的最小值．（通道的宽度忽略不计） 【答案】（1）3 （2）详见解析 （3）故O、N两点之间距离的最小值为 【解析】 【分析】（1）根据的面积为3，借助面积公式，可以推出点A到的距离，依据垂线段最短即可得到的最小值； （2）过点E作的垂线，构造与全等的三角形，根据全等三角形的性质，得到一个等腰直角三角形，从而计算得到； （3）在的右侧，构造与全等的三角形，根据全等三角形的性质，得到点N的运动轨迹为一条直线，依据垂线段最短，过点O作该条直线的垂线，求出垂线段的长即可． 【小问1详解】 解：∵，的面积为3， ∴点A到的距离为， ∴的最小值为3； 【小问2详解】 证明：如图，过点E作， 由旋转的性质，，， ∴， 在正方形中，，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：在菱形中，，，， ∴，是等边三角形， ∴，，， ∴， 如图，将绕点A逆时针旋转，得到，连接， 由旋转的性质，可知，， ∴， 又， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴点N在与呈夹角的直线上， 又， ∴， 如图，过点O作，交于点G，则，过点A作， ∴， ∴， ∴， 同理，， ∵，，， ∴， ∴，即，两点之间距离的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $