命题大赛 江西高二数学下学期阶段测试2025-2026学年（北师大版选择性必修第二册第一章）

**基本信息** 聚焦数列核心知识，通过基础计算、实际情境（如光伏发电项目）及创新探究（如曲线与正三角形），考查抽象能力、运算能力与模型意识，适配高一月考学情。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|等差等比基本量、前n项和、单调性|基础巩固，如第1-4题直接考查定义与公式| |多选题|3/18|等差等比性质、前n项和公式辨析|能力提升，如第10题辨析数列概念，培养推理意识| |填空题|3/15|递推关系、原创题（如第14题）|创新应用，结合首项与递推求n最小值| |解答题|5/77|实际情境递推（16题）、曲线与数列（19题）|综合探究，16题构建资产增长模型，体现数学语言表达现实世界；19题结合几何直观，发展创新意识|

Sheet1 题号 题型 分值 知识点 难度系数（预估） 1 单选题 5 等差数列通项公式、求公差 0.90 2 单选题 5 等比数列通项公式、求公比 0.85 3 单选题 5 数列前 n 项和与通项的关系 0.80 4 单选题 5 周期数列、递推求项 0.75 5 单选题 5 分段数列单调性、参数取值范围 0.65 6 单选题 5 由前n项和求通项公式 、递推变形与等差判断 0.60 7 单选题 5 等比数列性质、韦达定理、倒序相加求和 0.55 8 单选题 5 等差数列通项、取整函数、裂项求和 0.45 9 多选题 6 等比数列性质、通项与前 n 项和 0.70 10 多选题 6 等差 / 等比数列性质、前 n 项和、判定 0.60 11 多选题 6 等差数列前 n 项和性质、单调性、最值判断 0.55 12 填空题 5 由前n项和求通项公式 、递推求项 0.80 13 填空题 5 等比数列连续项性质、整体代入求值 0.70 14 填空题 5 递推取倒数、构造等差数列、对数裂项求和、不等式估算 0.40 15 解答题 13 等差 + 等比通项、错位相减求和 0.70 16 解答题 15 际应用递推数列、构造等比数列、指数不等式求解 0.50 17 解答题 15 由前n项和求通项公式、等比判定、错位相减求和 0.60 18 解答题 17 构造等比数列、累加法求通项、放缩法证明不等式 0.45 19 解答题 17 几何与数列结合、递推求通项、数列单调性与恒成立求参数范围 0.35 Sheet2 Sheet3 $第一章 数列参考答案 1．【答案】B． 【解析】设等差数列的公差为，由题设知，，所以． 2．【答案】D． 【解析】设等比数列的首项为， 根据题意得解得或 3．【答案】D． 【解析】依题意，，， 所以. 4．【答案】C． 【解析】因为且，所以，，，所以是以为周期的数列，. 5.A 【分析】根据数列的单调性，结合分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【详解】因为数列满足：，数列是递减数列， 所以函数为减函数，所以，解得， 函数为减函数，所以， 且有，即，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故选：A. 6. 【答案】A. 【解析】当时，由，可得， 因为各项均不为零，所以，可得， 因为， 所以，即. 7．1．A 【分析】先根据韦达定理得到，再利用等比数列的性质得到，最后利用倒序相加法求和. 【详解】由题设及韦达定理，得， 由等比数列性质，得， 设， 所以， 则， 得， 所以. 故选：A 8．【答案】C． 【解析】因，可得数列是首项为，公差为的等差数列， 所以，因为数列的各项均为正数， 所以，因为， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 当时，， 则． 说明当时，的值为． 9．【答案】BD． 【解析】由等比数列的性质可知：，故A不正确； 设等比数列的公比为，由，得，则，故B正确； ，故C不正确； ，故D正确． 10．【答案】BC． 【解析】对于A，因为是等差数列的前项和，则，，成等差数列， 即，因为，，代入解得，故A错误； 对于B，设等比数列的公比为，则，前项和，故B正确； 对于C，因为数列的前项和，则， 当时，，显然满足，故， 又因为，故是公比为的等比数列，故C正确； 对于D，因为，，成等比，则，即， 整理得，因为，则， 此时，即公比为，故D错误. 11．【答案】ABC． 【解析】对于AC，因为，所以，所以， 所以，即， 因为，所以，所以，所以，故AC正确； 对于B，因为的公差，所以为递增数列，故B正确； 对于D，因为，，，故最小，故D错误． 12．【答案】． 【解析】当时，有  ①当时，有 ，② 可得． 13. 【答案】. 【解析】设等比数列的公比为， 由，可得，即得，因此. 14， 【答案】. 【解析】由递推式取倒数：，两边同乘 ,得 。令,则数列是首项为,公差为2的等差数列，故,因此。由,前n项：，又因为,。计算：,,故n的最小值为16. 15．【答案】（1），； （2）． 【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由题意可得： 解得，所以； （3分） 又且，， 所以，所以． （6分） （2）因为，所以 （10分） . （13分） 16．【详解】（1）（万元）， 又即. （3分） （2）若存在实数，使得数列为等比数列， 则满足，整理得到， 而，故即. 当，则， （7分） 而，故即， 故为等比数列，故存在常数，使得为等比数列. （9分） （3）由（2）可得是首项为，公比为的等比数列， 故即，此时为递增数列. （11分） 令，则，即， 又， 得，即 （14分） 故至少到年才能达到目标. （15分） 17．【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）因为数列满足，所以时，得， 两式相减，得，即， （4分） 因为，，则， 所以， （5分） 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列， 所以； (6分) 由（1）得， 故， ① 故. ②（8分） 由①-②，得 （10分） （14分） 解得． （15分） 18．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析． 【解析】（1）在数列中，由， 得， （2分） 由，，得， （3分） 所以是以为首项，为公比的等比数列． （4分） （2）由（1）知， （5分） 当时， ， （8分） 满足上式， 所以的通项公式为， （9分） （3）由（2）得， ，则 （12分） ， （14分） 显然是递增数列，因此， （15分） 又，则，所以． （17分） 19．【答案】（1），； （2）；（3）的取值范围为． 【解析】（1）依题意，为正三角形，且， 观察图象得， 而点在曲线上，即，解得， （2分） 为正三角形，且， 点在曲线上，，整理得，解得， 所以，． （4分） （2）是正三角形，点，， 于是点在曲线上， 则，即， （6分） 当时，，两式相减得：， 整理得，则，而满足上式，因此，， （8分） 即数列是首项为，公差的等差数列，， 所以数列的通项公式是， （9分） （3）由（2）知， 所以，（11分） 设，则 ， 所以， 所以是递减数列，所以，（14分） 因为不等式一切正整数都成立， 则，即，所以，（16分） 因为是正实数，所以取值范围为 （17分） 学科网（北京）股份有限公司 2025～2026学年度第二学期高二数学期末卷 第11页（共6页） 2025～2026学年度第二学期高二数学期末卷 第8页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 数列 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、选择题： 本大题共8小题，每小题5分，共40分 1．在等差数列中，，，则公差（ ） A． B． C． D． 2．在等比数列中，，，则公比等于（ ） A． B．或 C． D．或 3．已知数列的前项和，则（ ） A． B． C． D． 4．已知数列中，且满足，则（ ） A． B． C． D． 5．已知数列满足：，数列是递减数列，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6. 已知各项均不为零的数列的前项和为，且，则（ ） A． B． C． D． 7．已知数列是等比数列，若，是方程的两个根，则的值为（    ） A．1013 B． C．2023 D．1022 8．已知数列的各项均为正数，，，若表示不超过的最大整数，记数列的前项和为，当时，的值为（ ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9．已知等比数列中，，，则（ ） A． B．的公比 C． D． 10．下列说法正确的有（ ） A．等差数列前项和为，若，，则 B．等比数列，，，前项和 C．数列的前项和，则是等比数列 D．等差数列公差，若，，成等比，且公比为，则 11．设等差数列的前项和为，且，则（ ） A． B．为递增数列 C． D．的最小值为 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，答案填写在答题卷上． 12．已知数列中，，则 ． 13.在等比数列中，，，则 ． 14. 【原创】已知数列的首项 ，且 ,数列{}的前n项和为，若，则n的最小值为 ． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15． （本小题满分13分）等差数列满足，，正项等比数列满足，是和的等比中项． （1）求和的通项公式； （2）记，求数列前项和． 16．（本小题满分15分）某乡村为推进乡村振兴、盘活集体资产，建成村级集体分布式光伏发电项目.2025年末，该光伏项目核算留存集体资产共计80万元.该光伏项目收益稳定，每年整体资产可实现20%的自然增值，村委会每年从项目资产中固定支取12万元，用于电站设备检修、运维养护、耗材更新及村内公益开支.从2026年开始统计设，设第年年末电站剩余留存资产为万元． (1)求，并写出与之间的递推关系式； (2)是否存在实数，使得数列为等比数列，如果存在求出实数；若不存在，说明理由； (3)该村集体计划让电站留存资产达到2025年末资产的3倍，则估计至少到哪一年才能达成目标？ （参考数据：，，，，） 17．（本小题满分15分）已知数列的前项和为，，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和为． 18．（本小题满分17分）已知数列满足，，． （1）证明：数列为等比数列； （2）求的通项公式； （3）记，数列的前项和为，证明：. 19．（本小题满分17分）如图，曲线下有一系列正三角形，设第个正三角（为坐标原点）的边长为， （1）求，的值； （2）记为数列的前项和，探究与的关系，求的通项公式； （3）是否存在正实数，使得不等式对一切正整数都成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 2025～2026学年度第二学期高二数学期末卷 第11页（共6页） 2025～2026学年度第二学期高二数学期末卷 第8页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $