8.1平方根第2课时 算数平方根课件2025-2026学年人教版数学七年级下册

人教版 数学 七年级 下册 8.1 平方根 第2课时 算数平方根 第八章　实数 1 1、掌握平方根的性质，明确正数有两个平方根、0 的平方根是 0、负数没有平方根； 2、提升抽象概括能力；借助数轴、表格等直观工具，加深对概念的理解，培养数形结合思想。 3、能结合具体实例，准确说出算术平方根的定义，明确算术平方根与平方根的区别与联系； 学习目标 导入新课 小明家有一块面积为 25 平方米的正方形花园，他想知道 “这个正方形花园的边长是多少？” （米） 花园的边长是25的算术平方根 （3）如果一个数的平方等于 25，这个数是多少？ ∵x2=25 ∴x是25的平方根 这个数是± （2）上面的问题，实际上是已知一个_____数的_______， 求这个正数的问题． 正 平方 （1）这个正方形花园的边长的平方等于 25，他想知道 “这个正方形花园的边长是多少？”那么边长可能还有其他值吗？ （米） 新课导入 正数 a 正平方根记为： 负平方根记为： 算数平方根 算数平方根 具有双重非负性。 ①被开方数a一定是非负数，即a ≥ 0 ②算数平方根 也是一个非负数，即 探究新知 a 的算术平方根记为 ，读作“根号 a”，a 叫做被开方数. 也可以写作 ， 读作“二次根号a”. 规定：0的算数平方根是0，0的算数平方根也记为 。 算数平方根 想一想 算术平方根 中，a可以取任何数吗？ 不可以. 被开方数 a 是非负数，即 a>0 或 a=0 . 是什么数？ 是非负数，即 . 有意义吗？你能得出什么结论？ 没有意义 . 结论 非负数的算术平方根是非负数，负数没有算术平方根. 练习：若x，y为实数，且满足，则的值是 ． 【解析】本题考查了绝对值的非负性，算术平方根的非负性，有理数的乘方运算．利用绝对值和算术平方根的非负性，求出和的值，再代入表达式计算即可． 解：∵，，， ∴且， 由，得，解得：， 则可化为，即，解得：， ∴．故答案为：． 探究新知 例2：求下列各数的算术平方根. （1）100；（2） ；（3）0.000 1． 解：（1）因为102＝100，所以100的算术平方根是10，即． （2）因为()2＝ ，所以 的算术平方根是，即． （3）因为0.012＝0.0001，所以0.0001的算术平方根是0.01，即． 被开方数越大，对应的算术平方根也越大．这个结论对所有正数都成立． 从例题中，能得到什么结论呢？ 探究新知 例3 求下列各数的算数平方根： (1) 100; (3) 0.000 1; 思考：比较三个数的大小以及它们各自算数平方根的大小，你发现了什么？ 探究点2 平方根与算术平方根的关系 议一议 算术平方根与平方根的区别与联系： 对比项目 算术平方根 平方根 定义 如果，则是a的算术平方根 如果，则是a的平方根 符号表示 个数 1 个 2 个（互为相反数） 取值范围 非负数（） 正数的算术平方根一定是正数 正数的平方根为一正一负、 0（0 的平方根） 联 系 具有包含关系 同一个正数的平方根包含算术平方根，算术平方根是这个正数正的平方根。 存在的条件相同 只有非负数才有平方根和算术平方根 特殊值0 0的平方根与算术平方根均为0 探究新知 探究点3 算术平方根值的性质 做一做 （1）求下列各数的算术平方根: (l) 100; (2) (3) 0.0001. 被开方数越大，对应的算术平方根就越大， （2）你能得出被开方数与它的算术平方根有什么关系？ 解：（1)∵10²=100， ∴100的算术平方根是10， 即; (3)∵0.01²=0.0001, ∴0.0001的算术平方根是0.01, 即. (2）∵， ∴的算术平方根是, 即; 这个结论对所有正数都成立. 探究新知 怎样用两个面积为1 dm2的小正方形拼成一个面积为2 dm2的大正方形？这个大正方形的边长是多少？ 探究 探究新知 动手操作：如图，把两个小正方形分别沿对角线剪开，将所得的 4 个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为 2 dm2 的大正方形. 探究新知 从大到小 从大到小 被开方数越大，对应的算术平方根也越大. ＞ 100 0.0001 探究新知 算术平方根 平方根 区 别 概念 不同 一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x2=a，那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根 一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根 个数 不同 正数的算术平方根有_______个 正数的平方根有_______个 表示方法不同 正数 a 的算术平方根表示为_______ 正数 a 的平方根表示为_______ 结果 不同 正数的算术平方根一定是_______ 正数的平方根为________，二者互为________ 1 2 正数 一正一负 相反数 探究点4 面积为2dm²的正方形边长是多少?它有多大? 议一议 怎样用两个面积为1dm²的小正方形拼成一个面积为2dm²的大正方形，这个大正方形的近长是多少? 学习任务单 （1）准备两个边长为1的小正方形把两个小正方形 （2）分别将小正方形沿对角线剪开， （3）将所得的4个直角三角形重新成大正方形 （4）大正方形面积多少?边长多少？ 探究新知 探究点4 面积为2dm²的正方形边长是多少?它有多大? 议一议 有多大呢？ a 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 a2 1.21 1.44 1.69 1.96 2.25 2.56 2.89 3.24 3.61 因为 1.42=1.96，1.52=2.25 ，1.42< 2 < 1.52 所以 1.96 2.25 确定 在哪 2 个连续的一位小数之间。 探究新知 2. 填写下列表格： 方法（对两个连续整数或小数用平方法逐步进行比较） 步骤 通过估算，确定 在哪两个连续的整数之间 通过估算，确定 在哪两个连续的一位小数之间 因为22=4，32=9， 所以2＜ ＜3 因为2.62=6.76，2.72=7.29， 所以2.6＜ ＜2.7 探究新知 方法（对两个连续整数或小数用平方法逐步进行比较） 步骤 通过估算，确定 在哪两个连续的两位小数之间 通过估算，确定 在哪两个连续的三位小数之间 ······ ······ 因为2.6452=6.996025， 2.6462=7.001316， 所以2.645＜ ＜2.646 因为2.642=6.9696， 2.652=7.0225， 所以2.64＜ ＜2.65 解：设大正方形的边长为x dm，则 x2=2. 由边长的实际意义可知， x= . 所以大正方形的边长是dm. 小正方形的对角线的长是多少呢？ 小正方形的对角线的长即为大正方形的边长. 探究新知 因为12＝1, 22＝4, 12＜2＜22 ,所以 1＜ ＜2 因为1.42＝1.96, 1.52＝2.25 , 1.42＜2＜1.52,所以 1.4＜ ＜1.5 因为1.412＝1.9881, 1.422＝2.0164 , 1.412＜2＜1.422,所以 1.41＜ ＜1.42 因为1.4142＝1.999 396, 1.4152＝2.002 225 , 1.4142＜2＜1.4152,所以 1.414＜ ＜1.415 …… 如此进行下去，可以得到的更精确的估计范围。 “两边夹”法 有多大呢？ 探究 探究新知 =1.414 213 562 373…… 无限不循环小数 无限不循环小数是指小数位数无限，且小数部分不循环的小数. 许多正有理数的算术平方根 （例如， ， 等）都是无限不循环小数． 你以前见过这样的小数吗？ 探究新知 算术平方根及其估算 ①算术平方根的概念及表示方法 ②算术平方根的非负性 非负数a的算术平方根 具有双重非负性： (1) 被开方数 a 是非负数；( a ≥ 0 ) (2) 非负数 a 的算术平方根是非负数.( ≥ 0 ) 正数a有两个平方根，其中正的平方根叫作a的算术平方根．正数a的算术平方根用来表示．0的算术平方根是0. ③用“两边夹”法对算术平方根进行估算 新知总结 算数平方根 表示方法：正数 a 的算数平方根记为： 性质 0 的算数平方根是 0 被开方数越大，对应的算数平方根就越大 用夹逼法估算无限不循环小数的大小 概念：正数 a 有两个平方根，其中正的平方根 叫作 a 的算数平方根。 课堂小结 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. 1.求下列各式的值： (1)；(2)；(3)；(4)． 【解析】本题主要考查了求算术平方根，求平方根，熟练计算是解题的关键．依据题意，根据算术平方根和平方根的定义，逐个进行化简与计算即可得解． 解：（1）； （2）； （3）； （4）． 课堂练习 2.排球比赛场地呈长方形，长是宽的2倍，面积为162m2。它的长与宽分别是多少？ 解：设长方形的宽是 x m，则长为2x m。 2x · x = 162 由长、宽的实际意义可知 x = 9 答：长方形的宽是9m，则长为18 m。 当x = 9时，2x=18 即 2x ² = 162 ∴x ² = 81 课堂练习 3.判断题 (1) 是5的一个平方根；（ ） (2) (-3)2的算数平方根是-3；（ ） (3) 的平方根是±2；（ ） (4) 0的平方根与算数平方根都是0；（ ） √ × × √ (-3)2=9，9的算数平方根是3； 的平方根就是求2的平方根，结果是 ±； 课堂练习 $