精品解析：上海市奉贤区2025学年第二学期九年级数学练习 (202605)

2025学年第二学期九年级数学练习 （完卷时间100分钟，满分150分） 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共23题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 3．填空题须在对应矩形框内作答，超出对应边框作答无效． 一、选择题：（本大题共5题，每题4分，满分20分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1. 下列代数式中，不是单项式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查单项式的概念，根据单项式的定义判断各选项即可，单项式是数或字母的乘积，单独的数或字母也是单项式，多个单项式的和为多项式． 【详解】解：A.是符合单项式定义，属于单项式； B.是数与字母的积，属于单项式； C.是与的积，属于单项式； D.是两个单项式的和，属于多项式，不是单项式． 2. 下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将各选项方程化为一般形式，计算根的判别式，根据判别式等于时方程有两个相等实数根判断即可． 【详解】对于一元二次方程 ，根的判别式 ，当 时，方程有两个相等的实数根； 选项A：将原方程化为一般形式得 ，可得 ，计算得 ，方程有两个相等的实数根，符合题意； 选项B：方程为 ，可得 ，计算得 ，方程没有实数根，不符合题意； 选项C：将原方程化为一般形式得 ，可得 ，计算得 ，方程有两个不相等的实数根，不符合题意； 选项D：方程为 ，可得 ，计算得 ，方程有两个不相等的实数根，不符合题意． 3. 已知直线经过点和，那么下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将A、B两点坐标分别代入直线解析式，得到和关于的表达式，再对比各选项得到正确结论． 【详解】解：∵ 点和在直线上， ∴ 将坐标代入解析式可得： ， ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ，， 因此选项A、C、D错误，选项B正确． 4. 乐乐同学参加某次诗朗诵比赛，七位评委的打分是：8.8，7.0，9.0，10，9.0，7.0，9.4，工作人员根据评委所打的分数对这组数据平均数、方差、众数、中位数进行了统计，如果去掉一个最高分和一个最低分，那么下列统计量中一定不发生变化的是（ ）． A. 方差 B. 平均数 C. 中位数 D. 众数 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均数、方差、众数、中位数的定义，分别判断去掉一个最高分和一个最低分后各统计量的变化即可求解． 【详解】解：先将原7个数据从小到大排列为：， 判断中位数：原数据共7个，中位数为第4个数据，原中位数是；去掉一个最高分和一个最低分后，剩余5个数据从小到大排列为，中位数为第3个数据，仍为，中位数不变，C正确； 判断平均数：原数据总和为 ，原平均数为 ，去掉极端值后平均数为 ，平均数发生变化，B错误； 判断方差：方差反映数据波动程度，平均数改变，数据个数改变，方差一定发生变化，A错误； 判断众数：原数据中和都出现2次，众数为和，去掉一个后，只有出现2次，众数发生变化，D错误． 5. 如图，在锐角三角形中，，点、分别在边、上，连接、．下列命题中，假命题是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 【答案】B 【解析】 【分析】如果，根据可得，可证，继而判断选项A、C；如果，无法证明，继而得不到，可判断选项B；如果，可证，可判断选项D． 【详解】解：如果， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，故选项A、C都是真命题； 如果，无法证明， 继而得不到，故选项B是假命题； 如果， ∵，， ∴， ∴，故选项D是真命题． 二、填空题：（本大题共11题，每题4分，满分44分） 6. 化简：______． 【答案】## 【解析】 【分析】先判断两个实数的大小关系，再根据绝对值的代数意义化简，进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了绝对值的代数意义，正确判断实数的大小是解题关键． 7. 请写出比大且比小的所有整数：_______． 【答案】和 【解析】 【分析】先估算和的取值范围，再找出该范围内的所有整数即可． 【详解】解：因为 ，所以 ，即 .； 又因为 ，所以 ，即 ； 因此可得 ， 所以比大且比小的所有整数为，． 8. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】利用同底数幂相除的法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查整式的乘除，掌握积的乘方与同底数幂相除的法则是解题的关键． 9. 方程的解是__________． 【答案】##5 【解析】 【详解】解：方程两边平方，得， 移项合并同类项，得， 系数化为，得， 检验：当时，左边右边， 因此是原方程的解 ． 10. 将抛物线向右平移2个单位，平移后的抛物线与轴交点的坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据平移规律得到平移后抛物线的解析式，再令求出的值，即可得到抛物线与轴的交点坐标． 【详解】解：将抛物线向右平移个单位， 根据二次函数平移规律“左加右减”，可得平移后抛物线的解析式为， 抛物线与轴交点的横坐标为，令，则， 平移后的抛物线与轴交点的坐标是． 11. 某校九年级举行足球比赛，第一轮比赛的分组规则是：将4个班级随机分成2组，每组2个班级(每个班级只能被分在其中一个组)，那么1班和2班被分在同一组的概率是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先列出所有等可能的分组结果，再找出1班和2班同组的结果数，根据概率公式计算即可． 【详解】解：设4个班级分别为1班、2班、3班、4班， 可能出现的所有情况如下： 情况1：一组1班和2班，二组3班和4班； 情况2：一组1班和3班，二组2班和4班； 情况3：一组1班和4班，二组2班和3班； 情况4：一组2班和3班，二组1班和4班； 情况5：一组2班和4班，二组1班和3班； 情况6：一组3班和4班，二组1班和2班； 共有6种等可能的结果，其中1班和2班被分在同一组的结果有2种， ∴1班和2班被分在同一组的概率是． 12. 为了解九年级学生假期开展了“社区志愿者服务”活动时间的情况，从该校九年级学生中随机抽取部分同学进行调查，调查结果绘制成如图所示的频数分布直方图（每组数据含最小值，不含最大值）．根据图中信息，该校九年级300名学生中，假期开展了“社区志愿者服务”活动时间大于2小时的人数约有_______人． 【答案】156 【解析】 【分析】用全校九年级的学生数乘以样本中开展了“社区志愿者服务”活动时间大于2小时的占比即可求解． 【详解】解：由统计图可知，抽取的学生人数为（人），其中开展了“社区志愿者服务”活动时间大于2小时的学生有（人）， ∴该校九年级学生中开展了“社区志愿者服务”活动时间大于2小时的人数为（人）． 13. 如图，在正六边形中，设，，那么用向量、表示为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，取的中点为O，连接，根据向量线性运算的三角形法则和正六边形的性质即可求解． 【详解】解：连接，取的中点为O，连接， 根据正六边形的性质得到，，， ∴，四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴． 14. 如图，某水库大坝横断面的迎水坡的坡度，坝高米，那么迎水坡面的长度是_______米． 【答案】 【解析】 【分析】根据坡度的定义求出，再用勾股定理即可求出答案． 【详解】解：由题意可得，在中，的坡度，坝高米， ∴, 解得， ∴ 15. 已知平行四边形，，，经过点，经过点．如果与相交，且一个交点落在边上，那么边长的是_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用圆的性质得到对应线段相等，结合平行四边形对边相等的性质，再通过勾股定理构造方程求解的长度. 【详解】设边的长为， 四边形是平行四边形， ，，． 设与的交点落在上， 在上，经过点， ． 过作于点，在中，， 设，，由勾股定理得： ， 已知， ，解得， 因此，． 由，在中，， ． 在上，经过点， ． 过作，交直线于点， ，， 同理可得，． 以为原点，所在直线为轴建立坐标系，则的横坐标为， 点坐标为 ，点坐标为， ． 在中，由勾股定理得， 代入得：， 展开得， 整理得，解得． 此时落在线段上，符合题意， 故答案为． 16. 如图，已知等腰直角三角形，，．将边绕点顺时针旋转得到，连接、，如果是以为腰的等腰三角形，那么的正切值是_______． 【答案】或1 【解析】 【分析】①当时，如图，过P作于E，过C作于F，则可得，证明，则，，由勾股定理可得，则可得，，根据正切的定义即可求出的正切值． ②当时，可证四边形是正方形，则，进而可得的正切值． 【详解】解：①当时，如图，过P作于E，过C作于F， ∴， ∵旋转， ∴，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． ②当时，如图， ∵旋转， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是菱形， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴的正切值是或1． 三、解答题：（本大题共7题，满分86分） 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】先将除法转化为乘法，然后运用乘法分配律进行计算，再按照同分母分式加法法则进行计算，最后将未知数的值代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时，． 18. 解方程组： 【答案】 ，． 【解析】 【详解】 解：将方程的左边因式分解，得 ． 得或． 将它们与方程分别组成原方程组，得 ，． 解得，． 所以，原方程组的解是 ，． 19. 某物理兴趣小组在探究“声音在空气中的传播速度与温度的关系”时，记录了不同温度下声音传播的速度，部分数据如下表所示． 温度 0 10 30 声音传播速度 324 330 336 348 经过分析，小组成员发现声音传播的速度与温度之间近似满足一次函数关系．（、是常数，）．请根据以上信息，解答下列问题： （1）求出与之间的函数表达式（不要求写定义域）； （2）物理小组在实验室进行验证，当实验室温度控制在某一数值时，测得声音传播10.2米刚好用了0.03秒、求此时实验室的温度； （3）物理小组在研究中发现，声音在甲、乙两个实验室传播时，由于温度不同，甲实验室的声速比乙实验室快，求甲、乙两个实验室的温度差． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，选取表格中两组对应坐标，求解得到一次函数的解析式； （2）先求出此时声音传播的速度，再代入函数表达式中即可求得此时实验室的温度； （3）设甲实验室的温度为，乙实验室的温度为，分别代入函数表达式中，根据“甲实验室的声速比乙实验室快”，求解即可． 【小问1详解】 解：因为与之间近似满足一次函数关系（、是常数，），得， 解得． 所以与之间的函数关系是：． 【小问2详解】 解：由题意，， 当时，， 解得， 所以此时实验室的温度． 【小问3详解】 解：设甲实验室的温度为，乙实验室的温度为， 由题意得， 解得， 所以甲、乙两个实验室的温度差为． 20. 如图，在中，，是边上的中线，为边的中点，点在边上，，交于点，连接、． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，交于点．如果，求证：． 【答案】（1）证明：是边上的中线，为边的中点， ∴是的中位线， ，． ，为边的中点， ∴， ， ． ∴四边形是平行四边形． ， ∴四边形是矩形． （2）证明：如图， ， ． ∵四边形是矩形， ，，， ， ． ， ， ． ， ， ，即． ，是边上的中线， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）由三角形中位线的性质得，，由平行线分线段成比例定理得，从而得出，可证四边形是平行四边形，结合，可证四边形是矩形； （2）证明得，根据直角三角形斜边中线的性质得，进而可证结论成立． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略． 21. 【阅读材料】 在计算机绘图软件中，选中图形后会出现一个矩形边框，如图1所示，这个矩形边框的边分别平行于水平方向和铅垂方向，且至少每一条边都与图形有公共点，我们称这个矩形边框为图形的“隐形框”，“隐形框”的水平方向的边长称为它的“宽度”，铅垂方向的边长称为它的“高度”． 【解决问题】 如图2，平行四边形的边水平放置，，，． （1）求平行四边形的“隐形框”的“宽度”与“高度”的比值； （2）在绘图软件中，选中了平行四边形，并拖动顶点，可以改变的大小，并保持和长度不变，且始终水平，随着的大小的变化，平行四边形的形状变了，其“隐形框”的面积也在变化．当时，求此时它的“隐形框”的面积； （3）在绘图软件中，选中了平行四边形，执行了一个“水平拉伸”操作：保持边固定不动，将的对边向右平移，形成了一个新的平行四边形，如果这个新形成的平行四边形的“隐形框”的“宽度”恰好是其“高度”的4倍，求边向右平移的距离． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）过点作，交延长线于点，过点作，交延长线于点，则即为所求，先解直角三角形求出的长，再利用勾股定理求出的长，进而求出的长即可； （2）过点作，交延长线于点，过点作，交延长线于点，先根据含30度直角三角形的性质和勾股定理求出，的长，进而求出的长即可； （3）设向右平移到的位置，过点作，交延长线于点，过点作，交延长线于点，参考（1）的方法，先求出的长，则可得的长，再根据题意建立方程，解方程求出的长即可． 【小问1详解】 解：如图，过点作，交延长线于点，过点作，交延长线于点， ∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∴，，， ∴四边形是矩形， ∴矩形是平行四边形的“隐形框”， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即平行四边形的“隐形框”的“宽度”与“高度”的比值为． 【小问2详解】 解：如图，过点作，交延长线于点，过点作，交延长线于点， 同理可得：，，矩形是平行四边形的“隐形框”， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， ∴矩形的面积为， 即此时它的“隐形框”的面积为． 【小问3详解】 解：如图，设向右平移到的位置，过点作，交延长线于点，过点作，交延长线于点， 同理可得：，，矩形是平行四边形的“隐形框”， 由平移的性质得：，， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平移后，这个新形成的平行四边形的“隐形框”的“宽度”恰好是其“高度”的4倍， ∴，即， 解得， ∴边向右平移的距离为． 22. 在平面直角坐标系中（如图），直线与轴、轴分别交于点、．抛物线经过点，对称轴为直线，它与轴的另一个交点为，顶点为． （1）求点、的坐标和抛物线的表达式； （2）将抛物线向下平移个单位，使平移后的新抛物线与直线交于点，如果，求的值； （3）将抛物线沿射线的方向平移，设平移后新抛物线的顶点为，新抛物线的对称轴与原抛物线交于点，如果，求新抛物线的表达式． 【答案】（1），． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出与坐标轴的交点，再待定系数法求解函数表达式； （2）先求出，即可得到边上的高，然后分类讨论求解点坐标，即可求解抛物线上对应点坐标，即可求解； （3）设平移后新抛物线的顶点，则新抛物线的表达式为 ，求出．过点作，垂足为，则．根据三线合一得到，则，再解方程即可． 【小问1详解】 解：对于直线，当； 当时，则，解得 ∴，． 将代入中，得． 由抛物线的对称轴为直线，得． ，． ∴抛物线的表达式为． 【小问2详解】 解：∵，对称轴为直线 ∴抛物线与轴的另一个交点， ． 又， ． ， ． ， 边上的高为6． （i）当在轴上方时，把代入，则 解得， ∴． 将代入，得． ． （ii）当在轴下方时，把代入，则 解得， ∴． 把代入，得． ． 综上可得，． 【小问3详解】 解：抛物线，故顶点． ∵抛物线沿射线的方向平移， ∵ ∴， 将抛物线沿射线的方向平移， ∴抛物线向下平移的距离是向右平移的距离的2倍， ∴设平移后新抛物线的顶点， 则新抛物线的表达式为 ． 将代入，得， ∴． 过点作，垂足为，则． ， ，得， 解得（舍），． ∴新抛物线的表达式为． 23. 已知是的弦，为弦中点，为中点，点、分别在和上，且，联结、、、． （1）如图1，，判断四边形的形状，并说明理由； （2）如图2，如果的半径为5，弦． ①当时，求的余切值； ②联结，与交于点，当是的中点时，求的值． 【答案】（1）菱形， 理由如下： 如图，联结，过点作，，垂足为点、， 是弦的中点，是的中点， 过圆心， ∵在中，， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ∴四边形是平行四边形， ，∴四边形是菱形． （2）①；② 【解析】 【分析】（1）联结，过点作，，垂足为点、，由垂径定理得过圆心，由得，由，，根据垂径定理得，根据证明，得，由得，进而证明，得四边形是平行四边形，由得四边形是菱形． （2）①联结，交于点，联结、，由是弦的中点、是的中点根据垂径定理得，在中，由勾股定理得，由题意得在中，，根据，设，，则，在中，根据勾股定理列关于的等量关系式，求解得的长，进而计算的长，在中，计算的余切值，进而可得的余切值； ②联结、交于点，交于点，联结交于点，联结，由是弦的中点，根据垂径定理得，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得， ，由是的中点，根据垂径定理得，，在中，由勾股定理得，根据题目条件易通过证明，得，，进而得，由得 ，得，计算得，进而得，由得 ，得，计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①如图，联结，交于点，联结、， 是弦的中点，是的中点， ， ， ， ， ， ，， ， 在中，，设，，则， ∴在中，， ， （舍），， ，， ∴在中，， ，， ， ， ； ②如图，联结、交于点，交于点，联结交于点，联结， 是弦的中点，是的中点， ， ， ， ， ， ，，， ， 是的中点，是半径， ，， ， ， ，，， ， ，， ， 由①得，， ， 即，， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期九年级数学练习 （完卷时间100分钟，满分150分） 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共23题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 3．填空题须在对应矩形框内作答，超出对应边框作答无效． 一、选择题：（本大题共5题，每题4分，满分20分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1. 下列代数式中，不是单项式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是（ ）． A. B. C. D. 3. 已知直线经过点和，那么下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 乐乐同学参加某次诗朗诵比赛，七位评委的打分是：8.8，7.0，9.0，10，9.0，7.0，9.4，工作人员根据评委所打的分数对这组数据平均数、方差、众数、中位数进行了统计，如果去掉一个最高分和一个最低分，那么下列统计量中一定不发生变化的是（ ）． A. 方差 B. 平均数 C. 中位数 D. 众数 5. 如图，在锐角三角形中，，点、分别在边、上，连接、．下列命题中，假命题是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 二、填空题：（本大题共11题，每题4分，满分44分） 6. 化简：______． 7. 请写出比大且比小的所有整数：_______． 8. 计算：________． 9. 方程的解是__________． 10. 将抛物线向右平移2个单位，平移后的抛物线与轴交点的坐标是_______． 11. 某校九年级举行足球比赛，第一轮比赛的分组规则是：将4个班级随机分成2组，每组2个班级(每个班级只能被分在其中一个组)，那么1班和2班被分在同一组的概率是_______． 12. 为了解九年级学生假期开展了“社区志愿者服务”活动时间的情况，从该校九年级学生中随机抽取部分同学进行调查，调查结果绘制成如图所示的频数分布直方图（每组数据含最小值，不含最大值）．根据图中信息，该校九年级300名学生中，假期开展了“社区志愿者服务”活动时间大于2小时的人数约有_______人． 13. 如图，在正六边形中，设，，那么用向量、表示为_______． 14. 如图，某水库大坝横断面的迎水坡的坡度，坝高米，那么迎水坡面的长度是_______米． 15. 已知平行四边形，，，经过点，经过点．如果与相交，且一个交点落在边上，那么边长的是_______． 16. 如图，已知等腰直角三角形，，．将边绕点顺时针旋转得到，连接、，如果是以为腰的等腰三角形，那么的正切值是_______． 三、解答题：（本大题共7题，满分86分） 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 解方程组： 19. 某物理兴趣小组在探究“声音在空气中的传播速度与温度的关系”时，记录了不同温度下声音传播的速度，部分数据如下表所示． 温度 0 10 30 声音传播速度 324 330 336 348 经过分析，小组成员发现声音传播的速度与温度之间近似满足一次函数关系．（、是常数，）．请根据以上信息，解答下列问题： （1）求出与之间的函数表达式（不要求写定义域）； （2）物理小组在实验室进行验证，当实验室温度控制在某一数值时，测得声音传播10.2米刚好用了0.03秒、求此时实验室的温度； （3）物理小组在研究中发现，声音在甲、乙两个实验室传播时，由于温度不同，甲实验室的声速比乙实验室快，求甲、乙两个实验室的温度差． 20. 如图，在中，，是边上的中线，为边的中点，点在边上，，交于点，连接、． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，交于点．如果，求证：． 21. 【阅读材料】 在计算机绘图软件中，选中图形后会出现一个矩形边框，如图1所示，这个矩形边框的边分别平行于水平方向和铅垂方向，且至少每一条边都与图形有公共点，我们称这个矩形边框为图形的“隐形框”，“隐形框”的水平方向的边长称为它的“宽度”，铅垂方向的边长称为它的“高度”． 【解决问题】 如图2，平行四边形的边水平放置，，，． （1）求平行四边形的“隐形框”的“宽度”与“高度”的比值； （2）在绘图软件中，选中了平行四边形，并拖动顶点，可以改变的大小，并保持和长度不变，且始终水平，随着的大小的变化，平行四边形的形状变了，其“隐形框”的面积也在变化．当时，求此时它的“隐形框”的面积； （3）在绘图软件中，选中了平行四边形，执行了一个“水平拉伸”操作：保持边固定不动，将的对边向右平移，形成了一个新的平行四边形，如果这个新形成的平行四边形的“隐形框”的“宽度”恰好是其“高度”的4倍，求边向右平移的距离． 22. 在平面直角坐标系中（如图），直线与轴、轴分别交于点、．抛物线经过点，对称轴为直线，它与轴的另一个交点为，顶点为． （1）求点、的坐标和抛物线的表达式； （2）将抛物线向下平移个单位，使平移后的新抛物线与直线交于点，如果，求的值； （3）将抛物线沿射线的方向平移，设平移后新抛物线的顶点为，新抛物线的对称轴与原抛物线交于点，如果，求新抛物线的表达式． 23. 已知是的弦，为弦中点，为中点，点、分别在和上，且，联结、、、． （1）如图1，，判断四边形的形状，并说明理由； （2）如图2，如果的半径为5，弦． ①当时，求的余切值； ②联结，与交于点，当是的中点时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $