精品解析：2025年上海市奉贤区九年级中考三模数学试卷

2024学年第二学期九年级数学 （考试时间：100分钟，满分150分） 考生注意： 1．本试卷共25题． 2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上答题，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸规定的位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 1. 下列各数化成小数后，结果为有限小数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查实数，根据有限小数的定义逐项进行判断即可．熟练掌握实数的分类方法是解题的关键． 【详解】解：A．是无理数，是无限不循环小数，故此选项不符合题意； B．，是有限小数，故此选项符合题意； C．，是无限循环小数，故此选不符合题意； D．是无理数，是无限不循环小数，故此选项不符合题意． 故选：B． 2. 如果，那么下列不等式中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变进行分析即可． 此题主要考查了不等式的基本性质，关键是要注意不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：A、两边同时减，不等号的方向不变可得，故此选项正确，符合题意； B、两边同时乘以a，应说明才得，故此选项错误，不符合题意； C、两边同时乘以b，应说明才得，故此选项错误，不符合题意； D、当时可得，故此选项错误，不符合题意． 故选：A． 3. 下列与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式的定义，先化简再根据二次根式的定义判断是解题关键． 先化简，再根据同类二次根式的定义解答即可． 【详解】A． 与不是同类二次根式； B． 与不是同类二次根式； C． 与是同类二次根式； D． 与不是同类二次根式； 故选C 4. 在一次射击比赛选拔赛中，甲、乙、丙、丁四人的射击成绩如表所示，那么在这次比赛中，成绩又好且又稳定的选手是（ ） 甲 乙 丙 丁 平均成绩（环） 9 9 8.5 8.5 标准差（环） 1.2 1.5 1.2 1.5 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了标准差以及算术平均数，标准差是用来衡量一组数据波动大小的量，标准差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之标准差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．根据平均数和标准差的意义判断即可． 【详解】解：根据平均成绩可得甲和乙要比丙和丁好，又因为甲的标准差比乙小， 所以成绩又好且又稳定的选手是甲． 故选：A． 5. 圆半径长为，对于圆的内接正六边形，下列说法错误的是（ ） A. 中心角是 B. 内角是 C. 边心距为 D. 边长为 【答案】D 【解析】 【分析】根据正六边形的性质，计算它的中心角、内角、边心距以及边长即可． 【详解】解：如图，正六边形内接于，连接，，过点作于点， ∴，， 即中心角是，故选项A不符合题意； ∵正六边形内接于， ∴， 即正六边形的内角为，故选项B不符合题意； ∵，， ∴是等边三角形， ∴， 即正六边形的边长为，故选项D符合题意； ∵， ∴， ∴， 即正六边形的边心距为，故选项C不符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查正多边形和圆，考查了正六边形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一性质，勾股定理等知识点．掌握正六边形的性质是解题的关键． 6. 从三角形（非等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，该顶点与该交点间的线段把这个三角形分割成两个小三角形．如果其中一个小三角形是等腰三角形，另一个与原三角形相似，那么我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．如图，在中，，，是的完美分割线，且是以为底边的等腰三角形，那么的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定和等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 根据题意可得，先求出，再根据即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，共48分） 7. 计算：（a+2b）（a﹣2b）=_____． 【答案】a2﹣4b2## 【解析】 【分析】找出相同项和相反项，再用平方差公式计算即可． 【详解】解：（a+2b）（a﹣2b） =a2﹣4b2． 故答案为a2﹣4b2． 【点睛】题目主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式进行计算是解题关键． 8. 方程的解是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了无理方程：解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等．用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．把方程两边平方，再解整式方程，然后进行检验确定原方程的解． 【详解】解：方程两边平方，得， 解得， 经检验，为原方程的解， 故方程的解是， 故答案为：． 9. 如果一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据方程的系数，结合根的判别式，可得出，解之即可得出的取值范围．解题的关键是掌握：式子是一元二次方程根的判别式，方程有两个不等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ∴的取值范围是． 故答案为：． 10. 已知正比例函数的图象经过点，那么函数值随自变量的值的增大而______．（填“增大”或“减小”） 【答案】减小 【解析】 【分析】运用待定系数法求出后即可判断函数的增减性． 【详解】解：首先把，代入， 得， ∴， 再根据正比例函数图象的性质，得随的增大而减小． 故答案为：减小． 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解题关键是首先能够熟练求得的值．其次要熟悉正比例函数图象的性质． 11. 纳米光刻机是半导体产业的皇冠明珠，由我国自主研造的纳米光刻机打破了西方的垄断．已知纳米等于米，数字用科学记数法可以表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是掌握科学记数法的定义：将一个数表示成的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数．据此解答即可． 【详解】解：数字用科学记数法可以表示为． 故答案为：． 12. 某商品成本价元，商家以元价格售出，那么这件商品的盈利率为________．（用百分数表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设这件商品的盈利率为x，根据“售价成本成本盈利率”，再根据“商品成本价元，商家以元价格售出”列出关于的一元一次方程，求解即可．正确理解题意，根据数量关系列出方程是解题的关键． 【详解】解：设这件商品的盈利率为， 依题意，得：， 解得：， ∴这件商品的盈利率为． 故答案为：． 13. 布袋中有6个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，如果从布袋中随机摸出球，摸出的是白球的概率是，那么布袋中白球的个数是________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了概率的概念：所有等可能的结果有n个，其中某事件占m个，则这个事件的概率．根据概率的概念建立等量关系，解方程即可． 【详解】解：设布袋中有n个白球， 根据题意，得， 解得：， 则布袋中白球有4个； 故答案为：4． 14. 如图，在中，点D是线段上的点，且，若，，那么________．（用、的线性组合表示） 【答案】## 【解析】 【分析】利用三角形法则求解即可． 【详解】解：由题意得， ∵，即， ∴， ∴． 15. 某校为满足学生午餐的多样性，将学生午餐分成了A、B、C三类供学生自主选择．在前期的调研中，从全校1500人中随机抽取了100人进行问卷调查，并将问卷的结果整理后绘制成图．根据该数据，估计全校约有________人会选择C类午餐． 【答案】630 【解析】 【分析】本题考查样本估计总体，先根据统计图求得选择C午餐的人数，再用全校人数乘以样本中选择C午餐所占的比例求解即可． 【详解】解：由统计图，样本中，选择C类午餐的人数为（人）， ∴估计全校选择C类午餐的人数约为（人）． 故答案为：630． 16. 如图，一个矩形木箱沿坡比为的斜面下滑，米，当木箱滑至如图位置时，米，那么木箱端点F离地面的高度是________米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是坡度的含义，解直角三角形的应用，过作于，交于点，证明，结合坡度的含义求解，，再求解，从而可得答案． 【详解】解：过作于，交于点， ∵斜坡的坡比为， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴，， ∵， ∴， 在中，， 设，则， ∴， 解得：， ∴， ∴米， ∴木箱端点离地面的距离是米； 故答案为：． 17. 在中，，，，将翻折，点C恰好落在线段的中点D处，折痕分别交、于M、N，此时________． 【答案】 【解析】 【分析】根据，，求得，再证出得到，，然后借助勾股定理即可求解． 【详解】解：过点A作交于点F，过点D作交于点E，连接， 设，则， ∵，， ∴，， ∴， 解得， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据折叠的性质得， 由勾股定理得，即， 解得． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，折叠的性质，解直角三角形，勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 18. 在中，，以D为圆心、为半径的交的延长线于点E，连接，交于点F．当时，的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】证明，得，又由，得， 从而得，求解即可． 【详解】解：如图， ∵在中，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，或（负值舍去）． 三、解答题（本大题共7小题，满分78分）如无特殊说明，本大题作答需写出证明或计算的主要步骤． 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，涉及负整数指数幂、特殊角的三角形函数值、化简绝对值、分母有理化，根据相关运算法则正确求解即可． 【详解】解： ． 20. 解方程组：． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了解方程组，先将因式分解为或，再分别联立，解二元一次方程组即可． 【详解】解：， 由②得， ∴或， 联立得， 解得， 联立得， 解得． 21. （1）在中，记、、的对边分别为a、b、c． ①如图1，当是等边三角形（即）时，的面积为________（结果用含a的代数式表示）； ②如图2，当，，时，求的面积； （2）三个含的全等的三角形可以拼成一个大等边三角形，内含一个小的等边三角形（如图3所示），当大等边三角形的面积是小等边三角形面积的16倍时，直接写出a、b满足的数量关系________． 【答案】（1）①；②；（2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，等边三角形的性质，解一元二次方程； （1）①的高，再根据面积公式求解即可； ②如图，过点作的延长线于点，先求出，再根据面积公式求解即可； （2）由（1）①可得小等边三角形的面积为，由（1）②可得三个含的全等的三角形的面积为，得到大等边三角形的面积，再根据大等边三角形的面积是小等边三角形面积的16倍，列方程求解即可． 【详解】解：（1）①的高， 的面积， 故答案为：； ②如图，过点作的延长线于点， 根据题意得，，， ∵， ∴， ∴， ∴的面积； （2）∵三个含的全等的三角形可以拼成一个大等边三角形，内含一个小的等边三角形， ∴小的等边三角形边长为， ∴由（1）①可得小等边三角形的面积为， 由（1）②可得三个含的全等的三角形的面积为， ∴大等边三角形的面积， ∵大等边三角形的面积是小等边三角形面积的16倍， ∴， 化简得，， 解得， ∵， ∴， 故答案为：． 22. 已知：在平面直角坐标系中（如图），反比例函数在第一象限内的图像与直线的交点为，且直线与直线平行． （1）求直线的表达式； （2）若以A为圆心、半径长为r的与以原点O为圆心、半径长为1的相切，求r的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，涉及待定系数法求函数解析式和两圆相切的性质，熟练掌握待定系数法求函数解析式和两圆相切的性质是解题的关键． （1）根据交点求出m的值，再根据两直线平行求出k的值，再代入点A坐标即可求出b的值； （2）根据相切的性质，分两圆内切和外切两种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：∵反比例函数在第一象限内的图像与直线的交点为， ∴， ∵直线与直线平行， ∴， ∴， 解得， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵以A为圆心、半径长为r的与以原点O为圆心、半径长为1的相切， 当两圆外切时，， ∴； 当两圆内切时，， ∴； ∴r的值为或． 23. 已知：如图，在梯形中，，，点E是腰上的点，，点F是线段上的点，联结交于点O． （1）求证：； （2）当时，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的性质等知识，熟练运用相似三角形的性质是解答的关键． （1）证明，利用相似三角形的对应角相等求解即可； （2）先证明得到，结合等腰三角形的性质得到，进而证明得到，再由得到，进而可得结论． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵，， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，又， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 24. 数学综合与实践课上，如图1老师发给每个小组一张矩形纸片、一个内角为的直角三角板（说明：仅能作：、、的角）、一把无刻度的直尺（说明：仅能作直线）和一块橡皮． 实践任务：仅利用提供的工具将矩形纸片三等分，使原纸片的宽作为等分后纸片的一边． 对核心任务进行数学抽象：如图2，已知矩形，利用含的直角三角板和无刻度的直尺，在上确定点P，使． 下表是某组同学展示完成实践任务的操作步骤： 操作步骤 图示 第一步： 如图3所示，分别以点D，点C为顶点，，为边作的角与交于点E、F，连接，，交于点G，过点G作于点M，并延长交于点N． 第二步： 如图4所示，擦除第一步中的线段，，，，点E，F，G，仅保留，连接，交于点O，过点O作于点P，并延长交于点Q． （1）在图3中，证明：点M为的中点； （2）在图4中，证明：； （3）请你再设计一种作图方案（仅利用提供的工具），在图5画出满足条件的点P，写出作法，并验证作图的正确性． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，平行线分线段成比例定理，全等和相似三角形的判定和性质等知识． （1）利用全等三角形的性质分别证明，，可得结论； （2）利用相似三角形的性质证明即可； （3）根据等腰三角形的性质作出图形即可． 【小问1详解】 证明：如图3中，∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点M是的中点； 【小问2详解】 证明：如图4中， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图5，点P即为所求． 作法：①分别以点A，点B为顶点，为底边作角的等腰； ②利用角，过点E作于点E，交于点P； 则点P即为所求； 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 中，， ∴， ∴． 25. 已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为点． （1）当点在轴负半轴，且时， ①求抛物线的表达式； ②将抛物线向上或向下平移得到抛物线，抛物线与轴的负半轴交于点，顶点的纵坐标为，如果线段与线段有交点，求的取值范围； （2）当抛物线的系数变化时，表述顶点的运动轨迹，并画出图像． 【答案】（1）①；② （2）顶点的运动轨迹：开口向下的抛物线，顶点为，对称轴为轴，图像见解析 【解析】 【分析】（1）①确定，得，根据正切的定义得，确定，代入求出的值即可； ②确定，抛物线的表达式为：，，得，求出的解析式为，得线段与交点的纵坐标为，根据“线段与线段有交点”得，求解即可； （2）确定，得，继而得到，即可得出结论． 【小问1详解】 解：①如图， ∵抛物线与轴交于、两点，与轴交于点， 当时，得：， ∴， ∴， ∵点在轴负半轴，且，， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； ②∵抛物线与轴交于、两点， 当时，得：， 解得：或， ∴， ∵将抛物线向上或向下平移得到抛物线，抛物线与轴的负半轴交于点，顶点的纵坐标为，， ∴抛物线的表达式为：，， 当时，得：， ∴， 设的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴的解析式为， 当时，得：， 即线段与交点的纵坐标为， ∵线段与线段有交点，， ∴， 解得：， ∴的取值范围为； 【小问2详解】 ∵抛物线，顶点为点． ∴， ∴， ∴， ∴当抛物线的系数变化时，顶点的运动轨迹为：开口向下的抛物线，顶点为，对称轴为轴，图像如下图所示． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了抛物线与坐标轴的交点坐标，正切的定义，待定系数法确定函数的解析式，函数图象平移的规律，不等式的应用，画函数图象等知识点．掌握二次函数的图像与性质及锐角三角函数的定义是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二学期九年级数学 （考试时间：100分钟，满分150分） 考生注意： 1．本试卷共25题． 2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上答题，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸规定的位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 1. 下列各数化成小数后，结果为有限小数的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果，那么下列不等式中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 在一次射击比赛选拔赛中，甲、乙、丙、丁四人的射击成绩如表所示，那么在这次比赛中，成绩又好且又稳定的选手是（ ） 甲 乙 丙 丁 平均成绩（环） 9 9 8.5 8.5 标准差（环） 1.2 1.5 1.2 1.5 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 5. 圆半径长为，对于圆的内接正六边形，下列说法错误的是（ ） A. 中心角是 B. 内角是 C. 边心距为 D. 边长为 6. 从三角形（非等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，该顶点与该交点间的线段把这个三角形分割成两个小三角形．如果其中一个小三角形是等腰三角形，另一个与原三角形相似，那么我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．如图，在中，，，是的完美分割线，且是以为底边的等腰三角形，那么的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，共48分） 7. 计算：（a+2b）（a﹣2b）=_____． 8. 方程的解是________． 9. 如果一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是________． 10. 已知正比例函数的图象经过点，那么函数值随自变量的值的增大而______．（填“增大”或“减小”） 11. 纳米光刻机是半导体产业的皇冠明珠，由我国自主研造的纳米光刻机打破了西方的垄断．已知纳米等于米，数字用科学记数法可以表示为________． 12. 某商品成本价元，商家以元价格售出，那么这件商品的盈利率为________．（用百分数表示） 13. 布袋中有6个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，如果从布袋中随机摸出球，摸出的是白球的概率是，那么布袋中白球的个数是________． 14. 如图，在中，点D是线段上的点，且，若，，那么________．（用、的线性组合表示） 15. 某校为满足学生午餐的多样性，将学生午餐分成了A、B、C三类供学生自主选择．在前期的调研中，从全校1500人中随机抽取了100人进行问卷调查，并将问卷的结果整理后绘制成图．根据该数据，估计全校约有________人会选择C类午餐． 16. 如图，一个矩形木箱沿坡比为的斜面下滑，米，当木箱滑至如图位置时，米，那么木箱端点F离地面的高度是________米． 17. 在中，，，，将翻折，点C恰好落在线段的中点D处，折痕分别交、于M、N，此时________． 18. 在中，，以D为圆心、为半径的交的延长线于点E，连接，交于点F．当时，的长为________． 三、解答题（本大题共7小题，满分78分）如无特殊说明，本大题作答需写出证明或计算的主要步骤． 19. 计算：． 20. 解方程组：． 21. （1）在中，记、、的对边分别为a、b、c． ①如图1，当是等边三角形（即）时，的面积为________（结果用含a的代数式表示）； ②如图2，当，，时，求的面积； （2）三个含的全等的三角形可以拼成一个大等边三角形，内含一个小的等边三角形（如图3所示），当大等边三角形的面积是小等边三角形面积的16倍时，直接写出a、b满足的数量关系________． 22. 已知：在平面直角坐标系中（如图），反比例函数在第一象限内的图像与直线的交点为，且直线与直线平行． （1）求直线的表达式； （2）若以A为圆心、半径长为r的与以原点O为圆心、半径长为1的相切，求r的值． 23. 已知：如图，在梯形中，，，点E是腰上的点，，点F是线段上的点，联结交于点O． （1）求证：； （2）当时，求证：． 24. 数学综合与实践课上，如图1老师发给每个小组一张矩形纸片、一个内角为的直角三角板（说明：仅能作：、、的角）、一把无刻度的直尺（说明：仅能作直线）和一块橡皮． 实践任务：仅利用提供的工具将矩形纸片三等分，使原纸片的宽作为等分后纸片的一边． 对核心任务进行数学抽象：如图2，已知矩形，利用含的直角三角板和无刻度的直尺，在上确定点P，使． 下表是某组同学展示完成实践任务的操作步骤： 操作步骤 图示 第一步： 如图3所示，分别以点D，点C为顶点，，为边作的角与交于点E、F，连接，，交于点G，过点G作于点M，并延长交于点N． 第二步： 如图4所示，擦除第一步中的线段，，，，点E，F，G，仅保留，连接，交于点O，过点O作于点P，并延长交于点Q． （1）在图3中，证明：点M为的中点； （2）在图4中，证明：； （3）请你再设计一种作图方案（仅利用提供的工具），在图5画出满足条件的点P，写出作法，并验证作图的正确性． 25. 已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为点． （1）当点在轴负半轴，且时， ①求抛物线的表达式； ②将抛物线向上或向下平移得到抛物线，抛物线与轴的负半轴交于点，顶点的纵坐标为，如果线段与线段有交点，求的取值范围； （2）当抛物线的系数变化时，表述顶点的运动轨迹，并画出图像． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $