精品解析：吉林长春市十一高中2025-2026学年高二下学期第二学程考试数学试题

长春市十一高中2025-2026学年度高二下学期第二学程考试 数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，则（ ）． A. B. C. D. 2. 已知曲线的一条切线的方程为，则实数（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 3. 已知是各项均为正数的等比数列，设其前n项和为，若成等差数列，则（ ） A. 9 B. 2 C. D. 4. 已知两个线性相关变量与的统计数据如下表： 其回归直线方程是，据此计算，则样本点在处的残差为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 生活中常常会因为谐音闹误会，数学课上，某同学会把“复数”和“负数”听混淆．已知老师说“复数”时，学生理解为“负数”的概率为；老师说“负数”时，学生理解为“复数”的概率为．假设在评讲试卷时，老师说“复数”和“负数”是等可能的，已知学生理解的是“负数”，则此时老师说的是“复数”的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 抛物线的光学性质是：从抛物线焦点出发的光线经抛物线反射后，反射光线与抛物线对称轴平行，已知、分别为抛物线的焦点和内侧一点，抛物线上存在点使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若对，，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. 展开式的二项式系数和为 B. C. 展开式的各项系数和为 D. 10. 已知数列的前项的和为，则（ ） A. 数列前5项的和为121 B. C. D. 11. 甲、乙、丙3人进行传球游戏，每次抛一枚均匀的硬币，若正面朝上，则持球者不传球；若反面朝上，则持球者等可能地将球传给其余2人之一，初始时球在甲手中，记第次抛硬币后球在甲手中的概率为，球在乙手中的概率为，在前次抛硬币的过程中3人之间传球的次数为，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题；本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 为了解高二学生体育健康情况，学校组织了一次体育健康测试，成绩X近似服从正态分布N(70，72)，已知成绩在77分以上的学生有208人，如果成绩大于84分为优秀，则本次体育健康测试成绩优秀的大约有___________人． (参考数据：P(μ－σ＜X＜μ＋σ)=0.68，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)=0.96) 13. 设双曲线的左，右两个焦点分别为，，是双曲线上任意一点，过的直线与的平分线垂直，垂足为，则线段的长度为______. 14. 若对恒成立，则正实数的最小值是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 已知函数在处取得极值0． （1）求实数，的值： （2）求函数在区间上的最值． 16. 已知数列的首项，前n项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）若，求的前n项和． 17. 已知椭圆的离心率为是椭圆上两点，直线与椭圆交于、两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）当时，是否存在使得？说明理由； （3）记直线的斜率依次为，当且线段的中点在直线上时，试问是否为定值？说明理由． 18. 某工厂生产的无人投递车需经过性能测试才能投入使用．若首次测试（A）通过，即合格．若测试A未通过，则需进行第二次测试（B），测试B通过，即合格；否则为不合格，不能投入使用．已知测试A通过率为0.8，测试B通过率为0.5． （1）若某批次生产了n辆无人投递车，合格的数量为X．计算随机变量X的期望与方差； （2）已知某辆无人投递车测试合格，计算其通过测试A的概率； （3）该工厂声称其随机抽取的1000辆无人投递车合格率为95%，请结合材料1和材料2说明该工厂提供的合格率是否可信? 材料1：设随机变量X的期望为，方差为，则对任意正数a，均有． 材料2：当随机事件发生的概率小于0.05时，可称该事件为小概率事件． 19. 已知函数，其中. （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）若函数在定义域上单调递增，求实数的取值范围； （3）若在上存在两个极值点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春市十一高中2025-2026学年度高二下学期第二学程考试 数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】集合或， 因为，所以. 2. 已知曲线的一条切线的方程为，则实数（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】因为，令，解得，则切点坐标为，可得. 3. 已知是各项均为正数的等比数列，设其前n项和为，若成等差数列，则（ ） A. 9 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得，化简得，解得，再由即可求解． 【详解】设正项等比数列的公比为，因为成等差数列， 所以，即， 解得 （舍去）或， 所以． 故选：A． 4. 已知两个线性相关变量与的统计数据如下表： 其回归直线方程是，据此计算，则样本点在处的残差为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据样本中心点在回归直线方程上，可得的值，然后计算样本估计值，从而得到残差. 【详解】根据题意，， 又在回归直线方程上，所以， 所以回归直线方程为， 时，得到预估值为3.15， 所以样本点在处的残差为. 故选：B. 5. 已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由在上恒成立求得参数范围． 【详解】， 在上单调递增，则在上恒成立， 所以在上恒成立， ，时，的最大值是， 所以． 6. 生活中常常会因为谐音闹误会，数学课上，某同学会把“复数”和“负数”听混淆．已知老师说“复数”时，学生理解为“负数”的概率为；老师说“负数”时，学生理解为“复数”的概率为．假设在评讲试卷时，老师说“复数”和“负数”是等可能的，已知学生理解的是“负数”，则此时老师说的是“复数”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用全概率公式和条件概率公式计算可得结果. 【详解】设老师说“复数”为事件，学生理解为“负数”为事件， 则，, ， ， 则学生理解的是“负数”，此时老师说的是“复数”的概率为. 7. 抛物线的光学性质是：从抛物线焦点出发的光线经抛物线反射后，反射光线与抛物线对称轴平行，已知、分别为抛物线的焦点和内侧一点，抛物线上存在点使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线定义可知，由此可知，结合在抛物线内侧可求得的范围. 【详解】由抛物线方程知：，准线； 过作，垂足为， 由抛物线定义知：，， 则当三点共线时，取得最小值，即图中的， ，，解得：； 又在抛物线内侧，，解得：， 实数的取值范围为. 故选：D. 8. 已知函数，若对，，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用定义法证明为奇函数，根据导数和基本不等式的应用证明在上单调递增，由函数的奇偶性和单调性解不等式并分离参数可得，结合导数求出即可. 【详解】因为，，所以为奇函数. 又， 当且仅当即时等号成立，所以在上单调递增. 由，所以，所以. 对任意，由，得，所以只需即可. 令，则， 令， 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以，所以. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. 展开式的二项式系数和为 B. C. 展开式的各项系数和为 D. 【答案】BD 【解析】 【详解】由得，， 展开式的二项式系数和为，故A错误； 令得，故B正确； 令得展开式的各项系数和为，故C错误； 令得， 所以，故D正确. 10. 已知数列的前项的和为，则（ ） A. 数列前5项的和为121 B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】先判定为等比数列，结合等比数列前项和与性质分析A、B；利用与的递推关系求通项判断C；依据通项的单调性分析D. 【详解】由，可知是首项为，公比为的等比数列. 对于选项A，前项和为，故A正确； 对于选项B，， ， ， 可得，故B正确； 对于选项C，当时，， 当时，， 时不满足该式，通项需分段表示，故C错误； 对于选项D，，， 当时，各项构成公比为的递增等比数列，且， 因此，故D正确. 11. 甲、乙、丙3人进行传球游戏，每次抛一枚均匀的硬币，若正面朝上，则持球者不传球；若反面朝上，则持球者等可能地将球传给其余2人之一，初始时球在甲手中，记第次抛硬币后球在甲手中的概率为，球在乙手中的概率为，在前次抛硬币的过程中3人之间传球的次数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意，利用相互独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式，通过分类讨论列出概率的递推式，借助于等比数列求出概率解析式，运用二项分布的方差公式计算即可逐一判断. 【详解】对于A，初始时球在甲手中，即，第一次抛硬币：若正面朝上（概率为）球在甲手里，则； 若反面朝上（概率为），球传给乙或丙，各占，所以，即满足，故A错误； 对于B，因为表示前次抛硬币的过程中3人之间传球的次数，每次传球的概率为，且各次独立， 则，故其方差为，故B正确； 对于C，设第次抛硬币后，球在丙手中的概率为，由对称性知，故，故C错误； 对于D，第次抛硬币后，球在甲手中的概率为， 所以，即，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列， ，即； 同理，可得，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列， ，即； 所以，故D正确. 三、填空题；本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 为了解高二学生体育健康情况，学校组织了一次体育健康测试，成绩X近似服从正态分布N(70，72)，已知成绩在77分以上的学生有208人，如果成绩大于84分为优秀，则本次体育健康测试成绩优秀的大约有___________人． (参考数据：P(μ－σ＜X＜μ＋σ)=0.68，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)=0.96) 【答案】26 【解析】 【分析】由已知求得，，利用对称性求得，可得成绩在77分以上的学生有208人，求得高二学生总人数，求出，利用概率求得结果． 【详解】解：由高三全体考生的数学成绩近似服从正态分布N(70，72)，得，， ，又成绩在77分以上的学生有208人，则高二学生总数为； ，则本次体育健康测试成绩优秀的大约有人. 故答案为：26. 13. 设双曲线的左，右两个焦点分别为，，是双曲线上任意一点，过的直线与的平分线垂直，垂足为，则线段的长度为______. 【答案】4 【解析】 【分析】如图可知，为等腰三角形，其中，根据中位线得，即可求解． 【详解】设直线交的延长线于点，如图所示， 因为为的平分线，，所以为的中点，, 又因为为的中点， 则 故答案为： 14. 若对恒成立，则正实数的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】整理可得，结合函数的单调性可得，参变分离可得，令，，利用导数判断的单调性和最值，即可得结果. 【详解】因为，则等价于， 可得，且， 令，，可得， 因为在定义域内单调递增，则，可得， 令，，则， 当时，；当时，； 可知在内单调递增，在内单调递减，则， 可得，所以正实数的最小值是. 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 已知函数在处取得极值0． （1）求实数，的值： （2）求函数在区间上的最值． 【答案】（1） （2）最大值20，最小值0 【解析】 【分析】（1）利用极值点处函数值与导数值均为0建立方程组求解参数. （2）通过导数确定单调区间，比较区间内极值点与端点函数值得到最值. 【小问1详解】 对函数求导，得, 由函数在处取得极值，可得, 联立整理得, 解得. 检验：将代入， ， 当时，；当时，； 当时，，处导数由负变正，为极小值点，符合题意. 【小问2详解】 由（1）得， . 令，得极值点，均落在区间内. 因此，函数在上的最大值为，最小值为. 16. 已知数列的首项，前n项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）若，求的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据的关系消去，得递推式，判断是等比数列，即可求得其通项； （2）先求出的通项公式，利用分组求和法与等差、等比数列求和公式求解即得. 【小问1详解】 由①，当时，②， ①-②得，即， 又∵，满足， ∴是以3为首项，3为公比的等比数列，即 【小问2详解】 ∵， ∴ ． 17. 已知椭圆的离心率为是椭圆上两点，直线与椭圆交于、两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）当时，是否存在使得？说明理由； （3）记直线的斜率依次为，当且线段的中点在直线上时，试问是否为定值？说明理由． 【答案】（1）； （2）不存在，理由见解析； （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）由椭圆C：的离心率为，且过点，列方程求出，，由此能求出椭圆的标准方程； （2）当时，联立方程再应用弦长公式计算求解即可说明； （3）联立方程组由此利用韦达定理，结合已知条件能求出，使得直线的斜率的积为定值． 【小问1详解】 椭圆的离心率为，且过点． ，解得，， 椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 不存在直线与椭圆交于、两点，满足． 当时，设， 由，消去得， ，因此， 则，， 所以， ， 因为，所以，所以，无解， 所以不存在直线与椭圆交于、两点，满足． 【小问3详解】 为定值． 设， 由消去得， ，因此， 则， 所以线段的中点为，线段的中点在直线上时， 所以，所以； 所以 . 18. 某工厂生产的无人投递车需经过性能测试才能投入使用．若首次测试（A）通过，即合格．若测试A未通过，则需进行第二次测试（B），测试B通过，即合格；否则为不合格，不能投入使用．已知测试A通过率为0.8，测试B通过率为0.5． （1）若某批次生产了n辆无人投递车，合格的数量为X．计算随机变量X的期望与方差； （2）已知某辆无人投递车测试合格，计算其通过测试A的概率； （3）该工厂声称其随机抽取的1000辆无人投递车合格率为95%，请结合材料1和材料2说明该工厂提供的合格率是否可信? 材料1：设随机变量X的期望为，方差为，则对任意正数a，均有． 材料2：当随机事件发生的概率小于0.05时，可称该事件为小概率事件． 【答案】（1）， （2） （3）不可信，证明见解析 【解析】 【分析】（1）设事件“通过测试”， 事件“通过测试” ，事件“测试合格”，再根据二项分布的公式计算即可； （2）根据题意得，再根据条件概率即可求出； （3）先求出随机变量X的期望和方差，再根据材料1和由材料2分别进行计算和说明即可. 【小问1详解】 设事件“通过测试”， 事件“通过测试” ，事件“测试合格”， 由题意每辆车通过测试的概率为， ，即， 即随机变量X的期望为，方差为. 【小问2详解】 由题，则测试合格的无人投递车，其通过测试的概率为. 【小问3详解】 设随机抽取辆无人投递车中合格数为，由（1）可知， 假设该工厂关于产品合格率为95%的说法成立，则应有辆车合格， 由材料1可得，， 即在假设下辆车中合格数达到或超过的概率不超过， 由材料2可知，该事件为小概率事件，据此我们有理由推断该工厂提供的合格率不可信. 19. 已知函数，其中. （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）若函数在定义域上单调递增，求实数的取值范围； （3）若在上存在两个极值点，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）把问题转化为恒成立，即恒成立，利用基本不等式即可求解； （3）根据极值点的定义及韦达定理得到，并求出的范围，令并求出的范围，最后把转化为的函数，最后利用导数判断函数的单调性即可求解. 【小问1详解】 当时，，定义域为， 所以， 所以，又， 所以函数在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 的定义域是， 函数在定义域上单调递增，则对恒成立， 即， 因为，当且仅当时等号成立， 所以时，恒成立，即在上单调递增. 【小问3详解】 在上有两个极值点， 则，即在上有两个不等实数根， 解得，且， 此时，， 令，则， 所以在上单调递减， 又由，由可知，即。 联立解得，所以。 且 所以的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $