湖北武汉中学2025-2026学年高一下学期3月月考数学试卷

武汉中学2025级高一下学期数学3月月考试卷 考试时间：2026.3.8 一、单选题 1.已知向量i=（←3,2)b=0-2)c=亿，k).若自+2)，则（) A.k=1 B.k=-1 C.k=4 D. 3 2.设42c0s6°- 1 a= 2 sin6,b= 2tanl3 1-c0s50° +tan213’c= 2 ,则有() A.a>b>c B.a<b<c C.b<c<a D.a<c<b 3.在直角坐标系中，设角的顶点为坐标原点，始边为X轴的非负半轴，将角的终边逆 2 3 sin -2a 时针旋转6，与单位圆交点的纵坐标为5，则（6 () 7 16 16 A.25 B.25 C.25 D.25 4.已知函数f()=si血@xX@>0)的图象的一部分如图1，则图2中的函数图象对应的函数 是() -1 图1 图2 c修 D.y=f(2x-1) 5.已知a,b是两个单位向量，若向量a在向量6上的投影向量为2”，则向量a与向量a-b 的夹角为() A.30° B.60° C.90° D.120° 第1页共14页 6.已知平面向量，5夹角为0，且满足同=35.同-1.若当=4时，巨+内取得最 小值，则sin0=() 质 2W2 B.4 c.3 D.3 7.ABC中，D为AB中点，E为BC边上靠近B的三等分点，CD,AE交于G,BG交AC 于F,若BF=元B距+μBD,则4() 2 3 4 3 A.3 B.4 C.3 D.2 8.如图，在平面斜坐标系Oy中，两坐标轴的正半轴的夹角为60°，氏，及分别是与x 轴、y轴正方向同向的单位向量.若向量=炫+烟，则称有序数对(x)为向量豆在该 斜坐标系下的坐标.已知向量m五在该斜坐标系下的坐标分别为(4,1).(P,q),其中 p>0,q>0.当m五=3时，9的最大值为() 1 A.6 B c.2 D.1 二、多选题 9.若向量a=0,-)6=(3,4),c=44).则() A.=5 B.(a+c)//B c.a⊥(6-c) Da在c上的投影向量是2~， 10.已知点M为ABC所在平面内一点，则() 号+子 A.若 ,则BC=3BM 第2页共14页 AB AC BC=0 AB AC1 B.若 AB AC ,且 AB AC 2 ,则ABC为等边三角形 C.若MABC=0,MC.AB=0,则MB.AC=0 1 2 D.若AM=xAB+yAC,且 +y=方，则△MBC的面积是ABC面积的3 IL.已知ABC为锐角三角形，且sinA=sin Bsin C,则下列结论中正确的是() A.tan B+tan C=tan Btan C B.tan Atan Btan C=tan A+tan B+tan C I<tanAs4 c. D.tan Atan Btan C的最小值为4 三、填空题 12.已知向量百=(2，-)，b=(xx∈R)若豆，石的夹角为锐角，则x的取值范围为 13.已知y=si血2x和y=cos2x的图像的连续三个交点A,B,C构成ABC,则ABC的面 积为 14.双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和 nh(x)=e'-e 双曲余弦函数，已知双曲正弦函数 2,双曲余弦函数 cosh(x)=e+e 2,则 h()=2cosh2x)sinh()2在x>0时的零点为 7 四、解答题 15.已知向量a=(48).五=(x4) 诺(+），求实数x的值： ,求向量a与b的夹角的余弦值 f(x)=sin x cosx- 2 sinx+ -cos2x 16.已知函数 ,X∈R 第3页共14页 (I)求函数W)的最小正周期及单调递增区间： 7 (Ⅱ)若α为锐角且 0C=0A0D=10B 17.如图，在△OAB中， 2,AD与BC交于点M,设 OA=a,OB=b在线段AC上取一点B,在线段BD上取一点F,使EF过M点，设OE=P 13 0A,OF=g0B,求证：7p+79=1. 18.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可 以从高处俯瞰四周景色。如图1，某摩天轮最高点距离地面高度为120m,直径为110m, 设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进 舱，转一周大约需要30min. O 图1 图2 ()如图2，建立平面直角坐标系，游客甲在P处坐上摩天轮的座舱，开始转动mi后距离 地面的高度为hm,求转动一周的过程中，H关于t的函数解析式： (2)求游客甲在开始转动10min后距离地面的高度； (3)如图2，若甲、乙两人先后分别坐在两个相邻的座舱里，两人的位置分别用点A,B表 示，在运行一周的过程中，求经过mn后，乙距离地面的高度H的函数解析式，并求出 两人距离地面高度相等的时刻（精确到0.1）. 第4页共14页 sin0 sino =2sin 0+0.0-p -COS- (参考公式： 2 2) 19.设AB是单位圆上不同的两个定点，点O为圆心，点C是单位圆上的动点，点C满足 OC=sinaOB+cosaOA(a为锐角)线段OC交AB于点D(不包括AB),点P在射线 OC上运动且在圆外，过P作圆的两条切线PM,PN (①)求OB·BA+CO.CA+BC.BO的范围 (2)求PM·P的最小值， 12 3)若0D=20C,BD=uBA,求H+1的最小值. 第5页共14页 参考答案 题号 2 3 4 5 6 7 9 10 答案 B D B D C B CD BCD 题号 11 答案 ABC 2层 不 13.2 14.m2 15.①)x=2 √7 (2)17 【分析】(1)利用向量平行的坐标形式可求x的值： (2)利用向量垂直的坐标形式可求x的值，再利用公式可求向量a与b的夹角的余弦值， 【详解】(1)向量a=（48).则a+6=(x-4,4) 由(+b),得8(x-4)=-4×4,解得x=2 -6(2-网由-司.有到g-小-2-小e0 (2)2 由 解得x=-18,则b=(-18,4) cosa,B= -4×(18)+8×(-4)-17 bV4y+8-18+(4) 17 7 所以向量与b的夹角的余弦值17 k-5，+kx 6V2±4 16.(I)T=π， 12'12 keZ.(Ⅱ）15 f(x)=sinx COS 3 3 2 -cos2 x 【分析】(I)把 使用那降幂公式、逆用二倍角公式 以及两角和的正弦公式化成只有正弦函数，然后代入正弦函数的周期公式和递增区间即可 第6页共14页 f π7 cos2a = 求其周期和增区间. (Ⅱ)化简 +2)-9,求出 9 进一步求出a的正弦及余弦，令B=a-(a-B ,利用两角差的正弦公式代入计算即可。 f(x)=sin xcos3sin -Cos2 x 【详解】解：(I) 2 2 5im2x+5 -cos 2x 2 =2x+引 所以f()的最小正周期T=元， 32 k∈Z. 5π kπ 解得12 12 keZ 所以函数()的单调递增区间为 +kπ 12'12 keZ (Ⅱ)由(I)得 fa+}m2a+月 cos 2a = 9 cos2a=2cosa-1=1-2sina=- 7 1 因为α为锐角，所以 osa=3 sina=22 3 又因 co-) 所 sim(a-P)=±4 5 所以 sin B=sin[a-(-B)]-sina.cos(a-B)-cosa.sin(B) 15 【点晴】本题考查正弦型三角函数的性质、三角函数的诱导公式以及三角恒等变换公式， 中档题 17.证明见解析 第7页共14页 M=1ma+(l-m) 【分析】由B,M,C三点共线计算可得 ,由AM,D三点共线，计算可 M=n+(l-n)b 得 2 即可求得 7,由B,M,F三点共线，计算可得 OM=O呢+(0-元)O丽=元pa+0-)qb,消去入，即可证得结果. 【详解】因为BM,C三点共线，所以存在实数m,使得 OM=mOC+(l-mOB=mOA+(-m)OB=1m+(-mb 又AM,D三点共线，所以存在实数n,使得 M=n0i+0-n0D=i+20-m6 4 -m=n m= 1-m=。(1-n n= 由于a,b不共线，所以 2 ,解得 7 故 因为E,M,F三点共线，所以存在实数元，使得OM=0正+0-2)0F=入p1+-296 3 0-2)9 13 消去元，得7p+7q=1. H=55sin +65,0≤t≤30 18.(1) (152 (2)92.5m H,=55sin 13元 3) 5 +65.,0≤t≤30 24 ；15.3 【分析】(1)设座舱距离地面最近的位置为点P,以轴心为原点，与地面平行的直线为x 轴建立直角坐标系.设t=0min时，游客甲位于点P,根据H=Asin(o+p)+m求出各参数 得解析式： (2)t=10代入(1)中解析式计算可得： 第8页共14页 ∠AOB= (3)结合 24,由甲的高度H求得乙的高度H,利用对称性或由H=H求得两 人距离地面高度相等的时刻 【详解】(1)如图，设座舱距离地面最近的位置为点P,以轴心为原点，与地面平行的直 线为x轴建立直角坐标系 设t=0min时，游客甲位于点P,因为转盘直径为11Om,所以P(0,-55),以OP为终边的 角为2；根据摩天轮转一周大约需要30min,可知座舱转动的角速度为 30-15ad/min 2π_兀 又摩天轮最高点距离地面高度为120m,最低点距离地面高度为 120-110=10m 由题意可得 50=b=6 A=55,0= 2 H=55 sint-r） +65,0≤t≤30 H关于t的函数解析式为 "15t-2 H=55sin π t 2 +65,0≤t≤30，t=10 (2)由(1)可知 15 时， H=55sin ×10 +65=92.5 15 2 所以，游客甲在开始转动10min后距离地面的高度约为92.5m. ∠AOB=2π元 (3)如图，甲、乙两人的位置分别用点A,B表示， 4824,经过tin后甲 H,=55sin 152 +65 距离地面的高度为 ,点B相对于A始终落后24，此时乙距离地 H,=55sin πt--元 +65=55sin t 13π +65 面的高度为 15224 1524 13元 H2=55sin +65,0≤t≤30 15 24 两人距离地面高度相等的时刻， 方法一：甲、乙分别位于最高点的两侧，并且具有对称性的时刻，两人距离地面高度相等 ∠AOB= 2rπ 因为转一周大约需要30min. ˉ4824，所以甲从最低点开始转动，转过 第9项共14圆 π.49π π47π π 4848,乙从最低点开始转动，转过”一4848， =15 301_245✉15.3 此时时间为 48216 所以，两人距离地面高度相等的时刻t约为15.3 方法：4=时，用m后-引-信)0s≤0 后引- t 245≈15.3 ,解得16 所以，两人距离地面高度相等的时刻t约为15.3 方法三：甲乙距离地面的高度差为 -H--5n行-》m后-ps1s0 ino+sin=2sincos 利用 2 2,可得： h=|4-H=l1osin刀simt-元 ,0≤t≤30 48(1548 =0 当h=0时， 由感登可知：后得=元 t= 245=153 解得16 所以，两人距离地面高度相等的时刻t约为15.3. 19.a[-2+10） (2)2V2-3 (3)210-6 【分析】（1)解法|主要是将所给条件通过数量积运算实数化进而通过实数运算结合基本 不等式求解即可；解法2将向量问题坐标化，进而通过实数运算结合不等式求解即可. (2)解法将向量通过模的运算及数量积公式实数化，进而转为实数运算，结合不等式解 出答案；解法2通过坐标法和数量积运算将问题转化为实数运算问题，结合不等式求解即 可；解法3主要是根据题意设参数日，再根据数量积运算结合三角函数、不等式求最值： 第10页共14页 (3)解法1主要是通过平面向量基本定理选择基底表示向量，再设参数人结合不等式求 解；解法2通过坐标法将问题实数化，进而求出参数最值：解法3设参数入、“两个参数， 由向量相等得出它们的三角表示，再由三角函数性质结合不等式求解即可. 【详解】(1)0C=sinaOB+cosaOA .OC=sin'a +cos'a +2sinacosa OB-OA=1+2sinacosa OB.OA=1. Qa为锐角，incos≠0.0B.0A=0,OB⊥OA 解法一：OB.BA+C0.CA+BC·BO=OBBA-BC.OB+CO.CA =OB.(BA-BC)+CO.CA=OB.CA+CO.CA=CA.CB ,取AB的中点为E a丽屁-d me59-国[o) 解法二：以O为原点，以OAOB为xy轴，建立直角坐标系。 .cC(cosa,sina),A(1,0),B(0,1) ..CA=(1-cosa,-sina),CB=(-cosa,1-sina) ∴.CA.CB=-cosa·(1-cosa)+(-sina)(1-sima) =1-cosa-sna=l-ina+母 a0到a+e匠) 浮到 cAcB=l-2inu+星}-.o0） 故小问1答案为： [2+10) (2)解法一：由题意知： OM-ON =1 第11页共14页 .PM"-PN"-OP"-1 :PM:P=|PM.PN.cos∠MPN =PM-pN-0-2sin2∠NPo) 网-网 2 -3=2√2-3 当且仅当O-柜时.等号成立，PM.N的最小值为2反-3 解法二：由题意知： 以O为原点，以OAOB为xy轴，建立直角坐标系设点P(飞)，则OP=√R+y sinLNPO-ON1PNP=OP-1-x+y-I pM.P=pM·PN.cos∠MPN=|pM·-2sim2∠Po) 《+y-03 ≥22-3， 当且仅当O=近时，等号成立，PMPN的最小值为2反-3 解法三： 设∠MOP=0 AP0-a.2N-=22px20 ∴PM=pN=tan0,cos∠MPN=cos(π-20)=-cos20 .PM-PN-PNPMcos /MPN--tan'0cos20=-sin0 cosg cos20 =-(-cos0)2cos20-)2cos0-3cs20+1 cos20 cos2θ =2c0s20+1 -3 cos20 第12页共14页 ≥2√2-3 .当且仅 co9=2 2时，等号成立，PMPN的最小值为2W2-3, 故小问2答案为：22-3 (3)解法一：由题意知： OD=λOC,BD=HBA:.OD-OB=μ(OA-OB) ∴.OD=uOA+1-u)OB .0C=OD=M0A+-4OB oc-1 .λ2=2μ2-2μ+1 -22-2u+1 u+l u+l 20-6t+5=2+5-6≥2W0-6 令从+l=t,则原式 t √10 t= 01 元2 当且仅当 2即 2 等号成立，4+1的最小值为20-6 解法二：由题意知： 以O为原点，以OAOB为xy轴，建立直角坐标系 :OD=入OC=X(cosaA+-sinaOB)D,AB三点共线 .入cosa+元sina=1元= 1 cosa+sina, cosa sina C(cosa,sina)..D(cosa,Asina)= cosa+sina cosa +sina ?BD=HBA=(4,-μ) cosa cosa +sina cosa +sina cosa ∴.= cosa+sina, 第13页共14页 1 12 cosa+sina 4+1 1+ cosa 2cos a +3cosasina sin'a cosa sina 1 1 1+cos'a+3cosasina 1+c0s2a.3 1+ 十 sin2a 2 2 1 3 10sin (2a+p) 2 2 10sim(2a+p）s@,22≥20-6 2 2…4+1 解法三：由题意知： OD=2OC,BD=HBA..OD-OB=u (OA-OB) .OD=uOA+(1-H)OB=元OC=λcosaOA+元sinaOB .'u=Acosa,1-u=asina 1 入= cosa cosa+sina cosa+sina下同解法二. 故小问3答案为：2W10-6. 【点晴】方法点晴：建立直角坐标系，将向量问题坐标化进而通过实数运算求解即可 第14页共14页