黑龙江海林市朝鲜族中学2025-2026学年高二下学期第二次考试数学试卷

**基本信息** 本试卷聚焦高二选择性必修三核心内容，以设备生产、智能养老等真实情境为载体，通过分层设问考查回归分析、概率统计、导数应用等知识，体现数学眼光、思维与语言的素养导向。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|回归直线、随机变量、排列组合|基础题立足教材，如施肥量与产量的回归预测| |多选|3/18|排列组合综合、正态分布性质|选项分层设计，如男女相间排法的正误判断| |填空|3/15|分组分配问题、条件概率|结合实际场景，如6名同学景区打卡方案数| |解答题|5/77|超几何分布、独立性检验、导数证明|以智能养老设备（独立性检验）、国防竞赛（概率期望）为情境，考查综合应用与逻辑推理|

2025-2026学年度 第二学期 高二年级数学学科第二次考试（人教版、选择性必修三） 命题人：姜磊 审核人：姜磊 一、单项选择题（每小题5分 共40分） 1．某农场给某种农作物的施肥量x(单位：吨)与其产量y(单位：吨)的统计数据如表： 施肥量x(吨) 2 3 4 5 产量y(吨) 26 39 49 54 由于表中的数据，得到回归直线方程为，当施肥量时，该农作物的预报产量是(　　) A．72.0 B．67.7 C．65.5 D．63.6 2．已知随机变量，且，则（   ） A． B． C． D． 3．某会议室第一排有9个座位，现安排4人就座，若要求每人左右均有空位，则不同的坐法种数为（   ） A．8 B．16 C．24 D．60 4．在的展开式中，的系数为（    ）． A．120 B．80 C．40 D． 5．盒中有个玩具，其中有个是坏的，现从盒中随机地抽取个，在至少一个玩具是坏的条件下，另一个是好的的概率是（    ） A． B． C． D． 6．若函数的图象上存在与直线垂直的切线，则实数a的取值范围是 A． B． C． D． 7．某学校在校门口建造一个花圃，花圃分为9个区域（如图），现要在每个区域栽种一种不同颜色的花，其中红色、白色两种花被随机地分别种植在不同的小三角形区域，则它们在不相邻（没有公共边）区域的概率为（    ） A． B． C． D． 8．设函数，且在上满足，则实数a的取值范围为（    ） A．[0,1] B．[－1,1] C． D． 二、多选题(每小题6分，部分选对无错选得2分，共18分） 9．现有2个女生、3个男生共5名同学排成一排，则下列说法正确的是（    ） A．女生站两端的不同排法，共有12种 B．男女相间的不同排法，共有6种 C．女生排在一起的不同排法，共有24种 D．女生互不相邻的不同排法，共有72种 10．已知随机变量，，，则（    ） A．若，则 B．若随机变量满足，，则 C．若，则 D．若，则有最大值 11．已知函数是函数在上的一个零点，则（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 三、填空题(每小题5分，共15分） 12．某校6名同学打算去山西旅游，现有平遥古城、五台山、省博物馆三个景区可供选择.若每个景区中至少有1名同学前往打卡，每人仅去一个景点，则不同方案的种数为______. 13．设为两个随机事件，已知，则__________. 14．已知函数，，，当在区间上成立，则称和在区间上单调性一致.若和在区间上的单调性一致，则实数的最小值为______. 四、解答题（15题13分16，17题15分18、19题17分，共77分） 15．为深入推进传统制造业改造提升，全面提高传统制造业核心竞争力，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破.设备生产的零件的直径为R（单位：）. (1)现有旧设备生产的零件共7个，其中直径大于的有3个.现从这7个零件中随机抽取3个.记X表示取出的零件中直径大于的零件的个数，求X的分布列及数学期望； (2)技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为，每个零件是否合格相互独立.现任取5个零件进行检测，若合格的零件数Y超过半数，则可认为技术攻坚成功.求技术攻坚成功的概率及Y的方差. 16．科技进步催生了大批智慧养老科技产品．在某养老服务中心，室内、、物联网等智能设备，精准对接老年人多样化健康养老需求．该中心配备有多台摄像机，通过智能分析，辅助发现老人异常行为状态，产生预警信息并实时推送至护理站，及时对老人进行救助．为防止老人摔倒，在房间内还铺设有智能地板，一旦出现特殊情况，地板就会立即报警．在该中心所在地区随机抽取200名70岁以上的老人进行问卷调查，得到如下列联表： 智能设备 摔倒 合计 发生 未发生 使用 8 m 100 未使用 n 68 合计 200 (1)求m，n的值，并依据小概率值的独立性检验，分析使用智能设备是否能有效预防摔倒的发生？ (2)在参与问卷调查发生摔倒的老人中，按是否使用智能设备进行分层，采用样本量比例分配的分层随机抽样方法，从样本中抽取5人作进一步调查，再从这5人中随机抽取2人进行面谈，记这2人中未使用智能设备的人数为X，求X的数学期望及方差． 附：，其中． 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 17．已知的展开式的第2项与第3项的二项式系数之比是2：5． (1)求n的值； (2)求展开式的常数项． (3)在的展开式中，求的项的系数． 18．为深入普及国防知识，厚植青年家国情怀，某校举办了国防知识竞赛（分初赛和决赛两个阶段），初赛从6道题中任选3题作答，全部答对才能进入决赛． (1)已知初赛6道题中选手甲能答对其中4道，记甲在初赛中答对题目个数为． （i）求的分布列及其数学期望； （ii）求在甲答对至少两题的前提下，仍未进入决赛的概率； (2)已进入决赛的选手需回答3道同等难度的题目，若全部答对，获一等奖，奖励600元；仅答对2道，获二等奖，奖励200元；仅答对1道，获三等奖，奖励100元；全错则没有奖励．选手乙进入决赛后，答对每道题的概率为0.6，且每道题是否答对相互独立．求选手乙获得的奖金的数学期望． 19．已知函数． (1)求函数的最小值； (2)求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D C D C B D B AD BCD 题号 11 答案 AC 1．C 【分析】根据回归直线方程过样本的中心点，先求出中心点的坐标，然后求出的值，最后把代入回归直线方程呆，可以求出该农作物的预报产量. 【详解】，因为回归直线方程过样本的中心点，所以有，因此，当时，，故本题选C. 【点睛】本题考查了回归直线方程的性质，考查了数学运算能力. 2．D 【分析】根据正态分布的对称性即可求解. 【详解】已知随机变量，则正态曲线关于直线对称， 因为，则， 根据对称性得到， 则. 3．C 【分析】根据题意转化为把4人安排在4个位置上 【详解】由题意，4人分别在第2，4，6，8四个位置，坐法种数有种 故选：C 4．D 【分析】根据二项式定理计算即可. 【详解】根据二项式定理，展开式的通项公式为： . 令，可得，此时与相乘可得的系数为-80； 令，可得，此时与相乘可得的系数为40； 所以的系数为. 5．C 【分析】记事件从盒中随机地抽取个，至少有一个玩具是坏的，记事件从盒中随机地抽取个，恰好为一个是好的，一个是坏的，求出、的值，利用条件概率公式可求得的值. 【详解】记事件从盒中随机地抽取个，至少有一个玩具是坏的， 记事件从盒中随机地抽取个，恰好为一个是好的，一个是坏的， 则，， 由条件概率公式可得. 6．B 【分析】设出切点坐标，根据两条直线垂直斜率的关系求得切线的斜率，令的导数等于这个斜率建立方程，分离常数后利用函数的值域求得的取值范围. 【详解】设切点为，切线的斜率为，由，得，所以，而，所以. 故选B. 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查推理论证能力，属于中档题. 7．D 【分析】每个区域种不同颜色的花，有种方法，红色、白色种在相邻区域有种方法，通过对立事件求出正确答案. 【详解】每个区域种不同颜色的花，有种方法；这9个区域中相邻的区域有9个(13; 23; 34;26; 48; 56; 67; 78; 89)，所以红色、白色种在相邻区域有种方法，所以红色、白色在不相邻（没有公共边）区域的概率为， 故选：D. 8．B 【分析】由在上满足得到是上的单调递增函数，则在上恒成立，即在上恒成立，转化为二次函数的图像和性质求解. 【详解】，， 在R上满足， 或， 则是上的单调递增函数，则在上恒成立， 即在上恒成立， 设， ， 则转化为， 则转化为在上恒成立， 则需要满足，解得，即， 则实数a的取值范围为，故选项B正确. 9．AD 【详解】对于A，第一步，先安排2个女生站两端有种不同的方法； 第二步，再安排3个男生站中间有种不同的站法； 由分步乘法计数原理可得共有种不同的安排方法，故A正确. 对于B，第一步，先安排3个男生有种不同的站法； 第二步，再安排2个女生站在2个男生之间的站法有种； 由分步乘法计数原理可得共有种不同的安排方法，故B错误. 对于C，第一步，将2个女生捆绑在一起与其他3名男生排序有种； 第二步，2个女生内部排序有种不同的方法； 由分步乘法计数原理可得共有种不同的安排方法，故C错误； 对于D，第一步，先安排3个男生有种不同的站法； 第二步，再在男生间以及前后形成的4个空位中安排2个女生有种不同的方法； 由分步乘法计数原理可得共有种不同的安排方法，故D正确. 10．BCD 【详解】对A选项，由知，则，故A错误； 对B选项，，则，，所以，故B正确； 对C选项，，则解得，故C正确； 对D选项，，则，令，则. 令，解得（舍去）或，当时，，单调递增； 当时，，单调递减，所以，故D正确. 11．AC 【分析】对求导，根据函数的单调性及零点存在定理得出，即可判断A，B；令，根据的单调性可判断C；令，根据的单调性可判断D． 【详解】，当时，，此时函数单调递增； 当，，此时函数单调递减， 且， 因为是函数在上的一个零点，所以， 所以当，当， 对于A选项，当时，，故A正确； 对于B选项，当，故B错误； 对于C选项，令，故在上为增函数， 当时，，所以，即，故C正确； 对于D选项，令，故在上为增函数， 当时，，所以，即，故D错误. 故选：AC. 12．540 【分析】根据题意，分为三个景区安排的人数之比为或或，结合排列，组合数的计算公式即可求解. 【详解】若三个景区安排的人数之比为，则有种安排方法； 若三个景区安排的人数之比为，则有种安排方法； 若三个景区安排的人数之比为，则有种安排方法； 故不同的安排方法种数是. 13．/ 【分析】条件概率公式计算即可得. 【详解】根据条件概率公式 ，代入已知， 得：. 由条件概率公式 ，变形得， 代入， 得：. 14． 【解析】先求导可得,,则和在区间上的单调性一致,即为在区间上成立,可判断,则在上恒成立,进而求解即可 【详解】由题,,, ∵和在区间上的单调性一致, 即在区间上成立, ∵,,∴, ∴, 即在上恒成立,得, 解得, ∴的最小值为 故答案为: 【点睛】本题考查求导公式的应用,考查转化思想 15．(1)分布列见解析， (2)技术攻坚成功的概率为， 【分析】判断随机变量X服从超几何分布，计算各取值对应概率得到分布列，再求解数学期望； 判断随机变量Y服从二项分布，计算的概率得到攻坚成功概率，再代入二项分布方差公式求解。 【详解】（1）由题意可知，X的可能取值为，X服从参数为的超几何分布， 概率公式为： 计算各概率的值 ， ， 所以分布列为 X 0 1 2 3 （2）由题意，每个零件合格的概率为，且各零件是否合格相互独立，因此. 技术攻坚成功要求合格零件数超过半数，即， 分别计算对应概率： 因此技术攻坚成功的概率： 由二项分布的方差公式可得： 16．(1)，，认为使用智能设备能有效预防摔倒的发生 (2)X的期望；X的方差． 【分析】（1）本题先由列联表数据求出参数,设立独立性检验零假设,代入卡方公式计算值并与临界值比对,依据小概率值否定零假设,判定使用智能设备与预防摔倒有关； （2）再确定摔倒老人中使用和未使用智能设备的人数,明确随机变量的取值,用组合数求对应概率,进而计算出的数学期望与方差. 【详解】（1）由表中数据可得，． 智能设备 摔倒 合计 发生 未发生 使用 8 92 100 未使用 32 68 100 合计 40 160 200 零假设为：使用智能设备与有效预防摔倒的发生无关． 故根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为使用智能设备能有效预防摔倒的发生． （2）易知5名“发生摔倒”的老人中有1人使用智能设备，4人未使用智能设备， 故X的所有可能取值为1，2， ，， 所以X的期望； X的方差． 17．(1) (2)60 (3)120 【分析】（1）由二项式系数之比列式求解即可； （2）求出展开式的通项，再令的指数等于零，即可得解； （3）利用通项的特点，依次写出对应的的系数（即二项式系数），然后借助于二项式系数和组合数性质计算． 【详解】（1）依题意可得第2项的二项式系数为，第3项的二项式系数为， 所以，即，则，或（舍去）； （2）展开式的通项为 ， 令，解得， 所以，所以常数项为60，为第5项； （3）（1）知，， 展开式中项的系数分别为： 所以的展开式中项的系数为： ． 18．(1)（i）分布列见解析，2；（ii） (2)244.8元 【分析】（1）（i）分析可知的可能取值有1，2，3，结合超几何分布求分布列和期望；（ii）根据题意结合条件概率公式运算求解； （2）的可能取值为0，100，200，600，结合二项分布求对应概率和期望. 【详解】（1）（i）由题意可知：的可能取值有1，2，3， 则；；； 所以的分布列为 X 1 2 3 P 且的期望； （ii）由条件概率公式得. （2）设“选手乙获得的奖金”为随机变量Y，则的可能取值为0，100，200，600， 则； ； ； ； 所以， 所以乙获得的奖金的数学期望为244.8元. 19．(1)1 (2)证明见解析 【分析】对求导，利用导数判断函数的单调性，进而可得函数的最小值； 分析要证，只需证， 令，利用导数求得即可. 【详解】（1）， ， 设 在上为单调递增函数， ，当时，， 当时，，在上单调递减；在上单调递增， 则； （2）证明：， 只需证，即， 令，则， 当时，令， 则在上单调递增， 即在上为增函数， 又因为， 所以存在，使得， 由， 得，即，即， 所以当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以， 令， 则， 所以在上单调递增， 所以， 所以， 所以， 即． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $