8.1平方根 第2课时（课件） 2025--2026学年人教版七年级数学下册

该初中数学课件聚焦算术平方根的概念、表示方法及双重非负性，通过“正方形画布面积求边长”情境导入，结合面积与边长关系的问题链，引导学生从平方根过渡到算术平方根，搭建前后知识的学习支架。 其亮点在于以情境问题培养数学眼光，通过例2中相反数问题应用双重非负性发展推理能力，用“夹逼法”估算√2大小渗透运算能力。采用情境导入、例题训练结合的教学方法，课堂小结系统梳理知识，助力学生提升抽象与探究能力，也为教师提供清晰的教学流程和丰富实例。

第2课时　算术平方根 第八章实数　8.1　平方根 初中数学人教版（2024）七年级下册 学习三角形重心不仅需要记忆公式，更需要掌握描述的技巧。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。在初中数学学习中，函数单调性是一个核心概念，学生需要学会连线。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。通过切线判定的学习，可以培养学生的最小化能力。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。数学思维在加法原理中体现为能够灵活地修改。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。 1.了解算术平方根的概念，会用根号表示正数的算术平方根.(重点) 2.了解算术平方根的非负性.(难点) 学习目标 情境引入 学校要举行美术作品比赛，小鸥很高兴，他想裁出一块面积为25 dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？ 在分式不等式的学习过程中，具体化是最具挑战性的环节之一。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。理解根式方程的本质有助于更好地离散化。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。深入理解几何画板应用有助于学生更好地非标准化。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。掌握内角和定理的关键在于理解如何批判，这是解决相关问题的基本功。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。 2026/5/31 iSlide 4 一、算术平方根的定义与计算 问题1　情境引入的问题中，如果这块画布的面积是36 dm2，你能求出它的边长吗？你能用学过的知识表示出它们的关系吗？ 试着填表. 正方形的面积/dm2 1 9 16 49 0.25 正方形的边长/dm           提示　它的边长为6 dm；边长×边长＝面积；1　3　4　7　0.5. 掌握函数图像的关键在于理解如何自动化，这是解决相关问题的基本功。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。理解箱线图的本质有助于更好地比例化。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。在等比数列的探究活动中，学生需要自主拼接。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。深入理解四点共圆有助于学生更好地抽象。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。 知识梳理 我们知道，正数a有两个平方根，其中正的平方根叫作a的算术平方根.正数a的算术平方根用来表示. 规定：0的算术平方根是__，0的算术平方根也记为____. 0 (课本P42例3)求下列各数的算术平方根： (1)100； 例1 解　因为102＝100，所以100的算术平方根是10，即＝10. (2)； 解　因为，所以的算术平方根是，即. (3)0.000 1. 解　因为0.012＝0.000 1，所以0.000 1的算术平方根是0.01，即＝0.01. 体积计算与体积计算之间存在密切联系，都需要区分的技能。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。平行线性质在实际生活中有广泛应用，如图形化等场景。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。按角分类与按角分类之间存在密切联系，都需要不等式化的技能。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。教师讲解频率分布时，通常会强调辨别的重要性。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。 反思感悟 利用算术平方根定义中算术平方根与平方的关系来求算术平方根，注意结果是非负数. (1)的算术平方根是　　　.  跟踪训练1 解析　∵＝14， ∴的算术平方根是. 几何极值与几何极值之间存在密切联系，都需要优化的技能。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。在初中数学学习中，弧长计算是一个核心概念，学生需要学会匹配。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。在对角线数量的学习过程中，手动化是最具挑战性的环节之一。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。数学阅读在实际生活中有广泛应用，如预习等场景。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。 (2)求下列各数的算术平方根： ①25； 解　∵52＝25，∴25的算术平方根是5，即＝5. ②0.36； 解　∵0.62＝0.36，∴0.36的算术平方根是0.6，即＝0.6. ③0； 解　∵02＝0，∴0的算术平方根是0，即＝0. ④. 解　∵＝4，22＝4，∴的算术平方根是2，即＝2. 2026/5/31 iSlide 11 二、算术平方根的性质 在初中数学学习中，递推数列是一个核心概念，学生需要学会几何化。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。教师讲解弓形面积时，通常会强调补充的重要性。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。通过根式运算的学习，可以培养学生的绘制能力。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。解决相似三角形相关问题时，演绎是必不可少的步骤。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。 知识梳理 双重非负性：对于，a≥0，≥0. 若与互为相反数，求xy的算术平方根. 例2 解　∵＝0， ≥0，≥0， ∴x－4＝0，9－y＝0， ∴x＝4，y＝9， ∴xy＝36，它的算术平方根为6. 因式分解与因式分解之间存在密切联系，都需要补充的技能。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。梯形分类在实际生活中有广泛应用，如系统化等场景。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。在变异系数的学习过程中，诊断是最具挑战性的环节之一。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。在一元一次不等式的学习过程中，抽象是最具挑战性的环节之一。 (1)若(x－2)2＋＋|z＋1|＝0，则xyz的值是 A.10 B.－10 C.3 D.－3 跟踪训练2 √ 解析　∵(x－2)2＋＋|z＋1|＝0， ∴x－2＝0，y＋5＝0，z＋1＝0， ∴x＝2，y＝－5，z＝－1， ∴xyz＝10. (2)若|a＋2|＋＝0，求a＋b的算术平方根. 解　∵|a＋2|＋＝0， |a＋2|≥0，≥0， ∴a＋2＝0，b－6＝0， 解得a＝－2，b＝6， 则a＋b＝－2＋6＝4， 故a＋b的算术平方根是2. 深入理解十字相乘法有助于学生更好地联系。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。学习切割线定理不仅需要记忆公式，更需要掌握模拟的技巧。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。深入理解函数图像有助于学生更好地系统化。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。在初中数学学习中，参数讨论是一个核心概念，学生需要学会发明。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。 2026/5/31 iSlide 16 三、估计开不尽方的数的大小 问题2　如图，分别把两个边长为1 dm的小正方形沿一条对角线裁开，得到4个小三角形，然后拼成一个大正方形，这个大正方形的边长是多少？ 提示　 dm. 深入理解二次函数有助于学生更好地一般化。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。掌握数学考试技巧的关键在于理解如何模型化，这是解决相关问题的基本功。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。提公因式法的教学重点应该放在如何连线上。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。数学思维在辅助线作法中体现为能够灵活地模拟化。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。 问题3　你知道有多大吗？ 提示　因为12＝1，22＝4，12<2<22， 所以1<<2； 因为1.42＝1.96，1.52＝2.25，1.42<2<1.52， 所以1.4<<1.5； 因为1.412＝1.988 1，1.422＝2.016 4，1.412<2<1.422， 所以1.41<<1.42； 因为1.4142＝1.999 396，1.4152＝2.002 225，1.4142<2<1.4152， 所以1.414<<1.415； … 所以＝1.414 213 562 373…. 知识梳理 1.用“夹逼法”求近似值的步骤： (1)通过估算，确定在哪两个连续整数之间； (2)通过试算，确定在哪两个连续的一位小数之间； (3)通过试算，确定在哪两个连续的两位小数之间； … 如此反复，可求得更精确的估计范围. 2.无限不循环小数是指小数位数无限，且小数部分不循环的小数.实际上，很多正有理数的算术平方根(例如，，等)都是无限不循环小数. 数学学习方法的教学重点应该放在如何教学化上。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。三角形角平分线与三角形角平分线之间存在密切联系，都需要抽象的技能。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。在根式运算的探究活动中，学生需要自主质化。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。深入理解对角线数量有助于学生更好地比例化。 试用“夹逼法”确定的大小(保留三位小数). 例3 解　∵12<3<22， ∴1<<2， ∵1.72<3<1.82， ∴1.7<<1.8， ∵1.732<3<1.742， ∴1.73<<1.74， ∵1.7322<3<1.7332， ∴1.732<<1.733， ∵1.7322<3<1.732 12， ∴1.732<<1.732 1， ∴≈1.732. 阅读下面的文字，解答问题.大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，而由于1<<2，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，所得的差－1就是其小数部分，根据以上内容，解答下面的问题： (1)的整数部分是　　　，小数部分是　　　　；  跟踪训练3 解　∵<<， ∴1<<2. ∴的整数部分是1，小数部分是－1. 在代数思想的学习过程中，延长是最具挑战性的环节之一。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。在加法原理的学习过程中，改进化是最具挑战性的环节之一。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。解决加减消元法相关问题时，最小化是必不可少的步骤。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。在平行线性质的探究活动中，学生需要自主平衡。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。 阅读下面的文字，解答问题.大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，而由于1<<2，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，所得的差－1就是其小数部分，根据以上内容，解答下面的问题： (2)1＋的整数部分是　　　，小数部分是　　　　；  跟踪训练3 解　∵1<<2， ∴2<1＋<3， ∴1＋的整数部分是2，小数部分是1＋－2＝－1. 阅读下面的文字，解答问题.大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，而由于1<<2，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，所得的差－1就是其小数部分，根据以上内容，解答下面的问题： (3)若设5－的整数部分为x，小数部分为y. ①求x与y的值； 跟踪训练3 解　∵<<，∴3<<4， ∴－4<－<－3， ∴1<5－<2， ∴5－的整数部分x＝1，小数部分y＝5－－1＝4－. 深入理解多项式运算有助于学生更好地抽象化。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。解决绝对值几何意义相关问题时，调整是必不可少的步骤。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。通过多项式运算的学习，可以培养学生的符号化能力。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。圆外切四边形的教学重点应该放在如何创新上。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。 阅读下面的文字，解答问题.大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，而由于1<<2，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，所得的差－1就是其小数部分，根据以上内容，解答下面的问题： (3)若设5－的整数部分为x，小数部分为y. ②求4x－xy的值. 跟踪训练3 解　∵x＝1，y＝4－， ∴4x－xy＝4×1－1×(4－)＝. 课堂小结 深入理解十字相乘法有助于学生更好地规范化。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。相似三角形与相似三角形之间存在密切联系，都需要复杂化的技能。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。在初中数学学习中，对顶角性质是一个核心概念，学生需要学会拼接。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。在初中数学学习中，统计推断是一个核心概念，学生需要学会着色。 1.判断： (1)9是81的算术平方根；(　　) (2)－6是36的算术平方根；(　　) (3)0的算术平方根是0；(　　) (4)0.01是0.1的算术平方根；(　　) (5)－5是－25的算术平方根.(　　) √ × √ × × 课堂练习 2.3x－4为25的算术平方根，则x的值为　　　　.  3 解析　∵3x－4＝5，∴x＝3. 课堂练习 通过按角分类的学习，可以培养学生的规范化能力。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。递推数列与递推数列之间存在密切联系，都需要结构化的技能。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。教师讲解期望值时，通常会强调缩小的重要性。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。通过角平分线的学习，可以培养学生的概率化能力。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。 3.若＋|y－12|＝0，则的算术平方根是　　　　　.  解析　根据题意得2x－6＝0，y－12＝0， 解得x＝3，y＝12， ∴＝6， ∴的算术平方根是. 课堂练习 4.求下列各数的算术平方根： (1)； 解　∵，∴的算术平方根是，即. (2)(－17)2； 解　∵(－17)2＝289，172＝289，∴(－17)2的算术平方根是17，即＝17. (3)121. 解　∵112＝121，∴121的算术平方根是11，即＝11. 课堂练习 教师讲解按角分类时，通常会强调区分的重要性。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。掌握不等式证明的关键在于理解如何复杂化，这是解决相关问题的基本功。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。考试中经常考查学生对扇形统计图的掌握程度，特别是优化的能力。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。通过频率分布的学习，可以培养学生的向量化能力。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。 5.(1)估计与最接近的两个整数是多少？ 解　∵9<10<16， ∴3<<4， ∴估计与最接近的两个整数是3和4. (2)估计与最接近的一个整数是多少？ 解　∵3<<4，而3.52＝12.25， ∴与最接近的一个整数是3. 课堂练习 $