精品解析：江西南昌大学附属学校2025-2026学年高二年级下学期5月考试数学试卷

南昌大学附属学校2025—2026学年度下学期高二年级5月考试 数学试卷 出题人：陈松 审题人：衷志俊 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 2. 小明假期在一家文具店兼职打工，文具店第1天支付给他30元，由于小明工作认真努力，从第2天起，文具店老板决定每天支付给小明的金额都是前一天的1.2倍．小明一共工作了10天，则他领到的总报酬为（ ）元．（参考数据：） A. 778.5 B. 624 C. 185.7 D. 154.8 3. 设等差数列的前项和为，且公差不为0，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 对于给定数列，如果存在实常数，使得对于任意都成立，我们称数列是“类数列”.已知“类数列”中，，且，则（ ） A. 7 B. 15 C. 31 D. 63 5. 已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 7. 已知是定义域为R的函数，，若对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，这是一张圆形纸片，其半径，剪掉周围的白色部分，将阴影部分折起，使得点（1，2，…，6）重合于点P，得到正六棱锥，则该六棱锥体积的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列叙述不正确的有（    ） A. 数列与是同一数列 B. 数列的通项公式是-1 C. 是常数列 D. 一个等比数列的首项是2，第2项与第3项的和是12．该数列的第8项的值为-4374或256． 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，函数不存在极值点 B. 当时，函数有三个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 若是函数的一条切线，则 11. 已知等比数列的各项均为正数，公比为，记数列的前项积为，且，，则下列正确的是（ ） A. B. C. 当时，取最大值 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设等差数列的前项和分别是，若，则___________． 13. 若曲线在处的切线与直线垂直，则实数_____. 14. 若存在使得成立，则的最大值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设数列满足，，且. （1）求证：数列为等差数列； （2）求数列的通项公式. 16. 已知函数． （1）求函数在处的切线方程； （2）求的极值； （3）设a，b为两个不相等的正数，且，证明：． 17. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若存在最小值，且最小值小于2，求的取值范围. 18. 已知数列中，，，． （1）证明：数列为等比数列； （2）记，数列的前项和为． （i）求的取值范围； （ii）求证：． 19. 已知函数，（），设. （1）求的单调区间； （2）若以（）图像上任意一点为切点的切线的斜率恒成立，求正实数的最小值； （3）是否存在实数，使得函数的图像与的图像恰好有四个不同的交点？若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌大学附属学校2025—2026学年度下学期高二年级5月考试 数学试卷 出题人：陈松 审题人：衷志俊 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求，代入求值. 【详解】因为，所以. 2. 小明假期在一家文具店兼职打工，文具店第1天支付给他30元，由于小明工作认真努力，从第2天起，文具店老板决定每天支付给小明的金额都是前一天的1.2倍．小明一共工作了10天，则他领到的总报酬为（ ）元．（参考数据：） A. 778.5 B. 624 C. 185.7 D. 154.8 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列的求和公式，代入数据，即可得答案. 【详解】设第n天的报酬为，， 由题意，是以首项，公比的等比数列， 则工作了10天，他领到的总报酬. 3. 设等差数列的前项和为，且公差不为0，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】设等差数列的首项为，公差为（），根据等差数列基本公式： 前3项和，. 将上述结果代入等式，整理得，即. 因为，所以，即， 因此“”是“”的充要条件. 4. 对于给定数列，如果存在实常数，使得对于任意都成立，我们称数列是“类数列”.已知“类数列”中，，且，则（ ） A. 7 B. 15 C. 31 D. 63 【答案】C 【解析】 【分析】先利用已知的首项、第二项，代入递推公式求出未知参数，对递推公式进行构造，转化为熟悉的等比数列，利用等比数列通项公式求解. 【详解】由题意知，令，则，即，所以, 所以，故.又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以. 5. 已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，得， 因为函数在区间上单调递增，所以在上恒成立， 即对恒成立，而在上递增，所以， 所以实数的取值范围是. 6. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求得函数为奇函数，排除C项，再由，结合选项，即可求解. 【详解】由函数，可得其定义域为，关于原点对称， 且， 所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，可排除C选项； 又由 ，可得排除A、D项， 所以选项B符合题意. 7. 已知是定义域为R的函数，，若对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造，根据其在单调递增，分类讨论即可求解. 【详解】因为对任意的，都有成立， 所以，所以成立， 构造， 所以由上述过程可得在单调递增， （1）若，则对称轴，解得； （2）若，在单调递增，满足题意； （3）若，则对称轴恒成立； 综上. 故选：D. 8. 如图，这是一张圆形纸片，其半径，剪掉周围的白色部分，将阴影部分折起，使得点（1，2，…，6）重合于点P，得到正六棱锥，则该六棱锥体积的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，，由题意得，设，则，，由已知求出，利用条件得六棱锥的体积，构造函数，利用导数法求解最值即可. 【详解】连接，，与交于点M. 设，则，，. 设正六棱锥的高为h， 则h===()， 所以正六棱锥的体积==. 令，求导得，由，得， 当时，，当时，， 则当时，取得极大值，也是最大值， 此时V的最大值为==. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列叙述不正确的有（    ） A. 数列与是同一数列 B. 数列的通项公式是-1 C. 是常数列 D. 一个等比数列的首项是2，第2项与第3项的和是12．该数列的第8项的值为-4374或256． 【答案】AC 【解析】 【分析】根据数列具有顺序性判断A；利用等差数列的通项公式判断B；根据常数列的概念判断C；根据已知条件列方程求出等比数列的公比，即可求出该数列的第8项判断D. 【详解】因为数列具有顺序性，所以数列与不是同一数列，A错误； 数列的通项公式是，B正确； 因为常数列是各项都相等的数列，所以不是常数列，C错误； 设等比数列的首项为，公比为，则，， 由题意可得，解得或，当时，， 当时，，D正确. 故选：AC 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，函数不存在极值点 B. 当时，函数有三个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 若是函数的一条切线，则 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，当时，可知均在上单调递增， 则在上单调递增，所以不存在极值点，A正确； 对于B，当时，，求导得， 令得或，又当时， 当时，所以分别为极大和极小值点， 且，， ，所以只有两个零点，B错误； 对于C，因为， 所以点是曲线的对称中心，C正确； 对于D，设与的切点坐标为，因为， 所以在处的切线方程为， 即，依题意有，得，D正确. 11. 已知等比数列的各项均为正数，公比为，记数列的前项积为，且，，则下列正确的是（ ） A. B. C. 当时，取最大值 D. 【答案】BCD 【解析】 【详解】因为等比数列的各项均为正数，所以， 因为，所以, ，所以；， 所以，因为，所以，则且， 所以单调递减，又因为，故，所以选项A错误，选项B正确； 对于C，因为且，所以单调递减， 又因为且，所以当时，取最大值，C正确； 对于D，因为， 因为，所以， 即，所以选项D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设等差数列的前项和分别是，若，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用等差数列前项和公式、等差数列下标性质进行求解即可. 【详解】因为， 所以. 13. 若曲线在处的切线与直线垂直，则实数_____. 【答案】 【解析】 【分析】本题利用导数的几何意义表示出切线的斜率，由斜率存在的两直线垂直时，斜率乘积为，建立等量关系，从而求出实数. 【详解】解：由题可得，所以函数在处的切线斜率为. 已知直线的斜率为，切线与该直线垂直，所以，解得. 14. 若存在使得成立，则的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】同构变形，构造函数，得到，代入变形，构造函数，求出最值，得到答案. 【详解】， 设，则， 因为，所以， 在上恒成立， 故在上单调递增，故，， 所以，令，， 故，令得，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，也是最大值，最大值为， 所以的最大值为 四、解答题：本题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设数列满足，，且. （1）求证：数列为等差数列； （2）求数列的通项公式. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）借助等差数列定义即可得证； （2）借助累加法计算即可得. 【小问1详解】 已知，移项可得， 设，则，那么， 又，所以数列是以5为首项，5为公差的等差数列； 【小问2详解】 由（1）得， 当时，， 当时，也满足上式，所以. 16. 已知函数． （1）求函数在处的切线方程； （2）求的极值； （3）设a，b为两个不相等的正数，且，证明：． 【答案】（1） （2）极大值为1，无极小值 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求得，得到切线的斜率和切点的坐标，结合导数的几何意义，即可求解； （2）求得，根据导数的正负，进而求得原函数的单调区间，得到函数的极值； （3）根据题意，化简得到，令，得到， 转化为证明，分别证明不等式的两个方向，先将函数变形成的极值点偏移问题，构造对称函数及新函数，结合导数求得函数的最值，即可得证． 【小问1详解】 由函数，可得， 则且 所以切线的斜率为，切点坐标为， 所以函数在处的切线方程，即. 【小问2详解】 解：由函数，可得其定义域为，且 当时；当时，， 故在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以的极大值为，无极小值． 【小问3详解】 证明：由，变形为，所以， 令，则上式可变为， 所以命题转换为证明：， 因为，则有，不妨设， 由（2）知：，，先证． 要证，即，即证， 即证，即， 令， 可得， 因为 ，所以 所以在区间内单调递增，所以，即． 再证， 因为，所以，所以， 只需证， 令，所以， 所以在区间内单调递增，所以, 可得，即． 综合可得，． 17. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若存在最小值，且最小值小于2，求的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先求出导数，再对参数范围分类讨论，最后得到单调区间即可. （2）结合题意确定，再得到，构造函数并求导得到单调性，结合求解参数范围即可. 【小问1详解】 由题意得的定义域为， 由，可得， 若，则在上恒成立， 则的单调递增区间为，无单调递减区间. 若，则当时，，当时，， 则的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 由（1）可知，若存在最小值，则， 且的最小值为， 则，可得，即. 令，则. 因为恒成立， 所以恒成立，则在上单调递增. 又，令，解得，即， 故的取值范围为. 18. 已知数列中，，，． （1）证明：数列为等比数列； （2）记，数列的前项和为． （i）求的取值范围； （ii）求证：． 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）将左右两边取倒数，得到，将其变形为，即可根据等差数列的定义，证明数列为等比数列； （2）（i）由（1）得到及的解析式，进而得到的解析式，通过讨论的取值范围，即可得到的取值范围；（ii）先得到的解析式，进而得到其前项和的解析式，通过放缩，将其转化成求一个等比数列的前项和，通过讨论的范围，即可证明. 【小问1详解】 因为，所以， 所以， 又，所以， 所以数列是以2为首项，以为公比的等比数列； 【小问2详解】 （i）由（1）可知， 所以，， 因为， 因为，，所以，所以， 所以，的取值范围； （ii）因为，又因为， 所以 设. 当时，成立； 当时，成立； 当时，成立； 且随着值增大，逐渐减小，逐渐增大， 因为，所以，所以， 即. 19. 已知函数，（），设. （1）求的单调区间； （2）若以（）图像上任意一点为切点的切线的斜率恒成立，求正实数的最小值； （3）是否存在实数，使得函数的图像与的图像恰好有四个不同的交点？若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由. 【答案】（1）的单调递减区间为，单调递增区间为. （2） （3）存在实数，的取值范围是. 【解析】 【分析】（1）先求出其导函数，根据导函数的正负即可求出其单调区间； （2）利用分离参数求得函数的最大值即可求解； （3）先化简函数将所求转化为两个函数的交点，通过导数得到函数的极值及单调性求解. 【小问1详解】 ，定义域为，，求导得. 令得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 故的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问2详解】 切线斜率，对任意恒成立， 整理得， 设，， 的最大值为​，故. 即正实数的最小值为. 【小问3详解】 先化简两个函数​，因此左边函数为， 右边函数为，交点满足方程， 整理得， 令​，问题转化为与的交点个数. 是偶函数，求导得，令得， 单调性分析： 区间 递增 递减 递增 递减 极大值，极小值 且时， 因此与有个不同交点，当且仅当. 即存在实数，的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $