精品解析：湖北省云学联盟2025-2026学年高二下学期5月学科素养测评数学试题

高二数学学科素养测评 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 对四组样本数据进行统计获得如下散点图，则对应样本相关系数最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由图知，C、D中各点都非常分散无法判断正负相关性，显然它们的相关系数无法比较大小， 而A、B中各点相对比较集中，其中A中散点的正相关，而B中散点的负相关， 所以A中样本点相关系数为正，且最大. 2. 记数列为等比数列，已知，，则（ ） A. 32 B. 34 C. 38 D. 31 【答案】A 【解析】 【详解】设等比数列的公比为，，， 所以， 因为，而，， 所以，所以 ， 即 ， 而，，所以 . 3. 已知函数的图像是一条连续不断的曲线，且在定义域内处处可导，若为的导函数，则“在处取极值”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 不充分不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】结合可导函数极值的必要条件，分别验证两个条件的充分性和必要性是否成立即可. 【详解】充分性：已知函数在定义域内处处可导，若在处取极值，所以，故充分性成立. 必要性：若，无法推出在处取极值，例如：函数， 其导函数满足，但在上单调递增，处不存在极值，故必要性不成立. 因此“在处取极值”是“”的充分不必要条件. 4. 已知随机变量的分布列如下表所示，则（ ） 1 2 3 4 0.1 0.3 0.2 A. 0.5 B. 0.7 C. 0.4 D. 0.3 【答案】B 【解析】 【详解】因为可以取得 1，2，3，4，所以当 时， ，即 ， 即此时可取2，3， 故 ， 而 ，所以， 则 . 5. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过求函数的零点以及分析函数在特定区间的正负性，逐项判断即可求解. 【详解】令 ，即 ， 因为 恒成立，所以  ，解得  或 ； 所以函数  的图象与  轴有两个交点，分别为  和  ， 观察选项：A选项图象与  轴只有一个交点，排除； C选项图象在  处与  轴有交点，排除； 对于D选项，当  时， ， ， 由指数函数与幂函数的增长速度可知，即图象在  轴负半轴应无限趋近于  轴， 而D选项图象在  时 ，排除D, 当  时， ，且 ，所以 ，图象在  轴上方，且在  轴负半轴应无限趋近于  轴； 当  时， ，所以 ，图象在  轴下方， 当  时， ，所以 ，图象在  轴上方； B选项符合上述所有特征. 6. 某同学连续投掷一颗质地均匀的正方体骰子5次，记正面朝上的点数为，则的取值一定不会出现6的是下列哪种情况（ ） A. 平均数为3，中位数为3 B. 众数为2，中位数为3 C. 平均数为2，方差为3 D. 中位数为3，方差为3.6 【答案】C 【解析】 【分析】通过先假设存在6，并满足选项的某个条件，若根据条件推出结果与选项的条件矛盾，即可反推出答案. 【详解】设5次投掷的点数按从小到大排列为，， A：中位数为3，故；平均数为3，故， 取，满足条件，所以可能出现. B：众数为2，2出现次数最多；中位数为3， 故；取，满足条件，所以可能出现. C：平均数为2，即；若存在，则其余4个数的和为， 骰子点数最小为1，故其余4个数只能全为1，此时方差： ， 与方差为3矛盾，故C一定不会出现6. D：中位数为3，故，取，， ， 满足条件，所以可能出现. 7. 如果今天是星期五，那么天后是星期几？（ ） A. 星期一 B. 星期二 C. 星期四 D. 星期六 【答案】B 【解析】 【分析】利用二项式定理求除以7的余数，再结合星期的周期规律，从星期五往后数对应天数即可求得. 【详解】因为一周是7天，所以只需计算除以7 的余数. 因为 ，（） 因为除最后一项，其余项都是7的倍数，所以除以7的余数等于除以7 的余数， 又因为， 而 ，（） 除最后一项1，其余项都是7的倍数，都能被7 整除，所以除以7 的余数是1， 因此除以7的余数为，今天是星期五，往后数4天就是星期二. 8. 若数列满足，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，推得为递增数列，为递减数列，即可判断A，C两项；利用作差法得到，再根据数列单调性判断B项；根据累加与放缩法得到 判断D项. 【详解】数列满足，，，则. 令，则，故可得 ，且， 故为递增数列，且，因，则数列为递减数列. 对于A，因为递减数列，故，故A错误； 对于B，因为，所以. 因为递增数列，当时， ，故，即 ， 则，故，即B错误； 对于C， 成立，故C正确； 对于D，由 （仅取等号，均大于2）， 累加得 ， 当时， ，即 ，故D错误. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 为了研究某新款产品的直播间展示时长（单位：分钟）与即时下单量（单位：件）之间的关系，某直播平台随机记录了5场直播带货的数据，如下表所示： 直播间展示时长 2 3 4 5 6 即时下单量 14 20 28 32 36 若与的经验回归方程为，样本相关系数为，则（ ） A. B. 回归直线必过点 C. D. 当直播间展示时长为8分钟时，即时下单量的估计值为46 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据线性回归分析的相关知识，结合样本相关系数的意义、回归直线过样本中心点的性质，依次对各选项判断即可. 【详解】选项A：由表格数据可知，即时下单量随直播间展示时长的增大而增大，二者为正相关关系，因此样本相关系数，故A正确； 选项B：计算样本中心点，，回归直线必过样本中心点(4,26)，不经过点(4,25)，故B错误； 选项C：将样本中心点(4,26)代入经验回归方程，可得， 解得，故C正确； 选项D：由C可知经验回归方程为，当时，，即即时下单量的估计值为46，故D正确. 10. 已知事件，满足：，，，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【详解】由已知可得：，，. 选项A：由，得，所以A正确； 选项B：，所以B错误； 选项C：，所以C错误； 选项D：，所以D正确. 11. 已知函数，设，，是的三个零点，则下列说法正确的是（ ） A. 若曲线在处的切线与在处的切线的倾斜角互补，则 B. 的取值范围为 C. 若，，成等差数列，设公差为，则 D. 若，，成等比数列，则，，的公比为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用导数计算可判断A；令，利用与有三个交点，结合导数研究的性质可求得的取值范围判断B；计算可得，结合进而得，令，可得，计算可求得范围判断C；设公比为，结合已知可得，计算求解即可判断D. 【详解】，求导得， 所以 ， ， 因为曲线在处的切线与在处的切线的倾斜角互补， 所以 ，解得，故A正确； 由 有三个零点，则有三个解， 即与有三个交点. 令，求导得， 当时，，函数在单调递减， 当时，，函数在单调递增， 当时，，函数在单调递减， 当时，，当时，， 又，， 由与有三个交点，可得的取值范围为，故B错误. 由B可知， 又因为， 所以， 所以，所以，代入， 得， 因为成等差数列，所以，所以， 所以，令，所以，所以， 所以，所以，所以 ， 所以，所以， ， 所以， 因为，又在上单调递增， 所以，故C正确； 若成等比数列，设公比为，则， 又 所以，又， 所以， 所以， 所以，所以，解得或（舍去）， 所以若，，成等比数列，则，，的公比为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若曲线在处的切线也是曲线的切线，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出曲线在处的切线方程，再利用该切线与第二条曲线相切的条件，结合导数的几何意义联立方程求解参数. 【详解】函数的定义域为，求导得 ， 当时，导数值 ，即切线斜率为； 由点斜式得切线方程为，整理为， 设直线与相切于点， 对，求导得， 由导数的几何意义，切点处导数值等于切线斜率，即 ，解得， 因此切点坐标为 ，又切点在切线上， 代入得：  ，解得. 13. 有个家庭相约周末一起自驾游，其中每个家庭有爸爸、妈妈、小孩共人．为节约出行成本，他们计划一共开两辆车，每车最多坐人．为方便照顾小孩，要求位妈妈必须和自己的小孩在同一车上．为保障安全，每辆车上至少要有一位爸爸．则一共有____种不同的安排方法．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】先确定总人数人只能按人和人分组，再结合妈妈必须和小孩同车的绑定条件，推出人车只能是对母子位爸爸、人车是对母子位爸爸，接着分步计算：选个家庭的母子进人车（）、选 2 位爸爸同乘（），再考虑两辆车的顺序（），相乘得到总数． 【详解】个家庭共人，分两辆车，每车最多人，即人数分配为人和人， 按照要求，人车只能有个小孩和妈妈绑定，外加个爸爸；人车有个小孩和妈妈绑定，外加个爸爸， 第一步：先将人员分成一个人组和一个人组．其中，组成人组（含对母子和位爸爸）的方法数为种，余下人（含对母子和位爸爸）自成一组． 第二步：将这两个人数不同的小组分配到两辆不同的车上，方法数为种． 所以，安排方法有种． 14. 已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】将不等式变形为，构造函数 ，可知函数在上为增函数，可得出 ，利用导数求出函数在其定义域上的最大值，即可求得实数的取值范围． 【详解】由题意得，由，可得 ， 即， 设 ，则， 因为 ，所以是单调递增函数， 所以，整理得 ， 令，， 时，，单调递增； 时，，单调递减， 所以在处取得最大值， 要使恒成立，只需要 ，解得． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设 （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过二项式展开式的通项公式求得项的系数，即； （2）利用赋值法，分别令，，两式相加，即可求得偶次项系数和； （3）对原式求导，再利用赋值法，令，即可求得的值． 【小问1详解】  二项式的展开式通项为， 令，可得， 所以  . 【小问2详解】 对， 令，得 ①； 令，得 ②； ①+②得， ， 故 . 【小问3详解】 由， 两边求导，得. 令，则. 所以的值为. 16. 甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和2个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），某人先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，再从乙箱中随机取出两球． （1）求从甲箱中取出白球的情况下，再从乙箱中取出的两球都是红球的概率； （2）求从乙箱中取出的两球都是红球的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用古典概型的概率求法、组合数计算求从甲箱中取出白球的情况下，再从乙箱中取出的两球都是红球的概率； （2）应用全概率公式求概率即可. 【小问1详解】 分别用事件表示从甲箱中取出的球是红球，事件B表示从乙箱中取出的两球都是红球， 则从甲箱中取出白球的情况下，再从乙箱中取出的两球都是红球的概率为； 【小问2详解】 由题意知，，且， 所以. 17. 记数列的前项和为，已知，． （1）证明：是等差数列，并求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和； （3）求的最大值． 【答案】（1）当且时，由已知 ，得 . 两式相减得   ， 整理得 ， 因为时，两边同除以得 ， 又，故是首项为2、公差为2的等差数列；其通项公式为. （2） （3）最大值为 【解析】 【分析】(1)利用与的递推关系证明为等差数列并求通项； (2)再用裂项相消法求的前项和； (3)借助于基本不等式求目标分式的最大值. 【小问1详解】 证明略；因为是首项为2、公差为2的等差数列，则其通项公式为 ， 【小问2详解】 由（1）得 ， 其前项和为 ，其中 【小问3详解】 由等差数列的前项和公式得 ， 代入目标式，得  ，因为，分子分母同除以得， 由基本不等式， ，当且仅当即时取等号， 因此 ，故， 即的最大值为，时取得最大值. 18. 重庆张雪机车创始人张雪，从草根摩托爱好者成长为国产机车领军人物．2013年，他怀揣2万元积蓄创业．2024年创立自主品牌，抵押身家深耕自研技术．2026年，其自主研发的820RR车型在世界顶级摩托车赛事中夺冠，打破欧美日品牌长期垄断，让国产机车首次站上国际顶级赛场领奖台．张雪机车推出新款820RR后，某车队为了对刚购入的A，B两种型号机车的操纵稳定性进行检测，设计了如下测试：由某种型号的机车每次独立执行一个任务，若该型号机车试验成功，则下一轮继续使用该型号机车进行试验；若试验失败，则下一轮更换另外一种型号的机车进行试验．已知A型号机车试验成功的概率为，失败的概率为；B型号机车试验成功的概率为，失败的概率为．每次试验成功记1分，失败记0分，且第1轮使用A型号机车进行试验． （1）记为前3轮试验的总得分，求的数学期望； （2）设为第轮试验使用A型号机车的概率． ①求数列的通项公式； ②记为前轮试验的总得分期望，求关于的表达式．（若第轮得分期望记为(,2…n)，则） 【答案】（1）； （2）①；② 【解析】 【分析】(1)先确定每轮得分的期望值，再相加计算； (2)①先找与的递推关系，再构造等比数列求 的通项；②先根据全概率公式得到第k轮得分期望与的关系，再将代入的求和式，结合等比数列求和公式计算得到​的表达式. 【小问1详解】 设第轮试验得分为 ，则总得分，满足 第1轮期望得分：首轮固定使用A型车，成功概率，因此; 第2轮期望得分：若第1轮成功（概率），第2轮继续用A型车；若第1轮失败（概率），第2轮换B型车. ; 第3轮期望得分：第3轮使用A型车的概率：, 第3轮使用B型车的概率：, . 总期望得分. 【小问2详解】 ①由题意，表示第轮使用A型车的概率，表示第轮使用B型车的概率. 第轮使用A型车分为两种情况： 1.第轮用A型车且成功的概率为；2.第轮用B型车且失败的概率为 ， 则得递推关系式： 初始条件： 令 ，即， 所以，即， 数列 为等比数列，首项，公比， 故，即. ②设第轮得分期望为，则 将代入上式得： 前轮得分期望和为： 19. 已知，其中 （1）当时，求在处的切线方程； （2）若在时恒成立，求的取值范围； （3）求证： ，其中． 【答案】（1） （2） （3）由（2）的结论，当时，对，有 ， 即 令（），则 则， 左边 右边 因此 即 . 【解析】 【分析】（1）先将代入得到具体函数，再求，用点斜式即可写出切线方程； （2）分离参数，构造对应的新函数，求的导函数分析其单调性，通过求的极限得到的取值范围； （3）利用第二问得到的合适的不等式结论，通过累加消去中间项，再对剩余项放缩即可证明结论. 【小问1详解】 当时， ，定义域为. 求导得 ,则 ， 又 则在处的切线方程为 ，即 . 【小问2详解】 ，对恒成立，等价于在上恒成立， 令，,则 令 ，化简得 ， 则 令，则 当时，，故在上单调递增，且，则，故在单调递增， 又，故，即，故在上单调递增. 由洛必达法则 ， 故，因此. 所以的取值范围是. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学学科素养测评 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 对四组样本数据进行统计获得如下散点图，则对应样本相关系数最大的是（ ） A. B. C. D. 2. 记数列为等比数列，已知，，则（ ） A. 32 B. 34 C. 38 D. 31 3. 已知函数的图像是一条连续不断的曲线，且在定义域内处处可导，若为的导函数，则“在处取极值”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 不充分不必要条件 4. 已知随机变量的分布列如下表所示，则（ ） 1 2 3 4 0.1 0.3 0.2 A. 0.5 B. 0.7 C. 0.4 D. 0.3 5. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 某同学连续投掷一颗质地均匀的正方体骰子5次，记正面朝上的点数为，则的取值一定不会出现6的是下列哪种情况（ ） A. 平均数为3，中位数为3 B. 众数为2，中位数为3 C. 平均数为2，方差为3 D. 中位数为3，方差为3.6 7. 如果今天是星期五，那么天后是星期几？（ ） A. 星期一 B. 星期二 C. 星期四 D. 星期六 8. 若数列满足，，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 为了研究某新款产品的直播间展示时长（单位：分钟）与即时下单量（单位：件）之间的关系，某直播平台随机记录了5场直播带货的数据，如下表所示： 直播间展示时长 2 3 4 5 6 即时下单量 14 20 28 32 36 若与的经验回归方程为，样本相关系数为，则（ ） A. B. 回归直线必过点 C. D. 当直播间展示时长为8分钟时，即时下单量的估计值为46 10. 已知事件，满足：，，，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，设，，是的三个零点，则下列说法正确的是（ ） A. 若曲线在处的切线与在处的切线的倾斜角互补，则 B. 的取值范围为 C. 若，，成等差数列，设公差为，则 D. 若，，成等比数列，则，，的公比为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若曲线在处的切线也是曲线的切线，则__________． 13. 有个家庭相约周末一起自驾游，其中每个家庭有爸爸、妈妈、小孩共人．为节约出行成本，他们计划一共开两辆车，每车最多坐人．为方便照顾小孩，要求位妈妈必须和自己的小孩在同一车上．为保障安全，每辆车上至少要有一位爸爸．则一共有____种不同的安排方法．（用数字作答） 14. 已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设 （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 16. 甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和2个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），某人先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，再从乙箱中随机取出两球． （1）求从甲箱中取出白球的情况下，再从乙箱中取出的两球都是红球的概率； （2）求从乙箱中取出的两球都是红球的概率． 17. 记数列的前项和为，已知，． （1）证明：是等差数列，并求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和； （3）求的最大值． 18. 重庆张雪机车创始人张雪，从草根摩托爱好者成长为国产机车领军人物．2013年，他怀揣2万元积蓄创业．2024年创立自主品牌，抵押身家深耕自研技术．2026年，其自主研发的820RR车型在世界顶级摩托车赛事中夺冠，打破欧美日品牌长期垄断，让国产机车首次站上国际顶级赛场领奖台．张雪机车推出新款820RR后，某车队为了对刚购入的A，B两种型号机车的操纵稳定性进行检测，设计了如下测试：由某种型号的机车每次独立执行一个任务，若该型号机车试验成功，则下一轮继续使用该型号机车进行试验；若试验失败，则下一轮更换另外一种型号的机车进行试验．已知A型号机车试验成功的概率为，失败的概率为；B型号机车试验成功的概率为，失败的概率为．每次试验成功记1分，失败记0分，且第1轮使用A型号机车进行试验． （1）记为前3轮试验的总得分，求的数学期望； （2）设为第轮试验使用A型号机车的概率． ①求数列的通项公式； ②记为前轮试验的总得分期望，求关于的表达式．（若第轮得分期望记为(,2…n)，则） 19. 已知，其中 （1）当时，求在处的切线方程； （2）若在时恒成立，求的取值范围； （3）求证： ，其中． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $