4.2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义围绕同角三角函数基本关系式与诱导公式核心考点，以平方关系、商数关系及诱导公式为基础，结合常用结论构建知识网络，分设“知一求二”“sinα±cosα与sinαcosα关系”等五个考点模块。通过考点梳理、方法指导与真题训练，帮助学生系统突破重点难点。 资料突出分层教学特色，采用“奇变偶不变”口诀强化诱导公式记忆，通过齐次式转化为tanα的方法培养数学思维与符号意识。设置选择、填空、解答题梯度练习，确保高效复习，助力学生提升解题能力，为教师把控复习节奏提供清晰指引。

4.2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1； (2)商数关系：tan α＝. 2．诱导公式 角 2kπ＋ α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α 口诀 奇变偶不变，符号看象限 诱导公式的记忆口诀 “奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化. [常用结论] 基本关系 常用变形 平方关系 sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)，cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α) 商数关系 sin α＝tan αcos α 和积互化 (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α 弦切互化 sin2α＝＝， cos2α＝＝， sin αcos α＝ ＝，其中α≠＋kπ，k∈Z 考点一　知一求二的问题 考点二　sinα±cosα与sinα·cosα的关系 考点三　齐次式的问题 考点四　诱导公式综合应用 考点五　同角三角函数基本关系式与诱导公式综合 考点一　知一求二的问题 1．（25-26高三上·贵州毕节·期中）已知，且，则______. 【答案】 【详解】由，，可得， 则，， 则. 2．（2026·山东泰安·三模）已知中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知结合同角三角函数的基本关系求出，，然后结合诱导公式以及和差角公式进行化简即可求解. 【详解】因为在中，，， 所以，， 因为，为锐角，所以， 若，则为钝角，又可知，，此时，矛盾， 故，则. 3．（25-26高三上·江苏扬州·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接由同角三角函数关系式及两角和的正弦公式可得. 【详解】因为，因此，由同角三角函数基本关系式， 且，得， 根据正弦和角公式. 4．（25-26高三上·江西上饶·阶段检测）在中，记，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为是三角形内角，因此. 若，结合可得，此时，因此充分性成立； 若，结合可得或， 当时，，因此必要性不成立. 综上，是的充分不必要条件. 5．（25-26高三上·北京朝阳·期中）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，则，故. 6．（2026高三·全国·专题练习）已知是三角形的内角，且，求的值． 【答案】 【详解】由，得， 将其代入，得， ∴，由于为三角形内角，故，又，故， ∴，，故． 考点二　sinα±cosα与sinα·cosα的关系 7．（25-26高三上·上海·期中）若，则___________ 【答案】 【详解】，所以 8．（25-26高三上·上海静安·期中）已知，化简的结果是________． 【答案】 【详解】因为，所以，即. 所以. 9．（25-26高二·全国·暑假作业）已知，，则________，________． 【答案】 / / 【分析】利用、与的关系，结合所处象限可得空一；结合所得可求出、，再利用同角三角函数基本关系可得空二. 【详解】由，平方得， 即，所以， 又因为，所以，， 则，所以； 由，， 则，， 故. 10．（25-26高三·全国·一轮复习）已知，，则下列选项中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】将两边同时平方，整理得，解得，D正确； 因为且，则， ，A正确； 由，得，，C正确，B错误． 11．（25-26高三上·江西南昌·期中）已知，求下列各式的值. (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由同角的三角函数关系式可得； （2）根据关系可得. 【详解】（1）由，两边平方可得：， 解得：； （2）由， 因，且，故，则， 故. 12．（25-26高三上·重庆·期中）（多选）已知，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由，两边平方即可判断A项；利用A项结论及可得，再利用平方关系即可求出即可判断B；将与的值联立求出即得C，D项． 【详解】， ，解得，故A正确； ， ，， ，，故B错误； ，解得， ，故C正确； ，故D正确． 考点三　齐次式的问题 13．（25-26高三上·上海·期中）已知，则的值为_______； 【答案】/ 【详解】因为，所以. 14．（2026·福建龙岩·三模）已知，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】结合二倍角公式和同角三角函数的基本关系求值. 【详解】因为， 所以， 所以， 即. 15．（2026·陕西榆林·三模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，解得， 所以. 16．（25-26高三上·陕西渭南·期中）已知，为第三象限角，求： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分子、分母同除以，并代入的值可得； （2）（3）利用，构造关于的齐次分式，分子、分母同除以，再代入的值可得. 【详解】（1）； （2）； （3）. 17．（2026高三·全国·专题练习）已知是三角形的内角，且．求： (1)； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】根据给定条件，利用正余弦齐次式法计算得解. 【详解】（1）由题可知：， ． （2）由题可知：， ． 18．（25-26高三上·广西钦州·期中）已知，则的值（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】根据同角的三角函数关系，结合二倍角公式化简求解即可. 【详解】由，得，即， 所以. 考点四　诱导公式综合应用 19．（2026·河北沧州·模拟预测）已知角的终边过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角函数的定义以及诱导公式、正弦二倍角公式求解即可. 【详解】因为角的终边过点，所以， 所以. 20．（山西2026届高三大联考（5月25-27）数学试题）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题设. 21．（25-26高三上·黑龙江伊春·期中）化简 【答案】 【分析】利用诱导公式和同角三角函数的关系化简即可． 【详解】． 22．（25-26高三上·安徽阜阳·期末）已知角以轴的非负半轴为始边，为终边上一点. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据角α终边上点的坐标，结合任意角三角函数定义求出、，代入目标式计算即可； （2）利用三角函数诱导公式化简原式为，再结合终边上点的坐标求的值. 【详解】（1）点到坐标原点的距离， 根据任意角三角函数的定义： ，， 代入得； （2）利用诱导公式化简原式： 分子部分：，， ，， 因此分子， 分母部分：，，， 因此分母， 约分化简得原式， 根据定义. 23．（25-26高三上·上海·阶段检测）若，则___________ 【答案】 【详解】， . 24．（25-26高三上·辽宁大连·期中）已知函数. (1)化简； (2)若，求的值； (3)若，，且，均为锐角，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）. （2），即， . （3）因为，均为锐角，所以， 因为，， 所以，解得. 考点五　同角三角函数基本关系式与诱导公式综合 25．（25-26高三上·陕西西安·阶段检测）（1） （2）已知，角，求的值. 【答案】（1）26；（2） 【分析】（1）利用指数运算和对数运算法则计算出答案； （2）先由，齐次化变形，结合的范围，求出，利用诱导公式化简，结合同角三角函数关系，求出答案. 【详解】（1） ； （2）因为，所以，则， 解得或， 因为角，所以，故， 所以 26．（25-26高三上·江苏南京·期末）设. (1)若，求的值： (2)若，且，求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用诱导公式及正余弦齐次式法求解. （2）由，结合的关系列式求解. 【详解】（1）依题意，，由，得，解得， 所以. （2）由，得，则， 由，得， 所以. 27．（25-26高三上·广东广州·期末）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合. (1)若为角终边上一点，求的值； (2)若为第三象限角，化简. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据诱导公式化简式子，利用同角三角函数关系中的商关系、三角函数的定义进行求解即可； （2）根据同角三角函数关系，结合三角函数值正负的性质进行运算即可. 【详解】（1）， 因为为角终边上一点， 所以，代入上式， 得 （2） ， 因为为第三象限角， 所以， 所以 . 28．（25-26高三上·广西柳州·期中）已知 (1)若角的终边过点，求； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）根据诱导公式化简，即可由三角函数的定义求解， （2）根据弦切齐次式即可求解. 【详解】（1） 若角的终边过点，则， 所以 （2）若， 所以 29．（25-26高三上·湖北武汉·期末）已知角以x轴的非负半轴为始边，为终边上一点． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角函数的定义先计算出的值，然后利用齐次式的运算化简原式，代入的值可求结果； （2）利用诱导公式直接化简原式，然后代入的值可求结果. 【详解】（1）因为为角终边上一点，所以， 所以； （2） . 30．（25-26高二下·湖南衡阳·期中）已知角θ的终边与单位圆相交于点． (1)的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据已知条件，运用三角函数的几何性质计算求解； （2）利用二倍角公式求出，再利用两角和的余弦公式计算求解； （3）根据三角函数的性质，化简已知代数式并计算求解． 【详解】（1）角θ的终边与单位圆相交于点， ，． （2）， ， ． （3）． 1．（2026·辽宁朝阳·三模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先应用两角和正弦公式得出，再结合同角三角函数关系及二倍角正弦公式求解. 【详解】由，得，则， 所以，即得， 由，得． 2．（25-26高三上·重庆·阶段检测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 3．（25-26高三下·广东东莞·阶段检测）已知，且，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件结合两角差的正弦公式可得，根据平方关系求，再根据二倍角余弦公式及两角和余弦公式求结论. 【详解】因为，又， 所以，即， 又， 所以， 因为，所以，， 所以， 所以. 4．（25-26高三上·上海·阶段检测）若，则化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 则. 5．（25-26高三上·江西南昌·期中）已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据诱导公式，即可求得答案. 【详解】因为，所以，则. 6．（25-26高三上·山东日照·期中）已知是第二象限角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用诱导公式得出的值，再利用同角三角函数的基本关系以及两角差的余弦公式求解即可. 【详解】因为是第二象限角，且， 所以， 故. 7．（2026·广东佛山·模拟预测）（多选）已知，则（     ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】本题考查三角恒等变换,结合已知,利用半角公式、二倍角公式、齐次式化简方法逐一验证选项即可. 【详解】选项A：设,则,代入得,整理得,解得,有两个可能取值,故A错误. 选项B：,故B正确. 选项C：,代入得,故C正确. 选项D：,代入得,故D错误. 8．（25-26高三上·云南·开学考试）（多选）已知为锐角，且，则下列选项正确的有（    ）． A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】∵， ∴， ∵为锐角， ∴，A正确； ∵，两边同时平方得， ∴，B正确； ∵，又为锐角， ∴，C错误； 联立与可得，，故，D正确． 9．（2026高三·全国·专题练习）______． 【答案】 【详解】． 10．（2026·湖南湘潭·二模）已知，，则______. 【答案】/ 【详解】由， 因为，所以，则， 由，解得，， 则. 11．（25-26高三上·北京·期中）已知角的始边与轴的正半轴重合，终边过定点． (1)求 (2)求的值． (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据三角函数的定义求出，再利用二倍角的正切公式求出; （2）先利用诱导公式对原式进行化简，再结合三角函数的定义求出和的值，最后代入化简后的式子求值; （3）利用诱导公式将和进行变形，再结合已知条件求解. 【详解】（1）已知角的终边过定点，所以, . （2）角的始边与轴的正半轴重合，终边过定点，则， 所以． 所以 （3）因为， 所以 所以． 12．（25-26高三上·上海·期中）已知角终边上一点， (1)求、的值； (2)化简并求值． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据三角函数的定义即可求解； （2）根据诱导公式，及两角差的余弦公式即可化简求值． 【详解】（1）由角终边上一点，则，． （2）． 13．（25-26高三上·山东潍坊·期中）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用诱导公式将已知条件化简为​​，再对等式两边平方，结合同角三角函数的平方关系，直接求出； （2）由（1）的结果，先通过求出的值，再联立方程组解出和，最后将其代入目标式计算出结果． 【详解】（1）因为， 且，， 所以， 所以，即， 所以，解得； （2）由（1）得 ， 又因为，所以，，所以， 所以， 由，解得， 所以． 14．（25-26高三上·甘肃酒泉·期中）已知函数． (1)化简； (2)若，且，求及的值． 【答案】(1)； (2)， 【分析】（1）利用诱导公式化简整理，即可求得答案. （2）利用（1）的结果和同角三角函数的基本关系联立解方程组即可得出结果. 【详解】（1）． （2）因为，所以， 所以． 所以． 因为，所以，所以，即． 所以． 15．（25-26高三上·上海·期末）已知角满足． (1)求； (2)若是第四象限角，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将已知等式两边平方，结合同角的正余弦的平方和为1，可求解. （2）结合（1）求得的值，结合是第四象限角，进而可求解. 【详解】（1）由，得， 所以，所以， 所以. （2）因为是第四象限角，所以，所以， 又， 所以. 16．（25-26高三上·江西南昌·阶段检测）平面直角坐标系中，若角的始边与x轴的非负半轴重合，终边在射线上． (1)求和的值； (2)若，化简并求值． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据任意角三角函数值的定义分析求解即可； （2）利用诱导公式化简，并结合齐次式问题分析求解. 【详解】（1）由题意，角的终边在射线上，可取角的终边上一点为， 则，. （2）由， 由（1）可知：， 所以. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1； (2)商数关系：tan α＝. 2．诱导公式 角 2kπ＋ α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α 口诀 奇变偶不变，符号看象限 诱导公式的记忆口诀 “奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化. [常用结论] 基本关系 常用变形 平方关系 sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)，cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α) 商数关系 sin α＝tan αcos α 和积互化 (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α 弦切互化 sin2α＝＝， cos2α＝＝， sin αcos α＝ ＝，其中α≠＋kπ，k∈Z 考点一　知一求二的问题 考点二　sinα±cosα与sinα·cosα的关系 考点三　齐次式的问题 考点四　诱导公式综合应用 考点五　同角三角函数基本关系式与诱导公式综合 考点一　知一求二的问题 1．（25-26高三上·贵州毕节·期中）已知，且，则______. 2．（2026·山东泰安·三模）已知中，，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·江苏扬州·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·江西上饶·阶段检测）在中，记，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（25-26高三上·北京朝阳·期中）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 6．（2026高三·全国·专题练习）已知是三角形的内角，且，求的值． 考点二　sinα±cosα与sinα·cosα的关系 7．（25-26高三上·上海·期中）若，则___________ 8．（25-26高三上·上海静安·期中）已知，化简的结果是________． 9．（25-26高二·全国·暑假作业）已知，，则________，________． 10．（25-26高三·全国·一轮复习）已知，，则下列选项中错误的是（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高三上·江西南昌·期中）已知，求下列各式的值. (1)； (2). 12．（25-26高三上·重庆·期中）（多选）已知，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 考点三　齐次式的问题 13．（25-26高三上·上海·期中）已知，则的值为_______； 14．（2026·福建龙岩·三模）已知，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 15．（2026·陕西榆林·三模）已知，则（   ） A． B． C． D． 16．（25-26高三上·陕西渭南·期中）已知，为第三象限角，求： (1)； (2)； (3). 17．（2026高三·全国·专题练习）已知是三角形的内角，且．求： (1)； (2)的值． 18．（25-26高三上·广西钦州·期中）已知，则的值（    ） A．2 B． C．3 D． 考点四　诱导公式综合应用 19．（2026·河北沧州·模拟预测）已知角的终边过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 20．（山西2026届高三大联考（5月25-27）数学试题）若，则（    ） A． B． C． D． 21．（25-26高三上·黑龙江伊春·期中）化简 22．（25-26高三上·安徽阜阳·期末）已知角以轴的非负半轴为始边，为终边上一点. (1)求的值； (2)求的值. 23．（25-26高三上·上海·阶段检测）若，则___________ 24．（25-26高三上·辽宁大连·期中）已知函数. (1)化简； (2)若，求的值； (3)若，，且，均为锐角，求的值. 考点五　同角三角函数基本关系式与诱导公式综合 25．（25-26高三上·陕西西安·阶段检测）（1） （2）已知，角，求的值. 26．（25-26高三上·江苏南京·期末）设. (1)若，求的值： (2)若，且，求的值. 27．（25-26高三上·广东广州·期末）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合. (1)若为角终边上一点，求的值； (2)若为第三象限角，化简. 28．（25-26高三上·广西柳州·期中）已知 (1)若角的终边过点，求； (2)若，求的值． 29．（25-26高三上·湖北武汉·期末）已知角以x轴的非负半轴为始边，为终边上一点． (1)求的值； (2)求的值． 30．（25-26高二下·湖南衡阳·期中）已知角θ的终边与单位圆相交于点． (1)的值； (2)求的值； (3)求的值． 1．（2026·辽宁朝阳·三模）已知，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·重庆·阶段检测）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三下·广东东莞·阶段检测）已知，且，则的值为（　　） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·上海·阶段检测）若，则化简的结果是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·江西南昌·期中）已知，则（ ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·山东日照·期中）已知是第二象限角，，则（    ） A． B． C． D． 7．（2026·广东佛山·模拟预测）（多选）已知，则（     ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·云南·开学考试）（多选）已知为锐角，且，则下列选项正确的有（    ）． A． B． C． D． 9．（2026高三·全国·专题练习）______． 10．（2026·湖南湘潭·二模）已知，，则______. 11．（25-26高三上·北京·期中）已知角的始边与轴的正半轴重合，终边过定点． (1)求 (2)求的值． (3)若，求的值． 12．（25-26高三上·上海·期中）已知角终边上一点， (1)求、的值； (2)化简并求值． 13．（25-26高三上·山东潍坊·期中）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 14．（25-26高三上·甘肃酒泉·期中）已知函数． (1)化简； (2)若，且，求及的值． 15．（25-26高三上·上海·期末）已知角满足． (1)求； (2)若是第四象限角，求． 16．（25-26高三上·江西南昌·阶段检测）平面直角坐标系中，若角的始边与x轴的非负半轴重合，终边在射线上． (1)求和的值； (2)若，化简并求值． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $